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推导空间解析几何的平面方程与直线方程的求解方法空间解析几何是现代数学的一个重要分支，研究几何图形与坐标系之间的关系。
在空间解析几何中，平面和直线是最基本的图形。
平面方程和直线方程的求解方法对于解决各种几何问题具有重要的意义。
本文将介绍推导空间解析几何的平面方程与直线方程的求解方法。
一、平面方程的求解方法1. 平面的一般方程一个平面可以由一个点和该平面上的两个非平行向量所确定。
设平面上一点为P，两个非平行向量为a和b，则平面上的任意一点Q可以表示为P加上a和b的线性组合：Q = P + λa + μb其中，λ和μ为实数。
根据向量的加法和数乘运算，可以推导出Q 点的坐标为：(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + λ(a₁, a₂, a₃) + μ(b₁, b₂, b₃)其中，x₁、y₁、z₁分别为点P的坐标，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别为向量a和向量b的坐标。
将(x, y, z)代入上述平面方程，整理得到平面的一般方程：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C和D为实数系数。
平面上任意一点Q(x, y, z)到平面的距离与法向量n之间满足以下关系：n · Q + d = 0其中，n = (A, B, C)为平面的法向量，d为实数。
根据内积运算，可以推导出平面的点法式方程：Ax + By + Cz + d = 0二、直线方程的求解方法1. 直线的对称式方程设直线上一点为P，直线的方向向量为a，则过直线上任意一点Q(x, y, z)的向量PQ可以表示为a的实数倍：PQ = λa其中，λ为实数。
根据向量的线性相关性，可以推导出Q点的坐标为：(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + λ(a₁, a₂, a₃)其中，x₁、y₁、z₁分别为点P的坐标，a₁、a₂、a₃为向量a的坐标。
将(x, y, z)代入上述直线方程，整理得到直线的对称式方程：(x - x₁)/a₁ = (y - y₁)/a₂ = (z - z₁)/a₃直线的参数式方程是直线方程的另一种表示方法。
空间几何中的平面与直线方程求解在空间几何中，平面和直线是两种基本的几何图形，它们在数学、物理、工程等众多领域都有着广泛的应用。
而平面和直线的方程求解也是空间几何的一个重要的问题。
一、平面的一般式方程求解平面的一般式方程可以表示为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面法向量的三个分量，D为平面到原点的距离。
假设一个平面的法向量为n=[A,B,C]，平面上的一点为P(x0,y0,z0)，那么这个平面的一般式方程可以表示为n·(P-O)+D=0，其中·表示点积运算，O为原点。
化简得到A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，即为所求的平面的一般式方程。
二、平面的点法式方程求解平面的点法式方程可以表示为n·(P-P0)=0，其中n为平面法向量，P0为平面上已知点，P为平面上任意一点。
如果n=[A,B,C]，P0=(x0,y0,z0)，P=(x,y,z)，则点法式方程可以表示为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。
三、直线的标准式方程求解直线的标准式方程可以表示为(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p，其中m、n、p为直线方向向量的三个分量，(x0,y0,z0)为直线上的一点。
化简得到(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t，其中t为参数，可以表示直线上的任意一点，所以直线的标准式方程也可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt。
四、直线的对称式方程求解直线的对称式方程可以表示为(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=(t-t0)，其中m、n、p为直线方向向量的三个分量，(x0,y0,z0)为直线上的一点，t0为参数。
化简得到(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=(t-t0)，而对称式方程可以表示直线上的任意一点，所以直线的对称式方程也可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt+t0。
