河北省邢台市第二中学2016届高三数学3月模拟考试试题 理(扫描版)

河北省衡水中学2016届高三二调数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、设全集U R =，集合{}2log 2x x A =≤，()(){}310x x x B =-+≥，则()UB A =ð（ ） A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞- C ．[)0,3 D ．()0,32、正项等比数列{}n a 中，存在两项m a 、n a ，14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是（ ）A ．32B ．2C ．73D ．2563、设向量a 与b 满足2a =，b 在a 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a 与a bλ-垂直，则λ=（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．34、已知函数()sin y x mωϕ=A ++的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（ ）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ D ．2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5、在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若C S ∆AB =，6a b +=，cos cos 2cos Ca b c B +A=，则c =（ ）A． B． C ．4 D．6、设M 是C ∆AB 所在平面上的一点，且33C 022MB +MA +M=，D 是C A 的中点，则D M BM的值为（ ）A ．13B ．12 C ．1 D ．27、已知锐角A 是C ∆AB 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若221sin cos 2A -A =，则下列各式正确的是（ ）A ．2b c a +=B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥8、已知函数()2g x a x =-（1x e e ≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 9、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，33a =，数列{}12n n n a a a ++++是公差为2的等差数列，则25S =（ ）A ．232B ．233C ．234D ．235 10、函数()cos f x xπ=与()2log 1g x x =-的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6 11、已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且25c a c b -+-=，则2c a+的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．⎡⎤⎣⎦C ．D ．⎤⎥⎦ 12、定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ∀∈+∞，()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．()2,3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若110tan tan 3αα+=，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为 ．14、已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为 ．15、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑥67a a >．其中正确命题的个数是 ．16、已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．()1求{}n a 的通项公式；()2记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n S ．18、（本小题满分12分）已知角A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，a ，b ，c 是各角的对边，若向量()1cos ,cos 2m A -B ⎛⎫=-A +B ⎪⎝⎭，5,cos 82n A -B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且98m n ⋅=．()1求tan tan A⋅B 的值；()2求222sin Cab a b c +-的最大值．19、（本小题满分12分）已知函数()22sin 2xf x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为3π．()1求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a b c <<2sin c =A ，求角C 的大小；()3在()2的条件下，若3112213f π⎛⎫A +=⎪⎝⎭，求cos B 的值．20、（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a=-+，其中R a ∈，e 为自然对数底数．()1讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；()2设R b ∈，若函数()f x b ≥对任意R x ∈都成立，求ab 的最大值．21、（本小题满分12分）设函数()()()21ln 1f x x m x =+-+，()2g x x x a=++．()1当0a =时，()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；()2当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；()3是否存在常数m ，使函数()f x 和函数()g x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x ax x=++-（R a ∈）．()1当14a =时，求函数()y f x =的单调区间；()2若对任意实数()1,2b ∈，当(]1,x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．河北省衡水中学2016届高三二调数学（理）试题参考答案。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设全集U R =，集合{}2log 2x x A =≤，()(){}310x x x B =-+≥，则()U B A =I ð( ) A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞-U C ．[)0,3 D ．()0,3 【答案】D考点：集合的运算性质2.正项等比数列{}n a 中，存在两项m a .n a 14m n a a a =，且6542a a a =+，则14mn+的最小值是( )A ．32B ．2C ．73D ．256 【答案】A 【解析】试题分析：由题根据所给条件6542a a a =+14m n a a a =得到6m n +=，进而运用均值不等式求解即可.设数列{}n a 的公比为q ,则由6542a a a =+可得220,2q q q --=∴=或-1(舍去)，因为存在两项m a .n a 14m n a a a =，所以11112246m n a a m n --=∴+=，，()44355141122411[]666n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=⎛⎫∴++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭(当且仅当4n m m n =时取等号)，则14m n +的最小值是32. 考点：等比数列性质；基本不等式3.设向量a r 与b r 满足2a =r，b r 在a r 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a r 与a bλ-r r 垂直，则λ=( )A ．12B ．1C ．2D ．3 【答案】C考点：平面向量的数量积运算4.已知函数()sin y x m ωϕ=A ++的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为( )A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】[来源:学科网ZXXK]试题分析：由题意可得A+m=4，A-m=0，解得 A 和m 的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．由题意m=2． A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为2π可得函数的最小正周期为π可得22πωπω=∴=，,222y Asin x m sin x ωϕϕ∴=++=±++（）（），6x π=Q 是其图象的一条对称轴，326k k z k πππϕπϕπ∴+=+∈∴=+，，，故可取6ϕπ=， 故符合条件的函数解析式是2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，故选B.考点：函数y Asin x ωϕ=+（）图象与性质 5.在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若C 23S ∆AB =，6a b +=，cos cos 2cosC a b cB +A=，则c =( )A ．27B ．23C ．4D ．33 【答案】B考点：正弦定理、余弦定理和面积公式的运用6.设M 是C ∆AB 所在平面上的一点，且33C 022MB +MA +M =u u u u r u u u u r u u u u r r，D 是C A 的中点，则D M BMu u u u r u u u u r 的值为( )A ．13B ．12C ．1D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：结合题意，画出图形，利用图形，延长MD 至E ，使DE=MD ，得到平行四边形MAEC ，求出MD u u u u r与MB uuu r 的关系，即可得出正确的结论．