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专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。
几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。
【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB 的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k y x=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．B C M N为顶点（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以,,,的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．（2020·山东初三期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q （2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB 的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2020·四川初三）如图，一次函数122y x=-+的图像与坐标轴交于A、B两点，点C 的坐标为(1,0)-，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1，已知点(1,)D n 在抛物线上，作射线BD ，点Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM y ⊥轴于点M ，作QN BD ⊥于点N ，过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP ，若点E 为抛物线上一点，且满足APE ABO ∠=∠，求点E 的坐标．12．（2019·广东初三）如图，已知抛物线y ＝﹣3x 2+bx +c 与x 轴交于原点O 和点A （6，0），抛物线的顶点为B ．（1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）若动点P 从原点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问当t 为何值时，△OPA 是直角三角形？（3）若同时有一动点M 从点A 出发，以2个长度单位的速度沿线段AO 运动，当P 、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t （s ），连接MP ，当t 为何值时，四边形ABPM 的面积最小？并求此最小值．13．（2019·山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q 是对称轴上一动点，当OQ +BQ 最小时，求点Q 的坐标．（3）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．14.（2019·四川中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2019·天津中考真题）已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值； （Ⅲ）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为332时，求b 的值． 16.（2019·湖南中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 610求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.17.（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点D （﹣2，﹣3）和点E （3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P →M →N →A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．18.（2019·湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．专题四 几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
巧解一类三角形面积最值题
作者：吕宁
来源：《高中生·高考指导》2015年第06期
近几年，部分地区的高考试题中经常出现给出一边及其对角或另外两边之间的比例关系，求三角形面积的最大值的问题.本文通过解法对比，向同学们展示如何在圆的帮助下巧解此类问题.
小结对问题进行变式训练，不仅可以克服思维定式，培养创造性的思维能力，而且有利于掌握某一类问题的解法，锻炼举一反三的能力，从而提高学习效率.本题将三角形面积最值问题设置在立体几何中，解题时同学们需要注意挖掘题目的隐含条件，将定值突显出来.
（责任编校冯琪）。
2024届陕西省城固县第一中学高三第一次综合检测试题数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 2．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数3．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．2104．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．235．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．15606．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．267．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．69．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 10．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．11．若()*13n x n N x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ）A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π12．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