空间平面方程的求法1、 用参数方程题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程.①矢量式参数方程 错误!=错误! + t 1错误!+t 2错误!其中错误!=｛X 1,Y 1，Z 1｝， 错误!={X 2，Y 2，Z 2｝②坐标式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=221102*********Zt Z t z z Y t Y t y y X t X t x x例1、 写出下面的参数方程:通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v解：所求的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧vu z u y vu x -+=-=++=313322例2、证明矢量},,{Z Y X v =平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX证明:不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ,把这平面的方程化为参数式:,,,v z u y v A C u A B A D x ==---=所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0,{A C-,从而知},,{Z Y X v =与已知平面共面的充要条件为v与}0,1,{A B -，}1,0,{A C-共面,或 01001=--AC A BZYX ,即0=++CZ BY AX 。
如果在直角坐标系下,那么由于平面的法矢量为},,{C B A n =,所以v平行于平面的充要条件为0=⋅v n，即0=++CZ BY AX 。
2、 用点位式方程题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。
222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=03、用三点式方程题目的条件是平面上的三个已知点。
131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------=0 例3、已知三角形顶点为),2,2,2(),1,1,2(),0,7,0(C B A --求平行于三角形ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：由已知，得02921627=+z y x， 所以三角形ABC 所在的平面方程为014623=-+-z y x 。
空间平面法向量求法一、法向量定义定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。
平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法1、内积法在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。
由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
2、任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。
通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。
）Codepublic double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3){try{double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0; //各点坐标值double[] returnValue = new double[3];x1 = point1.X * 1000;y1 = point1.Y * 1000;z1 = point1.Z * 1000;x2 = point2.X * 1000;y2 = point2.Y * 1000;z2 = point2.Z * 1000;x3 = point3.X * 1000;y3 = point3.Y * 1000;z3 = point3.Z * 1000;//向量I1double[] I1 = new double[3];I1[0] = x2 - x1;I1[1] = y2 - y1;I1[2] = z2 - z1;//向量I2double[] I2 = new double[3];I2[0] = x3 - x1;I2[1] = y3 - y1;I2[2] = z3 - z1;double X1 = I1[0];double Y1 = I1[1];double Z1 = I1[2];double X2 = I2[0];double Y2 = I2[1];double Z2 = I2[2];a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;b = X2 * Z1 - X1 * Z2;c = X1 * Y2 - X2 * Y1;returnValue[0] = a;returnValue[1] = b;returnValue[2] = c;return returnValue;}catch (Exception e){throw e;}}OPENGL里面就这样实现void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv){GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,nz;w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
