2017届高三数学一轮总复习开卷速查26 平面向量的数量积及平面向量的应用 Word版含解析(数理化网)

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第四章 平面向量4.3 平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到： (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( × ) (4)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )(5)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (6)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )1．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 答案 C解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.2．(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 ∵|a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.4．已知O 是△ABC 外心，若AO →＝25AB →＋15AC →，则cos∠BAC ＝________.答案64解析 ∵O 为三角形的外心，∴AO →·AB →＝12AB →2，AO →·AC →＝12AC →2，由AO →·AB →＝25AB →2＋15AC →·AB →，整理得AB →2＝2AC →·AB →，同理AO →·AC →＝25AB →·AC →＋15AC →2，整理得AC →2＝43AB →·AC →，∴cos∠BAC ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝12×43＝64. 5．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2015·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A ．20 B. 15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________． 答案 (1)C (2)1 1 解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.题型二 用数量积求向量的模、夹角 命题点1 求向量的模例2 (1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案 (1)C (2)7＋1解析 (1)因为向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，所以|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2cos π3＋1＝ 3.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －2＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 (1)A (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 思维升华 (1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．(1)已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝23，若|a ＋b |＝33，则向量a ，b 夹角的余弦值为________．(2)已知O 为△ABC 的外心，|AB →|＝16，|AC →|＝102，若AO →＝xAB →＋yAC →，且32x ＋25y ＝25，则|OA →|等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 (1)36(2)B 解析 (1)由已知有|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝32＋2a·b ＋(23)2＝(33)2，∴a·b ＝3， ∴cos θ＝a·b |a||b |＝33×23＝36.(2)根据O 为△ABC 的外心，以及向量数量积的几何意义可得AO →·AB →＝12×16×16＝16×8，同理可得AO →·AC →＝12×102×102＝102×5 2.又因为AO →·AO →＝xAB →·AO →＋yAC →·AO →＝x ×16×8＋y ×102×52＝4(32x ＋25y )＝100，故选B.题型三 平面向量与三角函数例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34答案 A解析 由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A.5．向量夹角范围不清致误典例 (14分)若两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2所成的角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的角为钝角，求实数t 的取值范围．易错分析 两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，容易误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩大． 规范解答解 设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ＜0，故 (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7＜0， 解得－7＜t ＜－12.[6分]再设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向， 则2t e 1＋7e 2＝k (e 1＋t e 2)(k ＜0)，[8分]从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，7＝tk ，且k ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－142，k ＝－14，即当t ＝－142时，两向量所成的角为π.[12分] 所以t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．[14分] 温馨提醒 (1)两个非零向量的夹角范围为[0，π]，解题时要注意挖掘题中隐含条件． (2)利用数量积的符号判断两向量的夹角取值范围时，应该注意向量夹角的取值范围，不要忽视两向量共线的情况．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉∈(π2，π]；若a ·b ＞0，则〈a ，b 〉∈[0，π2)．[方法与技巧]1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [失误与防范]1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．22＋ 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |co s 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，a ·b ＝12＋32×32＋m 2×co s π6，∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.3．设向量e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，若a ＝3e 1，b ＝e 1－e 2，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.32 B.12 C ．－12D ．1答案 A解析 ∵向量e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，∴|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12.又|a |＝|3e 1|＝3，a·b ＝3e 1·(e 1－e 2)＝3e 21－3e 1·e 2＝3－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝92， ∴向量b 在a 方向上的投影为b·a |a |＝923＝32.故选A.4.在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109 C.259 D.269答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC→＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 5．设向量a ，b 满足|a |＝1，a 与a －b 的夹角为150°，则|b |的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 D解析 如图，令AB →＝a ，AD →＝b ，则∠ABD ＝150°，DB →＝a －b .点D 可以是射线BE 上(点B 除外)的任意一点，而|a |＝1，所以|b |>1，即|b |∈(1，＋∞)．故选D.6．已知六边形ABCDEF 为正六边形，若向量AB →＝(3，－1)，则|DC →－DE →|＝________；EC →＋FE →＝________.(用坐标表示) 答案 2 3 (23，－2)解析 由AB →＝(3，－1)知|AB →|＝2，而|DC →－DE →|＝|EC →|.由正六边形的性质知，|EC →|＝3|AB →|＝23，故|DC →－DE →|＝|EC →|＝2 3.因为EC →＋FE →＝FC →，AB →＝(3，－1)，且易知FC →＝2AB →，所以FC →＝(23，－2)，即EC →＋FE →＝(23，－2)．7.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|co s 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB→＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，所以AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132. 8．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)． 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又∵|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，所以AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，所以x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.12．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP →＝λCB →，当PA →·PC →取到最小值时，λ的值为( )A.14B.15C.16D.18 答案 D解析 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设BC ＝4，P (x,0) (0≤x ≤4)，则A (3，3)，C (4,0)，∴PA →·PC →＝(3－x ，3)·(4－x,0)＝(3－x )(4－x )＝x 2－7x ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722－14. 当x ＝72时，|CP →|＝12，∴CP →＝18CB →，λ＝18.13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是( )A. 2 B ．2 C ．0 D ．1答案 A解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋1×2－0＝2，故选A.14．已知△ABC 中，BC →·CA →＝CA →·AB →，|BA →＋BC →|＝2，且B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，则BA →·BC →的取值范围是____________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23解析 因为BC →·CA →＝CA →·AB →，所以CA →·(BC →－AB →)＝(BA →－BC →)·(BC →＋BA →)＝0，即BA →2＝BC →2，可得AB ＝BC .由|BA →＋BC →|＝2，可得BA →2＋2BA →·BC →＋BC →2＝4，设AB ＝BC ＝a ，则有2a 2＋2a 2cos B ＝4⇒a 2＝21＋cos B .因为B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，可得cos B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以BA →·BC →＝a 2cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23，故答案为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足4cos C ＋cos 2C ＝4cos C ·cos 2C2.(1)求角C 的大小；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪CA →－12CB →＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由4cos C ＋cos 2C ＝4cos C ·cos 2C2，得4cos C ＋2cos 2C －1＝2cos C (1＋cos C )， 解得cos C ＝12，由0<C <π，得C ＝π3.(2)取BC 的中点D ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪CA →－12CB →＝2＝|DA →|，在△ADC 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ，即4＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－ab2≥2a 2b 24－ab 2＝ab2，∴ab ≤8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号， 此时S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ，其最大值为2 3.。