几何最值问题（讲义）➢ 知识点睛1. 解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点） ②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线） ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）2. 解决几何最值问题的主要方法是________，通过变化过程中____________的分析，利用__________、______________等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的____________进而解决问题． 3. 几何最值问题基本结构分析①利用几何变换进行转化②利用图形性质进行转化DCABONMlll➢ 精讲精练的两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是（ ） A ．10cmB ．5cmC ．D ．PFOABE4.如图1，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥（注意：天桥必须与街道垂直）．请按下面的要求作图．（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？在图1中完成．（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？在图2中完成．图2图1DCAB ONM第9题图 第10题图10. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，则在运动过程中，点P 到原点的最大距离是_______．【参考答案】➢ 知识点睛2.转化，不变特征，几何变换、图形性质，基本结构➢精讲精练1.1+2. D3. B4.略5. B6. 47.8. 39. A10.1+。
专题3 阿基米德三角形 微点2 阿基米德三角形综合训练专题3 阿基米德三角形 微点2 阿基米德三角形综合训练 一、单选题1．抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；①PF AB ⊥．若经过抛物线24y x =的焦点的一条弦为AB ，“阿基米德三角形”为PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．220x y +-= C ．210x y +-=D ．220x y --=（2022·江西九江·高二期末）2．阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形．．．．．．．（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23（即右图中阴影部分面积等于PAB 面积的23）．若抛物线方程为22(0)y px p =>，且直线2px =与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p =（ ）A ．1B ．2C ．32D ．33．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，PAB 为阿基米德三角形.抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P .给出如下结论，其中正确的为（ ）（1）若弦AB 过焦点，则ABP 为直角三角形且90APB ︒∠=； （2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭；（3）PAB 的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+； （4）PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）.A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）（2020·云南师大附中高三月考）4．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作抛物线的弦与抛物线交于A 、B 两点，M 为AB的中点，分别过A 、B 两点作抛物线的切线1l 、2l 相交于点P .PAB 又常被称作阿基米德三角形.下面关于PAB 的描述： ①P 点必在抛物线的准线上； ①AP PB ⊥；①设()11,A x y 、()22,B x y ，则PAB 的面积S 的最小值为22p ；①PF AB ⊥； ①PM 平行于x 轴. 其中正确的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（2022·河南·林州一中高二开学考试）5．我们把圆锥曲线的弦AB 与过弦的端点A ，B 处的两条切线所围成的三角形PAB （P 为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下性质： ①P 点必在抛物线的准线上； ①PA PB ⊥； ①PF AB ⊥．已知直线():1l y k x =-与抛物线24y x =交于A ，B 点，若8AB =，则抛物线的“阿基米德三角形” PAB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 6．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的切线1l ，2l 相交于点P ，PAB 又常被称作阿基米德三角形．PAB 的面积S 的最小值为（ ）A ．23pB ．22pC ．2pD 27．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线22(0)y px p =>，弦AB 过焦点，ABQ 为阿基米德三角形，则ABQ 为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随Q 位置变化前三种情况都有可能关系（2022·重庆·西南大学附中高二月考）8．我们把圆锥曲线的弦AB 与过弦的端点A ，B 处的两条切线所围成的三角形PAB （P 为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下性质：①P 点必在抛物线的准线上；①PA PB ⊥；①PF AB ⊥.