如图所示，∵D 是AC 之中点，延长MD 至E ，使得DE=MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，113330322222MD ME MA MC MB MA MC MB MA MC MD ∴==+++=∴=-+=-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r r u u u r u u ur u u r u u u u r Q （）,，（）；3||||13||||MD MD MB MD ∴==-u u u u r u u u u r u u ur u u u u r ，故选A ．考点：平面向量基本定理7.已知锐角A 是C ∆AB 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若221sin cos 2A -A =，则下列各式正确的是( ) A ．2b c a += B ．2b c a +< C ．2b c a +≤ D ．2b c a +≥[来源:Z_xx_] 【答案】C考点：余弦定理；基本不等式8.已知函数()2g x a x =-（1x e e≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知，得到方程a-x 2=-2lnx ⇔-a=2lnx-x 2在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，构造函数22f x lnx x =-（），求出它的值域，得到-a 的范围即可．由已知，得到方程2222a x lnx a lnx x -=-⇔-=-在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，设22f x lnx x =-（）， ()()2112120x x f x x x e f x x x e-+'=-=≤≤∴'=Q （），，（）在x=1有唯一的极值点，()221112211f f e e f x f f e f e e e=--=-==-<Q Q 极大值（），（），（）（），（）， 故方程22a lnx x -=-在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解等价于221e a -≤-≤-．从而a 的取值范围为2[1]2e -，．故选B ．考点：对数函数的图像与性质9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，33a =，数列{}12n n n a a a ++++是公差为2的等差数列，则25S =( )A ．232B ．233C ．234D ．235 【答案】B考点：等差数列的性质【名师点睛】本题属于创新题目，比较灵活的考查了等差数列的性质的推广问题，解决问题的关键是将所求数列{}12n n n a a a ++++转化为求等间距的等差数列的项组成新的等差数列问题进行计算即可，属于较好的创新题目，能够从正反两个方面考查等差数列性质的运用.10.函数()cos f x x π=与()2log 1g x x =-的图象所有交点的横坐标之和为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】C 【解析】试题分析：由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．由图象变化的法则可知：2y log x =的图象作关于y 轴的对称后和原来的一起构成2y log x =的图象，在向右平移1个单位得到21y log x =-的图象，再把x 轴上方的不动，下方的对折上去,可得21g x log x =-（）的图象；又f x cos x π=（）的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有A 、B 、C 、D ，4个交点，由中点坐标公式可得：22A D B C x x x x +=+=，，故所有交点的横坐标之和为4，故选C.考点：函数零点；函数图像11.已知向量是单位向量a r ，b r ，若0a b ⋅=r r ，且25c a c b -+-=r r r r2c a +r r 的取值范围是( )A ．[]1,3B ．22,3⎡⎤⎣⎦C ．652⎤⎥⎣ D ．55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：平面向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离【名师点睛】本题考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题；关键是根据点(x,y)的几何意义得到其轨迹为点（1，0）和（0，2）之间的线段，然后根据()22||22c a x y +=++r r系不难解决问题.12.定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ∀∈+∞，()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,3 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由单调函数的性质，可得2f x log x -（）为定值，可以设2t f x log x =-（），则考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用． 【名师点睛】本题注意考查利用零点存在性定理判断函数的零点及函数零点与方程根的关系的应用，解题的关键点和难点是求出f x （）的解析式，根据迭代的方法求得()f x 的解析式，结合()()2f x f x '-=及零点有关知识得到210ln 2log x x -=的个所在的范围即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.若110tan tan 3αα+=，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为．【答案】0 【解析】试题分析：把已知条件的等式两边都乘以tan α，得到关于tan α的方程，求出方程的解，根据α的范围即可得到满足题意tan α的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用同角三角函数间的基本关系把分母中“1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后给分子分母都除以2cos α，变为关于tan α的关系式，把求出的tan α的值，然后根据条件计算即可．()()110331033tan tan tan tan tan ααααα+=∴--=∴=Q ，，或13，,,1343tan tan ππααα⎛⎫∈∴>∴= ⎪⎝⎭Q ，，)21cos 2sin 22cos cos sin 2244222αππαααα+⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭)2222tan 1tan sin 22cos 2121221tan 1tan αααααα⎫-++=++⎪++⎝⎭616101010⎫=-+=⎪⎝⎭. 考点：两角和的正弦函数公式；同角三角函数间的基本关系化简求值；二倍角 14.已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为．【答案】11-∞-+∞U （，）（，）考点：导数的运算；其它不等式的解法15.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑥67a a >． 其中正确命题的个数是． 【答案】3考点：等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值．在等差数列中n S 存在最大值的条件是：100a d ><，．主要是对数列函数特性的考查，属于今年常考的命题方向，一定要认真思考，总结该类型题目的解决方法.16.已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是．【答案】192,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题作出函数f(x)与g(x)的图像，然后根据函数周期性与奇偶性研究第一象限交点问题即可解决问题.由题()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩不难得到其第一象限局部图像如图所示，易知g(x)为偶函数，所以只要两者在第一象限交点个数为2个的a 的范围即为所求实数a 的范围， 易知当g(x)分别经过A,B 两点时的a 值分别为19192,,288a ∴<<时所给函数F(x)的零点个数为4个.考点：分段函数的通项与性质；函数的奇偶性与周期性；函数的零点问题 【名师点睛】有关分段函数的图像与性质的考查题目往往与函数的零点及函数的基本性质及单调性，奇偶性的考查结合在一起，解决问题的关键是根据函数解析式分析其图像特征，通过数形结合思想解决有关问题即可，有一定难度，需要认真练习，通过作图能力、计算能力及分析能力.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．()1求{}n a 的通项公式；()2记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n S ．【答案】(1)21nn a =-；(2)()()111222n n n n ++-+-⋅考点：数列的求和；数列递推式．18.（本小题满分12分）已知角A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，a ，b ，c 是各角的对边，若向量()1cos ,cos2m A -B ⎛⎫=-A +B ⎪⎝⎭r，5,cos 82n A -B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，且98m n ⋅=r r ． ()1求tan tan A⋅B 的值； ()2求222sin Cab a b c +-的最大值．【答案】(1)19；(2)38-考点：三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算． 19.（本小题满分12分）已知函数()232sin 2xf x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为3π．()1求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； ()2在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a b c <<，32sin a c =A ，求角C 的大小；()3在()2的条件下，若3112213f π⎛⎫A +=⎪⎝⎭，求cos B 的值．