北师大版高中数学必修一至必修四综合训练题

第七章综合测试一、选择题（每小题5分，共40分） 1.下列事件是随机事件的是（ ）①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数01xy a a a =≠（＞且）在定义域上是增函数. A .①③B .①④C .②④D .③④2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的（ ） A .①②B .①③C .②③D .①②③3.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数（a ，b ，c ）称为勾股数.现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数满足2b a c =+的概率为（ ） A .25B .79C .78D .9104.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知()12P A =，()16P B =，则“出现奇数点或2点”的概率为（ ） A .16B .13C .12D .235.下列试验属于古典概型的有（ ）①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率； ②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数； A .0个B .1个C .2个D .3个6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） A .23B .25C .35D .9107.某运动会期间，从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是（ ） A .115B .25C .35D .14158.一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min .则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为（ ） A .13B .227C .427D .527二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A ，B 发生的概率相等，则称A 和B 是“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”，以下判断正确的是（ ）A .在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”B .若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”C .因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”D .同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”10.某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.A .顾客购买乙商品的概率最大B .顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C .顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D .顾客仅购买1种商品的概率不大于0.311.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ） A .()0.55P A =B .()0.18P B =C .()0.27P C =D .()0.55P B C +=12.一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是（ ） A .任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B .每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16C .每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D .每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16 三、填空题（每小题5分，共20分） 13.若A ，B 是相互独立事件，且()12P A =，()23P B =，则()P AB =________，()P AB =________.14.《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题.现拟编试题如下：已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为________.15.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是________，3个矩形颜色都不同的概率是________.16.在一次数学考试中，第.设4名学生选做这两题的可能性均为12.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________.四、解答题（共70分）17.（10分）某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如表所示：（1（2）求至少有3个人培训的概率.18.（12分）用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径（单位：cm）检验，结果如表：从这100（1）事件A：螺母的直径在（6.93，6.95]内；（2）事件B：螺母的直径在（6.91，6.95]内；（3）事件C ：螺母的直径大于6.96.19.（12分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）若以A 表示和为6的事件，求P （A ）；（2）现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.20.（12分）A ，B 两个箱子分别装有标号为0，1，2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.（1）从A ，B 箱中各取12x =的概率；（2）从A ，B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求0x =且2y =的概率.21.（12分）某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标如表：（1）利用表中提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.22.（12分）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层随机抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2（1（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165，180）内的概率.