3.4随机变量的独立性

学士学位论文系别: 应用数学系学科专业: 数学与应用数学姓名: 段晓康学号: 2012064139运城学院二零一四年五月随机变量独立性的探讨系别：应用数学系学科专业：数学与应用数学姓名：段晓康指导教师：冯变英运城学院二零一四年五月随机变量独立性的探讨摘要随机变量的独立性是概率论与数理统计中最基本的概念之一，它在实际应用中十分广泛，所以，关于随机变量独立性的判断成为概率论一个重要的研究课题，不少文献对随机变量独立性的问题进行了研究.本文首先介绍了随机变量独立性的定义，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法，同时得出了一些相关的推论，并对其运用进行了举例说明. 最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.关键词独立性离散型随机变量连续型随机变量数学期望方差Discussion on the Independenceof Random VariablesAbstract Independence of random variables is one of the most basic concepts of probability theory and mathematical statistics, in its practical application is very extensive, so, about the independence of random variables in probability judgment has become an important research topic, a lot of literature on the independence of random variables in the study. This paper first introduces the definition independence of random variables, and the independence of the discrete random variables and continuous random variables are presented for the two discriminant method, and draw some relevant inferences, and its application is illustrated. Finally the article for the integration of some applications of the independence of random variables and random variables in the number of features in.Keywords independence discrete random variables continuous random variablesmathematical expectation variance目录引言 (1)第1章随机变量独立性的定义 (1)1.1 随机事件独立性的定义 (1)1.2 随机变量独立性的定义 (3)第2章随机变量独立性的判定 (4)2.1离散型随机变量独立性的判定 (4)2.2连续性随机变量独立性的判定 (7)第3章独立随机变量的性质 (10)3.1数学期望性质 (10)3.2方差性质 (11)3.3协方差性质 (12)3.4相关系数性质 (12)总结 (13)致谢 (13)参考文献 (14)引言概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.对于现有的知识水平，掌握好这个问题，对于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究这个课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助.对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程.事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[1]中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献[2]中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论上还是实践中都有着重要意义.但不幸的是，到目前为止人们还没有找到有关随机变量独立性判定的简便有效的方法.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.第1章 随机变量独立性的定义1.1随机事件独立性的定义独立性是概率中一个重要的概念，利用独立性可以简化概率的计算.下面先讨论两个事件之间的独立性，然后讨论多个事件之间的相互独立性.1.1.1两个事件的独立性两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生.这在实际问题中是很多的，譬如在掷两颗骰子的试验中，记事件A 为“第一颗骰子的点数为1”，记事件B 为“第二颗骰子的点数为4”.则显然A 与B 的发生是相互不影响的.另外，从概率的角度看，事件A 的条件概率()B A P /与无条件概率()A P 的差别在于：事件B 的发生改变了事件A 发生的概率，也即事件B 对事件A 有某种“影响”.如果事件A 与B 的发生是相互不影响的，则有()()A P B A P =/ ()()B P A B P =/,它们都等价于()()()B P A P AB P =另外对()0=B P ,或()0=A P ,上式仍然成立.为此，我们用上式作为两个事件相互独立的定义.定义1.1 对任意两个随机事件A 与B ，如果有()()()B P A P AB P =成立，则称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立.否则称A 与B 不独立或相依.1.1.2多个事件的相互独立性首先研究三个事件的相互独立性，对此我们给出以下的定义1.2 设C B A ,,是三个事件，如果有⎪⎩⎪⎨⎧()()()()()()()()(),,,C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ===则称C B A ,,两两独立.若还有()()()(),C P B P A P ABC P =则称C B A ,,相互独立.由此我们可以定义三个以上事件的相互独立性.