高考数学复习点拨 应用基本不等式解应用题

基本不等式及其应用主标题：基本不等式及其应用 副标题：为学生详细的分析基木不等式及其应用问题的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：不等式，基本不等式及其应用，知识总结 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 1. 了解基木不等式的证明过程；2. 会用基本不等式解决简单的最大'（小）值问题.命题方向：1•对基木不等式的考查，主要是利用不等式求最值，H 常与函数、数列、解析几何等知识结 合在一起进行考查；2.本考点主要以选择题或填空题的形式进行考査，有时也以简答题的形式考查利用基木不等 式解决最值问题.规律总结：两种方法：（1） 合理拆分项或配凑因式是常卅的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值, 必要吋需出现积为定值或和为定值.（2） 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并H 要注意取等号的 条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基木不等式处理问题时，列出等号成立的条件不 仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.两个误区：（1）在利用基本不等式求最值（值域）时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和 等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因.如函数y =l + 2x+-（x 〈0）有最大值1X一2&而不是有最小值1+2托.（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并仇要注意取等号 条件的一致性，否则就会出错.知识点总结：一、基本不等式二、常川的儿个重要不等式 a + b (1)a 2+b 2^2ab(a, bGR) (2)abW(~"—)J (a, bWR)-- 一 2上述四个不等式等号成立的条件都是a=b.三、算术平均数与几何平均数⑶呼全（学）込beR ）h r\⑷古泛（a, b 同号且不为零）设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为竽，儿何平均数为肩，基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.四个“平.均数”的人小关系；方寸+：当且仅当曰=方时取等号. tt+b 2四、利用基本不等式求最值：设x, y都是正数.(1)如果积x.y是定值P,那么当x= y时和x + y有授小值2护.(2)如果和x + y是定值S,那么当x = y时积xy有最大值强调：在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等” •当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必•须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最人值，它们的和应为定值。

【高考地位】基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。

应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。

【方法点评】方法一 凑项法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步 根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件； 第二步 使用基本不等式对其进行求解即可；第三步 得出结论.例1 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

【答案】max 1y =. 【解析】点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

【变式演练1】当时，求(82)y x x =-的最大值。

【答案】8. 【解析】 试题分析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

【变式演练2】求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

【答案】8. 【解析】方法二 分离法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.例2 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

【答案】详见解析. 【解析】试题分析：当,即时,59y ≥+=（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

3.4.3利用基本不等式解决实际问题授课类型：专题课一、课前复习（温故知新）1、什么是重要不等式？它的的变形形式有哪些？2．什么是基本不等式？它的的变形形式有哪些？应用基本不等式求最值时，需要注意什么条件？3、什么是均值不等式？利用均值不等式求最值时，需要注意什么条件？二、专题演练（探究引领）1.用篱笆围一个面积为100 m2矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【总结规律】应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)阅读题目，理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，列出所求变量的函数解析式；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答．三、笔记作业（巩固延伸）1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3,深为3 m,如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？2、（选做） 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．3、（选做）有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d ＝kv 2l ＋12l(k 为正常数)，假定车身长都为4 m ，当车速为60 km/h 时，车距为2.66个车身长．(1)写出车距d 关于车速v 的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？【总结规律】(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．。

巧解含参不等式一、 主元法解恒成立问题例1 对于[]22m ∈-，，不等式2210mx x m --+<恒成立，求实数x 的取值范围． 分析：若以x 为主元，问题复杂且难以解决，若变换思维角度，以m 为主元x 为参数，则原不等式可化为：2(1)210m x x --+<，且2()(1)21f m m x x =--+为关于m 的一次函数，它的图象是一条直线，运用数形结合思想，我们只需使(2)0(2)0f f <⎧⎨-<⎩即可， 所以由222(1)2102(1)210x x x x ⎧---+<⎪⎨--+<⎪⎩，，解得1122x -<<， 故实数x的取值范围为1122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，． 二、 分离参数求最值这类问题经常用到这样的结论：若函数()f x 存在最小值，则()a f x ≤恒成立mi n ()a f x ⇔≤；若()f x 存在最大值，则()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥．例2 已知22()x x a f x x++=，对任意[)1x ∈+，∞，()0f x ≥恒成立，求实数a 的范围． 解：由[)1x ∈+，∞，22()0x x a f x x++=≥恒成立得220x x a ++≥，恒成立． 即当1x ≥时，2(2)()a x x g x -+=≥恒成立．而22()(2)(1)1g x x x x =-+=-++在[)1+，∞上单调递减， max ()(1)3g x g ∴==-，故3a -≥．三、 数形结合求参数例3 是否存在实数k ，使得关于x的不等式40kx x-≤在0x >时恒成立．若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：由原题易知存在3k =使不等式恒成立，那么如何探求其范围呢？将不等式变形即为：40)kx x x-->≤，可设14()f x x=-，2()f x kx =-故2()f x 中参数k 的几何意义是直线y kx =-的斜率．由图象知当直线y kx =-与曲线4y x =-相切时，关于x 的方程4kx x-=-惟一大于0的解，将方程整理成关于x 的一元二次方程后，由0∆=求得3k =．又直线过定点(0-，故要使12()()(0)f x f x x >≤恒成立，只需3k ≥即可． 综上，存在实数[)3k ∈+，∞使不等式恒成立．。