第七章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】②④是随机事件，①是必然事件，③是不可能事件. 2．【答案】A【解析】从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，所有的样本点为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑.除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立.除“两球都为白球”和“两球恰有一白球”外，还有其他事件，如无白球，故②与“两球都为白球”互斥但不对立.③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥. 3．【答案】A【解析】从这10组勾股数随机抽取1组，共10种抽取方法，其中满足2b a c =+的有：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（15，20，25），共4种，故所求概率为42105P ==. 4．【答案】D【解析】因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，所以()()111263P P A P B =+=+=. 5．【答案】B【解析】古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性，①符合两个特征，是古典概型；②中的样本点的个数无限多；对于③，出现“两正”“两反”“一正一反”的可能性不相等，故不是古典概型. 6．【答案】D【解析】事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的总的样本点的个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率1911010P =-=. 7．【答案】C【解析】用列举法可得样本空间中样本点的总数为15，所求概率的事件包括的样本点的个数为9，所以93155P ==. 8．【答案】C【解析】设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()111433327P A ⨯⨯==（1-）（1-）. 二、9．【答案】AD【解析】对于A ，由古典概型的定义知，所有样本点的概率都相等，故所有样本点之间都是“等概率事件”，故A 正确；对于B ，如在1，3，5，7，9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B 错误；对于C ，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C 不正确；对于D ，同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为38，“仅有两个正面”包含3种结果，其概率为38，故这两个事件是“等概率事件”，故D 正确. 10．【答案】BCD【解析】对于A ，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A 错误；对于B ，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=，故B 正确；对于C ，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=，故C 正确；对于D ，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.1830.2＜，故D 正确. 11．【答案】ABC【解析】由题意可知，()550.55100P A ==，()180.18100P B ==，事件A B +与事件C 为对立事件，且事件A ，B ，C 互斥，所以()()()()110.27P C P A B P A P B =+==---，()()()0.45P B C P B P C +=+=. 12．【答案】ACD【解析】记4件产品分别为1，2，3，a ，其中a 表示次品.A 选项，样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，a ），（2，3），（2，a ），（3，a ）}，“恰有1件次品”的样本点为（1，a ），（2，a ），（3，a ），因此其概率3162P ==，A 正确；B 选项，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，a ），（2，1），（2，3），（2，a ），（3，1），（3，2），（3，a ），（a ，1），（a ，2），（a ，3）}，因此()12n Ω=，B 错误；C 选项，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6，其概率为12，C 正确；D 选项，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，a ），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a ），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，a ）}，因此()16n Ω=，D 正确. 三、 13．【答案】16 16【解析】因为()()1223P A P B ==，，所以()()11122P A P A =-=-=1，()21133P B =-=.因为A ，B 相互独立，所以A 与B ，A 与B 相互独立，所以()()()111236P AB P A P B ==⨯=，()()()111236P AB P A P B ==⨯=.14．【答案】16【解析】依题意，所有的样本点为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的样本点数有24种，其中满足条件的样本点为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为41246=. 15．【答案】19 29【解析】以“红黄蓝”表示从左到右三个矩形所涂的颜色，则所有的样本点有：红红红、红红黄、红红蓝、红黄红、红黄黄、红黄蓝、红蓝红、红蓝黄、红蓝蓝、黄红红、黄红黄、黄红蓝、黄黄红、黄黄黄、黄黄蓝、黄蓝红、黄蓝黄、黄蓝蓝、蓝红红、蓝红黄、蓝红蓝、蓝黄红、蓝黄黄、蓝黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、蓝蓝蓝，共27个样本点，事件“3个矩形颜色都相同”所包含的样本点有：红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝，共3个，所以3个矩形颜色都相同的概率是31279=.事件“3个矩形颜色都不同”所包含的样本点有：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄，共6个，所以3个矩形颜色都不同的概率是62279=. 16．【答案】12 14【解析】设事件A 表示“甲选做第22题”，事件B 表示“乙选做第22题”，则甲，乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”，且事件A ，B 相互独立，所以()()()()()111111122222P AB AB P A P B P A P B +=+=⨯+-⨯-=（）（）.