【答案】(1)x π=-时，f （x ）的最小值是-3，2x π=时，f （x ）的最大值是1； (2)23π；1253+【解析】试题分析：(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求ω，由34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，可得222363x πππ-≤+≤，根据正弦函数的图象和性质即可得解；(2)2sin c =A ，由正弦定理结合0sinA ≠，可得sinC =，结合a b c <<，即可求C 的值；(3)由3112213f π⎛⎫A += ⎪⎝⎭得1213cosA =，由(2)可求,3sinA A B π+=，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．试题解析：(1)()1226221323cos x f x x sin x ωπωωππωω--⨯=+-⎛⎫ ⎭∴⎪⎝∴Q ，＝，＝， ()22136f x sin x π∴+⎛⎫ ⎪⎝⎭-＝，……………………………………………..(2分)2221123633436x x sin x ππππππ⎡∈-∴-≤+≤⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∴-≤+≤Q ，，，，所以x π=-时，f （x ）的最小值是-3，2x π=时，f （x ）的最大值是1；………………………..(4分)(2)2sin c =A 由正弦定理，有0=2a sinA sinA sinC a b c c sinC ==≠∴<<Q ，，，23C π∴=；……………………………………………..(8分) (3) 由3112213f π⎛⎫A += ⎪⎝⎭得1213cosA =,520,,31333A sinA C AB πππ<<∴=∴+=Q Q ，＝，333cosB cos A cos cosA sin sinA πππ⎛⎫= ∴=⎪⎝⎭=-+..(12分)考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值．【名师点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．有关三角函数图像与性质问题结合解三角形问题主要是根据所给三角函数的性质结合有关运算公式及正弦定理、余弦定理进行边角关系的分析计算解决有关问题，难度往往不大，多为中档题目. 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2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}3．（5分）已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．9910．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．212．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，） B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为．15．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a ﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为．16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B 的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求ED．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．19．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m （Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1恒成立，求m的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：x=4或1，∴B={1，4}，解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：x=3或a，∴A={3}或{3，a}，∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}．∴a=0或1或3或4．故选：D．3．（5分）已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【解答】解：函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，∵cos2x的周期是π，∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为，即命题p是假命题．若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题，则p∨q为真命题，其余为假命题，故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选：C．6．（5分）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设t=a﹣a x，则y=为增函数，则函数y=（a＞0，a≠1）为单调函数，当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．7．（5分）下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c【解答】解：设f（x）=lnx﹣x，（x＞0），则f′（x）=﹣1=；故f（x）在（1，+∞）上是减函数，且＜3＜π，故ln﹣＞ln3﹣3＞lnπ﹣π，即a＞c＞b；故选：A．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由图象看出振幅A=1，又，所以T=π，所以ω=2，再由+Φ=π，得Φ=，所以f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=﹣Acosωx=﹣cos2x的图象，把f（x）=sin（2x+）中的x变为x﹣，即f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x．所以只要将f（x）=sin（2x+）向右平移个单位长度就能得到g（x）的图象．故选：B．9．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99【解答】解：∵在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），∴a n+3=a n．即数列各项以3为周期呈周期变化∵98=3×32+2，∴a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，a1+a2+a3=2+3+4=9，∴S100=33×（a1+a2+a3）+a100=33×（a1+a2+a3）+a1=33×9+2=299．故选：B．10．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在①中：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确；在②中：∵C1M⊥平面A1ABB1，∴CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴A1B⊥CN，A1B⊥C1M，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M，AM⊂面AC1M，∴A1B⊥AM，∵AN B 1M，∴AM∥B1N，∴A1B⊥NB1，故②正确；在③中：∵AM∥B1N，C1M∥CN，AM∩C1M=M，B1N∩CN=N，∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．故选：D．11．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，） B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f（2015）=f（2015﹣4×504）=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βs in=．故答案为：．14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．故答案为：715．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a ﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为4．【解答】解：由a﹣2csinA=0及正弦定理，得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），∴，∵△ABC是锐角三角形，∴C=．∵c=2，C=，由余弦定理，，即a2+b2﹣ab=4，∴（a+b）2=4+3ab，化为（a+b）2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，故a+b的最大值是4．故答案为：4．16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B 的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求ED．【解答】解：（1）由不等式的性质得：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，要使不等式f（x）≥a恒成立，则只要|a﹣1|≥a，解得：，所以实数a的取值范围为．（2）（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB．由AD为∠BAC 的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB，∴∠DBE=∠DBC．（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB，∴∠ADB=90°=∠BDE，又由（1）得∠DBE=∠DBH，再根据BD=BD，可得△BDH≌△BDE，∴DE=DH．∵HE=4，∴ED=2．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【解答】解：（1）由a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，可得：a，所以cosA==，又0＜A＜π，∴A=，由sinAsinB=cos2，可得sinB=，sinB=1+cosC，∴cosC＜0，则C为钝角．B+C=，则sin（﹣C）=1+cosC，∴cos（C+）=﹣1，解得C=，∴B=．…（6分）（2）设{a n}的公差为d，由已知得a1=，且a24=a2a8．∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d）．