高三一轮（理) 4.3平面向量的数量积及其应用【教学目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

【重点难点】1.教学重点：利用数量积判断两向量的垂直关系；2.教学难点：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.（1）如图，在平行四边形ABCD中,已知AB＝8，AD＝5，错误!＝3错误!，错误!·错误!＝2，则错误!·错误!＝________。

解析：由错误!＝3错误!，得错误!＝错误!错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!,错误!＝错误!－错误!＝错误!＋错误!错误!－错误!＝错误!－注重基础，提高能力.由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率.＋2b)（a－b)＝－2，则a 与b的夹角为________．解析解析:（1）∵a·b ＝0，（a－c)·（b－c)≤0,即a·b－(a·c＋b·c)＋c2≤0,∴a·c＋b·c≥1.∴｜a＋b－c｜＝错误!＝错误!＝3－2a·c＋b·c≤1。

(2）∵(a＋2b）·(a－b)＝－2,∴a2＋a·b－2b2＝－2。

又｜a｜＝2，｜b｜＝2，∴4＋a·b－8＝－2,∴a·b＝2。

∴cos θ＝错误!＝错误!＝错误!,⎪⎩⎪⎨⎧==233n m 思维升华 1.证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线）的充要条件： a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x1y2－x2y1＝0（b≠0）. 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件: a ⊥b ⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 。