平行四边形性质(二)

小学平行四边形的性质平行四边形是小学数学中较为简单的几何形状之一，其定义和性质都很容易理解。

本文将详细讲述小学平行四边形的性质。

一、平行四边形的定义与特点平行四边形是由四条边相互平行的四边形，有如下特点：1. 对边平行：平行四边形的两组对边分别平行；2. 对边相等：平行四边形的对边相等；3. 同旁内角相等：平行四边形同旁内角互补。

二、平行四边形的证明以下为平行四边形的证明：（1）证明对边平行作平行于其中一边的直线，它与另一条边的延长线相交，交点分别为P、Q。

则由同旁内角相等可得∠ABC=∠ADC，∠DQC=∠DAB.那么：∠ADC+∠DAB=180°∠ABC+∠BCD=180°即有∠ABC+∠DAB=∠ADC+∠BCD=180°∴AB∥CD（2）证明对边相等作平行于BC的直线，它与AD相交于点E，连接BE，CE.如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCB，∠AEB=∠CDB，所以三角形AEB与三角形DCE相似，即：AE/DC=AB/CD（同旁内角互补）∴AE=DC同理可得：BE=EC, AB=CD（3）证明同旁内角相等如图，作平行于BC的直线，与AD，DC，AB分别交于点E,F,G.易证∠CBE=∠FGC，∠FGB=∠DCB，又∠GBF=∠CED，三角形GBF 与三角形CED相似，即：ED/GF=CE/BF（同旁外角互补）∴ED=GF同理易证∠FGE=∠FDE，而∠FGE=∠ABD，相加得∠ABD=∠DCB.三、平行四边形的面积平行四边形的面积公式为S＝底×高（其中底为任意一边的长度，高为与它相对应的高的长度）。

四、常见问题：菱形和矩形与平行四边形的关系菱形是一种特殊的平行四边形，其对角线相等；矩形也是一种特殊的平行四边形，其相邻两边相互垂直；平行四边形可以理解为菱形和矩形的“合体”。

五、小学平行四边形的应用平行四边形在小学数学中有很多应用。

例如，我们可以利用它的特性来求解各种题目，如：1. 给出平行四边形的两条边长以及高，求面积；2. 给定平行四边形的某一边长及对角线，求另一边长；3. 给定平行四边形的某一角度，求另一角度。

四边性质定理总结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。

判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形的另一个面积计算公式：对角线乘积的一半。

判定：（1）定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等四边形是菱形。

正方形定义：既是矩形又是菱形的四边形是正方形性质：正方形具有矩形的性质又具有菱形的性质；（1）边：四条边相等，邻边相等，对边平行；（2）角：四个角都是直角；对角线：相等且互相垂直平分;每一条对角线平分一组对角；正方形一条对角线上的一点到另一条对角线的两端相等；判定：判定是一个四边形是正方形的顺序：（1）先证明是平行四边形；（2）再证明是矩形（菱形）；（3）最后证明是菱形（或矩形）；梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底；梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰；梯形的高：梯形两底的距离；梯形的分类：一般梯形；特殊的梯形（1）等腰梯形（两腰相等的梯形）；(2)直角梯形（有一个角是直角的梯形）；等腰梯形性质：（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行；(2)等腰梯形同底上的两个角相等；（3）等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；(2)在同底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等梯形是等腰梯形；。

