2015-2016年辽宁省大连市高一下学期数学期末试卷与解析PDF

高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c = 120b B == ，则边a 等于（ ）A.B. C. D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知222212cos 622b a c ac B a a ⎛⎫=+-∴=+-⨯-∴= ⎪⎝⎭故答案为C.【考点】解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。

2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A.B. 34C.D. 13【答案】A【解析】试题分析： 1sin sin sin 2b B a A a C -=，则由正弦定理可得2212b a ac -=，又2c a = ， 222222132224a cb b a ac a cosB ac +-∴=+=∴==.故选B.【考点】正弦定理，余弦定理3．各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S .若25378,13a a S -=-=，则数列{}n a 的通项公式为n a =（ ） A. 2n B. 12n - C. 3n D. 13n -【答案】D【解析】各项均为正数,公比为q 的等比数列{a n }，a 2−a 5=−78,S 3=13， 可得421111178,13a q a q a a q a q -=-++=， 解得113a q ==，，则11*13n n n a a q n N --==∈，， 本题选择D 选项.4．已知数列{}n a 的通项为()()143nn a n =--，则数列{}n a 的前50项和50T =（ ）A. 98B. 99C. 100D. 101 【答案】C【解析】数列{a n }的通项为()()143nn a n =--， 前50项和()()()()5015913171971591317211931974444425100.T =-+-+-+⋯+=-++-++-++⋯+-+=+++⋯+=⨯=本题选择C 选项.点睛：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解． (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．5．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 9 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴()7820a a +=，∴780a a +=，又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B.【考点】等差数列的前n 项和．6．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）A. 48B. 56C. 64D. 72 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由两个长方体组成的组合体，上面的长方体长宽高分别为4,2,5，线面的长方体长宽高分别为4,6,1，据此可得该几何体的体积为42546164⨯⨯+⨯⨯=. 本题选择C 选项. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7．设0,0a b >>，若2是4a 和2b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 4 C. 92D. 5【答案】C【解析】∵2是4a和2b 的等比中项， ()22424,22,22,1,2a b a b b a b a +∴⋅=∴=∴+=∴+=又∵0,0a b >>，21215592222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b a a b =，即23a b ==时等号成立. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0248121824324050......、、、、、、、、、，则此数列第20项为（ ）A. 180B. 200C. 128D. 162 【答案】B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…， 可得偶数项的通项公式：a 2n =2n 2. 则此数列第20项=2×102=200. 本题选择B 选项. 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M N P 、、三点共线， O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），则20S 等于（ ） A. 20 B. 10 C. 40 D. 15 【答案】B【解析】∵M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），∴a 6+a 15=1，∴a 1+a 20=1， ∴()1202020102a a S +==.本题选择B 选项.10．已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，由又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=，则222a b +的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】∵已知a >b ,二次不等式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立， ∴a >0，且△=4−4ab ⩽0，∴ab ⩾1.再由∃x 0∈R ,使20020ax x b ++=成立，可得△=0，∴ab =1，222a b ∴+=…当且仅当222a b =即b =时等号成立， 本题选择D 选项.11．若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是（ ） A. a b > B. a b < C. a b ≤ D. a b ≥ 【答案】B【解析】∵a 、b ∈(0,1)，且满足()114a b ->，()112211.22a b a b b a -+>-+∴>∴>，又， 本题选择B 选项.12．()()3,1,1,3,(0,0)OA OB OC mOA nOB m n ==-=->>若[]1,2m n +∈则OC的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意,向量()()()3,1,1,33,3OA OB OC mOA nOB m n m n ==-=-=+-，，则OC =令t =,则OC =，而m +n ∈[1,2]，即1⩽m +n ⩽2，在直角坐标系表示如图，t =表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离， 分析可得：22t ，又由OC =，OC剟本题选择A 选项.二、填空题13．已知向量,a b满足()5a a b ⋅+= ，且2,1a b == ，则向量a 与b 夹角余弦值为__________．【答案】12【解析】()22,1,5,42,51,2a b a a b a a b cos a b cos a b cos a b ==⋅+=∴+⋅=+=∴=，，即向量a与b 夹角余弦值为12.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c 且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积S =，则ab 的值为__________． 【答案】13【解析】在△ABC 中,由条件用正弦定理可得2sinCcosB =2sinA +sinB =2sin (B +C )+sinB ，即2sinCcosB =2sinBcosC +2sinCcosB +sinB ,∴2sinBcosC +sinB =0,12,.23cosC C π∴=-=由于△ABC 的面积为11sin .23S ab C ab =⋅==∴= 156、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____. 【答案】88.【解析】试题分析：设该长方体的高为x,则因为半径为，所以，即，所以长方体的表面积为，故应填88.【考点】1、简单几何体的体积的求法.16．设等比数列{}n a满足公比*q N∈，*na N∈，且{}n a中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a=，则q的所有可能取值的集合为．【答案】{}8127932,2,2,2,2【解析】试题分析：由题意，8112nna q-=，设该数列中任意两项为,m la a，它们的积为pa，则811811811222m l pq q q---=，即8112p m lq--+=，故1p m l--+必须是81的正约数，即1p m l--+的可能取值为1,3,9,27,81，所以q的所有可能取值的集合为{}8127932,2,2,2,2【考点】等比数列三、解答题17．请推导等比数列的前n项和公式.【答案】见解析【解析】试题分析：由等比数列的特点分类讨论，然后结合错位相减的方法即可求得等比数列前n项和公式.试题解析：若数列{}n a为公比为q的等比数列，则其前n项和公式()()11,11nna qS qq-=≠-，当1q=时，1nS na=.下面证明：21123111......nn nS a a a a a a q a q aq-=++++=++++，①23111...nnqS a q a q a q aq∴=++++，②①-②可得()11nnq S a aq-=-，当1q ≠时，上式两边同除以1q -可得()111nn a q S q-=-，当1q =时，数列各项均为1a ，故1n S na =.点睛：一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误． 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.18．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，（1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．【答案】（1）()2163555f x x x =---；（2）((),22-∞-⋃-【解析】试题分析：（1）抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，（2）结合二次函数的图象来解决是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式与0的关系，（3）当a>0时，配方法最大值，也可用顶点坐标，或在对称轴处取得最大值 试题解析：由题意可设()()()213f x x a x x +=--，且0a <， 即()()()132f x a x x x =---， 2分（1）()()()613260f x a a x x x a +=---+=， 即()24290ax a x a -++=有两个相等的实根，得()2242360a a ⎡⎤∆=-+-=⎣⎦，即25410a a --=， 而0a <，得15a =-，即()()()11325f x x x x =----，整理得()2163555f x x x =---． 6分（2）()()22max 124204a a f x a-+=>，即2410a a a--->，而0a <，得2410a a ---<，即2410a a ++>， 9分2a >-2a <-0a <，得a 的取值范围为((),22-∞-⋃-． 12分【考点】二次函数和一元二次不等式解的关系及二次函数的最值19．已知函数f (x )＝226xx +.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．【答案】（1）－25（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25(2)∵x >0，f (x )＝226xx +＝26x x+，当且仅当x已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t t 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sinAsinC C ． 【答案】（Ⅰ）0120B =（Ⅱ）015C =或045C =【解析】试题分析：（1）由()()a b c a b c ac ++-+=得222a c b ac +-=-，结合余弦定理可求出B ;（2）由三角形内角和定理可知060A C +=，由()()cos cos 2sin sin A C A C A C -=++=可求出030A C -=或030A C -=-，解之即可.试题解析： （1）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-因此0120B =（2）由（1）知060A C +=，所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()cos 2sin sin A C A C =++112242=+⨯= 故030A C -=或030A C -=-，因此015C =或045C = 【考点】1.余弦定理；2.三角恒等变换.21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为 （1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积. 【答案】（1）20（2）50π 【解析】试题分析：(1)将四面体放入一个长方体，列出方程求得长宽高，据此可得该四面体的体积是20；(2)结合(1)的结论可得外接球半径为r =，则外接球的表面积为2450S r ππ==.试题解析：（1） 四面体的三组对边分别相等，∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为,,a b c，则5===，解得4{3 5a b c ===，∴四面体的体积1142063V abc abc abc =-⨯==.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体=∴外接球的半径为2r =， ∴外接球的表面积为2450S r ππ==.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*22n nn S a n N =-∈. （1）求1a 的值，若2n n n a c =，证明数列{}n c 是等差数列；（2）设()22log log 1n n b a n =-+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n B ，若存在整数m ，使对任意*n N ∈且2n ≥，都有320n n mB B ->成立，求m 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）18. 【解析】试题分析：(1)由题意可得112,1n n c c c -=-=，则数列{}n c 是首项为2，公差为1的等差数列.(2)由题意可得3111123n n B B n n n-=+++++ ，结合恒成立的条件可得m 得最大值为18.试题解析：（1）由22n n n Sa =-，则122n n n S a +=-，则21122S a =-可得14a =，又()11222n n n S a n --=-≥两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即()1222n n n a a n --=≥， 于是11122n n n n a a ---=即112,1n n c c c -=-=， 所以数列{}n c 是112,1n n c c c -=-=以首项为2，公差为1的等差数列. （2）()12,n n n a n b n =+⋅=12311111112111123n n n n B b b b nB B n n n∴=+++=+++∴-=+++++令()111123f n n n n=+++++ 则()1111111233313233f n n n n n n n +=+++++++++++ 所以()()111113132331f n f n n n n n +-=++-++++ 1111120313233333333n n n n n n =++>+-=++++++. 所以当2n ≥时， ()f n 的最小值为()1111192345620f =+++=.据题意， 192020m <，即19m <，又m 为整数，故m 得最大值为18.。