又d≠0，∴d=2．∴a n=2n．…（9分）∴==．∴S n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．…（12分）19．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m （Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1恒成立，求m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，即4a 3=a1，于是，∵q＞0，∴；∵a1=1，∴．（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q≠1时，，∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴，∵q＞0，∴，∵a1=1，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴（1）∴（2）∴（1）﹣（2）得：=∴∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m∵∴{T n}为递增数列，∴当n=1时，（T n）min=1，∴m≤1，∴m的最大值为1．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3•﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈，∴2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈（0，3]．（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=2．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．【解答】（Ⅰ）解：由题，…（2分）故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）（Ⅱ）解：当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，取，则，…（5分）再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，…（7分）故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，故，故k max=3…（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴令，…（10分）又ln [（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n （n +1））]=ln （1+1×2）+ln （1+2×3）+…+ln（1+n ×（n +1））=即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n （n +1）]＞e 2n ﹣3…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。

河北省唐山市开滦第二中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-2．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．5224+ D ．94．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则12PF PF +=（ ） A ．4 B ．8C ．42D ．475．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭7．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞9．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=（ ）A ．()(),35,-∞+∞B ．(](),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞ D ．()[),35,-∞+∞10．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．13212．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．194B 11C ．32D ．74二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016年河北省衡水中学高三二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设全集 U =R ，集合 A = x x 2−1<0 ，B = x x x −2 ≥0 ，则 A ∩ ∁U B = A. x 0<x <2B. x 0<x <1C. x 0≤x <2D. x −1<x <02. 已知复数 z 满足 1+z i=1−z ，则 z 的虚部为 A. iB. −1C. 1D. −i 3. 已知等比数列 a n 中，a 5=10，则 lg a 2a 8 等于 A. 1B. 2C. 10D. 1004. 已知向量 a = 1,n ，b = −1,n ，若 2a −b与 b 垂直，则 n 2 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 45. “m >2”是“函数 f x =m +log 2x x ≥12 不存在零点”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在 x x3 12 的展开式中，x 项的系数为 A. C 126B. C 125C. C 127D. C 1287. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =32，BC =2，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 A −BCD 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 A −BCD 侧视图的面积为 A. 925B. 125C. 3625D. 18258. 若当 x ∈R 时，函数 f x =a x 始终满足 0< f x ≤1，则函数 y =log a 1x的图形大致为A. B.C. D.9. 执行如图所示的程序框图，输出z的值为 A. −1008×2015B. 1008×2015C. −1008×2017D. 1008×201710. 已知函数f x=sin2x+φ，其中φ为实数，若f x≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2>fπ，则f x的单调递增区间是 A. kπ−π3,kπ+π6k∈Z B. kπ,kπ+π2k∈ZC. kπ+π6,kπ+2π3k∈Z D. kπ−π2,kπ k∈Z11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为377，则双曲线的离心率为 A. 3B. 5C. 2D. 412. 已知f x是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f x=x2，当x>1时，f x+1=f x+f1，若直线y=kx与函数y=f x的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为 A. 22−2,26−4B. 3+2,3+6C. 22+2,26+4D. 4,8二、填空题（共4小题；共20分）13. 从编号为001，002，⋯，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，⋯，则样本中最大的编号应该为．14. 设变量x，y满足约束条件y≤x,x+y≥2,y≥3x−6,则目标函数z=2x+y的最大值为．15. 已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD体积的最大值为．16. 有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk m,k=1,2,3,⋯,n,n≥3，公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，⋯，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos2A−3cos B+C=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=53，b=5，求sin B sin C的值．18. 某校为了解2015届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:4，其中第二小组的频数为11．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60 kg的学生人数，求X的数学期望与方差．19. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点．（1）求证：A1O∥平面AB1C；（2）求平面AC1D1与平面C1D1C所成锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率为22，且过点2,．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 AC ，BD 过原点 O ，若 k AC ⋅k BD =−b 2a ． （i ）求 OA ⋅OB 的最值；（ii ）求证：四边形 ABCD 的面积为定值．21. 已知函数 f x =ln x +1x ，且 f x 在 x =12处的切线方程为 y =g x ．（1）求 y =g x 的解析式；（2）证明：当 x >0 时，恒有 f x ≥g x ； （3）证明：若 a i >0，且 a i n i =1=1，则 a 1+1a 1a 2+1a 2⋯ a n +1a n≥n 2+1nn1≤i ≤n ,i ,n ∈N ∗ ．22. 如图，圆 O 的直径 AB =8，圆周上过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 E ，过点 B 作 AC 的平行线交 EC 的延长线于点 P ．（1）求证：BC 2=AC ⋅BP ； （2）若 EC =2 5，求 PB 的长．23. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x =2+t ,y =t +1（t 为参数），在以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线 P 的方程为 ρ2−4ρcos θ+3=0． （1）求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A ，B ，求 AB ．