专题02 平行四边形的定义、性质、判定【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 利用平行四边形的性质求解】 (1)【考点二 利用平行四边形的性质证明】 (3)【考点三 判断能否构成平行四边形】 (5)【考点四 添一个条件成为平行四边形】 (7)【考点五 证明四边形是平行四边形】 (8)【考点六 平行四边形中的折叠问题】 (10)【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】 (12)【过关检测】 (16)【典型例题】【考点一 利用平行四边形的性质求解】例题：（2022春·广东江门·八年级校联考期中）在平行四边形ABCD 中，130A Ð=°，则C Ð=（ ）A ．130°B ．50°C ．30°D ．120°【答案】A【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．【详解】解：如图：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴130A C Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．【变式训练】1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，8AD =，5AB =，DF 平分ADC Ð交边BC 于点F ，则BF =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，可得5CF CD AB ===，即可求解．【详解】解：在ABCD Y 中，5CD AB ==，8AD BC ==，AD BC∥∴ADF CFD Ð=Ð，又∵DF 平分ADCÐ∴ADF CDF Ð=Ð，∴CDF DFC Ð=Ð，∴5CF CD ==，∴3BF BC CF =-=，故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理．2．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BC ^，E 为AB 的中点，若2CE =，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得AB CD =，再由直角三角形的性质可得24AB CE ==，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，∵AC BC ^，E 为AB 的中点，2CE =，∴24AB CE ==，∴4CD =．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．【考点二 利用平行四边形的性质证明】例题：（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）在平行四边形ABCD 中BE 平分ABC Ð，DF 平分ADC Ð，证明：AE CF =．【答案】证明见解析【分析】先根据平行四边形的性质得到AB CD AD BC =，∥，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明ABE AEB Ð=Ð，得到AB AE =，同理可证CD CF =，由此即可证明AE CF =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AD BC =，∥，∴AEB CBE Ð=Ð，∵BE 平分ABC Ð，∴ABE CBE Ð=Ð，∴ABE AEB Ð=Ð，∴AB AE =，同理可证CD CF =，∴AE CF =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行四边形对边平行且相等是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE CF =，EF ，BD 相交于点O ，求证：OE OF =．【答案】证明见解析【分析】只需要利用ASA 证明ODE OBF △≌△即可证明结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，(1)求证：ADE FCE △≌△；(2)求证：AE 平分DAB Ð；(3)若60DAB Ð=°，4AB =，求Y 【答案】(1)见解析；【考点三 判断能否构成平行四边形】例题：（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ． AB CD P ，AD BC =B ．A B Ð=Ð，CD Ð=Ð C ． AB CD =，AD BC =D ． AB AD =，CB CD =【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．【详解】解：A 、AB CD P ，AD BC =，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、A B Ð=Ð，CD Ð=Ð，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；C 、AB CD =，AD BC =，能判定四边形ABCD 为平行四边形；D 、AB AD =，CB CD =，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．【变式训练】1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，下列哪组条件能判断四边形ABCD 是平行四边形（ ）A ．OA OC =，AC BD=B ．OB OA =，OD OC =C ．AB CD ∥，AD BC=D ．180ABC BAD Ð+Ð=°，BCD BADÐ=Ð【答案】D 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、由OA OC =，AC BD =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；B 、由OB OA =，OD OC =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；C 、由AB CD ∥，AD BC =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；D 、∵180ABC BAD Ð+Ð=°，∴AD BC ∥，∵BCD BAD Ð=Ð，∴180ABC BCD Ð+Ð=°，∴AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB CD =，AD BC=B ．AB CD P ，AD BC ∥C ．AB CD P ，AD BC=D ．AD BC ∥，AD BC=【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A ．∵AB CD AD BC ==，，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；B ．∵AB DC AD BC ∥，∥，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；C ．由AB DC P ，AD BC =不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项符合题意；D ．∵AB DC P ，AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．【考点四 添一个条件成为平行四边形】例题：（2022春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，AB ∥CD ，线段AC 和BD 交于点O ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．