定义1.3 设有n 个事件1A ,,,2n A A ⋅⋅⋅，对任意的,1n k j i ≤⋅⋅⋅<<<≤如果以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧()()()()()()()()()()(),,,2121n n k j i K J i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==则称此n 个事件1A ,n A A ,2⋅⋅⋅，相互独立.从上述定义可以看出，n 个相互独立的事件中任意一部分内仍是相互独立的，而且任意一部分与另一部分也是独立的.1.2 随机变量独立性的定义以随机事件的独立性为基础，我们再来定义随机变量的独立性.1.2.1二维随机变量的独立性X 与Y 是两个随机变量，若对任意区间(]11,b a 及(]22,b a ，事件{}11b X a ≤<与事件{}22b Y a ≤<都相互独立，则称随机变量X 与Y 相互独立，简称X 与Y 独立；否则，就成X 与Y 不独立.所以我们给出下面定义：定义1.4 设()Y X , 是二维随机变量，如果对任意的实数y x ,总有()()()y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤,，即()()()y F x F y x F Y X ⋅=,，则称随机变量Y X ,相互独立.1.2.2n 维随机变量的独立性定义 1.5 设n 维随机变量()n X X X ,,,21⋅⋅⋅的联合分布函数为()n x x x F ,,,21⋅⋅⋅=(),,,,2211n n x X x X x X P ≤⋅⋅⋅≤≤ 其边际分布函数为()i i x F =();,,2,1,n i x X P i i ⋅⋅⋅=≤如果对任意n 个实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，有()(),,,,121i ni i n x F x x x F ∏==⋅⋅⋅则称n 个随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立.第2章 随机变量独立性的判定2.1 离散型随机变量独立性的判定2.1.1判别法一用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做出判定，进而判定随机变量的独立性.这是随机变量独立性的本质回归.定理2.1 设()Y X ,为二维离散型随机变量，则X 与Y 相互独立的充要条件是对()Y X ,的所有可能值()j i y x ,，⋅⋅⋅=,3,2,1,j i 都有：()()()j i j i y Y P x X P y Y x X P =====,定理2.2 设()n X X X ,,21⋅⋅⋅，为n 维离散型随机变量，如果对任意n 个取值,,,,21n x x x ⋅⋅⋅有()(),,,,12211∏====⋅⋅⋅==ni i i n n x X P x X x X x X P则称n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立.例2.1 设二维随机变量()Y X ,的联合分布列为问()Y X ,是否独立？解：Y 的分布列：X 的分布列：因为（0.2+0.2）⨯（0.2+0.3）=0.2 （0.2+0.2）⨯（0.2+0.3）=0.2 （0.3+0.3）⨯（0.2+0.3）=0.3 （0.3+0.3）⨯（0.2+0.3）=0.3由定理2.1可知()Y X ,独立.2.1.2判别法二设()Y X ,是二维离散随机变量，其联合概率分布{}ij j i P y y x x P ===,（i ，=j ⋅⋅⋅,2,1）可以用下表表示：表2.1 二维离散随机变量的联合分布概率表且,1,0∑∑=≥ijij ij P P 矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡.................................... (21222)2111211ij i i j j P P P P P P P P P 称为()Y X ,联合概率分布矩阵，其向量记为()⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,,,,21ij i i i P P P a ()⋅⋅⋅=,2,1i .记()Y X ,的联合分列为()Y X ,A ~.引理2.1 设1a 是非零向量，1a 与2a 线性相关，则2a 可由1a 线性表出. 定理2.3 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量（或列向量）线性相关.推论2.1 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的任何两行(或两列)元素对应成比例.推论2.2 若(),~,A Y X 则X 和Y 不相互独立的充要条件是存在两个行向量（或列向量）线性无关.推论2.3 若(),~,A Y X 则X 和Y 不相互独立的充要条件是存在两个行（或两列）对应元素不成比例.推论2.4 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论2.5 若(),~,A Y X 则X 和Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1.推论2.6 若()A Y X ~,中有某个,0=ij P 但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零，则X 与Y 不相互独立.例2.2 设随机变量()Y X ,的概率分布为判断X 与Y 是否相互独立？解：因为,1∑∑=ijij P 即188=+a 所以0=a .由推论2.6可知，X 与Y 不相互独立.2.2 连续型随机变量独立性的判定2.2.1判别法一定理2.4 设随机变量()Y X ,的联合分布函数为()y x F ,，其边际分布函数分别为()(),,y F x F Y X 则X 与Y 相互独立的充要条件是对任意实数y x ,都有：()()().,y F x F y x F Y X =该定理把随机变量的概率关系转化为函数关系，而函数关系的判别一般来说会容易些.2.2.2判别法二对于连续型随机变量X 与Y 的独立性，一些概率教科书给出了如下结果：设()Y X ,是二维连续型随机变量，则X 与Y 独立的充分必要条件是联合密度函数等于两个边际密度函数的乘积，即()()().,y f x f y x f Y X =事实上，上面的随机变量Y X ,相互独立的充要条件是非必要的，更准确地说，二维连续型随机变量Y X ,相互独立的充要条件是：几乎处处有联合密度函数等于两个边际密度函数的乘积.有了这样的认识，当我们在考试或练习中遇到两个随机变量不独立的证明问题就要慎重了。