2015-2016学年辽宁省大连市庄河高中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每题5分，计60分）1．（5分）已知集合，那么集合M 的元素个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（5分）函数f（x）=lnx+1的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．R3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=14﹣a6，则S10=（）A．35 B．70 C．28 D．144．（5分）关于函数f（x）=2sinx，下列说法正确的是（）A．f（x）为奇函数，值域为B．f（x）为偶函数，值域为[1，2]C．f（x）为非奇非偶函数，值域为D．f（x）为非奇非偶函数，值域为[1，2]5．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．86．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）函数f（x）=2x+log a（x+1）+3恒过定点为（）A．（0，3） B．（0，4） C．D．（﹣1，4）8．（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=，且a2+a4=，则=（）A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣110．（5分）已知f（x）=1+1og x2+1og4+1og8，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（，1）D．（0，）11．（5分）已知f（cosx）=3x，（x∈[0，π]）那么f（sin）=（）A． B． C． D．12．（5分）已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：（每题5分，计20分）13．（5分）函数f（x）为奇函数，x≥0时，f（x）=cos2x﹣1，那么f（﹣）+f（）=．14．（5分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n，那么数列{a n}的通项公式a n=．16．（5分）已知x3+sinx=m，y3+siny=﹣m，且x，y∈（﹣），m∈R，则tan（x+y+）=．三、解答题：（共6题，计70分）17．（10分）已知向量=（2，﹣3），=（﹣5，4），=（1﹣λ，3λ+2）．（Ⅰ）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值；（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．18．（12分）已知函数f（x）=﹣cos2x﹣sinx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若，求cos2α的值．19．（12分）已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC，且BE=2ED，BC=2BF．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．21．（12分）在等差数列{a n}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．22．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且满足a=3bcosC．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=3，tanA=3，求△ABC的面积．2015-2016学年辽宁省大连市庄河高中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，计60分）1．（5分）已知集合，那么集合M 的元素个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意可知x不在坐标轴上，当x为第一象限角时，函数s=+++=4；当x为第二象限角时，函数s=+++=﹣2；当x为第三象限角时，函数s=+++=0；当x为第四象限角时，函数s=+++=﹣2．∴函数s=+++的值域是数集{4，﹣2，0}．集合M的元素个数为：3个，故选：C．2．（5分）函数f（x）=lnx+1的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．R【解答】解：由对数函数的定义，可知函数f（x）=lnx+1的定义域为：（0，+∞）．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=14﹣a6，则S10=（）A．35 B．70 C．28 D．14【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a5=14﹣a6，∴a1+a10=a5+a6=14．则S10===70．故选：B．4．（5分）关于函数f（x）=2sinx，下列说法正确的是（）A．f（x）为奇函数，值域为B．f（x）为偶函数，值域为[1，2]C．f（x）为非奇非偶函数，值域为D．f（x）为非奇非偶函数，值域为[1，2]【解答】解：∵f（﹣x）=2sin（﹣x）=2﹣sinx=（）sinx≠2sinx，且f（﹣x）=（）sinx ≠﹣2sinx，∴函数f（x）是非奇非偶函数，∵﹣1≤sinx≤1，∴2﹣1≤f（x）≤21，即≤f（x）≤2，即函数的值域为，故选：C．5．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体，半圆柱与半球的半径均为r，半圆柱的高为2r，∴几何体的表面积为为+++πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=64+80π．解得r=4．故选：C．6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选：A．7．（5分）函数f（x）=2x+log a（x+1）+3恒过定点为（）A．（0，3） B．（0，4） C．D．（﹣1，4）【解答】解：∵函数f（x）=2x+log a（x+1）+3，令x+1=1，解得x=0；此时y=f（0）=4，∴函数f（x）恒过定点的坐标为（0，4）．故选：B．8．（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：，又则=．故选：B．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=，且a2+a4=，则=（）A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q==，∴a1+a3=a1（1+q2）=a1（1+）=，解得：a1=2，∴a n=2×（）n﹣1=（）n﹣2，S n=，∴==2n﹣1，故选：D．10．（5分）已知f（x）=1+1og x2+1og4+1og8，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（，1）D．（0，）【解答】解：f（x）=1+1og x2+1og4+1og8=1+31og x2＜0，∴1og x2＜﹣，∴＜x＜1，故选：C．11．（5分）已知f（cosx）=3x，（x∈[0，π]）那么f（sin）=（）A． B． C． D．【解答】解：f（cosx）=3x，（x∈[0，π]）那么f（sin）=f（cos（））=3×=．故选：D．12．（5分）已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：由=（+）•（+）=2+•（+）+•=||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为=，故的最小值为2﹣1=1．故选：A．二、填空题：（每题5分，计20分）13．（5分）函数f（x）为奇函数，x≥0时，f（x）=cos2x﹣1，那么f（﹣）+f（）=0．【解答】解：函数f（x）为奇函数，x≥0时，f（x）=cos2x﹣1，那么f（﹣）+f（）=﹣f（）+f（）=﹣cos+1+cos﹣1=0．故答案为：0．14．（5分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=﹣1或2．【解答】解：两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0的分别化为：，y=﹣x﹣，∵l1∥l2，∴，，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n，那么数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：由S n=2n①，得S n﹣1=2n﹣1（n≥2）②，①﹣②，得a n=2n﹣1（n≥2），当n=1时，a1=S1=2，不适合上式，∴．故答案为：．16．（5分）已知x3+sinx=m，y3+siny=﹣m，且x，y∈（﹣），m∈R，则tan（x+y+）=．【解答】解：令f（x）=x3+sinx，则f（﹣x）=﹣x3﹣sinx，∴f（x）为奇函数，且f（x）在（﹣，）为单调函数，∵f（x）=m，f（y）=﹣m，∴x+y=0，∴tan（x+y+）=tan=．故答案为：．三、解答题：（共6题，计70分）17．（10分）已知向量=（2，﹣3），=（﹣5，4），=（1﹣λ，3λ+2）．（Ⅰ）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值；（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．【解答】解：（Ⅰ）因为△ABC是直角三角形，且∠B=90°，所以=0，又因为=（2，﹣3），=（﹣5，4），=（1﹣λ，3λ+2），∴（）•（）=（7，﹣7）•（6﹣λ，3λ﹣2）=0即8﹣4λ=0，解得λ=2．（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，则A、B、C不共线，∴向量与不共线，即﹣7（3λ﹣2）≠7（6﹣λ），∴实数λ应满足条件λ≠﹣2．18．（12分）已知函数f（x）=﹣cos2x﹣sinx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=﹣cos2x﹣sinx+1=sin2x﹣sinx=，又sinx∈[﹣1，1]，所以当时，函数f（x）的最小值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以．于是（舍）或．又．19．（12分）已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，∴D2+E2﹣4F＞0，即4+16﹣4m＞0解得m＜5，∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．（6分）（2）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d==，（8分）∵圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，∴，解得m=4．（14分）20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC，且BE=2ED，BC=2BF．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD=CD=2，∠BAC=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，取AC的中点O，连接OD，则OD⊥AC，∵平面ACD⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC，则OD⊥BC，∵AD=CD=2，∠BAC=45°，∴AC=2，∵AB=4，∠BAC=45°，∴BC=2，即△ACB是直角三角形，则BC⊥AC，∵OD∩AC=0，∴BC⊥平面ACD，∵AD⊂平面ACD，∴BC⊥AD；（Ⅱ）由（Ⅰ）得OD=，过E作EH⊥平面ABC，则=，∵BE=2ED，∴=，则==，则EH=OD=，∵BC=2BF．∴F是BC的中点，则BF=BC=AC==，则△AEF的面积S=BF•AC==2，则大三棱锥D﹣ABC的体积V===，三棱锥E﹣ABF的体积V==，则另外一部分的体积V=﹣=﹣=，则平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比为：=2．21．（12分）在等差数列{a n}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差是d．依题意a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．所以a2+a7=2a1+7d=﹣23，解得a1=﹣1．所以数列{a n}的通项公式为a n=﹣3n+2．（Ⅱ）解：由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以．所以=．从而当c=1时，；当c≠1时，．22．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且满足a=3bcosC．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=3，tanA=3，求△ABC的面积．【解答】解：（I）在△ABC中，由a=3bcosC，利用正弦定理可得：sinA=3sinBcosC，∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC，∴tanB+tanC=3tanB，∴=2．（II）∵tanA=3=﹣tan（B+C）=﹣，又=2．解得tanB=1，tanC=2，∵A∈（0，π），∴sinA=，同理可得：sinB=，sinC=．由正弦定理可得：==，解得b=，c=2．=sinA=×=3．∴S△ABC。