24. 已知函数 f x = 2x −1 + 2x −3 ，x ∈R ．（1）解不等式 f x ≤5；（2）若不等式 m 2−m <f x ，∀x ∈R 都成立，求实数 m 的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】A=x−1<x<1，B= x x≥2或x≤0，∁U B=x0<x<2，所以A∩∁U B=x0<x<1．2. C 【解析】由已知得1+z=1−z i=i−i z，则z=−1+i1+i =−1+i1−i2=i，虚部为1．3. B 【解析】由等比数列的性质可知lg a2a8=lg a52=lg100=2．4. C 【解析】由a=1,n，b=−1,n，得2a−b=3,n，若2a−b与b垂直，则2a−b⋅b=0，则有−3+n2=0，解得n2=3．5. A【解析】函数f x的值域是m−1,+∞，当m>2时，f x>1，不存在零点．若函数f x不存在零点，则m>1，所以“m>2”是“函数f x=m+log2x x≥12不存在零点”的充分不必要条件．6. A 【解析】第r+1项T r+1=C12r x12−r x−r3=C12r x6−56r，故当r=6时，x项的系数为C126．7. D 【解析】由正视图及俯视图可得在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧32×222+22=65的等腰直角三角形，其面积为12×652=1825．8. B 【解析】因为当x∈R时，函数f x=a x 始终满足0<f x≤1，所以0<a<1，则当x>0时，函数y=log a1x=−log a x，显然此时函数单调递增．9. A 【解析】第一次运行时，S=12，a=2；第二次运行时，S=12，a=3；第三次运行时，S=121+2+3，a=4；第四次运行时，S=121+2+3+4，a=5；⋯⋯，以此类推，第2015次运行时，S=121+2+3+4+⋯+2015，a=2016，此时满足a>2015，结束循环，输出z=log2121+2+3+4+⋯+2015=−1+20152×2015=−1008×2015．10. C【解析】∵f x≤fπ6对x∈R恒成立，∴fπ6为函数f x的最大值，即sinπ3+φ =1，∴π3+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π6k∈Z．由fπ2>fπ，可知sinπ+φ>sin2π+φ，即sinφ<0，∴φ=2k+1π+π6k∈Z，代入f x=sin2x+φ，得f x=−sin2x+π6，由2kπ+π2⩽2x+π6⩽2kπ+3π2k∈Z，解得kπ+π6⩽x⩽kπ+2π3k∈Z．11. C 【解析】设点A x0,y0在第一象限．因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M，N分别为AF，BF的中点，所以AF⊥BF，即在Rt△ABF中，OA=OF=2，因为直线AB的斜率为377，所以x0=72，y0=32，代入双曲线x2a−y2b=1中得74a−94b=1，又a2+b2=4，解得a2=1，b2=3，所以双曲线的离心率为2．12. A 【解析】由x>1时，f x+1=f x+f1=f x+1可得当x∈n,n+1，n∈N∗时，f x=f x−1+1=f x−2+2=⋯=f x−n+n=x−n2+n．因为函数y=f x是定义在R上的奇函数，所以其图象关于原点对称，因此要使直线y=kx与函数y=f x恰有7个不同的公共点，只需满足当x>0时，直线y=kx与函数y=f x恰有3个不同的公共点即可．作出x>0时函数y=f x图象，由图可知，当直线y=kx与曲线段y=x−12+1，x∈1,2相切时，直线与函数y=f x恰有5个不同的公共点．与曲线段y=x−22+2，x∈2,3相切时，直线与函数y=f x恰有9个公共点，若恰有7个，则介于此两者之间．由直线方程y=kx与y=x−12+1，x∈1,2，消去y得x2−2+k x+2=0，因为相切，所以Δ=2+k2−8=0，又k>0，所以k=22−2．由y=kx与y=x−22+2，x∈2,3，消去y得x2−4+k x+6=0，因为相切，所以Δ=0，得到k=26−4，所以k的取值范围为22−2,26−4．第二部分13. 482【解析】由题意可知系统抽样的每组元素个数为32−7=25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500−25+7=482．14. 9【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图（阴影部分）．由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点A时，直线y=−2x+z的截距最大，此时z最大．由y=x,y=3x−6解得x=3,y=3,即A3,3，将A3,3的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+3=9．即z=2x+y的最大值为9．15. 23【解析】由题知AC2=BC2+AB2，所以∠ABC=90∘，设AC的中点为E，球的半径为R，过A，B，C三点的截面圆半径r=AE=12AC=1，由球的表面积为25π4知4πR2=25π4，解得R=54，因为△ABC的面积为12AB×BC=1，所以要使四面体ABCD体积最大，则D为直线DE与球的交点且球心在线段DE上，所以球心到过A，B，C三点的截面的距离d=2−r2=34，所以DE=34+54=2，所以四面体ABCD体积的最大值为13×1×2=23．16. 1【解析】由题意知a mn=1+n−1d m，则a2n−a1n=1+n−1d2−1+n−1d1=n−1d2−d1，同理，a3n−a2n=n−1d3−d2，a4n−a3n=n−1d4−d3，⋯⋯，a nn−a n−1n=n−1d n−d n−1．又因为a1n，a2n，a3n，⋯，a nn成等差数列，所以a2n−a1n= a3n−a2n=⋯⋯=a nn−a n−1n，故d2−d1=d3−d2=⋯⋯=d n−d n−1，即d n是公差为d2−d1的等差数列，所以d m=d1+m−1d2−d1=2−m d1+m−1d2．令p1=2−m，p2=m−1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．第三部分17. （1）由cos2A−3cos B+C=1，得2cos2A+3cos A−2=0，即2cos A−1cos A+2=0，解得cos A=12或cos A=−2（舍去）．因为0<A<π，所以∠A=π3．（2）由S=12bc sin A=12bc⋅32=34bc=53，得bc=20．又b=5，故c=4．由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A=25+16−20=21，故a=21．又由正弦定理，得sin B sin C=ba sin A⋅casin A=bcasin2A=2021×34=57．18. （1）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为P1，P2，P3．则P2=2P1,P3=4P1,P1+P2+P3+5×0.017+0.043=1.解得P1=1 ,P2=1 ,P3=2 5 .由于P2=15=11n，故n=55．（2）由（1）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为P=P3+5×0.017+0.043=710．由题意知X服从二项分布即：X∼B3,710，所以P X=k=C3k710k3103−kk=0,1,2,3，所以E X=3×710=2110，D X=3×710×310=63100．19. （1）如图，连接CO，则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1，故四边形A1B1CO为平行四边形，所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1O∥平面AB1C．（2）连接D1O．因为D1A=D1D，O为AD的中点，所以D1O⊥AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，故D1O⊥底面ABCD．以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则C1,0,0，D0,1,0，D10,0,1，A0,−1,0，所以DC=1,−1,0，DD1=0,−1,1，D1A=0,−1,−1，D1C1=DC=1,−1,0．设m=x,y,z为平面CDD1C1的法向量，由m⊥DC，m⊥DD1得x−y=0,−y+z=0,令z=1，则y=1，x=1，所以m=1,1,1．又设n=x1,y1,z1为平面AC1D1的法向量，由n⊥D1A，n⊥D1C1得−y1−z1=0, x1−y1=0,令z1=1，则y1=−1，x1=−1，所以n=−1,−1,1，则cos⟨m,n ⟩=3⋅3=−13，故所求锐二面角的余弦值为13．20. （1）由题意知e=ca =22，4a2+2b2=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4，所以椭圆的标准方程为x 28+y24=1．（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设A x1,y1，B x2,y2，联立y=kx+m,x2+2y2=8得1+2k2x2+4kmx+2m2−8=0，Δ=4km2−41+2k22m2−8=88k2−m2+4>0, ⋯⋯①x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−81+2k2,因为k OA⋅k OB=−b2a =−12，所以y1y2x1x2=−12，y1y2=−12x1x2=−12⋅2m2−81+2k2=−m2−41+2k2，又y1y2=kx1+m kx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=k2⋅2m2−81+2k2+km⋅−4km1+2k2+m2=m2−8k2,所以−m 2−41+2k =m2−8k21+2k，所以−m2−4=m2−8k2，所以4k2+2=m2．（i）OA⋅OB=x1x2+y1y2=2m2−81+2k2−m2−41+2k2=m2−4 1+2k2=4k2+2−4 1+2k2=2−42,所以−2=2−4≤OA⋅OB<2，当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，OA⋅OB取最小值为−2．又直线AB的斜率不存在时，OA⋅OB=2，所以OA⋅OB的最大值为2．（ii）设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB=12AB ⋅d=121+k⋅ x2−x1m1+k2=mx1+x22−4x1x2=m2−4km1+2k22−42m2−81+2k2=m64k22−16m2−42=24k2−m2+4=22,所以S四边形ABCD=4S△AOB=82，即四边形ABCD的面积为定值．