2014-2015学年北师大版高中数学必修一课时训练 课时作业10

课时达标训练（十）一、选择题1．如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1 ( )A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是 ( )3．(山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<04．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1C.－1－52D.－1＋52二、填空题5．将抛物线y ＝－x 2＋2x －1向左平移1个单位后，得到的解析式是________．6．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位，得到函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝ ________.7．已知二次函数f (x )的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________.8．已知方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，则实数m 的取值范围是________．三、解答题9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y ＝x －2的交点坐标为(1，n )和(m,1)，求这个二次函数的解析式．答案1．解析：选D 要得到y ＝2(x －4)2－1的图像，只需将y ＝2x 2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．2．解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0，∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b 2a＞0，知A 、C 错；D 符合要求，由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b 2a＜0，B 错误． 3．解析：选B 由于函数y ＝f (x )的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y ＝g (x )的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A ，B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x 1x 2<0，由于y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，故x 1＋x 2，y 1＋y 2一定异号． 问题即为方程－x 2＋bx ＝1x仅有两个不同的实根，即方程x 3－bx 2＋1＝0有一个二重根、一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A 的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x 1是方程x 3－bx 2＋1＝0的二重根，x 2为一个单根，则x 3－bx 2＋1＝(x －x 1)2(x －x 2)＝x 3－(2x 1＋x 2)x 2＋(x 21＋2x 1x 2)x －x 21x 2，这个等式对任意x 恒成立，比较等式两端x 的系数可得x 21＋2x 1x 2＝0，即x 1＋2x 2＝0，即x 1＋x 2＝－x 2>0，所以x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.4．解析：选B 由第一个图与第二个图中与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x 1＋x 2＝－b a≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x 1＋x 2＝－b a＞0，又b ＞0，故a ＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0,0)，即a 2－1＝0，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．5．解析：∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，∴函数y ＝－x 2＋2x －1向左平移一个单位后，所得函数解析式为y ＝－[(x ＋1)－1]2＝－x 2.答案：y ＝－x 26．解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图像，则m ＝1. 答案：17．解析：设f (x )＝a (x －1)2－2，因为过点(2,4)，所以有a (2－1)2－2＝4，得a ＝6.所以f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4.答案：6x 2－12x ＋48．解析：设f (x )＝x 2－4|x |＋5，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋1，x ≥0，(x ＋2)2＋1，x <0，作出f (x )的图像，如图：要使方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，需使函数f (x )与y ＝m 的图像有四个不同的交点，由图像可知，1<m <5.答案：(1,5)9．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 即4－2(3－k )3＝269. 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53. 10．解：∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反． ∴a ＝12，则y ＝12x 2＋bx ＋c . 又(1，n )，(m,1)两点均在y ＝x －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1－2，1＝m －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1，即点(1，－1)和(3,1)均在所求的抛物线上． ∴⎩⎨⎧ －1＝12＋b ＋c ，1＝92＋3b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－12. ∴这个二次函数的解析式为y ＝12x 2－x －12.。

课时作业9 函数的单调性时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．下列说法正确的是( D )A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，满足f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上为增函数B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上为增函数C ．若f (x )在区间I 1上为增函数，在区间I 2上也为增函数，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增函数D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1，x 2∈I )，则x 1<x 2 解析：根据函数单调性的定义和性质来判断，只有D 是正确的，故选D.2．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( C ) A ．k >12 B ．k >－12 C ．k <12 D ．k <－12解析：若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则必有2k －1<0，解得k <12.3．函数y ＝－1x －1的单调区间是( C )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：y ＝－1x －1的图像是由y ＝－1x 的图像向右平移1个单位长度而得到的，而y ＝－1x 的单调区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，故y ＝－1x －1的单调区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 4．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( D ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－|x |D ．f (x )＝－1x ＋1解析：f (x )＝3－x 在R 上是减函数； f (x )＝x 2－3x 在(－∞，32)上是减函数； f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上是减函数；f (x )＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数，故在(0，＋∞)上是增函数．5．已知函数f (x )＝2x 2－kx －4在区间[－2,4]上具有单调性，则k 的取值范围是( B )A ．[－8,16]B ．(－∞，－8]∪[16，＋∞)C ．(－∞，－8)∪(16，＋∞)D ．[16，＋∞)解析：∵f (x )＝2x 2－kx －4，∴对称轴为x ＝k 4，k 4≥4或k4≤－2，即k ≥16或k ≤－8，故选B.6．若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( D )A ．f (－32)<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f (－32)<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f (－32) D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：∵函数f (x )对任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，∴f (－2)＝f (2)．