2015—2016学年辽宁省大连市瓦房店高中高一(下)期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．向量，且∥，则锐角α的余弦值为（）A．B．C．D．2．=（）A．﹣B．﹣C．D．3．函数f（x)=sin2x﹣4sin3xcosx（x∈R）的最小正周期为（）A．B．π4C．π8D．π4．在△ABC中，acos2+ccos2=b,则（）A．a，b,c依次成等差数列B．b，a，c依次成等差数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列5．已知｛a n}为等差数列,若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为(）A．B．C．D．6．函数y=log2x+log x2x的值域为（）A．（﹣∞，﹣1］B．[3,+∞）C．[﹣1，3］D．(﹣∞，﹣1]∪[3，+∞)7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图示,则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（)A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺9．在平面直角坐标系xOy中,过定点Q(1，1）的直线l与曲线C：y=交于点M，N，则•﹣•=（）A．2 B． C．4 D．10．已知、为平面向量，若+与的夹角为， +与的夹角为，则=（）A．B．C．D．11．在斜三角形ABC中，sinA=﹣cosBcosC且tanB•tanC=1﹣，则∠A的值为（）A．B．C．D．12．已知不等式组，表示的平面区域为D,点O（0,0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知向量夹角为45°，且，则=．14．在由正数组成的等比数列｛a n}中，若a3a4a5=3π，则sin（log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为．15．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S10=110，则的最小值为．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b（tanA+tanB)=ctanB，BC边的中线长为1,则a的最小值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图,平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ)∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b,c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．19．某同学用“五点法"画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0,｜φ｜＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0 π2πAsin（ωx+φ)+B 0 0 ﹣0(Ⅰ）请求出上表中的x l，x2，x3，并直接写出函数f（x)的解析式．（Ⅱ）将f(x)的图象沿x釉向右平移个单位得到函数g(x）,若函数g（x)在x∈[0,m］(其中m∈(2，4)）上的值域为[﹣,]，且此时其图象的最高点和最低点分别为P,Q，求与夹角θ的大小．20．已知函数f（x）=sin(x﹣）+．（1)若x∈［0，],f（x)=，求cosx的值;（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足2bcosA≤2c﹣a，求f（B）的取值范围．21．已知等比数列｛a n}的首项a1=8，公比为q(q≠1）,S n是数列｛a n｝的前n项和．（1）若S3，2S4,3S5成等差数列，求｛a n｝的通项公式a n;（2）令b n=log2a n，T n是数列{b n｝的前n项和，若T3是数列｛T n}中的唯一最大项，求的q 的取值范围．22．设各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和为S n,满足且a2,a5，a14恰好是等比数列｛b n｝的前三项．(Ⅰ)求数列｛a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列｛b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．2015—2016学年辽宁省大连市瓦房店高中高一(下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．向量，且∥，则锐角α的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系；平行向量与共线向量．【分析】根据平行向量满足的条件列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可．【解答】解：∵=(，tanα），=(cosα，1），∥，∴cosαtanα=sinα=，∵α为锐角，∴cosα==．故选D2．=()A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式化简,再利用两角差的正弦即可求值．【解答】解:原式====．故选：D．3．函数f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx（x∈R）的最小正周期为（）A．B．π4C．π8D．π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】把函数f(x)的解析式利用二倍角公式变形后,化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式中，求出函数的周期．【解答】解:函数f(x）=sin2x﹣4sin3xcosx=sin2x（1﹣2sin2x）=sin2x•cos2x=sin4x，故函数的最小正周期为=，故选：A．4．在△ABC中，acos2+ccos2=b，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．b，a,c依次成等差数列C．a，c，b依次成等差数列D．a,b,c既成等差数列，也成等比数列【考点】数列与三角函数的综合．【分析】根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简便可得出a+c=2b,即可求出a、b、c 关系．【解答】解：设R是三角形ABC外接圆半径，∵acos2+ccos2=b，∴+=b,即a+acosC+c+ccosA=3b，即a+c+（acosC+ccosA）=3b即a+c+（acosC+ccosA）=2b+ba+c+2R（sinAcosC+sinCcosA）=2b+2RsinBa+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB∵A、B、C在三角形ABC中，所以sin(A+C）=sinB，所以a+c+2Rsin(A+C）=2b+2RsinB得到a+c=2b，即a，b，c成等差数列,故选A．5．已知{a n｝为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos(a3+a7）的值为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】由条件利用等差数列的性质求得a5=，可得a3+a7 =2a5=，再由cos（a3+a7）=cos利用诱导公式求得结果．【解答】解:｛a n}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则有3a5 =8π，a5=．∴a3+a7 =2a5=，cos（a3+a7）=cos=cos =﹣cos=﹣，故选A．6．函数y=log2x+log x2x的值域为()A．（﹣∞，﹣1］B．［3，+∞）C．[﹣1，3］D．（﹣∞,﹣1］∪［3，+∞）【考点】基本不等式；函数的值域．【分析】注意到log2x和log x2互为倒数，积是定值，所以只要将原函数化为用log x2和log2x 表示,再用基本不等式求最值即可．【解答】解：y=log2x+log x2x=（log2x+log x2)+1，设log2x=t，则log x2=，y=t++1（t∈R),因此y≥3或y≤﹣1故选D．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ｜＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为(）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin(2x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期,利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：由图象知A=1,T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，｜φ｜＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin(2x+）,则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+］=sin(2x﹣), 故选D．8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺,末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布(）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的定义与前n项和求解即可．【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列,在等差数列｛a n｝中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选:B．9．在平面直角坐标系xOy中,过定点Q（1，1）的直线l与曲线C:y=交于点M，N，则•﹣•=（）A．2 B． C．4 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】曲线，可知：曲线C的图象关于点（1,1）成中心对称，Q 是线段MN的中点,因此．【解答】解：∵曲线，∴曲线C的图象关于点（1，1）成中心对称，∴Q是线段MN的中点,故•﹣•=•(+）=22=4．故选：C．10．已知、为平面向量,若+与的夹角为， +与的夹角为,则=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意,画出平行四边形表示向量=，=,=，利用正弦定理即可求出．【解答】解：如图所示：在平行四边形ABCD中，=,=，=，∠BAC=，∠DAC=,在△ABC中，由正弦定理得，===．故选：D．11．在斜三角形ABC中,sinA=﹣cosBcosC且tanB•tanC=1﹣，则∠A的值为() A．B．C．D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】由条件可得sinBcosC+cosBsinC=﹣cosBcosC,两边同除cosBcosC可得tanB+tanC 的值，再利用两角和的正切公式求得tan（B+C)的值，可得B+C的值，从而得到A的值．【解答】解：∵在斜三角形ABC中,sinA=sin(B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣cosBcosC，两边同除cosBcosC可得tanB+tanC=﹣．又tanBtanC=1﹣，所以tan（B+C）==﹣1,∴B+C=，A=．故选A．12．已知不等式组,表示的平面区域为D,点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点,则的最小值是(）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积将条件进行转化,利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：设z=,则z==｜|•cos∠A0M,∵O(0，0）,A(1,0）．∴｜|=1，∴z=｜|•cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M最小,则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3）,则｜AC|=，则cos∠A0M==，故选：A．二．填空题:本大题共4小题，每小题5分13．已知向量夹角为45°，且,则=．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴｜2｜====解得故答案为:314．在由正数组成的等比数列{a n}中,若a3a4a5=3π,则sin（log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】利用对数的基本运算化简log3a1+log3a2+…+log3a7，通过a3a4a5=3π，求出对数的值,然后求解即可．【解答】解:因为由正数组成的等比数列{a n}中,a3a4a5=3π，所以a43=3π，a4=3,∴log3a1+log3a2+…+log3a7=log3=log3=7log3=7log3=．∴sin（log3a1+log3a2+…+log3a7）=sin=sin（2π+）=sin=．故答案是:．15．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S10=110,则的最小值为．【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据条件a2=4，S10=110，求出等差数列的通项公式和前n项和公式，然后利用基本不等式即可得到结论．