5.逻辑代数基本公式与化简(数字系)

数字电路技术基础
东南大学计算机系
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刘其奇
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第一章 逻辑代数基础
1-1 概述
1-1-1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的； 在时间上不连续。
模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。 数字信号：表示数字量的信号，是在两个稳定状态之 间作阶跃式变化的信号。 脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号。
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有权码
常用BCD码 十进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
无权码
8421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
5421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100
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2）变量常量关系定律
0、 1律：A • 1 = A; (2 )
A • 0 = 0;（1）
A + 1 = 1; （11） A + 0 = A（12） ;
互补律：A • A = 0； ） A + A = 1;（14） （4
3）逻辑代数的特殊定律
重叠律：A • A = A； ） A + A = A; （13） （3
Y = A + A BC( A + BC + D) + BC = A + ( A + BC)( A + BC + D) + BC = A + A ( A + BC + D) + BC( A + BC + D) + BC = A + BC

2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）

注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表 • 逻辑式 • 逻辑图 • 波形图 • 卡诺图 • 计算机软件中的描述方式
• 各种表示方法之间可以相互转换
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表
“或”真值表 A BL 0 00 0 11 1 01 1 11
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逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 1.常量与变量间的运算规则： 或运算一定、律逻辑代数的基本定律 A+0=A；A+1=和1恒；等式 与运算定1律.常数间的运算定律 A•0=0；A •1=A；
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和 “与”真值表可 以证明各式成立。
“与”2真.基值本表可 以证明定各律式和成立。
恒等式 表律详是2.3见根.摩1课，据例 根本基逻： 定P本辑2定加4 、 乘、非三律种基本
运算法则，推导 出的逻辑运算的 一些基本定律。
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逻辑代数公式定理及公式化简法
基本定律和恒等式的证明
摩根定律的证明
基本定律和恒等式的证明最 有效的方法是检验等式左边的 函数与右边函数的真值表是否 吻合。
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 4.摩根定律 例：摩根定律(反演律)
(A·B·C···)’=A’+B’+C’+···
(A+B+C+···)’=A’·B’·C’····
利用摩根定律可以把“与”运算变 换为“或”运算，也可以把“或”运 算变换为“与”运算，其逻辑结果不 变。
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和

逻辑函数的标准形式
• 逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了 逻辑函数的与或式，也叫做积之和式(SP form)。 • 逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了 逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PS form)。
• 最小项：对于 n 个变量的逻辑函数而言，它的与项 如果包含全部 变量，且每个变量都只能以原变量（ 1）或反变量（0）的形式出现一次且只出现一次， 那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。简单地 说：最小项就是n个变量的积，原变量为1，反变量 为0。 提及最小项一定要说明变量的数目。N个变量共有 2^n 个最小项。
基本逻辑运算
• “与”运算又称“与”逻辑、“逻辑乘”：决定事件发生的 各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。我们 把这种因果关系称为与运算。 • “或”运算又称“或”逻辑、“逻辑加”：决定事件发生的 各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（ 成立）。我们把这种因果关系称为或运算 • “非”运算又称“非”逻辑、“反相运算”、“逻辑否定” ：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（ 成立），条件具备时事件不发生。我们把这种因果关系称为 非运算。
谢谢观赏 学习 未完待续
电一113 刘凡
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最大项表达式（标准或与式· 唯一）
• 概念：全部由最大项组成的逻辑表达式为标准或– 与表达式 • 如何求最大项表达式： 1.真值表法：将真值表中输出为0的一组输入变量组合 状态（用原变量表示变量取值0，用反变量表示变 量取值1）用逻辑加形式表示，再将所有的逻辑加 进行逻辑乘，就得到标准或–与表达式。 2.利用A=(A+B)(A+B)，将每个或项所缺变量逐步补齐 ，然后展开成最大项表达式。