∵f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，∴f (－2)<f (－32)<f (－1)，即f (2)<f (－32)<f (－1)．7．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是减少的，则a 的取值范围是( B )A ．(0，14] B ．[0，14] C ．[2，＋∞)D ．(0,4]解析：当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上是减少的； 当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上是减少的．则⎩⎨⎧a >0－－12a ≥2，∴0<a ≤14.综上可得a 的取值范围为a ∈[0，14]．8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：记f (x )＝－x 2＋2x,0≤x ≤2，则a <f (x )min ，x ∈[0,2]．而f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，当x ∈[0,2]时，f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0.故选C.二、填空题9．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．解析：由图像可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．10．f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|83<x ≤4. 解析：依题意，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x >－2x ＋8，解得83<x ≤4.11．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，且函数f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是(1,3]．解析：∵函数f (x )＝x 2－6x ＋8的图像的对称轴为直线x ＝3，且在区间[1，a ]上，f (x )min ＝f (a )，∴a ≤3.又a >1，∴1<a ≤3.三、解答题12．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图像，并指出函数的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图像如图所示． 由图像可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调增区间为[2，＋∞)．13．已知函数f (x )＝x ＋4x ，x ∈[1,3]． (1)判断f (x )在[1,2]和[2,3]上的单调性； (2)根据f (x )的单调性求出f (x )的最值．解：(1)设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)·(1－4x 1x 2)．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.当1≤x 1<x 2≤2时，1<x 1x 2<4， ∴4x 1x 2>1，∴1－4x 1x 2<0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[1,2]上是减函数． 当2≤x 1<x 2≤3时，4<x 1x 2<9， ∴0<4x 1x 2<1，∴1－4x 1x 2>0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[2,3]上是增函数． (2)由(1)知f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4. 又∵f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)， ∴f (x )的最小值为4，最大值为5.——能力提升类——14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋4，x ≤1，－ax ＋3a －4，x >1，且f (x )在R 上递减，则实数a 的取值范围为[2,3]．解析：由题意得⎩⎨⎧a2≥1，－a <0，1－a ＋4≥－a ＋3a －4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a >0，a ≤3⇒2≤a ≤3.15．设函数f (x )的定义域为R ＋，且满足条件f (4)＝1.对任意x 1，x 2∈R ＋，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0.(1)求f (1)的值；(2)如果f (x ＋6)>2，求x 的取值范围．解：(1)因为对任意x1，x2∈R＋有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)设0<x1<x2，则Δx＝x2－x1>0.又因为当x1≠x2时，f(x2)－f(x1)x2－x1>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即Δy＝f(x2)－f(x1)＞0，所以f(x)在R＋上为增函数．令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，即f(16)＝2，所以f(x＋6)>2＝f(16)．因为f(x)在R＋上为增函数，所以x＋6>16，解得x>10. 又x＋6>0，所以x>－6，所以x>10.所以x的取值范围为x>10.由Ruize收集整理。

一、选择题1．下列说法中，正确的有( )①若任意x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则y ＝f (x )在A 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数； ④函数y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 当x 1<x 2时，x 1－x 2<0，由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0知f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，①正确；②、③、④均不正确．【答案】 B2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4【解析】 (排除法)函数y ＝3－x 在R 上为减函数，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，函数y ＝－x 2＋4在[0，＋∞)上是减函数．【答案】 A3．已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )【解析】 已知函数的图像判断其在定义域内的单调性，应从它的图像是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数．【答案】 B4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)【解析】 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，所以2m ＞－m ＋9，即m ＞3.【答案】 C5．(2013·洛阳高一检测)函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25【解析】 因为函数f (x )的对称轴为x ＝m 8，所以f (x )在[m 8，＋∞)上是增加的．所以m 8≤－2，∴m ≤－16.则f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.【答案】 A二、填空题6．已知f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2，x ≥0，x ＋1，x <0，则f (x )的单调增区间是________．【解析】 画出分段函数f (x )的图像，如图所示：由图像知，f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上单调递增．【答案】 (－∞，0]和[1，＋∞)7．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝________.【解析】f(x)的图像的对称轴为x＝m4＝－2，∴m＝－8.∴f(x)＝2x2＋8x＋3.∴f(1)＝2＋8＋3＝13.【答案】138．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是________．【解析】y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图像(如图)．由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．【答案】[－1,1]和[3，＋∞)三、解答题9．求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．【证明】设x1，x2为区间(0，＋∞)上的任意两个值，且x1<x2，则x1－x2<0，x1x2>0.因为f(x1)－f(x2)＝(－1x1－1)－(－1x2－1)＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2<0，即f(x1)<f(x2)．故f(x)＝－1x－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．10．(2013·宁德检测)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且f(1－a)＋f(1－2a)<0.若f(x)是(－1,1)上的减函数，求实数a的取值范围．【解】由f(1－a)＋f(1－2a)<0，得f(1－a)<－f(1－2a)，∵f(－x)＝－f(x)，x∈(－1,1)，∴f (1－a )<f (2a －1)，又∵f (x )是(－1,1)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<1－2a <1，解得0<a <23.1－a >2a －1，故实数a 的取值范围是(0，23)．11．(2013·福州检测)已知函数y ＝f (x )对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，并且当x >0时，f (x )>1.求证：f (x )在 R 上是增加的．【证明】 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )－1.令x 1＝x ，x 2＝x 1＋y (y >0)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1，又∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1，∴f (x 2－x 1)－1>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在R 上是增加的.。