已知直线l ：(1)y k x =-与抛物线C ：24y x =交于A ，B 点，若8AB =，记此时抛物线 C 的“阿基米德三角形”为PAB ，则P 点为（ ） A ．()1,2-± B ．1,2C ．()1,2--D ．()1,1-±（2022·陕西西安·二模）9．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称三角形P AB 为“阿基米德三角形”.已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，过A ，B 360y -+=，关于“阿基米德三角形”①P AB ，下列结论不正确的是（ ）A ．323AB =B ．PA PB ⊥C ．PF AB ⊥D ．点P 的坐标为)2-10．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点做抛物线的切线l 1，l 2相交于P 点，那么阿基米德三角形P AB 满足以下特性：①P 点必在抛物线的准线上；①①P AB 为直角三角形，且APB ∠为直角；①PF ①AB .已知P 为抛物线24x y =的准线上一点，则阿基米德三角形P AB 的面积的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、多选题11．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，分别过A ，B 两点作抛物线的切线1l ，2l 相交于点P ，PAB 又常被称作阿基米德三角形．下面关于PAB 的描述其中正确的是（ ） A ．P 点必在抛物线的准线上；B ．设()11,A x y ，()22,B x y ，则PAB 的面积S 的最小值为22p ；C ．PF AB ⊥D ．PM 平行于x 轴． （2022·重庆·模拟）12．阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称PAB 为“阿基米德三角形”．已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，过A 、B 360y -+=，关于“阿基米德三角形”PAB ，下列结论正确的是（ ） A ．323AB =B ．PA PB ⊥C ．点P 的坐标为)2-D ．PF AB ⊥（2022·江苏徐州·模拟）13．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB 为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB ，下列结论正确的是（ ）A ．点2)P -B ．PC x ⊥轴C ．PA PB ⊥D ．PF AB ⊥（2022江苏省前黄高级中学高三月考）14．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=（2022湖北·武汉市第十一中学高二月考）15．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线22(0)y px p =>，弦AB 过焦点F ，ABQ 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ） A ．存在点Q ，使得0QA QB ⋅> B ．||||AQ AB AF AB ⋅=⋅C ．对于任意的点Q ，必有向量QA QB +与向量(1,0)a =-共线D ．ABQ 面积的最小值为2p（2022·江苏·徐州市第七中学高三月考）16．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦AB 所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形ABC 的顶点C 在抛物线上，且在过弦AB 的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的43.现已知直线32y x p =-+与抛物线2:2(0)E y px p =>交于A ，B 两点，且A 为第一象限的点，E 在A 处的切线为l ，线段AB 的中点为D ，直线//DC x 轴所在的直线交E 于点C ，下列说法正确的是（ ）A ．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6B ．切线l 的方程为220x y p -+=C ．若()1*4n n ABC A S n N -∆⋅=∈，则弦AB 对应的抛物线弓形面积大于()121423n n A A A A n -++++≥ D ．若分别取AC BC ，的中点1V ，2V ，过1V ，2V 且垂直y 轴的直线分别交E 于1C ，2C ，则1214ACC BCC ABC S S S ∆∆∆+= 三、填空题（2022·浙江台州·高三期末）17．古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等．从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的14．若第一次所作的内接三角形面积为1，则第三次所作的内接三角形面积和为________． （2020·江苏无锡·高三月考）18．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：214y x =交于A ，B 两点，则弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为_______．19．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23．已知(2,1),(2,1)A B -为抛物线2:4C x y =上两点，则在A 点处抛物线C 的切线的斜率为_______；弦AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________． 四、解答题（2022·江苏苏州·模拟）20．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>且经过1(2,0)P -，231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，331,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4(1,1)P -中的三点，抛物线22:2(0)C y px p =>，椭圆1C 的右焦点是抛物线2C 的焦点．(1)求曲线1C ，2C 的方程；(2)点P 是椭圆1C 的点，且过点P 可以作抛物线2C 的两条切线，切点为A ，B ，求三角形PAB 面积的最大值． （2022·广东·高二月考）21．