所以甲、乙2名学生选做同一道题的概率为12；因为()()111224P A P B =⨯=，所以甲、乙2名学生都选做第22题的概率为14. 四、17．【答案】（1）设“有2人及以下培训”为事件A ，“有3人培训”为事件B ，“有4人培训”为事件C ，“有5人培训”为事件D ，“有6人及以上培训”为事件E ，所以“有4个人或5个人培训”的事件为事件C 或事件D ，A ，B ，C ，D ，E 为互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式可知()()()0.30.10.4P C D P C P D =+=+=.（2）“至少有3个人培训”的对立事件为“有2人及以下培训”，所以由对立事件的概率可知()110.10.9P P A =-=-=.18．【答案】（1）螺母的直径在（6.93，6.95]内的频数为261541A n =+=，所以事件A 的频率为410.41100=. （2）螺母的直径在（6.91，6.95]内的频数为1717261575B n =+++=.所以事件B 的频率为750.75100=.（3）螺母的直径大于6.96的频数为224C n =+=，所以事件C 的频率为40.04100=.19．【答案】（1）甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5525⨯=，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）共5种情况，所以()51255P A ==. （2）B 与C 不是互斥事件.因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件.（3）这种游戏规则不公平.和为偶数的样本点的个数为13个，（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）.所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1325.所以这种游戏规则不公平. 20．【答案】（1）记事件A ={从A ，B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}.样本点的总个数为6530⨯=，事件A 包含样本点的个数为5.由古典概型的概率公式得()51306P A ==.则2x =的概率为16. （2）记事件B ={从A ，B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}.事件B 包含的样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得()101303P B ==.则0x =且2y =的概率为13. 21．【答案】（1）计算10件产品的综合指标S ，如表：其中4S ≤的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为0.610=，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种.②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种.所以()62155P B ==. 22．【答案】（1）设高一女生人数为x ，由题中表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.因此高一女生的人数为300.（2）由题中表1和表2可得样本中身高在[165，180）的男、女生人数分别为32，10，其和为42.样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165，180）的概率为423705=.估计该校学生身高在[165，180）的概率为35. （3）由题中表格可知：女生身高在[165，180）的概率为13.男生身高在[165，180）的概率为45，所以这2人中至少有1人的身高在[165，180）内的概率为414141131153535315⨯-+-⨯+⨯=（）（）.。

章末综合测评(一) 预备知识(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，使得x 2≥0”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＜0 B ．∀x ∈R ，x 2≤0 C ．∃x ∈R ，x 2≥0D ．∃x ∈R ，x 2＜0D [命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定形式是∃x ∈R ，x 2＜0，故选D.]2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{2，3，4，5}A [图中阴影部分所表示的集合为A ∩(∁UB )，故选A.]3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1}D ．{1，2，3}A [∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．]4．设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2” 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解不等式x 3＞8，得x ＞2，解不等式|x |＞2，得x ＞2或x ＜－2， 所以“x 3＞8”是“|x |＞2” 的充分而不必要条件．故选A.]5．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1，0} C ．{1，3}D ．{1，5}C [∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}． 故选C.]6．满足条件M ∪{1，2}＝{1，2，3}的集合M 的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 A [∵M ∪{1，2}＝{1，2，3}，∴3∈M ，且可能含有元素1，2， ∴集合M 的个数为集合{1，2}，子集的个数4.故选A.]7．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，c －b ＝a 2－4a ＋4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞bA [∵c －b ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ； 又b ＋c ＝3a 2－4a ＋6， ∴2b ＝2a 2＋2， ∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －12＋34＞0， ∴b ＞a ， ∴c ≥b ＞a .]8．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m3a ＋b ≤a ＋3b ab 恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．4B ．16C ．9D ．3B [m3a ＋b≤a ＋3b ab ，即m ≤（a ＋3b ）（3a ＋b ）ab ；又（a ＋3b ）（3a ＋b ）ab ＝3a b ＋3ba ＋10≥23a b ·3ba＝6＋10＝16，当且仅当a ＝b 时，取等号，∴m ≤16，故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集不可能是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32D ．