空间解析几何中的平面方程在空间解析几何中，平面方程是一个重要的概念。
通过平面方程，我们可以描述和表示平面在三维坐标系中的位置和性质。
本文将介绍平面方程的定义、常见形式以及如何根据给定条件求解平面方程的过程。
一、平面方程的定义平面是三维空间中的一个二维图形，可以通过其中的一点和一个法向量来确定。
在解析几何中，平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的三个分量，D为平面到原点的距离。
二、平面方程的常见形式根据平面方程的一般形式，我们可以得到一些常见的形式，如点法式、截距式和三点式。
1. 点法式点法式用一个平面上的点和该平面的法向量来确定平面方程。
设平面上一点为P(x₁, y₁, z₁)，法向量为n(A, B, C)，则该平面的方程可以表示为Ax + By + Cz - (Ax₁ + By₁ + Cz₁) = 0。
2. 截距式截距式利用平面与三个坐标轴的截距来确定平面方程。
设平面与x 轴、y轴、z轴的截距分别为a、b、c，则该平面的方程可以表示为x/a + y/b + z/c = 1。
3. 三点式三点式通过平面上的三个点来确定平面方程。
设平面上的三个点为P₁(x₁, y₁, z₁)、P₂(x₂, y₂, z₂)、P₃(x₃, y₃, z₃)，则该平面的方程可以表示为|(x - x₁) (y - y₁) (z - z₁)||(x - x₂) (y - y₂) (z - z₂)| = 0|(x - x₃) (y - y₃) (z - z₃)|三、求解平面方程的过程根据给定的条件，我们可以利用向量运算和线性方程组的方法来求解平面的方程。
例如，已知平面过点P₁(x₁, y₁, z₁)、点P₂(x₂, y₂, z₂)和点P₃(x₃, y₃, z₃)，我们可以按照以下步骤求解平面方程：1. 计算平面的法向量n根据向量的减法和叉乘公式，计算向量P₁P₂和向量P₁P₃的叉乘，得到平面的法向量n。
空间平面的方程与相交关系空间平面在数学几何中是一种十分重要的概念，它可以用方程的形式来描述。
在本文中，我们将讨论空间平面的方程表示以及不同平面之间的相交关系。
一、空间平面的方程表示空间平面可以用一般式方程或者点法式方程来表示。
1. 一般式方程一般式方程是空间平面最常用的表示方式，它可以写成Ax + By + Cz + D = 0的形式，在方程中A、B、C、D是常数，而x、y、z则是变量。
以一个具体的例子来说明，假设有一个平面，过点P(x1, y1, z1)且与向量n(A, B, C)垂直。
我们可以得到该平面的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中D = -(Ax1 + By1 + Cz1)。
2. 点法式方程点法式方程是另一种表示空间平面的方式，它通过一个平面上的一点P(x1, y1, z1)和法向量n(A, B, C)来确定一个平面。
点法式方程可以写成(x-x1)/A = (y-y1)/B = (z-z1)/C的形式。
通过点法式方程，我们可以轻松地确定平面上任意一点的坐标，或者通过给定的平面方程求出该平面的法向量。
二、空间平面的相交关系在三维空间中，不同的平面可能存在多种相交情况。
下面介绍几种常见的情况：1. 平行的平面如果两个平面的法向量平行，那么它们是平行关系。
也就是说，两个平面的法向量n1(A1, B1, C1)和n2(A2, B2, C2)满足A1/A2 = B1/B2 =C1/C2。
此时，两个平面要么没有公共点，要么有无穷多个公共点。
2. 重合的平面如果两个平面的法向量完全相等，那么它们是重合的平面。
也就是说，两个平面的法向量n1(A1, B1, C1)和n2(A2, B2, C2)满足A1 = A2，B1 = B2，C1 = C2。
此时，两个平面完全重合，它们有无穷多个公共点。
3. 相交的平面如果两个平面既不平行也不重合，那么它们是相交的平面。
此时，两个平面一定存在交线，交线可以是直线或者曲线。
求法平面方程求法平面方程是解决空间几何问题中的一个重要步骤。
在解决几何问题时，我们经常需要确定一个平面的方程，以便进行分析和计算。
本文将介绍求法平面方程的方法和步骤，并且提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、什么是法向量在介绍求法平面方程之前，我们首先需要了解什么是法向量。
法向量是指与给定平面垂直的向量。
对于一个平面来说，它有无数个法向量，但是它们的方向都是相同的。
法向量在几何分析和计算中起着重要的作用，因为它们可以用来确定平面的性质和方程。
求法平面方程的一种常用方法是利用平面上的三个点来确定法向量，然后利用法向量和其中一个点的坐标来建立平面方程。
下面我们将介绍具体的步骤：1. 首先，从已知条件中选取三个点，记为A、B和C，这三个点不在同一条直线上。
这三个点可以是平面上的任意三个点，但是为了方便计算，我们通常选择已知条件中给出的点。
2. 然后，利用这三个点的坐标计算出两个向量：向量AB和向量AC。
向量的计算方法是将终点的坐标减去起点的坐标。
3. 接下来，求出向量AB和向量AC的叉乘，得到一个新的向量，记为向量n。
向量n即为平面的法向量。
4. 最后，选取三个点中的一个点，记为点P，利用向量n和点P的坐标，建立平面的方程。
平面的方程一般有两种形式：一般式和点法式。
