待定系数法求平面方程初探

待定系数法求平面方程初探

待定系数法求平面方程初探摘要：待定系数法是一种重要的数学思维方法，同时也是一种常见的解题技巧．本文分析总结其在高等数学中求平面方程方面的应用，有利于学生更好地把握、灵活地运用好待定系数法，为以后解决类似的问题提供一定的借鉴作用。关键词：待定系数法高等数学平面方程一、引言待定系数法是一种重要的数学方法，它是在知道问题答案形式的前提下，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决的一种解题思路，从而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法。二、待定系数法在数学中的应用在学习数学的过程中，待定系数法是一种比较常见的、重要的解题技巧，它常常能起到化难为易、化繁为简的作用．在初等数学中，经常用到待定系数法的地方有：求平面曲线方程、因式分解、坐标变换、函数解析式的求解以及均值不等式的求解，等。如：用待定系数法求椭圆方程．其解题步骤如下：将从已知条件中得到的的对应值代入方程中，建立关于待定系数 a，b 的二元二次方程组，通过解方程组即可得到 a，b的值，从而求得椭圆方程。在高等数学中，我们同样可以用待定系数法来求平面方程及空间曲线方程，还可应用待定系数法计算—些不定积分和求解微分方程，等。以下介绍用待定系数法求平面方程。三、用待定系数法求解平面方程的方法先把平面方程设为一般式方程（﹡），然后根据已知条件列出关于的方程组，解方程组求出系数 A、B 、C、D，从而求出所求平面方程。这里需要特别注意方程（﹡）的系数与该平面在坐标轴上的相对位置的关系，知道这些关系可简化设出所求平面方程。平面过原点，则方程为。平面过轴，则；平面过轴，则；平面过轴，则。平面分别平行于轴时，其方程为。轴时，其方程为。轴时，其方程为。平面平行于平面，则其方程为。平面平行于平面，则其方程为。平面平行于平面，则其方程为。四、举例例 1 求过点（2，1，3）和 z轴的平面方程解：由平面的坐标轴上的相对位置与其方程系数的关系知，可设所求平面的方程为。又平面过点（2，1，3），将其坐标代入上方程得到故所求平面方程为。解毕。例2 求过三点M（1，0，0）、N（0，1，0）和Q（0，0，1）的平面方程解：设平面方程为。将三点坐标分别代入得方程组解之，得。代入平面方程得故所求平面方程为：。解毕。注：此例也可用平面的点法式方程求解，但需先求法向量，计算相对较难。例3 求经过点M（1，1，1）和直线的平面方程解：设平面方程为。在直线上任取两点N（1，2，3）和Q（-1，-1，-1），则平面经过三点M、N、Q，将三点坐标分别代入得方程组，解之，得。代入平面方程得，所以，即为所求平面方程。五、小结通过以上三例我们看到，求经过已知三点的平面方程，或求经过已知直线（坐标轴）或平行于坐标面（轴）或平行于某已知平面且满足另一约束条件的平面方程，通常使用待定系数法求解，即将所求平面设为一般式方程，再由题设条件确定、、的系数与常项，从而可求得平面方程。参考文献〔1〕张跃，董俊，张洁.平面方程〔J〕.中国教育发展研究杂志，2008.5（4）〔2〕陈秀锦.浅谈待定系数法在高等数学中的应用〔J〕.数学学习与研究，2010（3）