新教材高中数学北师大版选择性必修第一册：1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练知识点一直线的倾斜角与斜率1.直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( )A ．45°，1B ．135°，－1C ．90°，不存在D ．180°，不存在2．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°3．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是________.知识点二直线的斜率公式5.已知直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．－2C ．12 D ．－126．求经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．知识点三斜率公式的应用7.若点P (x ，y )在函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象上运动，则y x的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 8．设点A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1，4)，若直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则实数m 的值为________.9．若A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．关键能力综合练一、选择题1．已知直线l 的斜率的绝对值为1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．45° B．135°C．45°或135° D．全不对2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B．120° C ．30° D．150°3．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4，2)与(－4，1) B ．(0，3)与(3，0)C ．(3，－1)与(2，－1)D ．(－2，2)与(－2，5)4．已知直线PQ 的斜率为－3，将该直线绕点P 顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是( )A ．0B ．33C ． 3D ．－ 3 5．已知直线经过点A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，则a 的值为( ) A ．－6 B ．－145C ．45D ．46．[易错题]直线l 经过点A (1，2)，与x 轴交点的横坐标的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)二、填空题7．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________. 8．已知斜率为12的直线经过A (3，5)，B (x ，－1)，C (7，y )三点，则x ，y 的值分别为________.9．已知点A (1，2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________.三、解答题10．[探究题]已知A (1，1)，B (3，5)，C (a ，7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．学科素养升级练1．[多选题]下列说法不正确的是( ) A ．任何一条直线都有唯一的倾斜角B ．若直线的倾斜角为α，则其斜率为tan αC ．直线的倾斜角越大，它的斜率越大D ．直线的斜率越大，它的倾斜角越大2．已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________.3．[学科素养——数学运算]已知一条光线从点A (－1，3)出发，射在x 轴上又反射出去，反射光线经过点B (2，7)，求x 轴上光照点的坐标．1．1 一次函数的图象与直线的方程1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练1．解析：∵直线x ＝1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在． 答案：C2．解析：如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.答案：D3．解析：由题图可知，直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1<0；直线l 2与直线l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0，所以k 2>k 3>k 1.答案：D4．解析：两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角互补． 答案：互补5．解析：因为直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，所以直线l 的斜率为1－（－1）1－0＝2，故选A.答案：A6．解析：当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°.当m ≠1时，由斜率公式可得k AB ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°. 综上，当m ＝1时，斜率不存在，α＝90°；当m >1时，斜率k ＝1m －1，0°<α<90°；当m <1时，斜率k ＝1m －1，90°<α<180°.7．解析：已知函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象是一条线段，设为AB ，其中A (2，5)，B (－2，－3).yx的几何意义是线段AB 上的任意一点P (x ，y )与坐标原点O (0，0)连线的斜率，易得k OA ＝52，k OB ＝32，根据图象可知，y x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 答案：D8．解析：依题意知直线AC 的斜率存在，则m ≠－1，由k AC ＝3k BC 得－m ＋3－4m －（－1）＝3×m －1－42－（－1），所以m ＝4.答案：49．解析：由题意可知直线AB ，AC 的斜率存在，∴a ≠2.由k AB ＝k AC 得2－02－a ＝2－b2－0，即a＋b ＝12ab ，又ab ≠0，∴1a ＋1b ＝12.关键能力综合练1．解析：设倾斜角为α，则由题意知tan α＝±1，又0°≤α<180°，所以当tan α＝1时，α＝45°；当tan α＝－1时，α＝135°.故选C.答案：C 2．解析：当两直线互相垂直时，这两条直线的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°，知l 2的倾斜角为150°.答案：D3．解析：两点(－2，2)，(－2，5)的横坐标相同，因此过此两点的直线斜率不存在． 答案：D 4．解析：直线PQ 的斜率为－3，则其倾斜角为120°，该直线绕点P 顺时针旋转60°，倾斜角变为60°，故其斜率为 3.答案：C5．解析：∵A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，∴k AB ＝－a －42－a ＝4，解得a ＝4.答案：D6．解析：过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为3，此时k ＝2－01－3＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为－3，此时k ＝2－01＋3＝12.数形结合(如图所示)可知满足条件的直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：B7．解析：如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0，2].答案：[0，2]8．解析：由题意可知k AB ＝k AC ＝12，即5＋13－x ＝y －57－3＝12，解得x ＝－9，y ＝7.答案：－9 79．解析：由题意知k PA ＝－1.设x 轴上点P 1(m ，0)，y 轴上点P 2(0，n )满足题意．由0－2m －1＝n －20－1＝－1，得m ＝n ＝3.所以点P 的坐标为(3，0)或(0，3). 答案：(3，0)或(0，3) 10．解析：由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以6a －1＝b －1－2＝2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.学科素养升级练1．解析：由直线的倾斜角的定义知A 正确；当α≠90°时，斜率k ＝tan α，当α＝90°时，斜率不存在，故B 错误；135°>45°，但k 1＝tan135°<k 2＝tan45°，故C 错误；k 1＝－1<k 2＝1，但α1＝135°>α2＝45°，故D 错误．故选BCD.答案：BCD2．解析：如图所示，过点P 作直线PC ⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB .①直线l 与线段AB 的交点在线段AC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k ≤k PA .②直线l 与线段AB 的交点在线段BC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是k ≥k PB .因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞3．解析：设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则A ′(－1，－3)，连接A ′B ，与x 轴交于点C ，则点C 即为光照点．不妨设C (a ，0)，由题意可知A ′，B ，C 三点共线，∴k A ′C ＝k BC ，即0－（－3）a －（－1）＝0－7a －2，解得a ＝－110.∴x 轴上光照点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－110，0.。