其中一般式的形式为Ax + By + Cz + D = 0，点法式的形式为A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0。
这两种形式可以根据实际问题的需要选择使用。
三、实例分析为了更好地理解和应用求法平面方程的方法，我们来看一个实际的例子。
已知平面上有三个点A(1, 2, 3)、B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)，求平面的方程。
我们计算向量AB和向量AC：向量AB = (2-1, 3-2, 4-3) = (1, 1, 1)向量AC = (3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)然后，我们求向量AB和向量AC的叉乘：向量n = 向量AB × 向量AC = (1, 1, 1) × (2, 2, 2) = (0, 0, 0)得到的向量n为(0, 0, 0)，这是一个零向量。
空间平面的方程空间平面是三维几何中的一个重要概念，它是由三个非共线的点所决定的，也可以用方程的形式描述。
本文将介绍空间平面的方程及其应用。
一、空间平面的方程可以用不同的形式表示，常见的有点法向式方程和一般式方程。
1. 点法向式方程对于一个平面，我们可以通过给定平面上的一点和平面的法向量来确定该平面。
设平面上的一点为P(x1, y1, z1)，平面的法向量为n(A, B, C)。
则平面的点法向式方程可以表示为：A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0其中，平面上的任意一点Q(x, y, z)满足该方程。
2. 一般式方程一般式方程是空间平面的另一种常见表示形式。
设平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数，并且A^2 + B^2 + C^2 ≠ 0。
如果给定一个平面上的点P(x1, y1, z1)和平面的法向量n(A, B, C)，我们可以通过点法向式方程求得平面的一般式方程，化简后的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A = AB = BC = CD = -A*x1 - B*y1 - C*z1二、空间平面方程的应用1. 平面的位置关系通过空间平面的方程，我们可以判断两个平面之间的位置关系。
设平面P1的法向量为n1(A1, B1, C1)，平面P2的法向量为n2(A2, B2,C2)。
两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行，即n1与n2成比例。
而两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直，即n1·n2=0。
2. 直线与平面的交点给定一个平面和一条直线，我们可以通过求解平面方程和直线方程的联立方程组来求得它们的交点。
设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线的方程为l: (x - x1)/m = (y - y1)/n = (z - z1)/p。
将直线方程中的x、y、z代入平面方程，得到联立方程组：A(x1 + mt) + B(y1 + nt) + C(z1 + pt) + D = 0其中，t为参数。
空间几何的平面方程在空间几何中，平面是一个重要的概念，平面方程是描述平面性质和性质的基本工具之一。
本文将介绍空间几何中平面方程的相关概念和求解方法。
一、平面方程的定义和性质平面方程是用一定的数学表达式来描述平面的方程。
在三维笛卡尔坐标系中，平面方程一般可以写成 Ax + By + Cz + D = 0 的形式，其中A、B、C和D是常数，x、y和z是变量。
根据点法式方程，平面方程还可以写成 A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 的形式，其中(x0, y0, z0)是平面上的一个已知点，(x, y, z)是平面上的任意一点。
平面方程还有其他等价形式，如一般式方程、截距式方程等，它们在不同的应用中具有不同的优势和方便之处。
二、平面方程的求解方法1. 已知法：如果已知平面上的三个不共线的点A、B和C，可以通过求解经过这三个点的平面方程来确定平面方程。
根据点法式方程，可设平面方程为 A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，并通过已知的点坐标代入，得到方程组，再求解出A、B和C的值。
2. 通过法向量法：如果已知平面上的一个已知点P和平面的法向量n，可以通过法向量的知识求解平面方程。
由于平面的法向量与平面上任意两个向量的叉乘垂直，所以可以根据已知点的坐标和法向量的坐标，推导出平面方程。
三、平面方程的应用平面方程在空间几何中有广泛的应用，下面只列举一些常见的应用场景。
1. 判断点和平面的位置关系：给定一个点P和一个平面的方程，可以通过将点的坐标代入平面方程，判断点与平面的位置关系，如点在平面上、点在平面下或点在平面上方等。
2. 求直线与平面的交点：给定一个平面方程和一个直线的方程，可以通过联立平面方程和直线方程，求解出直线与平面的交点坐标。
3. 平面的投影问题：给定一个平面和一个点P，可以通过将点P与平面上的一点Q相连，求解出点Q的坐标，从而得到点P在平面上的投影坐标。