21. （1）因为fʹx=xx+11−1x=x2−1x+x，所以f x在x=12处的切线的斜率k=fʹ12=−65，又因为 f 12 =ln 52， 所以 f x 在 x =12 处的切线方程为 y −ln 52=−65 x −12， 即 y =g x =−65x +35+ln 52．（2） 令 t x =f x −g x =ln x +1x +65x −35−ln 52x >0 ， 因为 tʹ x =x 2−1x 3+x+65=6x 3+5x 2+6x−55 x 3+x = x−12 6x 2+8x +10 5 x 3+x ， 所以当 0<x <12 时，tʹ x <0；x >12 时，tʹ x >0； 所以 t x min =t 12=0． 故 t x ≥0，即 ln x +1x ≥−65x +35+ln 52． （3） 先求 f x 在点 1n ,ln n +1n处的切线方程， 由（1）知 fʹ 1n =n−n 31+n ， 故 f x 在点 1n ,ln n +1n 处的切线方程为 y −ln n +1n=n−n 3n 2+1 x −1n ， 即 y =n−n 31+n 2x −1−n 2n 2+1+ln n +1n． 再证 f x ≥n−n 3n +1x −1−n 21+n +ln n +1n ． 令 x =ln x +1x −n−n 3n +1x +1−n 21+n −ln n +1nx >0 ， 因为ʹ x =x 2−1x 3+x −n −n 3n 2+1= n 3−n x 3+ n 2+1 x 2+ n 3−n x −n 2−1=x −1n n 3−n x 2+2n 2x +n 3+n x 3+x n 2+1 .所以 0<x <1n 时， ʹ x <0； x >1n 时， ʹ x >0． 所以 x min = 1n=0， 所以 f x ≥n−n 3n 2+1x −1−n 21+n 2+ln n +1n ．因为 a i >0，所以 ln a i +1a i ≥n−n 3n 2+1a i −1−n 21+n 2+ln n +1n ， 所以 ln a i +1a i n i =1≥n−n 3n +1 a i n i =1−n 1−n 2 1+n +n ln n +1n =n ln n +1n ． 所以 a 1+1a 1 a 2+1a 2 ⋯ a n +1a n ≥ n +1n n．22. （1） 因为 AB 为圆 O 的直径，所以∠ACB=90∘．又AC∥BP，所以∠ACB=∠CBP，∠ECA=∠P．因为EC为圆O的切线，所以∠ECA=∠ABC，所以∠ABC=∠P，所以△ACB∽△CBP，所以ACBC =BCBP，即BC2=AC⋅BP．（2）因为EC为圆O的切线，EC=25，AB=8，所以EC2=EA⋅EB=EA EA+AB，所以EA=2．因为∠ECA=∠ABC，所以△ACE∽△CBE，所以ACBC =EAEC=5．因为AB为圆O的直径，所以∠ACB=90∘，所以AC2+BC2=AB2，所以AC=463，由ACBP=EAEB可得PB=2063．23. （1）曲线C的普通方程为x−y−1=0，曲线P的直角坐标方程为x2+y2−4x+3=0．（2）曲线P可化为x−22+y2=1，表示圆心为2,0，半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为d=2=22，所以AB=22−d2=2．24. （1）原不等式等价于x<12,4−4x≤5 ⋯⋯①或12≤x≤32,2<5 ⋯⋯②或x>32,4x−4≤5. ⋯⋯③解①求得−14≤x<12，解②求得12≤x≤32，解③求得32<x≤94，因此不等式的解集为 −14,94．（2）因为f x=2x−1+2x−3 ≥ 2x−1−2x−3=2，所以m2−m<2，解得−1<m<2，即实数m的取值范围为−1,2．。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1. 复数iaiz -=3在复平面内对应的点在第三象限是a ≥0的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.复数的运算；2.命题的充分必要性.2．设集合2{|(3)30}A x x a x a =-++=，2{|540}B x x x =-+=，集合A ∪B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{0}B ．{0，3}C ．{1，3，4}D ．{0，1，3，4}【答案】A 【解析】试题分析：2{|540}{|(4)(1)0}{1,4}B x x x x x x =-+==--== 因为集合A B 中所有元素之和为8又{1,4}B =所以集合A 元素之和为3.因为2{|(3)30}A x x a x a =-++=所以33a +=，解得0a = 故答案为A 考点：集合的特性.3．已知命题p ：函数21()|sin |2f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数f （x +1）为偶函数，则f （x ）关于x =1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．（￢p ）∧（￢q ）D ．p ∨（￢q ）【答案】B考点：命题的真假判断.4．某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为 （ ）侧视图俯视图正视图A ．4πB ．283πC ．443π D ．20π【答案】B【解析】试题分析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两底面的中心连线的中点与三棱柱顶点的连线就是外接球的半径，所以r ==所以球的表面积为27284433r πππ=⨯= 故答案选B考点：1.三视图；2.球的表面积.【方法点睛】三视图的读图与画图的关键点：（1）熟记三视图的观察方向和长、宽、高的关系：长对正、高平齐、宽相等；（2）熟悉各种基本几何体的三视图，同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线.由几何体的三视图求其表面积或体积的步骤：第一步，根据给出的三视图判断该几何体的形状；第二步，由三视图中的数据标出几何体的相关数据；第三部，根据几何体的表面积、体积公式求解.5. 已知两条不重合的直线m 、n 和两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α； ②若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ③若m 、n 是两条异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α．其中正确命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】C考点：空间中线与面、面与面的位置关系.【易错点睛】空间中直线和平面的概念和性质作为高考命题的重要内容，经常出现在高考试题的选择题和填空题中，由于空间意识和对概念、性质、公理等的认识不够全面等原因，同学们对此类问题旺旺很难把握，经常出错.6. 函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是[]0,1，则548log log 65aa +=（ ） A .1 B .2C .3D .4【答案】C考点：指数函数的性质. 7．下列三个数：33ln,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是（ ）A.a c b >> .B a b c >> .C a c b << .D b a c >>【答案】A 【解析】试题分析：令()ln (0)f x x x x =->，则3()2a f =，()b f π=，(3)c f = 所以1()1f x x'=-(0)x > 令()001f x x '>⇒<<，即函数()ln (0)f x x x x =->在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 因为3132π<<<,所以3()(3)()2f f f π>>，即a c b >> 故答案选A考点：1.函数的构造；2.大小比较.8. 函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象如下图所示，为了得到x A x g ωcos )(-=的图像，可以将)(x f 的图像 （ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移125π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移125π个单位长度【答案】B考点：1.三角函数的解析式；2.三角函数图像的变换.9．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n +a n +1+a n +2为定值（n ∈N *），且79982,3,4a a a ===，则数列{a n }的前100项的和S 100=（ ）A ．132B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】试题分析：因为对任意的n N +∈均有12n n n a a a ++++为定值 所以数列{}n a 是周期为3的周期数列 因为72312a a ⨯+==，所以12a = 因为9333a a ⨯==，所以33a = 因为9832324a a ⨯+==，所以24a =因为1003331S S ⨯+=所以100123133()33(243)2299S a a a a =⨯+++=⨯+++= 故答案选B 考点：周期数列.10.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， BC =AC ，AC 1⊥A 1B ,M ,N 分别是A 1B 1,AB 的中点，给出下列结论：①C 1M ⊥平面A 1ABB 1,②A 1B ⊥NB 1 ,③平面AMC 1⊥平面CBA 1 ,其中正确结论的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D综上所述，正确结论的个数为3，故答案选D 考点：点线面的位置关系.11.设,a b 为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是（ ）A .B .2CD ．1【答案】A考点：平面向量的应用.【方法点睛】向量中的最值和范围问题解题技巧一般有以下几种，（1）建立坐标系，转化为函数值域问题.若条件中能找到两条互相垂直的直线，则可以这两条直线为坐标轴建系，用一个变量表示点的坐标，再将目标表示为此变量的函数，将问题转化为函数的值域问题；（2）利用平面向量基本定理，转化为函数值域问题.当建立坐标系要设的变量较多，转化后的问题较复杂时，可以考虑选择一组基底表示所求目标；（3）利用向量的概念、运算的几何意义，构造几何图形解决问题.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征，若能构造出图形，理清问题中动点的轨迹，往往能有事半功倍的效果.