∅BCD [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D.]10．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中其中假命题的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b >0，c >d ，则ac >bdABD [若a >b ，c <0时，ac <bc ，A 错；B 中，若c ＝0，则有ac 2＝bc 2，B 错；C 正确；D 中，只有c >d >0时，ac >bd ，D 错，故选ABD.]11．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 AB [根据补集的概念，∁R B ＝{x |x ≥2m }． 又∵A ⊆∁R B ，∴2m ≤2.解得m ≤1，故m 的值可以是0，1.]12．设集合A ＝{x |x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，集合A ∪B 中所有元素之和为7，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4ABCD [x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝(x －2)(x －a )＝0，解得x ＝2或x ＝a ，则A ＝{2，a }．x 2－5x ＋4＝(x －1)(x －4)＝0，解得x ＝1或x ＝4，则B ＝{1，4}．当a ＝0时，A ＝{0，2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{0，1，2，4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a ＝1时，A ＝{1，2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝2时，A ＝{2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝4时，A ＝{2，4}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a 的取值集合为{0，1，2，4}．]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上． 13．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集是________. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ＜x ＜1a [原不等式可化为(x －a )(x －1a )＜0，由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.]14．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值X 围________．(－∞，1][用数轴表示集合A ，B ，若A ∪B ＝R ，则a ≤1，即实数a 的取值X 围是(－∞，1].] 15．“∃x ∈[0，3]，x 2－a ＞0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．[9，＋∞)[由题意得“∀x ∈[0，3]，x 2－a ≤0”是真命题，即a ≥x 2，所以a ≥(x 2)max ＝9. ] 16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．20[由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x 的最小值为20.]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁U B).(2)若A∩B＝A，某某数m的取值X围．[解](1)当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，∴B＝{x|x＜3}，∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，则∁U B＝{x|3≤x＜4}，∴A∩(∁U B)＝{x|3≤x＜4}．(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，由A∩B＝A得A⊆B，∴m≥4，即实数m的取值X围是[4，＋∞).18．(本小题满分12分)解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0.[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a＜1时，原不等式的解集为(a，1).19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当A∪B＝B时，某某数a的取值组成的集合P.[解]由A∪B＝B知A⊆B.又A＝{－4，0}，故此时必有B＝{－4，0}，即－4，0为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是⎩⎪⎨⎪⎧－4＋0＝－2（a ＋1），（－4）×0＝a 2－1，得a ＝1.即P ＝{1}．20．(本小题满分12分)已知a ＞b ＞0，求证：a ＋b ＋3＞ab ＋2a ＋b . [证明]a ＋b ＋3－ab －2a －b ＝12(2a ＋2b －2ab －4a －2b )＋3 ＝12(a －4a ＋b －2b ＋a ＋b －2ab )＋3 ＝12(a －4a ＋4＋b －2b ＋1＋a ＋b －2ab －5)＋3 ＝12[(a －2)2＋(b －1)2＋(a －b )2－5]＋3 ＝12(a －2)2＋12(b －1)2＋12(a －b )2＋12， ∵(a －2)2≥0，(b －1)2≥0，(a －b )2＞0， ∴a ＋b ＋3－ab －2a －b ＞0， ∴a ＋b ＋3＞ab ＋2a ＋b .21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0，3]，某某数m 的值； (2)若A ⊆∁U B ，某某数m 的取值X 围．[解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁U B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∵A ⊆∁U B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1， 即m ＞5或m ＜－3.22．(本小题满分12分)已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x 使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由.[解] 要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数y ＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数y ＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，其图象需满足开口向下且与x 轴没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m （1－m ）＜0，不等式组的解集为空集，即m 不存在． 综上可知，不存在这样的实数m 使不等式恒成立．。