【答案】AD ∥CB （答案不惟一）．【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：AD ∥CB ，故答案为：AD ∥CB （答案不惟一）．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．【变式训练】1．（2021春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，要使四边形BEDF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是_______________．【答案】ED BF=【分析】由平行四边形的性质可得到ED BF ∥，要证明四边形BEDF 是平行四边形，只需要ED BF =即可．【详解】添加ED BF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ED BF ∥，∵ED BF =，∴四边形BEDF 是平行四边形，故答案为：ED BF =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，E ，F 是对角线上的两点，要使四边形AFCE 是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．【答案】BF =DE （答案不唯一）【分析】连接对角线AC ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．【详解】解：添加的条件为BF =DE ，理由如下：证明：连接AC 交BD 于点O ，如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO =CO ，BO =DO ，∵BF =DE ，∴BO -BF =DO -DE ，即OF =OE ，四边形AFCE 为平行四边形，故答案为：BF =DE （答案不唯一）．【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．【考点五 证明四边形是平行四边形】例题：（2021春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，,AE BD CF BD ^^，垂足分别为E F 、，四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？【答案】是，理由见解析【分析】由于AE CF 、都垂直于BD ，首先可以确定的是AE CF P ；然后再通过证()AAS ABE CDF ≌△△，来得出AE CF =即可．【详解】答：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵,AE BD CF BD ^^，∴AE CF P ，90AEBCFD Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ABE CDE =Ð=Ð，，在ABE V 和CDF V 中，90ABE CDF AEB CFD AB CD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴()AAS ABE CDF ≌△△，∴AE CF =，Q AE CF P ，∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图、在ABCD Y 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE CF =，连接CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形．【答案】见解析【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AD BC ∥，又因为AE CF =，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，又∵AE CF =，∴四边形AFCE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定．掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．2．（2022秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知在四边形BCDE 中，CD BE ∥，点F 是DE 的中点，连接CF 交BE 于点A ，且点E 是AB 的中点，求证：四边形BCDE 是平行四边形．【答案】见解析【分析】先证明(ASA)CDF AEF V V ≌，得CD AE =，再证CD BE =，即可得出结论．【详解】证明：∵CD BE ∥，∴D AEF Ð=Ð，∵点F 是DE 的中点，∴DF EF =，在CDF V 和AEF △中，D AEF DF EFCFD AFE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)CDF AEF V V ≌，∴CD AE =，∵点E 是AB 的中点，∴AE BE =，∴CD BE =，又∵CD BE ∥，∴四边形BCDE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．【考点六 平行四边形中的折叠问题】例题：（2022春·四川自贡·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD E¢处，AD¢与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED¢的度数为______．【答案】36°##36度【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D¢=∠D=52°，∠EAD¢=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED¢=108°，即可得出∠FED¢的大小．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D¢=∠D=52°，∠EAD¢=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED¢=180°-∠EAD¢-∠D¢=108°，∴∠FED¢=108°-72°=36°；故答案为：36°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED¢是解决问题的关键．【变式训练】【答案】140°【分析】利用平行四边形的性质得，进而求出1122 BAC BABÐ=Т=´【详解】解：在ABCDY中，AB138BAB\Т=Ð=°，【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】例题：（2022春·北京顺义·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F E ，为四边形ABCD 外一点，且ADE BAD Ð=Ð，AE AC ^．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关∵MNCD是平行四边形，(2)CN =2【分析】（1）证明DE ∥BC ，再证∠DMF =∠2，得DB ∥EC ，则四边形BCED 是平行四边形，即可得出结论；（2）由（1）得：BC =DE =2，EC ∥DB ，再由平行线的性质得∠CNB =∠DBN ，然后证∠CNB =∠CBN ，则可由CN =BC 求解．