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若()()f x f x '<，且(1)f x +(3)f x =-，(2015)2f =，则不等式1()2x f x e -<的解集为（ ）A . (1,)+∞B .(,)e +∞C . (,0)-∞D . 1(,)e-∞【答案】A考点：1.导函数的应用；2,函数的性质；3.函数的构造.【方法点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、奇偶性等问题，画出函数草图，利用数形结合思想则可使问题变得明了．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设α为锐角,若4cos65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,则)122sin(π+a的值为______【答案】50考点：三角函数求值.【方法点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．14. 已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_________. 【答案】7考点：1.线性规划；2.基本不等式【方法点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．15．在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ﹣2csinA =0．若c =2，则a +b 的最大 值为 ． 【答案】4.解得62A ππ<<，则2363A πππ<+<当62A ππ+=，即3A π=时，a b +取得最大值4.考点：1.解三角形；2.三角函数的性质.【易错点睛】（1）本题易错在求C 的值以及A 的取值范围，容易忽略“三角形ABC ∆是锐角三角形”这个条件；（2）本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性解法. 16. 322()13f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数a 的取值范围为 【答案】7(3,)2考点：1.导函数的几何意义；2.二次函数的根的分布. 【方法点睛】一元二次方程20ax bx c ++=根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()00f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)（1）已知函数f （x ）＝｜x －1｜＋｜x －a ｜．若不等式f （x ）≥a恒成立，求实数a 的取值范围．（2）．如图，圆O 的直径为AB 且BE 为圆O 的切线，点C 为圆O 上不同于A 、B 的一点，AD 为∠BAC 的平分线，且分别与BC 交于H ，与圆O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD ． （Ⅰ）求证：∠DBE =∠DBC ； （Ⅱ）若HE =4，求ED ．【答案】（1）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,；（2）（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）2.考点：1.绝对值不等式；2.有关圆的证明和计算.18. (本题满分12分) 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22()(2a b c bc --=，2sin sin cos2C A B =， （1）求角B 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且B a 2cos 1=1，且842a a a 、、成等比数列，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和n S 【答案】（1）6π；（2）1nn +.又因为A 为ABC ∆的内角，所以6A π=；由半角公式得211coscos 222C C =+，因为2sinsin cos 2C A B =， 所以11sin sin sin 22A B C =+， 又6A π=，所以sin cos 1B C =+，（2）因为1cos 21a B =， 由（1）知6B π=，所以12a =，又因为842a a a 、、成等比数列， 所以2428a a a =， 因为数列{}n a 等差数列所以2(23)(2)(27)d d d +=++，又因为公差0d ≠，所以解得2d =， 所以数列{}n a 的通项公式2n a n = 设14n n n b a a +=所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的通项公式41114(1)(1)1n b n n n n n n ===-+++， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和1111111(1)()()()223341n S n n =-+-+-++-+1111n n n =-=++考点：1.解三角形；2.数列求和.【方法点睛】1.在（1）中，容易忽略C 的角度范围，从而产生多解；2.数列的求和技巧：（1）用倒序相加法求数列的前n 项和，如果一个数列{}n a ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

河北省邢台市第二中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．四边相等的四边形2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 3．下列命题中正确的个数是（ ）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 （2）若直线a 与平面α平行，则直线a 与平面α内的直线平行或异面 （3）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （4）垂直于同一条直线的两条直线平行A ．0B ．1C ． 2D ．3 4．如图2所示的直观图中，2O A O B ''''==，则其平面图形的面积是( )图2A.4B.24C.22D.85.如图3，在空间四边形ABCD 中，点H E ,分别是边AD AB ,的中点，F ,G 分别是边BC,CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则（ ）A EF 与GH 互相平行B EF 与GH 异面C EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上6．平面α截球O 所得截面的面积为4π，球心O，此球的体积为（ ） Aπ B、π C、π D、π7．如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1=2，M 、N 分别是BB 1和B 1C 1的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ）MNC 1B 1A 1CBAA ．25 B ．252 C ． 52 D ．538．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．12π B． C ．3πD．39．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为090，它的表面积为a ，则它的底面积为（ ）. A 、5a B 、3a C 、2a D 、4a 10．已知四棱锥P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,四边形ABCD 为正方形,点E 是PB 的中点,则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为（ ）A 、13 B C D 、2311．正四棱锥则S ABCD -的底面边长为8SE =，则过点,,,,A B C D S 的球的半径为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．612．某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）A. B ． C. D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若某几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是14.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为15．如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中， BB 1⊥AB ，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ， 则△APC 1周长的最小值是 .16．直三棱柱错误！未找到引用源。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1. 复数iaiz -=3在复平面内对应的点在第三象限是a ≥0的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.复数的运算；2.命题的充分必要性.2．设集合2{|(3)30}A x x a x a =-++=，2{|540}B x x x =-+=，集合A ∪B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{0}B ．{0，3}C ．{1，3，4}D ．{0，1，3，4}【答案】A 【解析】试题分析：2{|540}{|(4)(1)0}{1,4}B x x x x x x =-+==--== 因为集合A B 中所有元素之和为8 又{1,4}B =所以集合A 元素之和为3.因为2{|(3)30}A x x a x a =-++=所以33a +=，解得0a = 故答案为A 考点：集合的特性.3．已知命题p ：函数21()|sin |2f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数f （x +1）为偶函数，则f （x ）关于x =1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．（￢p ）∧（￢q ）D ．p ∨（￢q ）【答案】B考点：命题的真假判断.4．某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为 （ ）侧视图俯视图正视图A ．4πB ．283πC ．443π D ．20π【答案】B【解析】试题分析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两底面的中心连线的中点与三棱柱顶点的连线就是外接球的半径，所以r ==所以球的表面积为27284433r πππ=⨯= 故答案选B考点：1.