已知线段AB 是抛物线24y x =的弦，且过抛物线焦点F .(1)过点B 作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E ，求证：A O E 、、三点共线(O 为坐标原点)；(2)设M 是抛物线准线上一点，过M 作抛物线的切线，切点为11A B 、. 求证：（i ）两切线互相垂直；（ii ）直线11A B 过定点，请求出该定点坐标. （2022·浙江·赫威斯育才高中模拟）22．如图，过点(,)P m n 作抛物线2:2(0)C x py p =>的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，动点Q 为抛物线C 上在A ，B 之间部分上的任意一点，抛物线C 在点Q 处的切线分别交PA ，PB 于点M ，N .(1)若AP PB ⊥，证明：直线AB 经过点0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)若分别记PMN ，ABQ 的面积为1S ，2S ，求12S S 的值. 23．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.现有抛物线M :2y ax =，直线l ：y bx c =+（其中a ，b ，c 是常数，且0a >），直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，设弦AB 的阿氏三角形是ABC .（1）指出抛物线M 的焦点坐标和准线方程； （2）求ABC 的面积（用a ，b ，c 表示）；（3）称AB 的阿氏ABC 为一阶的；AC 、BC 的阿氏ACD 、BCE 为二阶的；AD 、DC 、CE 、EB 的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的()*k k ∈N 阶阿氏三角形的面积之和为k S ，探索k S 与1k S +之间的关系，并求()12lim n n S S S →∞+++.参考答案：1．A【分析】由PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =的焦点，得到点(1,4)P -，进而得到直线PF 的斜率，再由PF AB ⊥，得到直线AB 的斜率即可.【详解】设抛物线的焦点为F ，由题意可知，抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为=1x -， 因为PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =的焦点， 所以点P 必在抛物线的准线上， 所以点(1,4)P -， ∴直线PF 的斜率为40211-=---． 又因为PF AB ⊥， 所以直线AB 的斜率为12，所以直线AB 的方程为10(1)2y x -=-，即210x y --=，故选：A ． 2．D【分析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x 轴时，即2p x =时，22212263323⎛⎫=⋅⋅== ⎪⎝⎭PABS p p p ，即3p =， 故选：D ． 3．D【分析】设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，由导数的几何意义得切线斜率， 利用焦点弦性质得221PA PBp k k p-⋅==-，正确； 写出切线方程，联立求出P 点坐标，得（2）错误；用,A B 两点坐标表示出AB k ，写出直线AB 方程，并化简可得（3）正确； 设N 为抛物线弦AB 的中点，立即得（4）正确；【详解】由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，由22x py =，得22x y p =，则x y p '=，所以1PAx k p =，2PB x k p =，若弦AB 过焦点，①212x x p =-，①221PA PB p k k p-⋅==-，①PA PB ⊥，故（1）正确；以点A 为切点的切线方程为2111()2x x y x x p p-=-，以点B 为切点的切线方程为2222()2x x y x x p p -=-，联立消去y 得122x x x +=，将122x x x +=代入2111()2x x y x x p p -=-，得122x x y p =，所以1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故（2）错误； 设N 为抛物线弦AB 的中点，N 的横坐标为122N x x x +=，因此则直线PN 平行于y 轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线AB 的斜率为222121122121222x x y y x x p p k x x x x p--+===--，故直线AB 的方程为21121()22x x x y x x p p +-=-，化简得1212()20x x x py x x +--=，故（3）正确， 故选：D.．【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题． 4．B【解析】作出图形，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线1l 、2l 的方程，求出点P 的坐标，可判断①的正误；利用直线PA 、PB 斜率的关系可判断①的正误；计算出PAB 的面积S 的表达式，可判断①的正误；利用直线PF 、AB 的斜率关系可判断①的正误；求出直线PM 的斜率，可判断①的正误.综合可得出结论.【详解】先证明出抛物线()220y px p =>在其上一点()00,x y 处的切线方程为00y y px px =+.证明如下：由于点()00,x y 在抛物线22y px =上，则2002y px =，联立2002y px y y px px ⎧=⎨=+⎩，可得20022y y y px =+，即220020y y y y -+=，0∆=，所以，抛物线()220y px p =>在其上一点()00,x y 处的切线方程为00y y px px =+.