【解答】解:在等差数列中a2=4,S10=110，则，解得a1=2，d=2,即a n=2+2（n﹣1）=2n,，∴==8+，当且仅当，即n2=64，n=8时取等号．故答案为：．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c,若b（tanA+tanB)=ctanB,BC边的中线长为1，则a的最小值为．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简条件式可得cosA=，由向量线性运算的几何意义可得=2，两边平方得出b，c间的关系，使用基本不等式解出bc的范围，于是a=｜|，两边平方即可求出a2的最小值．【解答】解：在△ABC中，∵b（tanA+tanB)=ctanB，∴b(）=，∴bsinC=csinBcosA,∴bc=bccosA，∴cosA=．∵BC边的中线长为1，∴=2，∴c2+b2+2bccosA=4，即b2+c2=4﹣bc≥2bc，解得bc≤4﹣2．∴a2=（）2=b2+c2﹣2bccosA=4﹣2bc≥4﹣2（4﹣2）=12﹣8．∴a的最小值为=2﹣2．故答案为：2．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图,平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求(Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．【考点】解三角形的实际应用．【分析】(I）在△BCD中由正弦定理解出BD,在△ABD中，由余弦定解出cos∠ADB；（II)代入三角形的面积公式计算．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：，即，解得BD=3．在△ABD中,由余弦定理得:cos∠ADB===．∴∠ADB=45°．（Ⅱ)∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．∴sin∠ADC=sin（45°+30°)=，=•CDsin∠ADC==．∴S△ACD18．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【考点】余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理．【分析】(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ)由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件,求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中,∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC,（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1,=,tanB=4．19．某同学用“五点法"画函数f（x）=Asin(ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0 π2πAsin(ωx+φ）+B 0 0 ﹣0(Ⅰ）请求出上表中的x l,x2，x3，并直接写出函数f（x)的解析式．（Ⅱ）将f（x）的图象沿x釉向右平移个单位得到函数g（x）,若函数g（x)在x∈[0，m](其中m∈（2，4））上的值域为[﹣，］,且此时其图象的最高点和最低点分别为P，Q，求与夹角θ的大小．【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换；由y=Asin(ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】(Ⅰ)由条件利用五点法作图，求得ω、φ的值，再结合表格中的数据可得函数f（x）的解析式，从而求得表中的x l，x2，x3．（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g(x）的解析式，可得P、Q的坐标，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得与夹角θ的大小．【解答】解：(Ⅰ）由题意可得ω•+φ=,ω•+φ=，∴ω=，φ=，再结合表格中的数据，可得函数f(x）=sin(x+)．再根据x1+=0，x2+=π，x3+=2π，求得x l =﹣，x2 =，x3，=；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x釉向右平移个单位得到函数g（x）=sin[(x﹣)+]=sin x的图象，若函数g(x)在x∈［0，m]（其中m∈（2,4)）上的值域为［﹣,］，且此时其图象的最高点和最低点分别为P(1,)、Q（3，﹣）,∴=(3,﹣）、=（﹣2，2）．设与夹角θ的大小为θ，则cosθ===﹣,∴θ=．20．已知函数f（x）=sin(x﹣）+．(1）若x∈［0,］,f（x）=，求cosx的值；（2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足2bcosA≤2c﹣a,求f（B）的取值范围．【考点】正弦定理；正弦函数的图象．【分析】（1）运用角的变换：x=x﹣，由条件求出cos（x﹣)，再由两角和的余弦公式,即可得到cosx；（2）运用正弦定理和两角和的正弦公式化简，即可得到2cosB≥，再由余弦函数的单调性，得到B的范围，再由正弦函数的性质，即可得到f（B）的范围．【解答】解：（1)函数f（x）=sin（x﹣）+，由f（x）=，即sin(x﹣）=，由于x∈[0，］,则x﹣∈[﹣］，即有cos（x﹣)=，则cosx=cos（x﹣)=cos(x﹣）cos﹣sin（x﹣）sin=﹣=;（2）由于2bcosA≤2c﹣a,则由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC﹣sinA=2sin（A+B）﹣sinA=2sinAcosB+2cosAsinB﹣sinA，则有2cosB≥，B为三角形的内角，则0＜B≤，由于f（B)=sin(B﹣），而﹣＜B﹣，sin（B﹣）∈（﹣，］,则有f（B）的取值范围是（0，1]．21．已知等比数列{a n｝的首项a1=8，公比为q（q≠1），S n是数列{a n}的前n项和．（1）若S3，2S4，3S5成等差数列，求{a n｝的通项公式a n；（2）令b n=log2a n，T n是数列｛b n｝的前n项和，若T3是数列｛T n}中的唯一最大项,求的q 的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意知S3+3S5=2•2S4，从而可得=，从而求得a n=8•=；（2)化简b n=log2a n=3﹣log2q+nlog2q,从而由等差数列的性质可得b3＞0，b4＜0,从而解得．【解答】解：（1）∵S3，2S4，3S5成等差数列，∴S3+3S5=2•2S4,∴3（a4+a5）=4a4,∴=，故等比数列{a n}的首项为8,公比为,故a n=8•=;（2)b n=log2a n=log2（8•q n﹣1）=3﹣log2q+nlog2q,∵T3是数列{T n}中的唯一最大项,∴b3=3﹣log2q+3log2q＞0,b4=3﹣log2q+4log2q＜0，∴﹣＜log2q＜﹣1,∴＜q＜．22．设各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和为S n，满足且a2,a5，a14恰好是等比数列｛b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、｛b n｝的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n｝的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，(T)k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列与不等式的综合;数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由得,当n≥2时，，两式相减并化简，得数列{a n｝为等差数列，再由题目中其他条件计算出{a n}、{b n｝的通项公式．(Ⅱ）由（Ⅰ）计算得到T n =，再进行参数分离，将题中不等式转化为：对n ∈N *恒成立，令c n =，作差确定数列的单调性，求出数列的最小值即可．【解答】（Ⅰ）由题意，，当n ≥2时，，∴4a n =4S n ﹣4S n ﹣1=,，又a n ＞0,∴a n +1=a n +2．∴当n ≥2时，{a n ｝是公差d=2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14构成等比数列，，，解得a 2=3，由条件可知，，∴a 1=1，又a 2﹣a 1=3﹣1=2,∴｛a n }是首项a 1=1，公差d=2的等差数列．数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n ﹣1，则b 1=a 2=3，b 2=a 5=9,b 3=a 14=27，且{b n }是等比数列， ∴数列｛b n ｝的通项公式为．（Ⅱ）==，∴对n ∈N ＊恒成立，∴对n ∈N ＊恒成立,令c n =，c n ﹣c n ﹣1==,当n ≤3时，c n ＞c n ﹣1，当n ≥4时，c n ＜c n ﹣1， ∴,∴．2016年10月11日。

2014-2015学年辽宁省大连二十中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知sinα＞0，cosα＜0，则角α的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，1），则+2=（）A．（0，5） B．（5，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，4）3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣104．（5分）已知sinα=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）tan75°=（）A．2+B．1+C．D．2﹣6．（5分）若等比数列前n项和为S n，且满足S3=S2+S1，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，A=30°，则角B等于（）A．60°或120°B．30°或150°C．60°D．120°8．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A．（﹣24，7）B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C．（﹣7，24）D．（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）9．（5分）在等差数列{a n}中，若S4=1，S8=4，则a9+a10+a11+a12的值为（）A．3 B．5 C．7 D．910．（5分）在△ABC中，∠A、B、C对边分别为a、b、c，A=60°，b=1，这个三角形的面积为，则a=（）A．2 B． C．2 D．11．（5分）设a＞0，b＞0且a+b=1则的最小值是（）A．2 B．4 C．D．612．（5分）关于x的方程x2+（a+2b）x+3a+b+1=0的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上，则a+b的取值范围为（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知非零向量，满足|+|=|﹣|，则＜，＞=．14．（5分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若a：b：c=7：8：13，则C=．15．（5分）已知等比数列{a n}前n项的和为2n﹣1（n∈N+），则数列{a2n}前n项的和为．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=32，a n+1﹣a n=n（n∈N+），则取最小值时n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（Ⅰ）关于x的不等式mx2﹣（m+3）x﹣1＜0的解集为R，求实数m的取值范围；（Ⅱ）关于x的不等式x2+ax+b＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a，b的值．18．（12分）已知α∈（，π），sinα+cosα=．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求sin（α+）的值．19．（12分）某厂生产甲产品每吨需用原料A和原料B分别为2吨和3吨，生产乙产品每吨需用原料A和原料B分别为2吨和1吨．甲、乙产品每吨可获利润分别为3千元和2千元．现有12吨原料A，8吨原料B．问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大．20．（12分）已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，交BC于D，BD=2DC．（Ⅰ）求AB：AC的值；（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠C．21．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=2a n﹣1（n∈N+），a1=2．（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n（n∈N+）．22．（12分）已知向量，满足=（﹣2sinx，（cosx+sinx）），=（cosx，cosx ﹣sinx），函数f（x）=•（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）已知数列a n=n2f（﹣）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．2014-2015学年辽宁省大连二十中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知sinα＞0，cosα＜0，则角α的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵sinα＞0，∴α为一、二象限角或α在y轴正半轴上，∵cosα＜0，∴α为二、三象限角α在x轴负半轴上，∴α为第二象限角，故选：B．2．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，1），则+2=（）A．（0，5） B．（5，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，4）【解答】解：向量=（1，2），=（﹣2，1），则+2=（1，2）+2（﹣2，1）=（﹣3，4）．故选：D．