三视图；2.球的表面积.【方法点睛】三视图的读图与画图的关键点：（1）熟记三视图的观察方向和长、宽、高的关系：长对正、高平齐、宽相等；（2）熟悉各种基本几何体的三视图，同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线.由几何体的三视图求其表面积或体积的步骤：第一步，根据给出的三视图判断该几何体的形状；第二步，由三视图中的数据标出几何体的相关数据；第三部，根据几何体的表面积、体积公式求解.5. 已知两条不重合的直线m 、n 和两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α； ②若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ③若m 、n 是两条异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α．其中正确命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】C考点：空间中线与面、面与面的位置关系.【易错点睛】空间中直线和平面的概念和性质作为高考命题的重要内容，经常出现在高考试题的选择题和填空题中，由于空间意识和对概念、性质、公理等的认识不够全面等原因，同学们对此类问题旺旺很难把握，经常出错.6. 函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是[]0,1，则548log log 65aa +=（ ） A .1 B .2C .3D .4【答案】C考点：指数函数的性质. 7．下列三个数：33ln,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是（ ）A.a c b >> .B a b c >> .C a c b << .D b a c >>【答案】A 【解析】试题分析：令()ln (0)f x x x x =->，则3()2a f =，()b f π=，(3)c f = 所以1()1f x x'=-(0)x > 令()001f x x '>⇒<<，即函数()ln (0)f x x x x =->在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 因为3132π<<<,所以3()(3)()2f f f π>>，即a c b >> 故答案选A考点：1.函数的构造；2.大小比较.8. 函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象如下图所示，为了得到x A x g ωcos )(-=的图像，可以将)(x f 的图像 （ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移125π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移125π个单位长度【答案】B考点：1.三角函数的解析式；2.三角函数图像的变换.9．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n +a n +1+a n +2为定值（n ∈N *），且79982,3,4a a a ===，则数列{a n }的前100项的和S 100=（ ）A ．132B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】试题分析：因为对任意的n N +∈均有12n n n a a a ++++为定值 所以数列{}n a 是周期为3的周期数列 因为72312a a ⨯+==，所以12a = 因为9333a a ⨯==，所以33a = 因为9832324a a ⨯+==，所以24a =因为1003331S S ⨯+=所以100123133()33(243)2299S a a a a =⨯+++=⨯+++= 故答案选B 考点：周期数列.10.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， BC =AC ，AC 1⊥A 1B ,M ,N 分别是A 1B 1,AB 的中点，给出下列结论：①C 1M ⊥平面A 1ABB 1,②A 1B ⊥NB 1 ,③平面AMC 1⊥平面CBA 1 ,其中正确结论的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D综上所述，正确结论的个数为3，故答案选D 考点：点线面的位置关系.11.设,a b为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=- ，则c 的最大值是（ ）A .B .2CD ．1【答案】A考点：平面向量的应用.【方法点睛】向量中的最值和范围问题解题技巧一般有以下几种，（1）建立坐标系，转化为函数值域问题.若条件中能找到两条互相垂直的直线，则可以这两条直线为坐标轴建系，用一个变量表示点的坐标，再将目标表示为此变量的函数，将问题转化为函数的值域问题；（2）利用平面向量基本定理，转化为函数值域问题.当建立坐标系要设的变量较多，转化后的问题较复杂时，可以考虑选择一组基底表示所求目标；（3）利用向量的概念、运算的几何意义，构造几何图形解决问题.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征，若能构造出图形，理清问题中动点的轨迹，往往能有事半功倍的效果.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若()()f x f x '<，且(1)f x +(3)f x =-，(2015)2f =，则不等式1()2x f x e -<的解集为（ ）A . (1,)+∞B .(,)e +∞C . (,0)-∞D . 1(,)e-∞【答案】A考点：1.导函数的应用；2,函数的性质；3.函数的构造.【方法点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、奇偶性等问题，画出函数草图，利用数形结合思想则可使问题变得明了．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设α为锐角,若4cos65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,则)122sin(π+a的值为______【答案】50考点：三角函数求值.【方法点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．14. 已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_________. 【答案】7考点：1.线性规划；2.基本不等式【方法点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．15．在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ﹣2csinA =0．若c =2，则a +b 的最大 值为 ． 【答案】4.解得62A ππ<<，则2363A πππ<+<当62A ππ+=，即3A π=时，a b +取得最大值4.考点：1.解三角形；2.三角函数的性质.【易错点睛】（1）本题易错在求C 的值以及A 的取值范围，容易忽略“三角形ABC ∆是锐角三角形”这个条件；（2）本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性解法. 16. 322()13f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数a 的取值范围为 【答案】7(3,)2考点：1.导函数的几何意义；2.二次函数的根的分布. 【方法点睛】一元二次方程20ax bx c ++=根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()00f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)（1）已知函数f （x ）＝｜x －1｜＋｜x －a ｜．若不等式f （x ）≥a恒成立，求实数a 的取值范围．（2）．如图，圆O 的直径为AB 且BE 为圆O 的切线，点C 为圆O 上不同于A 、B 的一点，AD 为∠BAC 的平分线，且分别与BC 交于H ，与圆O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD ． （Ⅰ）求证：∠DBE =∠DBC ； （Ⅱ）若HE =4，求ED ．【答案】（1）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,；（2）（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）2.考点：1.绝对值不等式；2.有关圆的证明和计算.18. (本题满分12分) 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22()(2a b c bc --=，2sin sin cos2C A B =， （1）求角B 的大小； （2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且B a 2cos 1=1，且842a a a 、、成等比数列，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和n S【答案】（1）6π；（2）1n n +. 又因为A 为ABC ∆的内角，所以6A π=； 由半角公式得211cos cos 222C C =+，因为2sin sin cos 2C A B =， 所以11sin sin sin 22A B C =+， 又6A π=，所以sin cos 1B C =+，（2）因为1cos 21a B =，由（1）知6B π=，所以12a =，又因为842a a a 、、成等比数列，所以2428a a a =，因为数列{}n a 等差数列所以2(23)(2)(27)d d d +=++，又因为公差0d ≠，所以解得2d =，所以数列{}n a 的通项公式2n a n = 设14n n n b a a += 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的通项公式41114(1)(1)1n b n n n n n n ===-+++， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和1111111(1)()()()223341n S n n =-+-+-++-+ 1111n n n =-=++考点：1.解三角形；2.数列求和.【方法点睛】1.在（1）中，容易忽略C 的角度范围，从而产生多解；2.数列的求和技巧：（1）用倒序相加法求数列的前n 项和，如果一个数列{}n a ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。