如下图所示：设()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =+， 联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=， 由韦达定理可得212y y p =-，122y y mp +=，对于命题①，抛物线22y px =在点A 处的切线方程为11y y px px =+，即2112y y y px =+，同理可知，抛物线22y px =在点B 处的切线方程为2222y y y px =+，联立21122222y y y px y y y px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212222y y p x p y y y mp⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，所以点P 的横坐标为2p -， 即点P 在抛物线的准线上，①正确；对于命题①，直线1l 的斜率为11p k y =，直线2l 的斜率为22p k y =，212121p k k y y ∴==-， 所以，AP PB ⊥，①正确；对于命题①，当AB 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性可知，点P 为抛物线的准线与x 轴的交点，此时PF AB ⊥；当AB 不与x 轴垂直时，直线AB 的斜率为1AB k m=， 直线PF 的斜率为PF mpk m p==--，1AB PF k k ∴⋅=-，则PF AB ⊥.综上，PF AB ⊥，①正确；对于命题①，12AB y y -，PF ===所以，()2212111122PABp p S AB PF y y m y y =⋅=-⋅+⋅+△()22211122p p p m y p y ⎛⎫=⋅+⋅+≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当10m y p=⎧⎨=±⎩时，等号成立，①错误；对于命题①，当AB 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性可知，点P 为抛物线的准线与x 轴的交点，此时直线PM 与x 轴重合，①错误. 故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，属于中等题. 5．A【分析】根据给定条件求出直线PF 方程，进而求出点P 坐标及PF 长即可求出PAB 的面积.【详解】抛物线的焦点为()1,0F ，准线方程为=1x -，直线():1l y k x =-经过抛物线的焦点， 依题意，0k ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理得()2222240k x k x k -++=，则212224k x x k ++=，121=x x ， 212224228k AB x x k+=++=+=，解得21k =，即1k =±， 当1k =时，因PAB 为“阿基米德三角形”，则直线PF 斜率1PF k =-，直线PF 方程为：1y x =-+，点P 必在抛物线的准线=1x -上，点()1,2P -，PF = 又PF AB ⊥，于是得11822PAB S AB PF =⋅=⨯⨯=△由对称性可知，当1k =-时，同理有PABS =所以PAB的面积是 故选：A 6．C【解析】设出直线AB 的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点P 的坐标，利用三角形的面积公式可得()322221PAB S p mp =+≥△.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得直线AB 的斜率不为0, 因为直线AB 过焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以设直线AB 的方程2p x my =+；联立242y xp x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y mpy p --=，所以212122,y y mp y y p +==-，()221AB p m =+由抛物线的性质可得过点()11,A x y ，()22,B x y 的抛物线的切线方程为：()()1122,yy p x x yy p x x =+=+，联立()()1122yy p x x yy p x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得1222x p y y p ==-，122y y y mp +==，即,2p P mp ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点P 到直线的距离d =，()32222112PABS AB d p m p ==+≥△ 当且仅当0m =时取到最小值. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养. 7．B【分析】本题首先可根据题意绘出图像，然后设出直线AB ，与抛物线方程联立得出212y y p =-，再然后设出过点A 的切线，与抛物线方程联立得出11pk y =，用同样的方式设出过点B 的切线，得出22pk y =，最后根据121k k =-即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出 图像：设()11,A x y ，()12,B x y ，则2112y px =，2222y px =，设直线:2p AB my x =-， 联立222p my x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y pmy p --=，则122y y pm +=，212y y p =-， 设过点A 的切线为()21112y k y y x p-=-，联立()2111222y k y y x p y px ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，整理得221111220y pk y pk y y -+-=， 则()()2211112420pk pk y y ∆=---=，即11pk y =，设过点B 的切线为()22222y k y y x p-=-，同理可得22pk y =，则221212p k k y y p ==-，即121k k =-，1211k k =-， 故ABQ 是直角三角形， 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相关问题的求解，考查韦达定理和判别式的应用，考查学生对“阿基米德三角形”的理解，若两条直线的斜率乘积为1-，则这两条直线互相垂直，考查计算能力，是中档题. 8．A【分析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，求出过,A B 点的切线方程，两方程联立方程组解得P点坐标，直线AB 的方程(1)y k x =-代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由焦点弦长公式求得k ，从而可得P 点坐标．