概率论与数理统计习题集及答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为：.(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为：.(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为：.(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为：.(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为：.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为：.2. 设}42:{},31:{},50:{≤（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

摘要随机变量的独立性是概率论中最基本的概念之一,通过对它的研究可使许多实际问题的具体计算得到简化.本文首先介绍了随机变量独立性的定义.然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法,同时得出了一些相关的推论,并对其应用进行了举例说明.最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.关键词:离散型随机变量;连续型随机变量;独立性;数学期望;方差The Research on the Independence of Random Variables 10204631SUN Jing-jing Mathematics and Applied MathematicsTutor LI Jian-liAbstractThe independence of the random variable is the most basic concept of probability. Through the study of it can simplify many specific calculations of the practical problems. Firstly, this paper introduces the definition of the independence of random variables. Secondly, for the independence of discrete random variables and continuous random variables, the article gives two judgmental methods to them, and obtains some inferences; this paper also illustrates some examples for these applications. Finally, this paper composes some applications of the independence of the random variable for the calculation of some random variable numeral characters.Key words: discrete random variable; continuous random variable; independence; mathematical expectation; variance目录1 引言 (1)2 随机变量独立性的定义 (1)3 随机变量独立性的判定 (1)3.1离散型随机变量独立性的判定 (2)3.1.1判别法一 (2)3.1.2判别法二 (4)3.2连续型随机变量独立性的判定 (8)3.2.1判别法一 (8)3.2.2判别法二 (9)4 随机变量独立性与数字特征 (11)4.1随机变量独立性与数学期望 (12)4.2随机变量独立性与方差 (12)4.3随机变量独立性与协方差 (13)4.4随机变量独立性与相关系数 (13)总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)浅谈随机变量的独立性1 引言概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[4]中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献[9]中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.2 随机变量独立性的定义定义]6[ 设ηξ,为两个随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x <ξ与{}y <η相互独立,即()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,, )1(则称ξ与η相互独立.若()y x F ,为ξ与η的联合分布函数,()x F ξ、()y F η分别是ξ与η的边际分布函数,则)1(式等价于()()()y F x F y x F ηξ⋅=,.3 随机变量独立性的判定本节主要根据随机变量独立性的定义,分别对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性讨论其判别方法.3.1 离散型随机变量独立性的判定3.1.1 判别法一定理1 设二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布列为()j i ij y x P p ===ηξ,,()n j m i ,,2,1;,2,1 ==,ξ的边际分布列为()i i x P p ==⋅ξ,()m i ,,2,1 =,η的边际分布列为()j j y P p ==⋅η,()n j ,,2,1 =,则ξ和η相互独立的充要条件是:对所有的取值()j i y x ,有()n j m i p p p j i ij ,,2,1;,,2,1, ==⋅=⋅⋅.