北师大高中数学选择性必修第一册课时作业1一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系(原卷版)一、选择题1.对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置；④倾斜角越大，斜率k就越大.其中错误命题的个数是()A.1B.2C.3D.42.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A.1±或0B.或0C. D.或03.如图，已知△AOB是等边三角形，则直线AB的斜率等于()A. B.－C. D.－4.设直线l的倾斜角为θ，则l关于y轴对称的直线的倾斜角是()A.θB.90°－θC.180°－θD.90°＋θ5.已知经过点A(2，3)的直线l不经过第四象限，则直线l的斜率k 的取值范围是()A.(－1，0]B.[0，1]C.[1，2]D.6.直线过点A(2，3)和B(m，7)，且倾斜角θ满足90°＜θ＜180°，则m的取值范围是()A.m≥2B.m≤2C.m＞2D.m＜27.过点A(－)与点B(－)的直线的一个方向向量为()A.(1，1)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－2)8.(多选题)下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有()A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C.若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα二、填空题9.直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的斜率为1；倾斜角α的取值范围是1＋m.10.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(90°，180.11.已知过点P(－2，1)的直线l与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则直线l的斜率的;取值范围是1＋m.三、解答题12.已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°?13.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.14.已知直线l经过两点O(0，0)，A(1，)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是－.15.已知A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)可以构成三角形，实数a的取值范围为－.16.已知两点A(－2，2)，B(m，3).(1)求直线AB的斜率k；(2)若实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围.北师大高中数学选择性必修第一册课时作业1一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系(解析版)一、选择题1.对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置；④倾斜角越大，斜率k就越大.其中错误命题的个数是(B)A.1B.2C.3D.4解析：由倾斜角和斜率概念可知②③正确；α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°，故①错误；当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了，故④错误.2.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(A)A.1±或0B.或0C. D.或0解析：∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴k AB ＝k AC，即，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故选A.3.如图，已知△AOB是等边三角形，则直线AB的斜率等于(D)A. B.－C. D.－解析：因为△AOB是等边三角形，所以∠ABO＝60°.于是直线AB的倾斜角为120°，故AB的斜率为tan120°＝－.故选D.4.设直线l的倾斜角为θ，则l关于y轴对称的直线的倾斜角是(C)A.θB.90°－θC.180°－θD.90°＋θ解析：画出图(图略)，可知l1与l2的倾斜角总是互补的.故选C. 5.已知经过点A(2，3)的直线l不经过第四象限，则直线l的斜率k 的取值范围是(D)A.(－1，0]B.[0，1]C.[1，2]D.解析：作出图形(图略)可知直线l的斜率满足0≤k≤.故选D.6.直线过点A(2，3)和B(m，7)，且倾斜角θ满足90°＜θ＜180°，则m的取值范围是(D)A.m≥2B.m≤2C.m＞2D.m＜2解析：∵90°＜θ＜180°，∴斜率小于0，即＜0，∴m－2＜0，即m＜2.故选D.7.过点A(－)与点B(－)的直线的一个方向向量为(A)A.(1，1)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－2)解析：k AB＝＝1，故直线的一个方向向量为(1，1)，故选A.8.(多选题)下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有(AD)A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C.若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα解析：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；若直线的倾斜角为90°，而tan90°不存在，所以斜率不存在，故B错误；若一条直线的斜率为tanπ，因为tanπ＝1，即斜率为1，则该直线的倾斜角为，故C错误；若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα，故D正确.故选AD.二、填空题9.直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的斜率为1＋m2；倾斜角α的取值范围是.解析：直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1.又y＝tanα在上是增函数，因此≤α＜.10.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(90°，180°).解析：由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的范围是90°＜α＜180°.11.已知过点P(－2，1)的直线l与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则直线l的斜率的;取值范围是.解析：直线y＝－x＋2与坐标轴的交点为A(2，0)，B(0，2)，PA的斜率为，PB的斜率为，过点P(－2，1)的直线l 与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，故直线l的斜率的取值范围是.三、解答题12.已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°?解：(1)由题意，k MN＝＝1，解得m＝.(2)若直线l的倾斜角为90°，则l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.13.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.解：如图所示.∵k AP＝＝1，k BP＝，又直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，所以由图象可得k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，因此倾斜角的取值范围为[45°，120°].14.已知直线l经过两点O(0，0)，A(1，)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是－.解析：依题意k OA＝，所以直线l的倾斜角为，所以直线m的倾斜角为，所以直线m的斜率为tan.15.已知A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)可以构成三角形，实数a的取值范围为.解析：由已知A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)可以构成三角形，则说明这三点不共线，当A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)三点共线时k AB＝k AC，即，解得a＝，所以a≠时，三点可以构成三角形.16.已知两点A(－2，2)，B(m，3).(1)求直线AB的斜率k；(2)若实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围.解：(1)当m＝－2时，直线AB的斜率k不存在；当m≠－2时，k ＝.(2)①当m＝－2时，α＝；②当m≠－2时，∵k＝，∴α∈.故综合①②得直线AB的倾斜角α∈.。