【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，过A 点的切线方程为11()y y m x x -=-，由112()4y y m x x y x -=-⎧⎨=⎩得2114440y y y x m m -+-=，1124164(4)0y x m m ∆=--=，2112104y y m m -+=，12m y =， 切线方程为1112()-=-y y x x y ，化简得1122yy x x =+，同理过B 点的切线方程是2222yy x x =+，由11222222yy x x yy x x =+⎧⎨=+⎩，得12121242()y y x x x y y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=， 212224k x x k++=，121=x x ， 直线AB 过焦点(1,0)F ，所以212224228k AB x x k +=++=+=，1k =±， 2212121616y y x x ==，12,y y 异号，所以124y y =-，1214y y =-， 12122()22x x y y k-==±-，所以(1,2)P -±． 故选：A ． 9．D【分析】联立方程可解得()2,3A B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则323AB =，根据导数可得A B k k ==PA PB ⊥320y ++=和60y --=，联立求P 2⎫-⎪⎪⎝⎭，再求PF k =PF AB ⊥．【详解】联立方程23608y x y -+==⎪⎩，消去x 得：2320120y y -+=，解得123y =或26y即()2,3A B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则323AB =，A 正确； ①28x y =，即2,84x x y y '==对于()2,3A B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，切线斜率分别为A B k k ==①1A B k k =-，即PA PB ⊥，B 正确； 在点A的切线方程为23y x -=⎝⎭320y ++= 同理可得在点B60y --=联立方程32060y y ++=--=⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩P 2⎫-⎪⎪⎝⎭，D 不正确； ①()0,2F，则PF k ==AB k =①1PF AB k k =-，即PF AB ⊥，C 正确； 故选：D ． 10．C【分析】设出直线AB 方程，联立抛物线求得124x x =-，通过PF ①AB 求得1202x x x +=，进而得到M 为AB 中点，由PABPAMPBMS SS=+表示出三角形P AB 的面积，结合基本不等式求出最小值即可.【详解】易知，焦点(0,1)F ，准线方程1y =-，直线AB 斜率必然存在，设:1AB y kx =+，22121212(,),(,),0,044x x A x B x x x ><，0(,1)P x -，联立24x y =化简得2440x kx --=， 显然120,4x x ∆>=-；又PF ①AB 可得0PF AB ⋅=，即()2221021,2,044x x x x x ⎛⎫-⋅--= ⎪⎝⎭，化简得1202x x x +=，过P 作//PM y 轴交AB 于M 点，可得M 为AB 中点，故22121244,22x x x x M ⎛⎫+ ⎪+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故2212121211441222PABPAMPBMx x SSSPMx x x x ⎛⎫+⎪=+=⋅-=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭()()()221212122114216216x x x x x x ⎡⎤+-⋅-⎡⎤=+⋅+-≥+⋅=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当122x x =-=时取等. 故三角形P AB 的面积的最小值为4. 故选：C. 11．ACD【分析】利用抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系逐项判断即可； 【详解】解：设()111(0)A x y y >，，()222(0)B x y y <，， 由22y px =，得12'y y x -==，则过A ，B 的切线方程分别为11yy px px =+，22yy px px =+，所以()221212121212222y y p p x x p p y y y y y y y ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭===--，122y y x p =， 设直线AB 为x my n =+，与抛物线联立得2220y pmy pn --=， 所以121222y y pm y y pn +==-，， 直线AB 过焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，即2p n =， 所以212y y p =-，所以1222y y p P +-⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以P 点必在抛物线的准线上，且PM 平行于x 轴，所以AD 正确； 设A ，B 在准线上的投影为11A B ，，()()2212111211122222y y PM AA BB x x p p p p ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，则2212121211242PABy y SPM y y p y y p ⎛⎫+=-=+- ⎪⎝⎭()2121222y y y y p p ⎤+-+⎢⎥⎥⎦，212122y y pm y y p +==-，则322PABSpp =，当AB x ⊥轴时，取等号，所以B 错误； 当AB 斜率不存在时，易知PF AB ⊥； 当AB 斜率存在时，1212212PF AB y y pk k p y y +=⋅=--+， 所以PF AB ⊥，C 正确， 故选：ACD ． 12．ABD【分析】由直线方程与抛物线方程联立，解得,A B 两点的坐标，计算线段AB 的长判断A ，利用导数的几何意义求得切线方程，由切线斜率关系判断B ，两切线方程联立求得交点P 的坐标判断C ，由直线,PF AB 的斜率关系判断D. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立28360x y y ⎧=⎪-+=，可得23480x --=，解得43x或x =，不妨设1x =2x =16y =，223y =，故()A，23B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，323AB =，A 项正确； 又因为28x y =，所以4x y '=，故直线P A=直线P A的方程为6y x --，即6y =-， 同理可得直线PB的方程为23y =，1PA PB k k ⋅==-， 所以PA PB ⊥，B 项正确；联立623y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，可得2x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 故点P的坐标为2⎫-⎪⎪⎝⎭，C 项错误；易知点F 的坐标为()0,2，PF k ==1PF AB k k ⋅==-，所以PF AB ⊥，D 项正确． 故选：ABD. 13．BCD【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理结合导数逐项计算后可得正确的选项.【详解】由282x yy x ⎧=⎨=+⎩消y 可得28160x x --=令()()11221212,,,,8,16A x y B x y x x x x +==-，21,,844PA x x xy y k =='=，()2221111221:,:484848x x x x x x PA y x x x PB y x =-+=-=-，2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得12124228x x x x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，(4,2)P -，A 错． 1242C x xx +==，①PC x ⊥轴，B 对．221,1,140PF AB PF AB k k k k --==-=⋅=--，①PF AB ⊥，D 对． 12116PA PB x xk k ⋅==-，①PA PB ⊥，C 对，故选：BCD ． 14．ABC【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<， 由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2yx 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-， 显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确； B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒= 因此正三角形PAB所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PA PBx x x xx x k kx x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+，因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确；D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x -，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用. 15．BCD【分析】关于阿基米德三角形ABQ 的结论，需要逐个选项去判断，对于A ，212121QA QBp p p k k y y y y ⋅=⋅==-，∴0QA QB ⋅=.对于B ，可得,A B 处的切线方程分别为：11()y y p x x =+，22()y y p x x =+，可以得出Q 的坐标进而可以验证，对于C 选项，设AB 的中点为H ，利用平行关系可以做出判断. 对于D ，如图，设准线与x 轴的交点为M ，利用三角形面积公式可以判断是正确的. 【详解】由题意画图如下：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 设直线:2p AB x my =+， 联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，化为2220y pmy p --=， 得到122y y pm +=，212y y p =-．设过点A 的切线为11()()y y k x x -=-，联立112()2y y k x x y px-=-⎧⎨=⎩，整理可得2211220py p y y y k k -+-=， 由△221122()4()0py p y k k=---=，可得1p k y =．同理可得过点B 的切线斜率为2py ，对于A ，212121QA QBp p p k k y y y y ⋅=⋅==-，∴0QA QB ⋅=，故A 错； 对于B ，可得A ，B 处的切线方程分别为：11()y y p x x =+，22()y y p x x =+， 可得(2p Q -，12)2y y+，122QFy yk m p+∴=-=-，当0m =时，1202QF y y k p+∴=-=，直线AB 斜率不存在，两直线垂直，AB QF ∴⊥，2AQ AF AB ∴=⋅∴2AQ AB AQ AF AB ⋅==⋅．故B 正确；当0m ≠，又因为直线AB 的斜率为1m， AB QF ∴⊥，2AQ AF AB ∴=⋅∴2AQ AB AQ AF AB ⋅==⋅．故B 正确；对于C ，设AB 的中点为H ，则由122H y y y +=，//QH x ∴轴， 向量2QA QB QH +=，∴向量QA QB +与向量(1,0)a =-共线，故C 正确；对于D ，如图，设准线与x 轴的交点为M ， ABQ 面积的12S AB QF =⋅，当AB 最短时（最短为2)p ，QF 也最短，最短为MF ，ABQ 面积的最小值为2p ，故正确． 故选：BCD ． 16．ABD【分析】A 选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B 选项联立直线抛物线求出A 点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C 选项令2n =，进行判断；D 选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.