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。

专题58 多次使用基本不等式【方法点拨】多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.这是可多次使用基本不等式的先决条件，其目的是保证等号能同时成立.【典型题示例】例1 若0 , 0a b >>，则21a b a b ++的最小值为_______．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【解析】0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥=+≥= 当且仅当21a a b =且2b b =，即a b == 所以21a b a b++的最小值为例2 已知且，则的最小值是_________. 【答案】24【解析】由于，故考虑先求出的最小值， . 点评：（1）“多元问题一般应减元”，这是解决多元问题的基本思路.本题中，虽然已知中含有三个变量，但其地位是不同的，这里有约束条件，而变量c 除了“2c >”外，没有其它的任何约束条件，系“单身狗”，故应将其分为一组------------其目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而两次使用基本不等式的条件没有关联；（2）在求的最小值时，观察式子的结构特征，使用了“1”的代换，其目的仍0,0,2,a b c >>>1a b +=362ac c b ab c ++-36316()22ac c a c b ab c b ab c ++=++--31a b ab+2313()342226a a a b a a b a b b ab b ab b b a b a ++=+=+++=++≥=3666666(2)122)12242222ac c c c b ab c c c c ++≥+=-++≥+=----1a b +=31a b ab+在于“化齐次”.例3 设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++- 的最小值为 .【答案】【分析】所求22221x s ys xy st t ++-变形为2221x y s xy st t ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭.三次使用基本不等式，第一次，在条件41(0,0)x y x y +=>>下，求2x y xy+最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件0s t >>下，求2st t -最小值，为达到消t 的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式()()222+==24t s t s st t t s t -⎡⎤--≤⎢⎥⎣⎦；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得.【解析】由题x +4y =1(x ＞0，y ＞0)，x 2+y xy =x 2+(x +4y )y xy =x y +1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13，y =16时，“=”成立． 因为0＜t ＜s ，则1ts －t 2=4s 2－(s －2t )2≥4s 2，当且仅当s =2t 时，“=”成立． 于是x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2≥5s 2+4s 2≥45， 当且仅当x =13，y =16，s =255，t =55时，“=”成立． 所以x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2的最小值为45． 例4 已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，那么ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________． 【答案】10＋5【分析】a 、b 间有制约条件“a ＋b ＝2”，“c ”为独立变量，故将所求变形为ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2，先求出a b ＋1ab的最小值即可. 【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2. 又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立，所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5. 点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.【巩固训练】1.已知x ＞0，y ＞0，则16y x x xy ++的最小值为 ． 2.已知0a b >>，则264()a b a b +-的最小值为 ．3.已知0x >，0y >，0z >，且6x z ++=，则323x y z ++的最小值为 ．4.设正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 5.已知正数,a b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为 ．6. 若0x y >>323xy y +-的最小值为 ． 7.已知正数a ,b 满足ab a+2b ≥1，则(a +1)2+(b +2)2的最小值是 ．【答案或提示】1.【答案】【解析】所求变形为16116=()y x x y x xy x y++++∵y ＞0 ∴168y y +≥=，当且仅当4y =时，等号成立， ∵x ＞0，168y y +≥∴168y x x x xy x ++≥+≥=x =∴16y x x xy ++的最小值为，当且仅当x =，4y =成立． 2.【答案】32【解析】∵22()()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时，等号成立，∴222646432()4a a ab a b +≥+≥=-，当且仅当4a =时，等号成立， ∴264()a b a b +-的最小值为32，当且仅当4a =，2b =成立． 3. 【答案】374【解析】先减元323x y z ++＝323(6)x y x ++-＝32453(4x x y -++ 令3()3f x x x =-，245()(4g y y =+， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，0x >，()f x 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，所以，min ()f x ＝f （1）＝－2当y时，()g y 有最小值：min 45()4g y = 所以323x y z ++的最小值为－2＋454＝374. 4.1．【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，化为11x y x y xy y x +-==+， 为求x 的最小值，将含“x ”项用“y ”的函数表示得：11x y x y x xy y +-==+∵1y y +≥（当且仅当1y =，“=”成立） ∴12x x -≥，解得21x +．∴实数x1．5.【答案】2【解析】将已知条件2(2)4a b a b +=视为关于b 的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元. 由2(2)4a b a b +=解得=b a -+∴=2a b a +=，当且仅当a =.6. 【答案】10【提示】4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x ≥+，再利用导数知识解决. 7.【答案】22+12√2【解析】由平方均值不等式得√(a+1)2+(b+2)22≥(a+1)+(b+2)2，当且仅当a =b +1时，“=”成立由ab a+2b ≥1变形得2a +1b ≤1所以a +b ≥(a +b )(2a +1b )=3+(2b a +a b )≥3+2√2 ，当且仅当a =√2b ，即 a =2+√2 ，b =1+√2时，“=”成立 将a =2+√2 ，b =1+√2代入得(a +1)2+(b +2)2=22+12√2. 所以(a +1)2+(b +2)2的最小值是22+12√2．。