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差d=2，a1，a3和a4成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+3d），∴a1d+4d2=0，∴a1=﹣8，故选：C．4．（5分）已知sinα=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，则cos（α+）=sinα=，故选：C．5．（5分）tan75°=（）A．2+B．1+C．D．2﹣【解答】解：tan75°=tan（45°+30°）===2+．故选：A．6．（5分）若等比数列前n项和为S n，且满足S3=S2+S1，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在【解答】解：∵S3=S2+S1，∴a1+a2+a3=a1+a2+a1，即a3=a1，即，则q=±1，故选：C．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，A=30°，则角B等于（）A．60°或120°B．30°或150°C．60°D．120°【解答】解：∵△ABC中，a=1，b=，A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，则B=60°或120°，故选：A．8．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A．（﹣24，7）B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C．（﹣7，24）D．（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）【解答】解：∵点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，∴（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，化为（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24．故选：C．9．（5分）在等差数列{a n}中，若S4=1，S8=4，则a9+a10+a11+a12的值为（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：由等差的求和公式可得，∴a1=，d=∴a9+a10+a11+a12=2（a9+a12）=2（2a1+19d）=2×（）=5故选：B．10．（5分）在△ABC中，∠A、B、C对边分别为a、b、c，A=60°，b=1，这个三角形的面积为，则a=（）A．2 B． C．2 D．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=60°，b=1，S△==，ABC∴c=4，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2b•c•cosA=17﹣2×4×1×=13，解得a=；故选：D．11．（5分）设a＞0，b＞0且a+b=1则的最小值是（）A．2 B．4 C．D．6【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=1，∴=（a+b）=3+=3+2，当且仅当b=a=2﹣取等号．∴的最小值是3+2．故选：C．12．（5分）关于x的方程x2+（a+2b）x+3a+b+1=0的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上，则a+b的取值范围为（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【解答】解：令f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得．画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，如图所示：由求得点A（﹣，），由，求得点C（﹣，﹣）．当直线z=a+b经过点A时，z=a+b=；当直线z=a+b经过点C时，z=a+b=﹣，故z=a+b的范围为（﹣，），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知非零向量，满足|+|=|﹣|，则＜，＞=90°．【解答】解：由两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，|+|=|﹣|表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，因为|+|=|﹣|，所以此平行四边形的对角线相等，此平行四边形为矩形，所以＜，＞=90°，故答案为：90°．14．（5分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若a：b：c=7：8：13，则C=120°．【解答】解：∵a：b：c=7：8：13，∴设a=7x，b=8x，c=13x，（x＞0）．由余弦定理可得：cosC===，故C=120°，故答案为：120°15．（5分）已知等比数列{a n}前n项的和为2n﹣1（n∈N+），则数列{a2n}前n项的和为．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项的和为2n﹣1（n∈N+），∴a1=21﹣1=1a1+a2=22﹣1=3，∴a2=3﹣a1=3﹣1=2，∴q==2，从而数列{a2n}是以1为首项、4为公比的等比数列，∴其前n项和为：=，故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=32，a n+1﹣a n=n（n∈N+），则取最小值时n= 8．【解答】解：∵a n﹣a n=n（n∈N+），+1=n﹣1，∴a n﹣a n﹣1a n﹣1﹣a n﹣2=n﹣2，…a2﹣a1=1，累加可知：a n﹣a1=1+2+…+（n﹣1）=，又∵a1=32，∴a n=+32=n2+n+32，∴==n++，∵n+≥2•=2•4=8，当且仅当n=即n=8时取等号，故答案为：8．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（Ⅰ）关于x的不等式mx2﹣（m+3）x﹣1＜0的解集为R，求实数m的取值范围；（Ⅱ）关于x的不等式x2+ax+b＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）当m=0时，不等式可化为﹣3x﹣1＜0，显然解集不为R，当m≠0时，不等式mx2﹣（m+3）x﹣1＜0的解集为R，则对应的二次函数y=mx2﹣（m+3）x﹣1的解集为R的图象应开口朝下，且与x 轴没有交点，故，解得﹣9＜m＜﹣1，综上所述，实数m的取值范围是（﹣9，﹣1）．（Ⅱ）：由x的不等式x2+ax+b＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，得到方程x2+ax+b=0的两根为1，2，∴1+2=﹣a，1×2=b，即a=3，b=2．18．（12分）已知α∈（，π），sinα+cosα=．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求sin（α+）的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα+cosα=，所以（sinα+cosα）2=，所以2sinαcosα=﹣，…（2分）由α∈（，π），所以（sinα﹣cosα）2=，所以sinα﹣cosα=．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sinα=，cosα=﹣，所以sin（α+）=sinα+cosα=﹣…（12分）19．（12分）某厂生产甲产品每吨需用原料A和原料B分别为2吨和3吨，生产乙产品每吨需用原料A和原料B分别为2吨和1吨．甲、乙产品每吨可获利润分别为3千元和2千元．现有12吨原料A，8吨原料B．问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大．【解答】解：计划生产甲产品和乙产品分别为x，y吨，则x，y满足的约束条件为为，总利润z=3x+2y．…（4分）约束条件如图所示，…（8分）恰好在点A（1，5）处z取得最大值，即计划生产甲产品和乙产品分别为1吨和5吨能使得总利润最大．…（12分）20．（12分）已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，交BC于D，BD=2DC．（Ⅰ）求AB：AC的值；（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠C．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，，在△ACD中，，因为AD是∠BAC的角平分线，所以AB：AC=BD：DC=2：1…（6分）（Ⅱ）设AC=b，则AB=2b，所以BC2=b2+4b2﹣2b2，所以BC=b，所以cos∠C=0．∠C=90°．21．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=2a n﹣1（n∈N+），a1=2．（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n（n∈N+）．=2a n﹣1（n∈N+），【解答】（Ⅰ）证明：∵a n+1∴a n﹣1=2（a n﹣1）（n∈N+），+1又∵a1﹣1=2﹣1=1，∴数列{a n﹣1}是首项为1、公比为2的等比数列，∴a n﹣1=1•2n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1+1；（Ⅱ）解：∵a n=2n﹣1+1，∴na n=n•2n﹣1+n，设T n=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，∴2T n=1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，两式相减得：﹣T n=（1+21+22+23+…+2n﹣1）﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴T n=（n﹣1）•2n+1，∴S n=T n+=（n﹣1）•2n+1+．22．（12分）已知向量，满足=（﹣2sinx，（cosx+sinx）），=（cosx，cosx ﹣sinx），函数f（x）=•（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）已知数列a n=n2f（﹣）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．【解答】解：（Ⅰ）==；∴；令，则：kπ；∴f（x）的单调增区间为[]；（Ⅱ）；∴；∴[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2+（2n）2]；又（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣4n+1；∴．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2015—2016学年度高一下学期期末考试数学试题命题人：陈文科 考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．等差数列{}n a 中，若464=+a a ,则132a a -的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．设βα,为不重合的两个平面，n m ,为不重合的两条直线，则下列判断正确的是 ( ) A ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α 3．若两直线0343=++y x 与016=++my x 平行，则它们之间的距离为（ ）A ．21B ．25 C ．52 D ．552 4．在如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ,G F E ,,分别是11,,CC AB DD 的中点，则异面直线E A 1与FG 所成角的余弦值是 ( )A ．515B ．22 C ．510D ．05．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 6．在空间直角坐标系中，点)2,3,2(),2,3,1(--B A ，则B A ,两点间的距离为 （ ） A ．14B ．5C ．31D ．257．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知4,6π==A b ，若三角形有两解，则边a 的取值范围为 （ ）A ．)6,0(B ．)6,1(C ．)6,3(D ．),3(+∞8．半径为1，圆心角为π32的扇形卷成一个圆锥，则它的体积为 ( ) A ．8122πB ．2722πC ．27π D ．3π 9．过点)2,4(P 作圆222=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，点O 为坐标原点，则AOB ∆的外接圆方程是 （ ） A ．()5)1(222=+++y xB ．()20)2(422=+++y xC ．()5)1(222=-+-y xD ．()20)2(422=-+-y x10．一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知圆4:22=+y x O 上到直线m y x l =+:的距离为1的点有且仅有2个，则m 的取值范围是（ ） A ．(),2()2,+∞-∞- B ．)23,2()2,23( -- C ．)23,23(- D ． )2,2(-12．已知圆1)1(:22=+-y x M ，设)25(),6,0(),,0(-≤≤-+t t B t A ，若圆M 是ABC ∆的内切圆，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．215B ．429C ．7D ．427 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上） 13．经过直线01:,05:21=--=-+y x l y x l 的交点且垂直于直线032=-+y x 的直线方程为 .正视图侧视图14．已知y x ,满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(0≤k )，若目标函数3z x y =+的最大值为8，则k 的值为 .15．已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，则222PC PB PA ++的最大值为 .16．