【详解】A 选项：内接三角形的面积3864⨯=，正确；B选项：2232y pxy x p⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，解得12129,223p px xy p y p⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩，又A为第一象限的点，,2pA p⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，y y'==21pxy='=，故切线方程为2py p x-=-，即220x y p-+=，正确；C选项：由()1*4nn ABCA S n N-∆⋅=∈，得124A A=，令2n=，24ABCS A∆⋅=，弓形面积为222214164433334ABCS A A A A A∆==++=，所以不等式不成立，错误；D选项：由9,,,322p pA pB p⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知5,22pD p⎛⎫-⎪⎝⎭，//DC x轴，,2pC p⎛⎫-⎪⎝⎭，又AC BC，的中点1V，2V，易求()()12125,0,,2,0,0,2,222p pV V p C C p p⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12111222ACCpS C V p=⨯⨯=，22221222BCCpS C V p=⨯⨯=，21442ABCS CD p p=⨯⨯=，因此1214ACC BCC ABCS S S∆∆∆+=成立，正确.故选：ABD.【点睛】本题需要依次判断四个选项，A选项直接利用定义判断，B选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C选项通过特殊值进行排除即可，D选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.17．116##0.0625【分析】根据题意得到等比数列，利用等比数列通项公式进行计算【详解】由题意得：每一次作出的内接三角形面积和为等比数列，首项为1，公比为14，故第三次所作的内接三角形面积和为2111416⎛⎫⨯=⎪⎝⎭故答案为：11618．643【分析】先求出A，B两点的坐标，然后再求出过A，B两点的切线方程，从而可求出直线l与两条切线所围成的三角形的面积，进而可求出弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积【详解】解：由2414yy x=⎧⎪⎨=⎪⎩，得44xy=⎧⎨=⎩或44xy=-⎧⎨=⎩，不妨设A (4，4)，B (﹣4，4)，由214y x =得'12y x =，所以过点A ，B 的切线的斜率分别为2,2-所以在该两点处的抛物线的切线方程分别y ＝2x ﹣4，y ＝﹣2x ﹣4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为188322⨯⨯=，故弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为643． 故答案为：643【点睛】此题考查抛物线的几何性质的应用，考查曲线的切线的求法，属于基础题. 19． 1-83【分析】由214y x =，求得12y x '=，则()2k y '=-，写出在A 点处和B 点处抛物线C 的切线方程，求得交点，再求得阿基米德三角形面积，再根据弦与抛物线所围成的封闭图形的面积与阿基米德三角形面积的关系求解. 【详解】因为214y x =， 所以12y x '=， 所以()'|12212k y x ==-=⨯-=-，所以在A 点处抛物线C 的切线的斜率为-1， 切线方程为：()12y x -=-+，即=1y x --， 同理在B 点处抛物线C D 切线方程1y x =-，由11y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以两切线的交点为()0,1P -，所以阿基米德三角形面积14242S =⨯⨯=，所以弦AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积为128424233S =⨯⨯=⨯=， 故答案为：-1，8320．(1)221:143x y C +=，22:4C y x =(2)。
中考动点问题，翻折三角形求线段最小值翻折三角形求线段最小值是一道常见的中考动点问题。
题目描述：给定一个三角形的三条边长度a、b、c，求线段p的最小值，使得线段p可以将这个三角形翻折成一个平行四边形。
解题思路：
画图。
把三角形放在一个平面上，假设线段p与三角形的边b相交，并且p和c在同一侧。
设线段p的长度为x，线段b的长度为b，线段a的长度为a。
设点E为线段p与b相交的点，设点F为线段b的中点。
利用勾股定理求出线段EF的长度。
根据勾股定理，有EF=√(b^2-x^2)。
利用勾股定理求出线段AC的长度。
根据勾股定理，有AC=√(a^2-EF^2)。
利用勾股定理求出线段p的长度。
根据勾股定理，有x=√(AC^2+c^2)。
设函数f(x)=√(AC^2+c^2)，求函数f(x)的最小值。
利用导数法求函数f(x)的极值。
根据定义，当函数f(x)在点x0处取到极值时，函数f'(x0)=0。
将求出的x0带回函数f(x)解得x0的值，即为线段p的最小值。
得出结论。
线段p的最小值即为x0，可以将三角形翻折成一个平行四边形。
注意事项：
在求勾股定理的平方根时，要确保平方根的值大于0。
在求函数f(x)的导数时，要注意求导的顺序。
在求解不等式时，要注意不等号的方向。
在解题过程中，要确保所得结论的正确性。
希望这些内容能帮助你更好地理解和解决翻折三角形求线段最
小值这道题。
阿基米德三角形小题
阿基米德三角形（Archimedean triangle）是指具有特定边长比例的一类三角形。
它们是由古希腊数学家阿基米德在几何学领域研究中发现并命名的。
阿基米德三角形的定义是：一个三角形的三条边长度满足以下关系式之一：
1. a : b : c = m : n : p （其中m、n、p为正整数，且m、n、p没有公因子）
2. a : b : c = n : m : p （同样，m、n、p为正整数，且m、n、p没有公因子）
这里的a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。
阿基米德三角形与等边三角形、等腰三角形和直角三角形不同，它们的边长比例是特殊的。
阿基米德三角形有无限多种，其中一些比较常见的有：
1. 3:4:5三角形
2. 8:15:17三角形
3. 7:24:25三角形
4. 9:40:41三角形
这些三角形被广泛应用于几何学和工程学中，可以用来构建各种形状和结构。
例如，在建筑设计中，阿基米德三角形可以用来构建稳定且美观的屋顶结构或者墙面装饰。
在机械设计中，阿基米德三角形也被用于设计特定形状的齿轮或传动装置。
希望以上信息对你有所帮助！。