课时作业对数及其运算基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．若＝(>，且≠)，则必有( )．＝．＝．＝．＝【解析】因为＝(>，且≠)，所以＝＝.【答案】．已知＝，则等于( )．±．．．【解析】由＝可知＝，所以＝±，又>且≠，所以＝.【答案】．若＝，＝，则－的值为( )－－－－－＋－＋【解析】因为＝，＝，所以－＝－＋＝－＋.故选.【答案】．在＝(－)(－)中，实数的取值范围是( )．<或> ．<<．<< ．<<且≠【解析】因为(\\(－>，－>，－≠，))所以<<且≠.【答案】．已知＝，＝，则＋等于( )．．【解析】由已知得＝，＝.所以＋＝×＝×()＝×＝.故选.【答案】二、填空题(每小题分，共分)．＝；＝.【解析】由＝知＝－＝得＝－，注意常用对数不是没有底数，而是底数为.【答案】－．方程(－)＝的解＝【解析】因为(－)＝＝，所以－＝，所以＝－.经检验满足－>.【答案】－．－＝.【解析】原式＝＝＝.【答案】三、解答题(每小题分，共分)．将下列指数式与对数式互化：()＝；()＝－；()＝；()＝；()－＝；()－＝.【解析】()＝；()－＝；()()＝；()＝；()＝－；()＝－.．化简：()；()()＋＋.【解析】()法一：(正用公式)：原式＝＝＝.法二：(逆用公式)：()原式＝()＋(＋)＋·＝(＋)＋＋＝＋.。

§3集合的基本运算3.1交集与并集课时目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．一般地，由________________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作________(读作“A交B”)，即A∩B＝________________.2．一般地，由属于________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作______(读作“A并B”)，即A∪B＝________________.3．A∩A＝____，A∪A＝____，A∩∅＝____，A∪∅＝____.4．若A⊆B，则A∩B＝____，A∪B＝____.5．A∩B____A，A∩B____B，A____A∪B，A∩B____A∪B.一、选择题1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M题号123456答案二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．拓展 交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A ⊆B ⇔A ∪B ＝B ，A ⊆B ⇔A ∩B ＝A .这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．§3 集合的基本运算3．1 交集与并集知识梳理1．既属于集合A 又属于集合B A ∩B {x |x ∈A ，且x ∈B }2．集合A 或属于集合B A ∪B {x |x ∈A ，或x ∈B }3．A A ∅ A 4.A B 5.⊆ ⊆ ⊆ ⊆作业设计1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .]4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.] 5．B [由已知得M ＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．]6．B [∵N M ，∴M ∪N ＝M .]7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，∴t 2－t ＋1＝－3，①或t 2－t ＋1＝0，②或t 2－t ＋1＝1.③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1.8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1.9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴A (B ∪C )．∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}，∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}， 即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a}， ∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上，得a ＝0或a ＝12. 12．D [x 的取值为1,2，y 的取值为0,2，∵z ＝xy ，∴z 的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.]13．解 符合条件的理想配集有①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}．②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}．③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．。

课时作业全集与补集基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．已知全集＝{}，集合＝{}，则∁等于( )．{} ．{}．{} ．{}【解析】由题意知∁＝{}，选.【答案】．已知全集＝，＝{≤}，＝{≥}，则集合∁(∪)等于( ) ．{≥} ．{≤}．{≤≤} ．{<<}【解析】∪＝{≤或≥}，所以∁(∪)＝{<<}．故选.【答案】．如图所示，是全集，，是的子集，则阴影部分所表示的集合是( )．∩．∪．∩(∁) ．∩(∁)【解析】由图可知阴影部分为∩(∁)．【答案】．设全集＝{}，若∩＝{}，(∁)∩＝{}，(∁)∩(∁)＝{}，则下列结论中正确的是( )．∉∉．∉∈．∈∉．∈∈【解析】由图可知，∈∉，故选.【答案】．设集合＝{－≤<}，＝{－≤}，若(∁)⊇(∁)，则的取值范围是( )．≤．≥－．>－．≥【解析】由(∁)⊇(∁)可知⊆，则的取值范围为≥.【答案】二、填空题(每小题分，共分)．已知＝，＝{≤≤}，∁＝{<或>}，则＝.【解析】因为∪(∁)＝，所以＝，＝，所以＝.【答案】．设全集＝{∈≤≤}，＝{}，＝{}，则(∁)∩＝.【解析】依题意得＝{}，∁＝{}，(∁)∩＝{}．【答案】{}．市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有户，订阅晚报的有户，其中两种都订的有户，则两种都不订的有户．【解析】由题意得两种报纸至少订阅一种的有＋－＝，从而两种都不订的有－＝.【答案】三、解答题(每小题分，共分)．已知全集＝，集合＝{－<<}，＝{<≤}．求()∩；()∁(∪)；()∩(∁)．【解析】()因为＝{－<<}，＝{<≤}，所以∩＝{－<<}∩{<≤}＝{<<}．()∪＝{－<<}∪{<≤}＝{－<≤}，∁(∪)＝{≤－或>}．()∩(∁)＝{－<<}∩{>或≤}＝{－<≤}．．已知集合＝{≤<}，＝{<<}，＝{<}．()求(∁)∩；。

课时作业(十) 基本不等式[练基础]1．设0<a<b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 22．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．“a>b>0”是“ab<a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[多选题]若a>0，b>0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥8 B.1ab ≥14C.ab ≥2D.1a ＋1b≤1 5．已知a>b>c ，则a －b b －c 与a －c 2的大小关系是________． 6．已知x>0，y>0，z>0且x ＋y ＋z ＝1，求证：x ＋y ＋z ≤ 3.[提能力]7．[多选题]若a>0，b>0，a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( )A ．ab≤1 B.a ＋b ≤ 2C ．a 2＋b 2≥2 D.1a ＋1b≥2 8．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________；a ＋b 的取值范围为________．9．已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[战疑难]10．若两个正实数x ，y 满足4x ＋1y＝1，且不等式x ＋4y>m 2－6m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．。

第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2．1函数概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的要素．(3)会求一些简单函数的定义域和值域．(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．3．情感、态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．●重点难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．本节的重点的突破方法是通过教材中的实例让学生自己尝试用集合与对应的语言进行描述．对难点来说，学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值，其突破方法是可以列举一些对应关系相同但定义域不同的函数，或定义域、值域相同但对应关系不同的函数，让学生在比较、判断中体会．在函数教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免求函数的定义域时出现过于烦琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域的偏题，以便学生有时间重点理解函数的概念及符号“y＝f(x)”的含义．(教师用书独具)●教学建议函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是函数学习的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，教材采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数的概念．