证明 充分性若()n j m i p p p j i ij ,,2,1,,,2,1, ==⋅=⋅⋅,则对任意的y x ,,因为()ηξ,是离散型随机变量,所以()()()∑∑≤≤===≤≤=x x yy j i i j y x P y x P y x F ηξηξ,,,∑∑∑∑∑∑≤⋅≤⋅≤≤⋅⋅≤≤⋅=⋅==yy j xx i x x yy j i x x yy ij j i i j i j p p p p p()()()()y P x P y P x P yy i xx i i i ≤≤====∑∑≤≤ηξηξ()()y F x F ηξ⋅=.即ξ和η相互独立.必要性若ξ和η相互独立,不妨设n m y y y y x x x x <<<<<<<< 321321,,则对任意y x ,,有()()()y F x F y x F ηξ⋅=,,即()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,.当11,y y x x ==时,有 ()()()1111,y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ, 即()()()1111,y P x P y x P =⋅====ηξηξ,亦即1111⋅⋅⋅=p p p . )2(当21,y y x x ==时,有()()()2121,y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ()()()()(){}2112111,,y P y P x P y x P y x P =+=⋅====+==ηηξηξηξ()21112111211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+p p p p p p p p p .由)2(式得2112⋅⋅⋅=p p p . 如此下去,最后可得到n n p p p ⋅⋅=11. 一般地有()n j p p p j j ,,2,1,11 =⋅=⋅⋅.同样,若取()n j y y x x j ,,2,1,,2 ===,可得出()n j p p p j j ,,2,1,22 =⋅=⋅⋅. 如此下去,最后得出()n j p p p j m mj ,,2,1, =⋅=⋅⋅. 即有()n j m i p p p j i ij ,,2,1,,,2,1, ==⋅=⋅⋅.综上,定理得证.从定理1可见,对于二维离散型随机变量()ηξ,,等式()()()y F x F y x F ηξ⋅=,,()R y x ∈,成立同等式()j i ij y x P p ===ηξ,成立是等价的.因此可以直接用后者来判定二维离散型随机变量的相互独立.定理1是对二维离散型随机变量()ηξ,取有限个点时对独立性的判定.从定理1的证明可以看出,若()ηξ,取无限多个点,结论也是成立的.因此上述定理可推广为如下定理:定理2 设二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布列为()j i ij y x P p ===ηξ,,() ,2,1;2,1==j i ,ξ和η的边际分布列分别为()i i x P p ==⋅ξ,()j j y P p ==⋅η, () ,2,1;2,1==j i ,则ξ和η相互独立的充要条件是对所有的取值()j i y x ,有() ,2,1;,2,1,==⋅=⋅⋅j i p p p j i ij .例1 设随机变量ξ和η相互独立,并且有{}{}p P P ====11ηξ,{}==0ξP{}q p P =-==10η,10<<p ,定义随机变量ζ为1,;0,.ξηζξη+⎧=⎨+⎩若为偶数若为奇数问当p 取何值时,ξ和ζ相互独立?解 因为 {}{}{}0,01,11======ηξηξζ ,{}{}{}0,11,00======ηξηξζ ,所以 {}{}{}{}2111,11,1p P P P P ==⋅=======ηξηξζξ, {}{}{}{}pq P P P P ==⋅=======010,10,1ηξηξζξ,{}{}{}{}2000,01,0q P P P P ==⋅=======ηξηξζξ,{}{}{}{}pq P P P P ==⋅=======101,00,0ηξηξζξ.由此得()ζξ,的联合分布列及其边际分布列如表1所示.为使ξ和ζ相互独立,必须有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=.,2,,2222222p p q p pq pqp q q q p pq pqq由于10<<p ,联立方程的解为21=p ,即当21=p 时,ξ和ζ相互独立.3.1.2 判别法二设()ηξ,是二维离散型随机变量,其联合概率分布列()j i ij y x P p ===ηξ,,() ,2,1,=j i 可以用下表所示且=≥ijij ij p p 1,0,矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ij i i j jp p p p p p p p p A 212222111211 称为()ηξ,的联合概率分布矩阵,其行向量记为()() ,2,1,,,,,21==i p p p ij i i i α,记()ηξ,的联合分布列()A ~,ηξ.引理]10[ 设1α是非零向量,1α和2α线性相关,则2α可由1α线性表出. 证明 因为1α和2α线性相关,所以存在不全为零的两个数1λ和2λ,使得02211=+ααλλ,又因为1α是非零向量,若02=λ,则01=λ,故02≠λ,所以1212ααλλ-=, 即2α可由1α线性表出.