2020年广西省高考数学(文科)模拟试卷(4)
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2020年广西省高考数学（文科）模拟试卷（4）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y=√𝑥−1}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．[﹣2，1） B．[1，3] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1）
2．（5分）若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ）
A．310 B．15 C．320 D．110
4．（5分）已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
则y与x的线性回归方程为𝑦^=0.95𝑥+𝑎，则a的值为（ ）
A．0.325 B．0 C．2.2 D．2.6
5．（5分）若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻两条对称轴间的距离为𝜋2，且在x=𝜋6取得最大值，则𝑓(𝜋4)=（ ）
A．√2 B．1 C．2 D．√3
6．（5分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a7＝8a4，S4＝45，则a1＝（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
7．（5分）设x，y满足不等式组{𝑥+𝑦≤2．𝑦≤𝑥+𝑎．𝑦≥0．且𝑦𝑥+4的最大值为12，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥𝑥在𝑥=𝜋3处的切线斜率为（ ）
A．92𝜋2+3√32𝜋 B．92𝜋2−3√32𝜋
C．−92𝜋2+3√32𝜋 D．−92𝜋2−3√32𝜋
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9．（5分）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，若△ABC为等边三角形，且𝐵𝐵1=√3𝐴𝐵，则AB1与C1B所成角的余弦值为（ ）
A．38 B．14 C．√34 D．58
10．（5分）明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n的结果为（ ）
A．53 B．54 C．158 D．263
11．（5分）已知函数f（x）=1𝑥−x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5﹣0.5，则（ ）
A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（b）＜f（c）＜f（a） D．f（a）＜f（b）＜f（c）
12．（5分）已知直线y＝a与双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，若|𝑃𝐴2|=√52|𝐴1𝐴2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．√2 B．√103 C．2 或√103 D．√103或√2
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知𝑎→=(1，4)，𝑏→=(−2，𝑘)，且(𝑎→+2𝑏→)∥(2𝑎→−𝑏→)，则实数k＝ ．
14．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝ ．
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15．（5分）过点M（﹣1，0）的直线，与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，点N满足：𝑁𝐴→=5𝐴𝐹→，则△ABF与△AMN的面积之和的最小值是 ．
16．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，已知AD⊥平面ABC，且△ABC为正三角形，𝐴𝐷=𝐴𝐵=√3，点O为三棱锥D﹣ABC的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为 ．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
17．（12分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估算P的平均值𝑃；
（2）若该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，从这4户中随机抽取2户，求这2户P值的和超过100元的概率．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA+2bcosB＝0．
（1）求B；
（2）设D为AC上的点，BD平分∠ABC，且AB＝3BD＝3，求sinC．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为√33，且直线AC与PB垂直．
（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．
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20．（12分）已知函数f（x）＝ln（2x+a）（x＞0，a＞0），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为𝑙𝑛3−23．
（1）求a；
（2）讨论函数g（x）＝f（x）﹣2x（x＞0）和ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥2𝑥+1（x＞0）的单调性；
（3）设𝑎1=25，an+1＝f（an），求证：5−2𝑛+12𝑛＜1𝑎𝑛−2＜0（n≥2）．
21．（12分）已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为（1，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当𝑘1𝑘2=−34时，△MON的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．
四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
22．（10分）已知曲线C的参数方程为{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）P，Q是曲线C上两点，若OP⊥OQ，求|𝑂𝑃|2⋅|𝑂𝑄|2|𝑂𝑃|2+|𝑂𝑄|2的值．
五．解答题（共1小题）
23．已知不等式|x+9|﹣|3x﹣4|+2＞0的解集为{x|−7𝑎16＜x＜𝑏2}．
（1）若正数p，q满足1𝑎𝑞+1𝑏𝑝=1，求𝑝𝑎+𝑞𝑏的最小值；
（2）若a|x|+|ax+c|≥23b恒成立，求c的取值范围．
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2020年广西省高考数学（文科）模拟试卷（4）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y=√𝑥−1}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．[﹣2，1） B．[1，3] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1）
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，
∴∁RB＝{x|x＜1}，A∩（∁RB）＝（﹣2，1）．
故选：D．
2．（5分）若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，
∴a＝1+b且2＝b﹣1；
所以：a＝4，b＝3；
∴复数a﹣bi在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．
故选：D．
3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ）
A．310 B．15 C．320 D．110
【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，
基本事件总数n=𝐶52=10，
这两个数的积为奇数包含的基本事件个数m=𝐶32=3．
∴这两个数的积为奇数的概率是p=𝑚𝑛=310．
故选：A．
4．（5分）已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
则y与x的线性回归方程为𝑦^=0.95𝑥+𝑎，则a的值为（ ）
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A．0.325 B．0 C．2.2 D．2.6
【解答】解：计算𝑥=14×（0+1+3+4）＝2，
𝑦=14×（2.2+4.3+4.8+6.7）＝4.5，
代入y与x的线性回归方程𝑦^=0.95𝑥+𝑎中，
解得a＝4.5﹣0.95×2＝2.6．
故选：D．
5．（5分）若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻两条对称轴间的距离为𝜋2，且在x=𝜋6取得最大值，则𝑓(𝜋4)=（ ）
A．√2 B．1 C．2 D．√3
【解答】解：因为相邻两条对称轴的距离为𝜋2，所以2𝜋𝜔=𝜋，∴ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），
因为函数图象经过点(𝜋6，2)，所以𝑠𝑖𝑛(𝜋3+𝜑)=1，∴𝜋3+𝜑=𝜋2+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
∵0＜φ＜π，∴𝜑=𝜋6，所以𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)，
所以𝑓(𝜋4)=2𝑠𝑖𝑛(𝜋2+𝜋6)=√3．
故选：D．
6．（5分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a7＝8a4，S4＝45，则a1＝（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
又由a7＝8a4，则𝑎7𝑎4=𝑞3=8，解可得q＝2，
又由S4＝45，则𝑆4=𝑎1(1−24)1−2=45，
解得a1＝﹣3．
故选：A．
7．（5分）设x，y满足不等式组{𝑥+𝑦≤2．𝑦≤𝑥+𝑎．𝑦≥0．且𝑦𝑥+4的最大值为12，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