●教学流程复习引入初中学过的函数有哪些，它们分别有哪些变量⇒新课讲解，给出函数的概念及其表示方法⇒完成例1、例2及其变式训练，加深学生对函数概念的理解⇒给出区间的概念，并注意表示过程中区间的开闭⇒质疑答辨，排难解惑，发展思维，完成例3及变式训练，强化对定义域的理解⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】没有依赖关系．不是函数关系．2．储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，但不是函数关系．3．在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，也是函数关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间具有函数关系．1．初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？【提示】初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．2．因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？【提示】因变量y随自变量x的变化而变化．给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．1.区间：设a，b是两个实数，而且a<b，规定如下表：这里实数a ，b 都叫作相应区间的端点． 2．无穷大的概念及无穷区间：下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (3)商品的销售额与广告费之间的关系； (4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 【思路探究】 两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．【自主解答】 (1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h )与时间(t )具有关系h ＝12gt 2，其中g 是常量，很显然，对于时间t 在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h 与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．(1)下列说法不正确的是()A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数(2)张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数【解析】(1)根据依赖关系与函数关系的区别可知A、B正确．若变量m是变量n的函数．因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一，此时若把m换成自变量，n 换成因变量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m的函数．(2)虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．【答案】(1)C(2)A下列对应关系是否为A到B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x.【思路探究】解答本题可从函数的定义入手，即对于A中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【自主解答】 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数； (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2，在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数；(3)A 中元素负数没有平方根，故在B 中没有对应的元素且x 不一定为整数，故此对应关系不是A 到B 的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A 、B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．下列说法正确的是( ) A ．f (x )＝1－x ＋x －2是函数B ．A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →y ＝±x ，则f 是从集合A 到集合B 的一个函数C ．A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，f ：x →y ＝x 2，则f 是从A 到B 的一个函数D ．y 2＝x 是函数【解析】 对于A ，由于⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0x －2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≥2无解，所以f (x )不是函数．对于B ，对集合A 中的元素4，在B 中有2个元素与之对应，不是函数． 对于D ，当x ＝4时，y ＝±2两个值与之对应，不满足函数定义．对于C ，A 中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应，符合函数的概念． 【答案】 C求下列函数的定义域：(1)f (x )＝2x ＋3；(2)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (3)y ＝1－x 21＋x.【思路探究】 对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合．【自主解答】 (1)函数f (x )＝2x ＋3的定义域为R.(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4.所以函数f (x )＝x －1·4－x ＋2的定义域为{x |1≤x ≤4}． (3)要使函数有意义，需满足1＋x ≠0，解得x ≠－1. 所以函数y ＝1－x 21＋x 的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．1．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方数非负； (3)对于y ＝x 0要求x ≠0；(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1x －2；(2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋12－x. 【解】 (1)当x －2≠0，即x ≠2时，1x －2有意义， ∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}．(2)当3x ＋2≥0，即x ≥－23时，3x ＋2有意义，∴函数f (x )＝3x ＋2的定义域是[－23，＋∞)．(3)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，2－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{x |x ≥－1}∩{x |x ≠2}＝[－1,2)∪(2，＋∞).求定义域时盲目化简函数解析式致误求函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．【错解】 f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ＝x ＋1－1－x .要使函数有意义，需满足． 1－x ≥0，即x ≤1.故f (x )的定义域为(－∞，1]．【错因分析】 本题错误的原因是化简了函数的解析式而使定义域发生变化． 【防范措施】 讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．【正解】 要使函数f (x )有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，解得x ≤1且x ≠－1.所以函数的定义域为：(－∞，－1)∪(－1,1]．1．函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图像．2．函数的三要素包括：定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.1．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{ y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 由函数的定义，M 中任意一个x ，N 中都有唯一y 对应，故(1)(2)(4)正确． 【答案】 C2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3.【解析】 A 、C 、D 的定义域均不同． 【答案】 B3．(2012·四川高考)函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示) 【解析】 由题意，需1－2x >0，解得x <12.故f (x )的定义域为(－∞，12)．【答案】 (－∞，12)4．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4，(1)求函数f (x )的定义域；(用区间表示) (2)求f (－1)，f (12)的值．【解】 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.一、选择题1．已知f (x )＝x －1x ＋1，则f (2)＝( )A ．1 B.12 C.13 D.14【解析】 f (2)＝2－12＋1＝13.【答案】 C2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2【解析】 A 中y ＝x －1定义域为R ，而y ＝x 2－1x ＋1定义域为{x |x ≠1}；B 中函数y ＝x 0定义域{x |x ≠0}，而y ＝1定义域为R ；C 中两函数的解析式不同；D 中f (x )与g (x )定义域都为(0，＋∞)，化简后f (x )＝1，g (x )＝1，所以是同一个函数． 