已知正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，下列说法：①对角线C A '被平面BD A '和平面D C B ''三等分；②以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是61； ③正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积 之比为3:2:1；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积为3π； 则正确的是 . （写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设直线l 的方程为R a a y x a ∈=-+++,02)1(；（Ⅰ）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 与坐标轴围成三角形的面积为2，求实数a 的值.18．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为54cos ,4,,,=π=B A c b a ． （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）若2=c ，求ABC ∆的面积．19．（12分）如图1所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，E D ,分别是AC AB ,边上的点，AE AD =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABC ∆沿AF 折叠，得到如图2所示的三棱锥BCF A -，其中22=BC； （Ⅰ）证明：//DE 平面BCF ；（Ⅱ）证明：⊥CF 平面ABF ；（III ）当32=AD 时， 求三棱锥DEG F -的体积．20．（12分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元； （Ⅰ）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （Ⅱ）若400=a ，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？21．（12分）已知点))(,(*N n b a P n n n ∈都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1； （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若)(n f =⎩⎨⎧)(b )(n 为偶数为奇数n n a n 问是否存在*N k ∈,使得2)(2)5(-=+k f k f 成立；若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由； （III ）求证：*21231221,2,52111N n n P P P P P P n∈≥<+⋅⋅⋅++.22．（12分）已知⎩⎨⎧+-≥≤+--+501810222a x y y x y xR y x ∈,，若由不等式组围成的区域为P ，设两曲线的交点为B A ,，)5,(a C 且P C ∈； （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0=a ，求ABC ∆的面积； （III ）求ABC ∆的面积的最大值.2015—2016学年度高一下学期期末考试数学答案一、选择题1~5 BDADC 6~10 BCACD 11~12 BA 二、填空题13. 012=+-y x 14. 88 15. 6- 16. ①③ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧≤-≥+-020)1(a a ∴1-≤a（Ⅱ）由题意知：1-≠a 令2,0-==a y x 令12,0+-==a a y y ∴212221=+--=a a a S ∴0=a ，或8=a 18.（Ⅰ）53sin ,054cos =∴>=B B )4c o s ()]4(cos[cos B B C +-=+-=πππ10254225322)sin 4sincos 4(cos-=⋅-⋅=--=B B ππ（Ⅱ）由（Ⅰ）知1027sin =C 由正弦定理知：C c A a sin sin = ∴ 725=a∴7353272521sin 21=⋅⋅⋅==B ac S19.（Ⅰ）在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC .在折叠后的三棱锥A -BCF 中也成立，∴DE ∥BC . ∵DE 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF . （Ⅱ）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥FC ，BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A -BCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2，∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .（III ）由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG .∴V F -DEG ＝V E -DFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝⎛⎭⎫13×32×13＝3324. 20.（Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a v v y 2411000，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v y 411000。

2015-2016学年辽宁省大连市庄河高中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每题5分，计60分）1．（5分）已知集合，那么集合M的元素个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）函数f（x）＝lnx+1的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．R3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝14﹣a6，则S10＝（）A．35B．70C．28D．144．（5分）关于函数f（x）＝2sin x，下列说法正确的是（）A．f（x）为奇函数，值域为B．f（x）为偶函数，值域为[1，2]C．f（x）为非奇非偶函数，值域为D．f（x）为非奇非偶函数，值域为[1，2]5．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r＝（）A．1B．2C．4D．86．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）函数f（x）＝2x+log a（x+1）+3恒过定点为（）A．（0，3）B．（0，4）C．D．（﹣1，4）8．（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3＝，且a2+a4＝，则＝（）A．4n﹣1B．4n﹣1C．2n﹣1D．2n﹣110．（5分）已知f（x）＝1+1og x2+4+8，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（，1）D．（0，）11．（5分）已知f（cos x）＝3x，（x∈[0，π]）那么f（sin）＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．二、填空题：（每题5分，计20分）13．（5分）函数f（x）为奇函数，x≥0时，f（x）＝cos2x﹣1，那么f（﹣）+f（）＝．14．（5分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x+ay+3＝0平行，则a＝．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n，那么数列{a n}的通项公式a n＝．16．（5分）已知x3+sin x＝m，y3+sin y＝﹣m，且x，y∈（﹣），m∈R，则tan（x+y+）＝．三、解答题：（共6题，计70分）17．（10分）已知向量＝（2，﹣3），＝（﹣5，4），＝（1﹣λ，3λ+2）．（Ⅰ）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值；（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣cos2x﹣sin x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若，求cos2α的值．19．（12分）已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值．20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB＝4，AD＝CD＝2，∠BAC＝45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC，且BE＝2ED，BC＝2BF．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．21．（12分）在等差数列{a n}中，a2+a7＝﹣23，a3+a8＝﹣29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．22．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且满足a＝3b cos C．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a＝3，tan A＝3，求△ABC的面积．2015-2016学年辽宁省大连市庄河高中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，计60分）1．（5分）已知集合，那么集合M的元素个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】1A：集合中元素个数的最值；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：由题意可知x不在坐标轴上，当x为第一象限角时，函数s＝+++＝4；当x为第二象限角时，函数s＝+++＝﹣2；当x为第三象限角时，函数s＝+++＝0；当x为第四象限角时，函数s＝+++＝﹣2．∴函数s＝+++的值域是数集{4，﹣2，0}．集合M的元素个数为：3个，故选：C．2．（5分）函数f（x）＝lnx+1的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．R【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：由对数函数的定义，可知函数f（x）＝lnx+1的定义域为：（0，+∞）．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝14﹣a6，则S10＝（）A．35B．70C．28D．14【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a5＝14﹣a6，∴a1+a10＝a5+a6＝14．则S10＝＝＝70．故选：B．4．（5分）关于函数f（x）＝2sin x，下列说法正确的是（）A．f（x）为奇函数，值域为B．f（x）为偶函数，值域为[1，2]C．f（x）为非奇非偶函数，值域为D．f（x）为非奇非偶函数，值域为[1，2]【考点】34：函数的值域；3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵f（﹣x）＝2sin（﹣x）＝2﹣sin x＝（）sin x≠2sin x，且f（﹣x）＝（）sin x≠﹣2sin x，∴函数f（x）是非奇非偶函数，∵﹣1≤sin x≤1，∴2﹣1≤f（x）≤21，即≤f（x）≤2，即函数的值域为，故选：C．5．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r＝（）A．1B．2C．4D．8【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体，半圆柱与半球的半径均为r，半圆柱的高为2r，∴几何体的表面积为为+++πr×2r+2r×2r＝5πr2+4r2＝64+80π．解得r＝4．故选：C．6．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：∵函数y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度故选：A．7．（5分）函数f（x）＝2x+log a（x+1）+3恒过定点为（）A．（0，3）B．（0，4）C．D．（﹣1，4）【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：∵函数f（x）＝2x+log a（x+1）+3，令x+1＝1，解得x＝0；此时y＝f（0）＝4，∴函数f（x）恒过定点的坐标为（0，4）．故选：B．8．（5分）已知，则的值为（）A．B．C．D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：，又则＝．故选：B．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3＝，且a2+a4＝，则＝（）A．4n﹣1B．4n﹣1C．2n﹣1D．2n﹣1【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q＝＝，∴a1+a3＝a1（1+q2）＝a1（1+）＝，解得：a1＝2，∴a n＝2×（）n﹣1＝（）n﹣2，S n＝，∴＝＝2n﹣1，故选：D．10．（5分）已知f（x）＝1+1og x2+4+8，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（，1）D．（0，）【考点】4H：对数的运算性质．【解答】解：f（x）＝1+1og x2+4+8＝1+31og x2＜0，∴1og x2＜﹣，∴＜x＜1，故选：C．11．（5分）已知f（cos x）＝3x，（x∈[0，π]）那么f（sin）＝（）A．B．C．D．【考点】3T：函数的值；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：f（cos x）＝3x，（x∈[0，π]）那么f（sin）＝f（cos（））＝3×＝．故选：D．12．（5分）已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：由＝（+）•（+）＝2+•（+）+•＝||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为＝，故的最小值为2﹣1＝1．