第一章集合1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时过关·能力提升1给出下列说法:①地球周围的行星能构成一个集合;②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合;③集合A为{1,2,3},集合B为{1,3,2},是不同的集合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:①是错误的,因为“周围”是个模糊的概念,不满足集合元素的确定性.②是正确的,虽然满足条件的数有无数多个,但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合.③是错误的,因为集合中的元素是无序的.答案:B2已知集合M中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉MB.-11∈MC.3k2-1∈MD.-34∉M解析:A错,当k=0时,-1∈M;B错,若3k-1=-11,则k=-∉Z;C正确,因为3k2-1=3k-1,解得k=0或k=1,满足条件;D错,当k=-10时,-34∈M.故选C.答案:C3集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B答案:C4已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若a∈A,则实数a的值是()A.-3B.0或1C.1D.-1解析:由于a∈A,则a=a-3或a=2a-1.若a=a-3,则有-3=0,不成立;若a=2a-1,则a=1,此时集合A 中的两个元素是-2,1,符合题意.答案:C5已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,则x满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1解析:由-解得x≠0且x≠-1.故选C.-答案:C6集合A中有3个元素1,2,3,集合B中有2个元素4,5,设集合M中的元素x满足x=a+b,a ∈A,b∈B,则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6解析:因为集合A为1,2,3,集合B为4,5,集合M中的元素满足x=a+b,a∈A,b∈B,所以a+b的值可能为1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,所以集合M中的元素有5,6,7,8,共4个,故选B.答案:B7若已知-5是x2-ax-5=0的根,集合M中的元素为方程x2-4x-a=0的根,则集合M中所有元素之和为.解析:把-5代入方程x2-ax-5=0,得a=-4,将a=-4代入方程x2-4x-a=0得x2-4x+4=0,故集合M中的元素即为2.因此所有元素之和为2.答案:28设a,b为非零实数,则x=的所有值组成的集合中的元素为.解析:当a<0,b<0时,ab>0,则x=-1-1+1=-1;当a<0,b>0时,ab<0,则x=-1+1-1=-1;当a>0,b>0时,ab>0,则x=1+1+1=3;当a>0,b<0时,ab<0,则x=1-1-1=-1.故x=-1或x=3.所以由x的所有值构成的集合中的元素为-1,3.答案:-1,39已知集合A的元素满足条件x=m+n,n,m∈Z.,x2=-,判断x1,x2与集合A之间的关系;(1)设x1=-(2)任取x3,x4∈A,判断x3+x4与集合A之间的关系.=-,∴x1∉A,解(1)∵x1=-∵x2=-=-1+2,∴x2∈A.(2)x3,x4∈A,设x3=m1+n1,x4=m2+n2(m1,n1,m2,n2∈Z).则x3+x4=m1+n1+m2+n2=(m1+m2)+(n1+n2),∵m1,n1,m2,n2∈Z,∴m1+m2,n1+n2∈Z,∴x3+x4∈A.10设集合A的元素为2,3,a2+2a-3,集合B的元素为|a+3|,2.已知5∈A,且5∉B,求a的值.解∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.又5∉B,∴|a+3|≠5,解得a≠2,且a≠-8.∴a=-4.★11已知方程ax2-3x-4=0的解组成的集合为A.(1)若A中有两个元素,求实数a的取值范围.(2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.解(1)因为A中有两个元素,所以方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根,所以即a>-且a≠0.所以实数a的取值范围为a>-,且a≠0.(2)当a=0时,由-3x-4=0得x=-;当a≠0时,若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根,则Δ=9+16a=0,即a=-;若关于x的方程无实数根,则Δ=9+16a<0,即a<-,故所求的a的取值范围是a≤-或a=0.∈A.★12已知集合A的元素全为实数,且满足当a∈A时,-(1)若2∈A,则A中一定还有哪些元素?(2)0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.(3)根据(1)(2),你能得出什么结论?,计算可得,解(1)当2∈A时,依次代入-=-3∈A,-=-∈A,--∈A,=2∈A,……-结果循环出现,故A中一定还有-3,-.(2)0不是集合A中的元素.若0∈A,则-=1∈A,而此时-没有意义,与条件-∈A矛盾,故0不是集合A中的元素.若a=3,则集合A的元素为3,-2,-.(3)根据(1)(2)可得出如下结论:A中不含0,1,-1;若a∈A,则其负倒数也属于A.第2课时集合的表示课时过关·能力提升1集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()A.{x|x是不大于9的非负奇数}B.{x|x≤9,x∈N}C.{x|1≤x≤9,x∈Z}D.{x|0≤x≤9,x∈N}解析:B,D只说明集合中的元素是小于等于9的自然数;C只说明集合中的元素是小于等于9的正整数,B,C,D都没指明是奇数,所以只有A正确,故选A.答案:A2已知集合M={x∈N+|-≤x≤},则下列说法中正确的是()A.M是空集B.∈MC.该集合是有限集D.1∉M解析:由已知得M={1},因此M是有限集.答案:C3下列集合中,含义不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|(y-1)2=0}答案:B4由方程组--的解组成的集合是()A.(1,1)B.{1}C.{(1,1)}D.{1,1}解析:由--解得方程组的解组成的集合是{(1,1)},故选C.答案:C★5若P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则有()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任何一个解析:由题意知,P为偶数集,Q为奇数集,R是除以4余1的数构成的集合,是奇数的一部分,而a+b是奇数与偶数之和,仍为奇数,故选B.