空间平面方程的求法摘 要：空间平面是空间解析几何中最简单而又最基本的图形之一，所以确定它的方程有着重要意义。
研究各种求解方程的方法，不难发现，用代数的方法能够定量地建立平面的各种形式的方程。
关键词：空间平面 平面方程 方程的求解空间解析几何主要是研究三维空间中的平面，学习空间平面首先要明确他们的方程，我们在求解的过程中，了解方程的特点熟悉常用的确定平面的方法。
在这些方法中我们重点运用代数的方法定量的研究空间最简单而又最基本的图形，即空间平面。
在学习这种方法时，有时矢量代数的知识掌握运用得不好，再加上缺乏空间想象力，搞不清所求平面与已知条件，容易为求解方程带来困难。
为解决这个困难我们要深入的探讨空间平面的求解方法。
如何根据已知条件写出平面方程呢？对这类问题的求解是否有规律可循？虽然在求这类问题时题目中会给出很多不同的已知条件，只要我们采用相应的解题方法，就会求出不同的关于平面方程的正确形式。
求解方程没有什么普遍的万能的方法，所以必须全面掌握这部分的知识，再通过大量的练习来逐步的巩固。
在此，我通过一些实例探讨求这类方程的方法。
1、 用参数方程题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。
①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2}②坐标式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=221102211022110Zt Z t z z Y t Y t y y X t X t x x例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v解：所求的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧vu z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v =平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式：,,,v z u y v A C u A B A D x ==---=所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0,{A C-,从而知},,{Z Y X v = 与已知平面共面的充要条件为v与}0,1,{A B -，}1,0,{A C-共面，或 01001=--AC A BZYX ,即0=++CZ BY AX . 如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为},,{C B A n =,所以v平行于平面的充要条件为0=⋅v n，即0=++CZ BY AX .2、 用点位式方程题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。
222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 3、用三点式方程题目的条件是平面上的三个已知点。
131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------=0 例3、已知三角形顶点为),2,2,2(),1,1,2(),0,7,0(C B A --求平行于三角形ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：由已知，得02921627=+z y x， 所以三角形ABC 所在的平面方程为014623=-+-z y x . 设与这个平面相距2个单位的平面方程为0=+++D Cz By Ax 由于，71=λ所以.28,021-==D D 因此所求的平面方程为，0623=+-z y x 028623=-+-z y x 4、用一般式方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不全为零，D =-（Ax 0+By 0+Cz 0））注:在笛卡尔坐标系下，每个平面是含有z y x ,,的三元一次方程。
反之，该三元一次方程表示一个平面，且系数C B A ,,组成平面的法向量，即→n ={C B A ,,}①平面过原点的充要条件是0=D ②平面过z 轴的充要条件是0,0==D C 平面过x 轴的充要条件是0,0==D A 平面过y 轴的充要条件是0,0==D B ③平面平行于z 轴的充要条件是0,0≠=D C .平面平行于x 轴的充要条件是0,0≠=D A .平面平行于y 轴的充要条件是0,0≠=D B例4、求通过点（2，-1，1）与点（3，-2，1）且平行于z 轴的平面的方程。
解：设所求平面方程为 0=++D By Ax ,由已知条件得⎩⎨⎧=+-=+-02302D B A D B A由此)1(:1:1::-=D B A ,所以所求的平面方程为01=-+y x .例5、 求通过点（1，1，1）与点（1，0，2）且垂直于平面062=--+z y x 的 平面的方程。