故选：A．二、填空题：（每题5分，计20分）13．（5分）函数f（x）为奇函数，x≥0时，f（x）＝cos2x﹣1，那么f（﹣）+f（）＝0．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：函数f（x）为奇函数，x≥0时，f（x）＝cos2x﹣1，那么f（﹣）+f（）＝﹣f（）+f（）＝﹣cos+1+cos﹣1＝0．故答案为：0．14．（5分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x+ay+3＝0平行，则a＝﹣1或2．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【解答】解：两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x+ay+3＝0的分别化为：，y＝﹣x﹣，∵l1∥l2，∴，，解得a＝﹣1或2．故答案为：﹣1或2．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n，那么数列{a n}的通项公式a n＝．【考点】8B：数列的应用．【解答】解：由S n＝2n①，得S n﹣1＝2n﹣1（n≥2）②，①﹣②，得a n＝2n﹣1（n≥2），当n＝1时，a1＝S1＝2，不适合上式，∴．故答案为：．16．（5分）已知x3+sin x＝m，y3+sin y＝﹣m，且x，y∈（﹣），m∈R，则tan（x+y+）＝．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：令f（x）＝x3+sin x，则f（﹣x）＝﹣x3﹣sin x，∴f（x）为奇函数，且f（x）在（﹣，）为单调函数，∵f（x）＝m，f（y）＝﹣m，∴x+y＝0，∴tan（x+y+）＝tan＝．故答案为：．三、解答题：（共6题，计70分）17．（10分）已知向量＝（2，﹣3），＝（﹣5，4），＝（1﹣λ，3λ+2）．（Ⅰ）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值；（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：（Ⅰ）因为△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，所以＝0，又因为＝（2，﹣3），＝（﹣5，4），＝（1﹣λ，3λ+2），∴（）•（）＝（7，﹣7）•（6﹣λ，3λ﹣2）＝0即8﹣4λ＝0，解得λ＝2．（Ⅱ）若点A、B、C能构成三角形，则A、B、C不共线，∴向量与不共线，即﹣7（3λ﹣2）≠7（6﹣λ），∴实数λ应满足条件λ≠﹣2．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣cos2x﹣sin x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若，求cos2α的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；GS：二倍角的三角函数．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝﹣cos2x﹣sin x+1＝sin2x﹣sin x＝，又sin x∈[﹣1，1]，所以当时，函数f（x）的最小值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以．于是（舍）或．又．19．（12分）已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值．【考点】J2：圆的一般方程．【解答】解：（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0表示圆，∴D2+E2﹣4F＞0，即4+16﹣4m＞0解得m＜5，∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．（6分）（2）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心（1，2）到直线x+2y﹣4＝0的距离d＝＝，（8分）∵圆与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝，∴，解得m＝4．（14分）20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB＝4，AD＝CD＝2，∠BAC＝45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC，且BE＝2ED，BC＝2BF．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD＝CD＝2，∠BAC＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，取AC的中点O，连接OD，则OD⊥AC，∵平面ACD⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC，则OD⊥BC，∵AD＝CD＝2，∠BAC＝45°，∴AC＝2，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BC＝2，即△ACB是直角三角形，则BC⊥AC，∵OD∩AC＝0，∴BC⊥平面ACD，∵AD⊂平面ACD，∴BC⊥AD；（Ⅱ）由（Ⅰ）得OD＝，过E作EH⊥平面ABC，则＝，∵BE＝2ED，∴＝，则＝＝，则EH＝OD＝，∵BC＝2BF．∴F是BC的中点，则BF＝BC＝AC＝＝，则△AEF的面积S＝BF•AC＝＝2，则大三棱锥D﹣ABC的体积V＝＝＝，三棱锥E﹣ABF的体积V＝＝，则另外一部分的体积V＝﹣＝﹣＝，则平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比为：＝2．21．（12分）在等差数列{a n}中，a2+a7＝﹣23，a3+a8＝﹣29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差是d．依题意a3+a8﹣（a2+a7）＝2d＝﹣6，从而d＝﹣3．所以a2+a7＝2a1+7d＝﹣23，解得a1＝﹣1．所以数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2．（Ⅱ）解：由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以．所以＝．从而当c＝1时，；当c≠1时，．22．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且满足a＝3b cos C．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a＝3，tan A＝3，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（I）在△ABC中，由a＝3b cos C，利用正弦定理可得：sin A＝3sin B cos C，∴sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝3sin B cos C，∴tan B+tan C＝3tan B，∴＝2．（II）∵tan A＝3＝﹣tan（B+C）＝﹣，又＝2．解得tan B＝1，tan C＝2，∵A∈（0，π），∴sin A＝，同理可得：sin B＝，sin C＝．由正弦定理可得：＝＝，解得b＝，c＝2．∴S△ABC＝sin A＝×＝3．。

2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案一、 选择题BCBBB CAACB CB二、 填空题 13. 13 14. 231- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、 解答题17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆbx+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597, ……………2分 ∴ˆb =5593487767280736-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,第4组的频率为0.04×5=0.2,第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,第4组的2位同学为B 1,B 2,第5组的1位同学为C 1.则从六位同学中抽两位同学有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系， 设角(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6πϕ=-……………2分OP 每秒钟内所转过的角为52.606ππ⨯=……………4分 由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动， 故所求的函数关系式为4sin() 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin()26,66z t ππ=-+=……………9分得sin()1,66t ππ-= ,4,662t t πππ-==令得故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分 21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，……………4分又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=……………6分 （Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-因为……………8分且sin cos )04πθθθ-=->，sin cos 2θθ∴-=……………10分sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分1cos(2)1cos 2322.:()()221[cos(2)cos 2]2313(2cos 2)222)23x x f x x x x x x πωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ………………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω>∴==由题意可知的最小正周期为且即())3()122f x x f ππ∴=+∴=………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即min max 7[,0]|()|1,12()1()1,x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分max min 750,2126331sin(2)33)343(),()42x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤≤+≤==-因为所以所以所以即 …………………………………………………………………10分7147[1,].24m m -≤≤--即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。

一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．）1、下列结论正确的是 （ ）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若a>b,c<0，则 a+c<b+c Da<b2. 在△ABC 中，若2cosAsinB=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）3、不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域为D ，点P (0，－2)，Q (0，0)，则（ ）A. P ∉D ，且Q ∉DB. P ∉D ，且Q ∈DC. P ∈D ，且Q ∉DD. P ∈D ，且Q ∈Dx ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ）A ．73B ．83C ．2D ． 3 5．已知等比数列{a n }中， 有 31174a a a •= ，数列 {}n b 是等差数列，且 77b a =，则 59b b +=( )A ． 2B ． 4C ．6D ． 86．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 117. n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若424S =，836S =，则12S 等于 ( )A. 42B. 63C. 75D. 838. 下列函数中，最小值为2的为 ( ) A. 1y x x=+ B. 1lg (110)lg y x x x =+<< C. (1)x x y a a a -=+> D. 1cos (0)cos 2y x x x π=+<< 9．正数a 、b 的等差中项是12，且11,,a b a b αβαβ=+=++则的最小值是 （ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 10．已知2()1f x ax ax =+-<0在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．4a <-C ．40a -<<D ．40a -<≤11．已知△ABC 的面积为，AC=，∠ABC=，则△ABC 的周长等于（ ） A.3+ B.3 C.2+ D.12. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，56S S >，67S S =，78S S <，以下给出了四个式子：① 公差0d <；②70a =；③94S S >； ④n S 的最小值有两个，其中正确的式子共有（ ）二、填空题( 每小题5分，共20分 )240x -≤的解集为 14. 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝，则＝________.15．数列{}n a 满足12a =，112n n n a a --=，则n a = ； 16.两等差数列{}n a 和{}n b ,前n 项和分别为,n n S T ,且(5.),,ks u com 则220715a a b b ++等于 。