定理3 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明 充分性若A 中任意的两个行向量线性相关,由∑∑=≥ijij ij p p 1,0,有A 中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设1α是非零向量,由引理知,2α,3α ,,i α都可以由1α线性表出,则() ,2,1,1==i k i i αα,11=k ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j i i i jjp k p k p k p k p k p k p k p k p k A 112111212211211121111, 这里() ,2,1,,1=⋅=j i p k p j i ij ,且111∑∑∑∑∑∑===ijijj i j i ijij p k p k p .又由于ξ,η的边缘分布分别为:()∑∑===jj i jij i p k p x P 1ξ,()∑∑∑⋅====ii j ij i iij j k p p k p y P 11η,因此()()∑∑∑∑⋅===⋅=ii j jj i iij jij j i k p p k p p y P x P 11ηξij j i ii jj j i p p k k p p k ==⋅=∑∑111()j i y x P ===ηξ,, 即ξ与η相互独立. 必要性若ξ与η相互独立,由j i ij p p p ⋅⋅=,则A 中的任意两个行向量可写为()() ,,,,,,,,2121j m j m m m m p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,()() ,,,,,,,,2121j n j n n n n p p p p p p p p p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==α,显然m α与n α线性相关.推论1 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4 若()A ~,ηξ,则ξ与η相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论5 若()A ~,ηξ,则ξ与η不相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1. 推论6 若()A ~,ηξ中有某个0=ij P ,但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零,则ξ与η不相互独立.例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设⎩⎨⎧=.,1;,0第一次取出黑球第一次取出白球ξ ⎩⎨⎧=.,1;,0第二次取出黑球第二次取出白球η 分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量()ηξ,的联合分布列,并判别ξ与η的相互独立性.解 1)放回抽样二维随机变量()ηξ,的联合分布列为:表 3且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00329664259256256254A , 因此()1=A r ,所以ξ与η相互独立. 2)不放回抽样二维随机变量()ηξ,的联合分布列为:且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316662206206206202A , 因此()12>=A r ,所以ξ与η不相互独立.3.2 连续型随机变量独立性的判定3.2.1 判别法一定理4 设()ηξ,是连续型随机变量,如果其联合密度函数和边际密度函数()()()y f x f y x f ηξ,,,都是除面积为零的区域外的连续函数,则ξ和η相互独立的充要条件是:除面积为零的区域外,恒有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,.证明 充分性设()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,则对任意的实数y x ,,有()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-==x yxyu v v f u f u v v u f y x F d d d d ,,ηξ()()()()y F x F v v f u u f y xηξηξ==⎰⎰∞-∞-d d .所以,ξ和η相互独立. 必要性设ξ和η相互独立,则有()()()()()⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞==yxy v v f u u f y F x F u v v u f d d d d ,x--ηξηξ()()⎰⎰∞-∞-=x yu v u f u f d d ηξ.因为上式对任意的y x ,都成立,于是有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,, 综上,定理得证.例3]1[ 若()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，,0;10,0,8,y y x xy y x p 问ξ和η是否相互独立?解 先分别求ξ和η的边际密度函数: 当0<x 或1>x 时,()0=x p ξ. 当10≤≤x 时,有()3144d 8x x y xy x p x-==⎰ξ.因此()⎩⎨⎧≤≤-=.,0;10,443其他x x x x p ξ当0<y 或1>y 时,()0=y p η. 当10≤≤y 时,()3048y dx xy y p y==⎰η.