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了解每年最大洪水超警戒线可能性大 小，合理确定堤坝高度.
频率的定义
频率：设在 n 次重复试验中,事件 A 出现了 nA 次 ,
则称 nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频数,比值
nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率, 记为 f n A , n
即
nA f n A . n
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：
A B C A2 : “恰有一人命中目标” ABC ABC ABC : A3 : “ห้องสมุดไป่ตู้有两人命中目标” ABC ABC ABC : A4 : “最多有一人命中目标” : BC AC AB
则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，故 样本空间
t : t 0
随机事件(random event)
实验E的样本空间的子集称为E的随机事件。
随机事件简称事件，常用A,B,C等表示。
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个 样本点出现时，称这一事件发生。
是黑球”，C表示“取出的球颜色相同”，则
C=A B
例2
甲乙两人向同一目标射击，令A表示“甲
命中目标”，B表示“乙命中目标”，C表示“
目标被命中”，则 C=A B
3.积(intersection)事件:
A与B同时发生，
记作 AB＝AB
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记 作 A1A2…An
随机试验(random experiment)
一个实验如果满足下列条件 1.实验可以在相同条件下重复进行； 2. 实验的所有可能结果是明确可知道的，并且 不止一个； 3.每次实验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但在一次试验之前无法确定具体是哪一个结果 出现。
就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也 简称为试验。 常用字母E表示。
概率论与数理统计
教师: 陈 敏
教材：《概率论与数理统计》 同济大学出版社
序
言
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
第一章 随机事件与概率
• 随机事件及其运算 • 事件的概率及其性质 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与贝叶斯公式 • 事件的独立性与伯努利概型
3.有限可加性 若A1, A2,, An是两两互不相容事件, 则
P ( A1 A2 An ) P ( A1) P ( A2 ) P ( An ) 4.减法公式 设A,B为两个随机事件，则
P A-B =P AB =P A -P AB
特别地， A B时，P A B P A P B 当
例2
求P AB .
例3 设A,B互不相容， P A =0.5, P B =0.3,
求P AB .
1 例1 设 A、B 为两个随机事件 , 且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2 1 1 A 与 B 互斥 ; 2 A B ; 3 P AB . 9
A1 : “至少有一人命中目标” : A5 : “三人均命中目标” :
ABC
A6 : “三人均未命中目标” B C : A
1.2 事件的概率及其性质
1. 理解事件频率的概念，了解概率的定义； 2. 熟练掌握概率的性质； 3. 掌握古典概型的计算。
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪 些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大 小，也就是事件的概率.
由概率的公理化定义可 推得概率的下列性质.
P 1 0 P A 1 ， 0 .
2 加法公式 . P( A B) P( A) P( B) P( AB) .
特别地，当A与B互不相容时，
P A B =P A +P B
推广 P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点， 用字母 表示。 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的 样本空间，用字母 表示。
幻灯片 6
例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、 反面T出现的情况: 则样本空间
= H,H , H,T , T,H , T,T
并且 P A P B .
5.互补性 ： P( A) 1 P( A) ;
例1
设A,B为两个随机事件，P A =0.5, P A B =0.8 设A,B为两个随机事件，P A =0.8, P AB =0.5
P AB =0.3, 求P B .
随机实验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出 正面和反面; E2:掷一颗骰子，可能出现的点数； E3:记录110报警台一天接到的报警次数； E4:在一批灯泡中任取一只，测其寿命； E5: 记录某物理量(长度、直径)的测量误差； E6:在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
样本空间(sample space)
AB AC BC
ABC ABC ABC
“A,B,C中有不多于一个事件发生”
ABC ABC ABC ABC
事件的运算
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
了解事件发生的可能性即概率的大小，对 人们的生活有什么意义呢？
我先给大家举几个例子，也希望你们再 补充几个例子.
例如，了解发生意外人身事故的可能性 大小,确定保险金额.
了解来商场购物的顾客人数的各种可能 性大小，合理配置服务人员.
频率所具有的三个性质
1. 非负有界性：即 0 f n A 1 2. 规范性：即若 是必然事件，则 f n 1, f n 0 3. 可加性：即若A,B互不相容，则
f n A B =f n A +f n B
实践证明：当试验次数n增大时， f n A 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，
注意： 1 若A与B为对立事件，则A与B互不相容，但反过来
不一定成立。 2 互斥事件和对立事件都是A发生B就不发生。 3 对立事件就只有A,B两事件，A不发生B就一定发生， 非此即彼。 4 互斥事件可以有多个事件，如A.B.C.D„,A不 发生B不一定发生，同一时间只有一个发生。
例2 在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示数学书，B表示 “中文图书”，C表示“平装书”.(1)说明事件ABC 的实际意义；(2)若 C
概率论
集合论
事件A发生导致事件B发生
“事件A与B至少有一个发生”
AB
A B 或AB
A-B
AB
“事件A与B同时发生”
“事件A发生而B不发生”
事件A与B互不相容
AB=
例1
设A,B,C,是 中的随机事件，则
事件“A与B发生，C不发生”
ABC
“A,B,C中至少有两个发生”
“A,B,C中恰发生两个”
概率的定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , 是它的
样本空间 , 对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA ,
称之为事件 A 的概率 , 如果它满足下列三个条件 : 1 P A 0 ; 非负性
2 P 1 ; 规范性 3 对于两两互斥事件 A1 , A2 ,, 有 P A1 A2 P A1 P A2 可列可加性
第2次 H T H T 在每次试验中必有一 个样本点出现且仅有一个 样本点出现 .
第1次 (H,H): (H,T)： (T,H): (T,T)： H H T T
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间 0,1, 2 由以上两个例子可见样本空间的元素是有试 验的目的所确定的。 如果试验是测试某灯泡的寿命：
4.差事件(p5) ： A－B称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生
A B AB A AB
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件(mutually exclusive event)： 事件A与事件B不可能同时发生，即AB＝ ,简
称A与B互不相容。
6. 对立事件(opposite event):若事件A与事件B 在一次实验中必有且只有其中一个发生，即A,B满 足条件 AB＝ , 且AB＝ 则称事件A与事件B为互逆事件，或称事件A,B互 为对立事件，事件A的对立事件记为 A
解
1由于 A、B 互斥 , 所以
对任意事件A，都有
A
A与B相等：A=B A B且B A
2.和(union)事件： “事件A与事件B至少有一个发
生，记作AB
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生， 记作 n
i 1
Ai
例1
袋中有5个白球和3个黑球，从中任取3个球。
令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全
1.1随机事件及其概率
一、随机事件