沈阳二中2015—2016学年度下学期期末考试高一（18届）数学试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.如果θ是第一象限角，那么下列不等式恒成立的是( )A ．sin θ2>0B ．tan θ2<1C ．sin θ2>cos θ2D ．sin θ2<cos θ22.函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{1，－1}B ．{－1，1，3}C ．{－1，3}D ．{1，3}3.若sin θ＋cos θ＝55，θ∈[0，π]，则tan θ＝( )A ．－12 B. 12 C ．－2 D ．24.已知tan θ＝2，则2sin 2θ＋sin θ·cos θ－cos 2θ＝( )A ．－43B ．－65 C.45 D.955.如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A . 2B ．－ 2C ．1D ．－16. 函数f(x)＝A sin ωx(A>0，ω>0)的部分图像如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 27.已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan 2α＝( )A ．－43 B.43 C ．－43或0 D.43或08.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD .若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP →＝λAB →＋μAE →.下列叙述正确的是( )A ．满足λ＋μ＝2的点P 必为BC 的中点 B.满足λ＋μ＝1的点P 有且只有一个 C ．λ＋μ的最大值为3 D ．λ＋μ的最小值不存在9.在△ABC 中，若3sin A ＋4cos B ＝6，4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 为( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．60°10.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin （n ＋1）π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝( )A ．0B ．2014C ．1008D ．1007 11.已知a n ＝n －2015n －2016(n ∈N *)，则数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 50D ．a 44，a 4512.对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第____项．14. 已知数列{}n a 中，12a =,1231n n n a a +=++,则数列{}n a 的通项公式n a = 15.函数y ＝(sin x －2)(cos x －2)的最大值是________．16.已知sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是________．三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分） 已知函数f(x)＝cos (2x －π3)＋sin 2x －cos 2x. (1)求函数f(x)的最小正周期及图像的对称轴方程； (2)设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x) ，求g(x)的值域．18. （本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ； (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积． 19. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝22cos (x ＋π4)cos (x －π4)＋22sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)在图中给出的坐标系中画出函数y ＝f(x)在区间[0，π]上的图像，并说明 y ＝f(x)的图像是由y ＝sin 2x 的图像怎样变换得到的．20（本小题满分12分）已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·12log n a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n的最小值．21. （本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：－13<T n －n2<0. 22. （本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)． (1)求证：数列{S n －3n }是等比数列； (2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．沈阳二中2015—2016学年度下学期期末考试高一（18届）数学试题答案一、选择题1.B2.C3.C4.D5.D6. A7.D8. C9. A 10. C 11.D 12.C二、填空题13. 9 14. 31n n a =- 15. 92＋2 2 16. 49三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）解：(1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin(2x －π6)，所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，故函数f (x )图像的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＝sin 2(2x －π6)＋sin(2x －π6)＝[sin(2x －π6)＋12]2－14.当sin(2x －π6)＝－12时，g (x )取得最小值－14；当sin(2x －π6)＝1时，g (x )取得最大值2.所以g (x )的值域为[－14，2]．18. （本小题满分12分）解答 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.(6分)(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.(12分)19. （本小题满分12分）解(1)最小正周期T ＝π，f (x )max ＝2(2)先将y ＝sin 2x 的图像向左平移π8个单位长度，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图像，再将y ＝sin(2x ＋π4)的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到y ＝2sin(2x ＋π4)的图像．20（本小题满分12分）解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q. 依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20， ∴⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝32. 又{a n }是递增数列，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ·12log n a ＝－n·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n×2n ＋1.② ①－②得S n ＝2＋22＋23＋ (2)－n·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n·2n ＋1＝2n ＋1－n·2n ＋1－2.S n ＋n·2n ＋1>50，即2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52，故使S n ＋n·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.21. （本小题满分12分）解：(1)因为S n ＝2a n －n ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.又S n ＋1＝2a n ＋1－n －1，得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，故a n ＝2n －1.(2)证明：因为b n ＝a n a n ＋1＝2n －12n ＋1－1，所以b n －12＝－12n ＋2－2，所以T n －n 2＝－123－2＋124－2＋…＋12n ＋2－2<0，得T n －n2<0.又12n ＋2－2＝12n －2＋3·2n ≤13·2n ，所以T n －n 2≥－1312＋122＋…＋12n ＝－13＋13·2n>－13.所以－13<T n －n 2<0. 22. （本小题满分12分）解：(1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)，∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．又∵a 1≠3，∴数列{S n －3n }是公比为2，首项为a 1－3的等比数列．(2)由(1)得，S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1. ∵{a n }为递增数列，∴当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n ＞(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1， ∴2n －212×32n －2＋a 1－3>0，∴a 1＞－9. ∵a 2＝a 1＋3＞a 1，∴a 1的取值范围是a 1＞－9.。

辽宁省大连市数学高一下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为a，则a等于（）A . -cosaB . -sinaC . -tanaD . tana2. （2分） (2017高二上·成都期中) 如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（）A . （1，0，0）B . （1，0，1）C . （1，1，1）D . （1，1，0）3. （2分）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有（）A . 1个B . 2 个C . 3 个D . 4个4. （2分） (2018高一下·淮北期末) 数列的通项公式，则其前项和（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·南宁月考) 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（）A .B .C .D .6. （2分）已知直线l1与直线l2：3x+4y﹣6=0平行且与圆：x2+y2+2y=0相切，则直线l1的方程是（）A . 3x+4y﹣1=0B . 3x+4y+1=0或3x+4y﹣9=0C . 3x+4y+9=0D . 3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=07. （2分）已知满足对任意x1≠x2都有成立，那么a的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）已知正四棱锥的侧棱长为2 ，那么当该棱锥体积最大时，它的高为（）A . 1B .C . 2D . 39. （2分） (2016高二上·张家界期中) 方程（x+y﹣1） =0所表示的曲线是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·黑龙江月考) 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分）设函数，则函数的各极小值之和为（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·鄂尔多斯模拟) 有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（）A . 2B .C . 4D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．14. （1分） (2015高二上·西宁期末) 三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．15. （1分） (2016高二上·杭州期中) 已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则| |+| |的最小值为________16. （1分） (2016高三上·黄冈期中) 若数列{an}满足a1=2，an+1= （n∈N*），则该数列的前2015项的乘积a1•a2•a3•…a2015=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2019高一下·中山月考) 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为（1）若点在斜坐标系中的坐标为，求点到原点的距离.（2）求以原点为圆心且半径为的圆在斜坐标系中的方程.（3）在斜坐标系中，若直线交（2）中的圆于两点，则当为何值时，的面积取得最大值？并求此最大值.18. （5分） (2018高二上·宁波期末) 已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l外的一点Q满足：，．Ⅰ 求椭圆E的方程；Ⅱ 求点Q的轨迹；Ⅲ 求面积的最大值．19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为线段PD 上一点，且 = ．（1）求异面直线PB与EC所成角的余弦值．（2）求平面PAB与平面ACE所成二面角的余弦值．20. （5分） (2015·合肥模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且满足S4=24，S7=63．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Tn ．21. （10分） (2020高二上·遂宁期末) 如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，PA=AB,E 是PD的中点.（1）求证：平面EAC；（2）求证：平面平面PAD．22. （15分） (2019高一下·上海期末) 对于任意，若数列满足，则称这个数列为“ 数列”.（1）已知数列：，，是“ 数列”，求实数的取值范围；（2）已知等差数列的公差，前项和为，数列是“ 数列”，求首项的取值范围；（3）设数列的前项和为，，且， . 设，是否存在实数，使得数列为“ 数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。