因此()⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,43其他y y y p η很明显,()()()y p x p y x p ηξ≠,,所以ξ和η不相互独立. 3.2.2 判别法二定理5 设()ηξ,是连续型随机变量,其联合密度函数为(),,,b x a y x f <≤d y c <≤,则随机变量ξ和η相互独立的充要条件为:1)存在连续函数()()y g x h 、使()()()y g x h y x f ⋅=,; 2)d c b a 、、、是分别和y x ,无关的常数. 证明 充分性首先分别求()ηξ,的边际密度函数,()()()()()()⎰⎰⎰===+∞∞-dcd cy y g x h y y g x h y y x f x f d d d ,ξ,()()()()()()⎰⎰⎰===+∞∞-bab ax x h y g x y g x h x y x f y f d d d ,η,由于d c b a 、、、是分别和y x ,无关的常数,所以上式积分中的结果()⎰dcy y g d 与()⎰bax x h d 是分别和y x ,无关的常数,分别记为C B ,.进一步由联合密度函数的性质()()()1d d d d ,==⎰⎰⎰⎰b a dcb a dc x y y g x h x y y x f ,有 ()()()()()()()()()()⎰⎰⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=b adcyy g x x h y g x h C B y g x h C y g B x h y f x f d d ηξ ()()()()()()()y x f x y y x f y x f x y y g x h y g x h badcbadc,d d ,,d d ==⋅=⎰⎰⎰⎰,即()()()y f x f y x f ηξ=,,由定理4得ηξ,相互独立,充分性得证. 必要性若ηξ,相互独立,由定理4得,必有()()()y f x f y x f ηξ=,,,,d y c b x a <≤<≤取()()()(),,y g y f x h x f ==ηξ则有()()()y g x h y x f ⋅=,,于是定理中的条件1)成立.下面用反证法证明,若d c b a 、、、中至少有一个是与x 或y 有关的函数,不妨设()y a a =,由于()()x h x f =ξ是关于x 的边际密度函数,必有()1=⎰ba dx x f ξ,而()()()y A dx x f bya =⎰ξ是一个与y 有关的不恒为1的y 的函数,矛盾,因而必有a 与y无关.进一步d c b a 、、、都应与y 无关.从而必要性得证.推论7 在定理5的条件中如果c a 、有一个或两个都趋于d b 、,∞-中有一个或两个都趋于∞+,则定理的结果也是成立的.推论8 若定理5的条件成立,则()x h 与()x f ξ成正比例关系,()y g 与()y f η成正比例关系.例4 设()ηξ,的联合密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<<+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--.其它,0;0,,2222,22212y x e y n n y x f ny x n n π 讨论ηξ,的独立性.解 令()()2122222222ny n ne y y g e n n x h x ---⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，π,则有()()()y g x h y x f ⋅=,,又因为∞→=∞→∞→d c b a ,0,,,由推论7可知ηξ,相互独立. 例5 设()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<≤=.其它,0;1,,22y x y Kx y x f讨论ηξ,的独立性.解 由条件可知12<≤y x ,即y 的积分下限2x y =是与x 有关的x 的函数,而不是一个常数,由定理的条件知ηξ,不是相互独立的.4 随机变量独立性与数字特征上一节对随机变量独立性的判定做了详细的论述,本节具体对随机变量独立性在求数字特征中的应用进行探讨.4.1 随机变量独立性与数学期望定理6 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξE E E ⋅=⋅.证明 设()ηξ,为二维离散型随机变量,其联合分布列为()j i y x P ==ηξ,,() ,2,1;,2,1==j i ,ξ和η的边际分布列为()i x P =ξ,() ,2,1=i 和()i y P =η, () ,2,1=j ,因为ηξ,相互独立,所以()()()j i j i y P x P y x P =⋅====ηξηξ,,则有()()()()∑∑∑∑=⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅ijj i j i ijj i j i y P x P y x y x P y x E ηξηξηξ,()()()()()()ηξηξE E y P y x P x jj j ii i ⋅==⋅⋅=⋅=∑∑.同理,设()ηξ,为二维连续型随机变量,()()y f x f ηξ,分别为ηξ,的密度函数,()y x f ,为()ηξ,的密度函数,因为ξ与η相互独立,所以有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,于是()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-==⋅y x y f x xyf y x y x xyf E d d d d ,ηξηξ()()()()ηξηξE E y y yf x x xf ⋅=⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-d d .