答案:B6下列集合中不是空集的是()A.{x|x<0且x>1}B.{x∈N|x2-2=0}C.{x∈R|x2-x+1=0}D.{(x,y)|x2+y2=0}解析:A选项中集合是空集;B选项中,由x2-2=0得x=± ∉N,所以是空集;C选项中判别式Δ=1-4=-3<0,方程无解,所以是空集;只有D选项不是空集,是集合{(0,0)},故选D.答案:D7下列命题中正确的是(只填序号).①0∈{⌀};②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3},也可表示为{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|2<x<5}可以用列举法表示.解析:①中的{⌀}中的元素为⌀,所以0∉{⌀},故①不正确;由元素的无序性可知②正确;③中的集合不满足互异性,故③不正确;④中的集合不能用列举法表示,故④不正确.答案:②8给出下列说法:①在直角坐标平面内,第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0};②方程-+|y+2|=0的解集为{-2,2};③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.其中正确序号是.解析:在直角坐标平面内,第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的,且集合中的代表元素为点(x,y),故①正确;方程-+|y+2|=0等价于-即-解为有序实数对(2,-2),即解集为{(2,-2)}或-,故②不正确;集合{(x,y)|y=1-x}的代表元素是(x,y),集合{x|y=1-x}的代表元素是x,一个是实数对,一个是实数,故这两个集合不相同.③不正确,综上所述,只有①正确.答案:①9已知集合A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x2+1,x∈A},则集合B用列举法表示是.解析:易求集合A={-2,-1,0,1,2},则集合B={(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}.答案:{(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}10用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合.分析::题目中要求用列举法表示集合,需先辨析集合中元素的特征及满足的性质,再一一列举出满足条件的元素.解(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=x的实数解是x=0或x=1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}.11若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集.(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.解(1)由于2的倒数为不在集合A中,故集合A不是可倒数集.(2)若a∈A,则必有∈A,现已知集合A中含有3个元素,故必有一个元素有a=,即a=±1,故可以取集合A=或-或等.★12对于a,b∈N+,现规定:a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+}.(1)用列举法表示a,b奇偶性不同时的集合M;(2)当a与b的奇偶性相同时,集合M中共有多少个元素?解(1)当a,b的奇偶性不同时,a*b=a×b=36,则满足条件的(a,b)有(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1),故集合M可表示为M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.(2)当a与b的奇偶性相同时,a*b=a+b=36,由于两奇数之和为偶数,两偶数之和仍为偶数,故36=1+35=2+34=3+33=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1,所以当a,b的奇偶性相同时,这样的元素共有35个.2集合的基本关系课时过关·能力提升1已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.B⊈A解析:由A={x|-1<x<2},而B={x|-1<x<1},作数轴如图,故B⫋A.答案:B2已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A⫋M⊆B.则符合条件的集合M的个数为()A.6B.7C.8D.不确定解析:∵A⫋M,∴M中一定含有A的全部元素1,2,且至少含有一个不属于A的元素.又M⊆B,∴M中除有1,2外,还有3,4,5中的1个,2个或3个,故M的个数即为{3,4,5}的非空子集,有7个.答案:B3集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系用Venn图可表示为()解析:∵M={-1,0,1},N={0,-1},∴N⫋M,故选B.答案:B4若集合A={1,3,x},B={x2,1},且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由B⊆A,知x2=3或x2=x,解得x=±或x=0或x=1.当x=1时集合A,B都不满足元素的互异性,故x=1舍去.答案:C5已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,xy∈A},则集合B的所有真子集的个数为()A.512B.256C.255D.254答案:C★6设集合M=∈,N=+∈,则()A.M=NB.M⫋NC.M⫌ND.M⊈N解析:∵集合M中,x=(k∈Z),集合N中,x=(k∈Z),∴M中的x表示的奇数倍,N中的x表示的整数倍.∴M⫋N.答案:B7已知集合A=--,B={(x,y)|y=3x+b},若A⊆B,则实数b=.解析:由已知A={(0,2)},因为A⊆B,所以2=3×0+b,解得b=2.答案:28设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},则M与P的关系为.答案:M=P9已知A={x|x2-4=0},B={x|ax-6=0},且B是A的子集.(1)求a的取值集合M;(2)写出集合M的所有非空真子集.解(1)由已知得A={2,-2},∵B⊆A,∴B=⌀或{2}或{-2}.①当B=⌀时,方程ax-6=0无解,得a=0;②当B={2}时,方程ax-6=0的解为x=2,得2a-6=0,所以a=3;③当B={-2}时,方程ax-6=0的解为x=-2,得-2a-6=0,所以a=-3.∴a的取值集合M={0,3,-3}.(2)M={0,3,-3}的非空真子集为{0},{3},{-3},{0,3},{0,-3},{3,-3}.10已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},非空集合C是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A的一个子集;其各元素都减2后,则变为B的一个子集,求集合C.