【答案】 D3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是( )图2－2－1【解析】 水面的高度h 随时间t 的增加而增加，而且增加的速度越来越快． 【答案】 B 4．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2] D ．[1，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2， 所以函数的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 【答案】 A5．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∈R)的值域是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]【解析】 由于x ∈R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1，即0<y ≤1. 【答案】 B 二、填空题6．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． 【解析】 结合区间的定义知， 用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． 【答案】 [－1,0)∪(1,2]7．函数y ＝31－x －1的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，自变量x 须满足⎩⎨⎧x －1≥01－x －1≠0解得：x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)． 【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝41－x，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 【解析】 由f (a )＝2，得41－a ＝2，解得a ＝－1.【答案】 －1 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1x ，求：(1)函数f (x )的定义域； (2)f (4)的值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠0，得x >0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)f (4)＝4＋14＝2＋14＝94.10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.【解】 (1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义， 则必须3x －2>0，即x >23，故所求函数的定义域为{x |x >23}．11．已知f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R ，(1)计算f (a )＋f (1a)的值；(2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)的值．【解】 (1)由于f (a )＝a 21＋a 2，f (1a )＝11＋a 2，所以f (a )＋f (1a)＝1.(2)法一 因为f (1)＝121＋12＝12，f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝(12)21＋(12)2＝15，f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝(13)21＋(13)2＝110，f (4)＝421＋42＝1617，f (14)＝(14)21＋(14)2＝117，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.法二 由(1)知，f (a )＋f (1a )＝1，则f (2)＋f (12)＝f (3)＋f (13)＝f (4)＋f (14)＝1，即[f (2)＋f (12)]＋[f (3)＋f (13)]＋[f (4)＋f (14)]＝3，而f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝72.(教师用书独具)求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝1－x 2； (3)y ＝1＋1x ＋1(x >0)．【思路探究】 求函数的值域就是求函数值的取值集合．【自主解答】 (1)x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5；x ＝3时，y ＝7；x ＝4时，y ＝9. 所以函数y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}． (2)因为1－x 2≤1，所以y ＝1－x 2的值域为(－∞，1]． (3)∵x ＋1>1，∴0<1x ＋1<1，∴1<1＋1x ＋1<2，∴y ＝1＋1x ＋1的值域为(1,2)．求函数值域的常用方法1．观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． 2．配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．3．分离常数法：分子、分母是一次函数的有理式函数，即形如y ＝ax ＋bcx ＋d (c ≠0)的函数可用分离常数法，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域．4．换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．(1)函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( ) A ．[1,6] B ．[－3,1] C ．[－3,6] D ．[－3，＋∞)【解析】 函数y ＝x 2－4x ＋1是二次函数形式，配方得y ＝(x －2)2－3，画出函数y ＝(x －2)2－3，x ∈[2,5]的图像(如图)，由图像可知，函数的值域为{y |－3≤y ≤6}，用区间可表示为[－3,6]．【答案】 C(2)函数y ＝2xx ＋1的值域为________．【解析】 ∵y ＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1，又∵2x ＋1≠0，∴y ≠2.∴函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ≠2}．【答案】 {y |y ≠2}知识拓展 函数值域的求法函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．求函数值域的常用方法有：(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]，故所求的函数值域为[0,2]．(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．如求函数y ＝1x 2＋2的值域时，若令u ＝x 2＋2，则y ＝1u (u ≥2)，可借助反比例函数的图像，易得0<y ≤12，所以函数y ＝1x 2＋2的值域为(0，12]．(3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，因为y ＝x －2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．(4)换元法：对于形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d ∈R ，ac ≠0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，我们可以令x ＝t (t ≥0)，得y ＝t 2－2t ＋3，即y ＝(t －1)2＋2(t ≥0)，结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞)．(5)判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解．(6)分离常数法：对于形如y ＝cx ＋d ax ＋b 的函数，可将其变形为y ＝k ＋hax ＋b的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．例如：求函数y ＝1－x2x ＋5的值域．由于y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5，因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12.所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为{y |y ∈R ，且y ≠－12}．2．2 函数的表示法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)明确函数的三种表示方法．(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数．(3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．2．过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是为研究函数的性质和应用，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情感、态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法●重点难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图像．本节课重点的突破方法是充分利用信息技术，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数表示法．例如，可以补充部分函数，让学生用计算机或计算器画出它们的图像．对于难点，其突破方法是教学中不必要求学生一次完成认识，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求，要遵循循序渐进的原则．