综上可得,定理成立.4.2 随机变量独立性与方差定理7 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξD D D +=+. 证明 ()()[]2ηξηξηξ+-+=+E E D()[]()[]()[]()[]{}222ηηηηξξξξE E E E E -+-⋅-+-=()[]()[]()[]{}()[]222ηηηηξξξξE E E E E E E -+-⋅-+-=()()()[]()[]{}ηηξξηξE E E D D -⋅-++=2,因为ξ与η相互独立,所以()ξξE -与()ηηE -也独立,故有()[]()[]{}()[]()[]0=-⋅-=-⋅-ηηξξηηξξE E E E E E E ,从而()()()ηξηξD D D +=+.推论9 设随机变量ηξ,相互独立,则()()()ηξηξD D D +=-.例6 设n ξξξξ,,,,321 相互独立,且()()()n i a E D i i ,,2,1,,2 ===ξσξ,试求∑==ni i n 11ξξ的数学期望和方差.解 因为n ξξξξ,,,,321 相互独立,所以由期望和方差的性质]1[及定理7有()()a E n E n n E E ni i n i i n i i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===111111ξξξξ,()()n D n D n n D D ni i n i i n i i 212121111σξξξξ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===.4.3 随机变量独立性与协方差定理8 设随机变量ηξ,相互独立,则ξ与η必不相关,即()0,Cov =ηξ,若ξ与η不相关,则ηξ,不一定相互独立.证明 因ηξ,相互独立,所以()()()ηξηξE E E ⋅=⋅,于是()()[]()[]{}ηηξξηξE E E -⋅-=,Cov ()()()0=⋅-=ηξξηE E E . 对ξ与η不相关,ηξ,不一定相互独立,见如下反例.例7]1[ 设随机变量()2,0~σξN ,且令2ξη=,则ξ与η不独立.此时ξ与η的协方差为()()()()()0,Cov ,Cov 222=-⋅==ξξξξξξηξE E E .即有ξ与η不相关,但ηξ,不相互独立.4.4 随机变量独立性与相关系数定理9 设随机变量ηξ,相互独立,则()0,Corr =ηξ. 证明 因为ηξ,相互独立,则()0,Cov =ηξ,则()()0,Cov ,Corr =⋅=ηξσσηξηξ. 定理10 若()()ρσσμμηξ,,,,~,222121N ,则ξ与η相互独立的充要条件是0=ρ.证明 充分性 若0=ρ,此时()()()22222121222121,σμσμσπσ----⋅=y x eey x f ()()y f x f ηξ⋅=,所以ηξ,相互独立. 必要性因ηξ,相互独立,且()()()y f x f y x f ηξ,,,都是连续函数,所以对一切y x ,恒有()()()y f x f y x f ηξ⋅=,,特别取21,μμ==y x ,有()()()2121,μμμμηξf f f ⋅=, 即212212121121σπσπρσπσ⋅=-,从而0=ρ.总结本文对随机变量的独立性做了详细、全面的论述.文中重点对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性给出了判别方法,对于离散型随机变量,可通过式子()()()y P x P y x P ≤⋅≤=≤≤ηξηξ,,或联合概率分布矩阵中行(列)向量的线性关系来判别变量间的独立性;对连续型随机变量,可通过边际密度函数的乘积与联合密度函数的关系,或联合密度函数是否可分离来判别变量间的独立性.最后,本文整合了随机变量独立性在求数字特征中的应用.但文章只对二维随机变量的独立性进行了分析,对多维随机变量的独立性未进行研究.参考文献[1] 程依明,茆诗松,濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2010.[2] 郭英,王苫社,徐艳,张宏礼.连续型随机变量的概率密度函数和独立性[J].大庆师范学院学报,2009,29(3):75-77.[3] 何丽敏,侯玉双,余婷.随机变量独立性的判定及运用[J].内蒙古科技大学报,2008,27(3):279-281.[4] 胡纲,张素霞.随机变量独立性易错点分析[J].河北北方学院学报,2006,22(5):14-16.[5] 胡乔林.浅谈概率论中的独立性问题[J].科技信息,2007(24):472、483.[6] 缪铨生.概率与数理统计[M].上海:华东师范大学出版社,2006.[7] 李滨予,张卷美.二维离散型随机变量相互独立[J].焦作工学院学报,1997,16(1):77-80.[8] 彭刚,禹辉煌.二维离散型随机变量独立性判别定理及应用[J].湖南理工学院学报,2010,23(2):23-25.[9] 佟毅.关于随机变量独立性的研究[J].石油化工高等学校学报,1994,7(3):71-74.[10] 魏献祝.高等代数[M].上海:华东师范大学出版社,2005.[11] 汪四水,尤芳.随机变量独立性的若干判别法[J].雁北师范学院学报,2006,22(5): 11-14.致谢在本文完成之际,首先要向我的指导老师xxx老师致以崇高的敬意和诚挚的谢意.李老师学识渊博、治学严谨,对论文的选题,结构以及最后的定稿作了大量的工作,同时她对工作积极热情、认真负责、实事求是的态度,给我留下了深刻的印象,使我受益匪浅.同时向在论文撰写期间给予我鼓励和帮助的各位老师和同学致以衷心的感谢.老师们的悉心指导使我有了良好的专业课知识,这是我的论文得以完成的基础.另外,在整个论文写作过程中,各位同学积极地帮我查阅资料和提供建议，使我的论文不断完善.在此,真诚的向你们说一声:谢谢!。