解：设所求平面方程为0=+++D Cz By Ax , 写出这个平面过已知两点且垂直于已知平面的条件0=+++D C B A 02=++D C A 02=-+C B A解之得，D C B A =-=-=,于是所求平面方程为01=+--z y x5、用截距式方程如果在一般式中,,,,D C B A 都不为零，则可改写成 1=++czb y a x （CDc B D b A D a -=-=-=,,）由此可知该平面是过三点).,0,0(),0,,0(),0,0,c b a （ 平面在x 轴，y 轴，及z 轴上的截距为.,,c b a例6、设平面在空间直角坐标系的第一挂限的部分与三个坐标平面所构成四面体的体积为1，并且在三个坐标轴上的截距之比是1:2:3::=c b a ,截距之和为6，求该平面的方程。
解：设所求平面方程为1=++czb y a x ， 依题意，c b a ,,应满足 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=1:2:3::61)61c b a c b a abc （,,2,3t c t b t a ===令代入上式，解得t=1，故所求平面的方程为1123=++zy x 例7、求三个平面与坐标平面重合，而与原点相对的顶点在平面01823=--+z y x 上的立方体的棱长.解：所给的平面可化为截距式方程为09186=-++zy x ，所以截距分别为9,18,6-， 因此，立方体在这个平面上的顶点可设为),0(),,,(>-a a a a 得3=a .所以原点与点），，（333-连线所形成的立方体的体对角线长度为27，因此所求的立方体的棱长为3.例8、求通过点)2,3,4(A 且在各坐标轴上截取等长线段的平面的方程.分析：所给的条件是在各坐标轴上截取的线段的长度相等，所以求解过程中应该注意截距有正负多种情况.解：当平面在z y ,,x 轴上的截距都为正时 可设平面方程为 ,123a 4=++aa 得9=a 所以平面方程为09=-++z y x当平面在y x ,轴上的截距为正，在z 轴上的截距为负时， 可设平面方程为,123a 4=-+aa 得5=a 所以平面方程为05=--+z y x当平面在z ,x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负时， 可设平面方程为,123a 4=+-aa 得3=a 所以平面方程为03=-+-z y x当平面在z y ,轴上的截距为正，在x 轴上的截距为负时， 可设平面方程为,123a 4=++-aa 得1=a 所以平面方程为01=+--z y x6、用法式方程 ①坐标式法式方程0cos cos cos =-++p z y x γβα， （p 为原点到该平面的距离）例9、把平面π的方程014623=++-z y x 化为法式方程，求自原点指向平面π 的单位法矢量及其方向余弦。
解：因为14,6,2,3==-==D C B A >0.A 2所以取法式化因子711222-=++-=C B A λ,将已知的一般方程乘上λ= 71-，即得法式方程： 02767273=--+-z y x . 原点指向平面π的单位法矢量为→ n0 ={ 767273--，，}, 它的方向余弦为76cos ,72cos ,73cos -==-=γβα.②点法式方程0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A注i ：在该方程中若没有常数项则平面经过原点。
如果缺少一个有坐标的项，则平面与相应坐标轴平行；如果同时缺少常数项和一个有坐标的项，则平面 经过相应坐标轴。
如果缺少两个有坐标的项，则平面与所缺项对应的两个 轴的坐标平面平行。
若果缺少两个坐标项及常数项，则平面与其中一个坐 标平面重合。
最后如果所有的坐标项都没有，而常数项异于0，则方程没 有意义。
根据以上的六项注意，可以根据题目中给出的平面的特点设方程， 使问题简化或者去验证所求出的方程是否符合条件。
注ii ：在空间直角坐标系中利用点法式是确定平面方程的基本方法。
所以如果确定了平 面上的一点及其法矢量，就能人能够确定平面方程，因此问题的关键在于找出平面上的一点以及平面的法矢量。
在下列例题中就是根据不同的已知条件求平面方程。
已知条件一：过一直线与一平面垂直，确定方程。
（过两点与一平面垂直，确定方程。
对于这种情形只要将一直两点连接起来得一直线问题就转化为上述情形。
）例10、求经过直线312211+=-=-z y x ，且垂直于平面032=+-+z y x 。
分析：因为平面经过直线，则一定经过直线上的点（1，2，-1）。
而且平面的法矢量与直线的方向矢量垂直，又因为所求平面垂直于已知平面，所以两平面的法矢量也垂直，于是所求平面的法矢量n 可以由已知平面的法矢量1n 与已知直线的方向适量v的叉积来确定。
解：取n =}3,7,5{1-=⨯v n，所求平面方程为0)132(7)1(5=++---z y x （）已知条件二：过一点且垂直于二平面，确定方程。
（过一点且与而直线平行，确定方程。
对于这种情形所求平面的法矢量垂直于已知二直线的方向矢量，求解过程类比上述情形。
）例11、做平面通过原点，且垂直于两平面07=-+-z y x 和051223=+-+z y x 。
分析：所求平面垂直于已知的二平面，则所求平面的法矢量一定垂直于已知二平面的法矢量，所以所求平面的法矢量n等于已知二平面的法矢量的叉积。
解：n =}5,15,10{21=⨯n n由点法式，所求方程：032=++z y x已知条件三：过一直线与另一轴或者直线平行，确定方程。
（过两点与一轴或者直线平行，确定方程，同样的将该情形中已知两点连接成一条直线就变成上述情形。
）例12、求通过直线231221:1-=-+=-z y x L ，且平行于直线31221:2z y x L =-=--的平面方程。