(教师用书独具)●教学建议教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图像法、列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．●教学流程创设情景，揭示课题，通过已学过的函数的概念引出其表示方法⇒研究新知，明确三种表示方法的优缺点⇒完成例1及其变式训练，掌握函数图像的作法⇒通过例2及其变式训练，掌握待定系数法、换元法、配凑法等方法求函数的解析式⇒学习分段函数及其表示，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同表达式不一样⇒完成例3及变式训练，注意根据函数值求自变量时所求得的值是否在相应的自变量的取值范围内⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．1．函数的定义域是什么？【提示】{1,2,3,4,5}．2．y与x的关系是什么？【提示】y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．【提示】4.【提示】如果笔记本数不超过5本时，每本按5元，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．1．该函数能用解析法表示吗？怎样表示？ 【提示】 能．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，x ∈{1，2，3，4，5}，25＋(x －5)×4.5，x ∈{6，7，8，9，10}. 2．上面解析法表示的两段函数能说成是两个函数吗？ 【提示】 不能．在函数的定义域内，如果对于自变量x 的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.作出下列函数的图像．(1)y ＝1＋x (x ∈Z)； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))； (3)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)．【思路探究】 用描点法作图，但要注意定义域对图像的影响．【自主解答】 (1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y ＝1＋x 上，如图(1)所示．(1) (2) (3)(2)因为0≤x <3，所以这个函数的图像是抛物线y ＝x 2－x 介于0≤x <3之间的一部分，如图(2)所示．(3)当x ＝2时，y ＝1，其图像如图(3)所示．1．描点法作函数图像的“三步曲”：一列二描三连线用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图像在平面直角坐标系中描出表中相应的点取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表2．作函数图像的注意事项：(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．求作y ＝|x 2＋3x －4|的图像．【解】 作出二次函数y ＝x 2＋3x －4的图像如图(1)，将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方即得所求函数图像如图(2)．(1) (2)(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求函数f (x )的解析式．(2)若f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．【思路探究】 (1)由于f (x )是一次函数，所以可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法恒等求解；(2)可用换元法(或配凑法)求解．【自主解答】 (1)由于f (x )是一次函数，可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，依题意知，f [f (x )]＝4x －1，所以k (kx ＋b )＋b ＝4x －1， 即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，(k ＋1)b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)法一 (换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二 (配凑法)f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1， 所以f (x )＝x 2－1，x ≥1.1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式，常用待定系数法，其步骤为：(1)根据函数模型设出函数解析式； (2)根据题设求待定系数．2．已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式，常用方法如下：(1)换元法：令t ＝g (x )，然后求出f (t )的解析式，最后用x 代替t 即可．(2)配凑法：可通过配凑把f [g (x )]的解析式用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(1)已知f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式为________． (2)已知2f (x )＋f (1x )＝x ，求f (x )．【解】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，由题意得f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1， ∴f (x )＝3x －1. (2)∵2f (x )＋f (1x )＝x ，以1x 代替x 得2f (1x )＋f (x )＝1x， 于是可得⎩⎨⎧2f (x )＋f (1x )＝x ，2f (1x )＋f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －13x ，∴f (x )＝23x －13x.【答案】 (1)f (x )＝3x －1 (2)f (x )＝23x －13x已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．【思路探究】 由f (x )的解析式令x ＝－1求出f (－1)及f (f (－1))的值，进而求出f (f (f (－1)))的值．【自主解答】 x ＝－1<0，∴f (－1)＝0， f (f －1))＝f (0)＝π， f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1.1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； 2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．(1)(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≥0)，－2x (x <0)，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】 (1)f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝139.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1＝10，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)； 当x <0时，f (x )＝－2x ＝10，解得x ＝－5.综上得x ＝－5或3.【答案】(1)(2)－5或3忽略变量的实际意义而致误如图2－2－2所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD 上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图像．图2－2－2【错解】由题意得△CQB∽△BAP，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x ，所以y ＝12x.故所求的函数表达式为y ＝12x，其图像如图所示．【错因分析】 没有考虑x 的实际意义，扩大了x 的取值范围导致出错．【防范措施】 从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．【正解】 由题意得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x .因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5，故所求的函数表达式为y ＝12x (3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的图像．1．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是()汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.【答案】 A2．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )等于( ) A ．3 B ．3x C ．3x ＋6 D ．6x ＋3 【解析】 由已知，得f [g (x )]＝6x ＋3 ＝3(2x ＋1)＝3g (x )， 所以f (x )＝3x . 【答案】 B3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x ，x <0，则f [f (12)]＝________.【解析】 f (12)＝(12)2－1＝－34，故f [f (12)]＝f (－34)＝1－34＝－43.【答案】 －434．2013赛季中国足球超级联赛拉开了大幕．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的首场比赛的门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．【解】 (1)列表法：(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}.一、选择题。