（1）证明：∵∠A =∠F ，∴DE ∥BC ，∵∠1=∠2，∠1=∠DMF ，∴∠DMF =∠2，∴DB ∥EC ，∴四边形BCED 是平行四边形，（2）解：∵BN 平分∠DBC ，∴∠DBN =∠CBN ，由（1）得：BC =DE =2，EC ∥DB ，∴∠CNB =∠DBN ，∴∠CNB =∠CBN ，∴CN =BC =2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明四边形BCED 为平行四边形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个内角:1:2A B ÐÐ=，则A Ð的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得到A Ð与B Ð是邻角并且互补，再结合:1:2A B ÐÐ=列方程，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴180A B Ð+Ð=°，∵:1:2A B ÐÐ=，∴2180A A Ð+Ð=°，解得60A Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．2．（2022春·甘肃武威·八年级校联考期末）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，分别添加下列条件：①AB CD ∥；AB CD AD BC B D A C ==Ð=ÐÐ=Ð②；③；④；⑤，其中能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可．【详解】解：①AD BC ∥Q ，AB CD ∥， \四边形ABCD 是平行四边形；②由AD BC ∥，AB CD =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形；③AD BC ∥Q ，AD BC =，\四边形ABCD 是平行四边形；④ AD BC ∥Q ，180A B \Ð+Ð=°，B D Ð=ÐQ ，180A D \Ð+Ð=°，AB CD \∥，\四边形ABCD 是平行四边形；⑤AD BC ∥Q ，180A B \Ð+Ð=°，A C Ð=ÐQ ，180C B \Ð+Ð=°，AB CD \∥，\四边形ABCD 是平行四边形；其中能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件有①③④⑤，共4个，故选：B ．A．124°B．114【答案】A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：Ð=Ð，由折叠得，45∵四边形ABCD是平行四边形，P，∴AB CD∴53Ð=Ð，A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC Ð=Ð，由角平分线可得ABF FBC Ð=Ð，所以AFB ABF Ð=Ð，所以6AF AB ==，同理可得6DE DC ==，则根据4EF AF DE AD =+-=即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，8AD =，∴AD BC ∥，6DC AB ==．∴AFB FBC Ð=Ð．∵BF 平分ABC Ð，∴ABF FBC Ð=Ð．∴AFB ABF Ð=Ð．∴6AF AB ==．同理可得6DE DC ==．∴6684EF AF DE AD =+-=+-=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握数学模型“角平分线+平行线得到等腰三角形”．5．（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE AC ^交CD 于点E ，连接AE ，若平行四边形ABCD 的周长为30，则ADE V 的周长为（ ）A ．15B ．23C ．25D ．30【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，得到点O 是AC 中点，根据垂直平分线的性质得到AE CE =，根据四边形周长求出AD CD +，然后转换求解即可．【详解】在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OA OC =即点O 是AC 中点，OE AC ^，AE CE=平行四边形ABCD 的周长为30，【答案】29【答案】50°##50度【分析】由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD ∴70BAE BCD Ð=Ð=°，AD【答案】73或3【分析】分别利用①当BQ=AP【详解】解：设点P，Q运动的时间为∵AD∥BC，(1)现有四个条件：①BE＝DF一个序号即可）(2)在（1）的基础上，求证：四边形【答案】(1)①或②或④（填一个即可）添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加④，证明AE＝CF，AE∥CF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加③不能得出四边形AECF为平行四边形．故答案为：①或②或④（填一个即可）；（2）证明：如图，添加①BE＝DF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；添加②AF∥CE时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵AF∥CE，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AFD＝∠CEB，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；添加④∠BAE＝∠DCF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．平行四边形的判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．13．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）如图，在ABCD Y 中，AE BD ^，CF BD ^，垂足分别为点E ，点F ，连接AF 、CE ．(1)试判断AE 与CF 的关系，并说明理由；(2)若CD CE =，AEF △的面积是22cm ，则ABCD Y 的面积为______．【答案】(1)AE CF =，AE CF ∥，理由见解析；(2)212cm ．【分析】（1）求出ABE CDF Ð=Ð，由AE BD ^，CF BD ^可得90AEB CFD Ð=Ð=°，AE CF ∥，证明()AAS ABE CDF ≌V V ，即可得到AE CF =；（2）证明四边形AECF 为平行四边形，ABF △和CED △是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE EF =，=EF FD ，求出ABE V 和AFD △的面积是22cm ，进而可得答案．【详解】（1）解：AE CF =，AE CF ∥，理由：∵在ABCD Y 中，AB CD ∥，AB CD =，∴ABE CDF Ð=Ð，∵AE BD ^，CF BD ^，∴90AEB CFD Ð=Ð=°，AE CF ∥，在ABE V 和CDF V 中，ABE CDF AEB CFD AB CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若45,60,6Ð=°Ð=°=B FCE AB【答案】(1)见解析(2)623+【分析】（1）先证明四边形AFCE则∠AGB=∠AGE=90°，∵点D的落点为点D′，折痕为EF，∴D'F=DF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC．又∵AF=EC，(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；。