解逆向操作,A中元素减2得0,2,4,6,7,则C中元素必在其中;B中元素加2得3,4,5,7,10,则C中元素必在其中,所以C中元素只能是4或7.所以C={4}或{7}或{4,7}.★11已知集合A={x|0<x-a≤5},B=-.(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.(3)集合A与B能否相等?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.解A={x|a<x≤a+5},B=-.(1)若A⊆B,则-解得∴0≤a≤1,即所求a的取值范围是0≤a≤1.(2)若B⊆A,则-≥6,或-即a≤-12或∴a≤-12.即所求a的取值范围是a≤-12.(3)若A=B,即{x|a<x≤a+5}=-,∴-即不可能同时成立.∴A≠B.§3集合的基本运算3.1交集与并集课时过关·能力提升1已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为()A.5B.4C.3D.2答案:D2若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0;当B={-1}时,m=-1;当B={1}时,m=1.故选D.答案:D3已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的Venn图如图,则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多个解析:M={x|-1≤x≤3},阴影部分所示的集合为M∩N={1,3}.故阴影部分所示的集合中共有2个元素.答案:B4已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()A.4B.3C.2D.1解析:联立两集合中的函数关系式由x+y=1得x=1-y,代入x2+y2=1得y2-y=0即y(y-1)=0,解得y=0或y=1,把y=0代入x2+y2=1解得x=1,把y=1代入x2+y2=1解得x=0,所以方程组的解为或有两组解,则A∩B的元素个数为2.故选C.答案:C5已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为()A.6B.7C.8D.9答案:C6设集合A={(x,y)|y=x2-1},B={(x,y)|y=3x-3},则A∩B=.解析:A∩B=--=或={(1,0),(2,3)}.答案:{(1,0),(2,3)}7已知集合A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤m},若A∩B={x|5<x≤7},则m=.解析:将集合A和集合A∩B用数轴表示出来,如图,要使A∩B={x|5<x≤7},则B={x|1<x≤m}={x|1<x≤7}.∴m=7.答案:78某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.解析:设两者都喜欢的有x人,则只喜欢篮球的有(15-x)人,只喜欢乒乓球的有(10-x)人.故(15-x)+(10-x)+x+8=30,解得x=3,所以15-x=12,即所求人数为12.答案:129已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求满足下列条件的a的值.(1)9∈A∩B;(2){9}=A∩B.解(1)∵9∈A∩B,且9∈B,∴9∈A,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.检验,知a=5或a=-3.(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B,∴由(1)知,a=5或a=-3.检验,知a=-3.10已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.分析::由A∪B=A,得B⊆A,则有B=⌀,或B≠⌀,因此对集合B分类讨论.解∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={x|-2≤x≤5}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,有m+1>2m-1,∴m<2.当B≠⌀时,如图,由数轴可得解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.★11为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手:其中在参加两项工作的人中,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4人既参加了计算又参加了绘图;另有一些人三项工作都参加了.请问这个测绘队至少有多少人?解由题意可得,测量目前有8+6=14人参加,一共需要24人,所以还差10人;计算目前有8+4=12人参加,一共需要20人,所以还差8人;绘图目前有6+4=10人参加,一共需要16人,所以还差6人,若三项都参加的有x(x≤6)人,则只参加测量的有(10-x)人,只参加计算的有(8-x)人,只参加绘图的有(6-x)人,所以总人数就是x+8+6+4+(10-x)+(8-x)+(6-x)=42-2x≥30,当且仅当x=6时等号成立.由以上分析:可知,三项都参加的有6人时,测绘队总人数最少,且最少为30人.答:这个测绘队至少有30人.★12已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a,m.分析:根据并集、交集的性质转化为B⊆A,C⊆A,而A={1,2},从而转化为B,C中的方程的根的问题,注意运用分类讨论的思想方法.解由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2},因为A∪B=A,所以B⊆A,故B有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.因为x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],所以必有1∈B,因此a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.又因为A∩C=C,所以C⊆A,故C有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.①若C=⌀,则关于x的方程x2-mx+2=0没有实数根,由Δ=m2-8<0,得-2<m<2;②若C={1},则关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根为1,所以很显然不成立;③若C={2},同②,也不成立;④若C={1,2},则解得m=3.综上所述,a=2或a=3;m=3或-2<m<2.3.2全集与补集课时过关·能力提升1已知集合A,B,C为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则一定有()A.C∩P=CB.C∩P=PC.C∩P=C∪PD.C∩P=⌀答案:B2已知集合U={x|x是小于6的正整数},A={1,2},B∩(∁U A)={4},则∁U(A∪B)=() A.{3,5} B.{3,4}C.{2,3}D.{2,4}解析:U={1,2,3,4,5},∵B∩(∁U A)={4},∴4∈B.∴∁U(A∪B)={3,5}.答案:A3已知全集为U,集合M,N满足M∪N=U,则下列关系中一定正确的是()A.N⊆∁U MB.M∩N=⌀C.