第1章 概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。

A B L R C D1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案§1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)424222p p p p p -=-+=2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布§2.2 10-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X 有分布律： X 23 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.6 均匀分布和指数分布2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

随机变量的独立性与相关性统计学与概率论是自然科学的重要分支，而随机变量是统计学中的重要概念。

随机变量是一个数值变量，其取值由特定的随机过程而定。

在统计学中，我们需要研究随机变量之间的关系，包括它们的相关性和独立性。

一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指两个或多个随机变量之间的取值没有任何关系。

也就是说，当两个或多个随机变量之间是独立的时候，它们的取值不受彼此的影响。

以两个硬币为例，假设我们投掷两个硬币，A表示第一个硬币的正反面，B表示第二个硬币的正反面。

我们可以用在A和B中都会出现正面的概率来表示两个硬币独立的概率。

即P(A=正面)×P(B=正面)。

另一个例子是，假设我们有两个骰子，X表示第一个骰子的点数，Y表示第二个骰子的点数。

在这种情况下，X和Y之间的独立性表现为两个事件之间的概率乘积等于这两个事件的交集。

即P(X=2)×P(Y=6)=1/36，因为这意味着第一个骰子的点数是2，第二个骰子的点数是6的概率。

二、随机变量的相关性相对于独立性而言，相关性表示出的是两个或多个随机变量之间的取值存在某种关系。

也就是说，当两个或多个随机变量之间是相关的时候，它们的取值受彼此的影响。

在统计学中，我们用协方差和相关系数来描述随机变量之间的相关性。

协方差是一个衡量两个随机变量之间关系强度的指标，其中正值表示正相关，负值表示负相关，而0表示没有相关性。

相关系数是协方差的标准化版本，其数值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，而0表示没有相关性。

相关系数越接近1或-1，证明两个随机变量之间的关系越强。

需要注意的是，虽然相关性和独立性在概念上有所区别，但它们并非互斥的关系。

有时候，两个随机变量之间既有独立性又有相关性。

三、应用随机变量的独立性和相关性在统计学中拥有广泛的应用场景。

例如，在回归分析中，我们需要确定每个输入变量之间是否存在相关性或独立性，以确定模型中是否需要保留特定的变量。

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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 。

1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形。

样本空间是：S= ；(2） 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数。

样本空间是：S= ; 2.（1） 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= 。

(2） 一枚硬币连丢2次, A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：（1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： 。

(3）A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .（4）A 、B 、C 中最多二个发生表示为: 。

（5）A 、B 、C 中至少二个发生表示为： 。

(6）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ,（2）=AB ，(3）=B A ， （4)B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 。

3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则（1） =)(AB P ， （2)()(B A P ）= , （3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 。