∁U M⊆ND.(∁U M)∪(∁U N)=U解析:借助Venn图易知选C.答案:C4已知全集U={1,2,3,4,5},若A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A}.则集合∁U(A∪B)中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:∵A={1,2},B={2,4},∴A∪B={1,2,4}.∴∁U(A∪B)={3,5},共有2个元素.答案:B★5设全集U=R,集合A={x|x≤1,或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁U A)≠⌀,则k 的取值范围是()A.k<0或k>2B.2<k<3C.0<k<3D.-1<k<2解析:由题意知,∁U A={x|1<x<3},且k<k+1,故B≠⌀.又B∩(∁U A)≠⌀,结合图形,故k需满足解得0<k<3.答案:C6已知全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y>1},则∁U A与∁U B的关系是.解析:由全集、补集的概念,得∁U A={x|x<0},∁U B={y|y≤1},显然∁U A⫋∁U B.答案:∁U A⫋∁U B7设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁U A)∩B=⌀,则实数m的取值范围为.解析:∵A={x|x≥-m},∴∁U A={x|x<-m},∵B={x|-2<x<4},(∁U A)∩B=⌀,∴-m≤-2,即m≥2,∴m的取值范围是{m|m≥2}.答案:{m|m≥2}8已知U为实数集,集合M={x|0<x<2},N={x|y=-},则M∩(∁U N)=.解析:N={x|x-1≥0}={x|x≥1},∁U N={x|x<1},则M∩(∁U N)={x|0<x<1}.答案:{x|0<x<1}9已知集合A={x|4≤x<6},B={x|3<x<15},求:(1)A∪B;(2)(∁R A)∩B.解(1)A∪B={x|4≤x<6}∪{x|3<x<15}={x|3<x<15}.(2)∵∁R A={x|x<4,或x≥6},∴(∁R A)∩B={x|3<x<4,或6≤x<15}.10已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(∁R A)∩B={2},A∩(∁R B)={4},求实数a,b的值.解由条件(∁R A)∩B={2}和A∩(∁R B)={4},知2∈B,但2∉A;4∈A,但4∉B.-将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程得即-解得a=,b=-即为所求.★11已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0,a∈R}.若B∪A≠A,求实数a的取值范围.分析:本题主要考查补集思想的应用,解题的关键是从求解问题的反面考虑,采用“正难则反”的解题策略.解设B∪A=A,则B⊆A,又因为A={x|x2-2x-8=0}={-2,4},所以集合B有以下三种情况:①当B=⌀时,Δ=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,所以a<-4或a>4;②当B是单元素集时,Δ=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,则B={2}⊈A;若a=4,则B={-2}⊆A;③当B={-2,4}时,-2,4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两个根,所以----所以a=-2.综上可得,B∪A=A时,a的取值范围为a<-4或a=-2或a≥4.所以B∪A≠A的实数a的取值范围为-4≤a<4,且a≠-2.第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=()A.(-∞,5]B.[2,+∞)C.(2,5)D.[2,5]答案:D2已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=()A.⌀B.{2}C.{0}D.{-2}解析:易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B.答案:B3设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A=()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.⌀解析:由题意得∁U A={3,4,5},故选B.答案:B4已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则()A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={2,3}D.M∪N={1,4}解析:由集合的交集、并集及子集的概念,可知M∩N={2,3}.答案:C5设全集U=R,集合A=-,B={x|x2-x-6=0},则阴影部分所表示的集合是()A.{3}B.{-2}C.{3,-2}D.{⌀}解析:由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩(∁U A),∵集合A=-={3},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},∴B∩(∁U A)={-2},故选B.答案:B6设集合A={a,b},集合B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于()A.{1,2}B.{1,5}C.{2,5}D.{1,2,5}解析:由题意A∩B={2},可得a=1,b=2,则集合A={1,2},集合B={2,5}.A∪B={1,2}∪{2,5}={1,2,5},故选D.答案:D7已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是()A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.⌀解析:∵A⊇B,∴a-1≤3,且a+2≥5.∴3≤a≤4.故选B.答案:B8已知集合A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁U B)∩A={9},则A=() A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}解析:因为A∩B={3},所以3∈A,又因为∁U B∩A={9},所以9∈A,所以选D.除此之外,本题也可以用Venn图的方法帮助理解,Venn图如图.答案:D9已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析:∵A∪B={x|x≤0,或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.答案:D10经统计知,某小区有小汽车的家庭有35家,有电动自行车的家庭有65家,既有小汽车又有电动自行车的家庭有20家,则小汽车和电动自行车至少有一种的家庭数为() A.60 B.80 C.100 D.120解析:∵某小区有小汽车的家庭有35家,有电动自行车的家庭有65家,既有小汽车又有电动自行车的家庭有20家,∴画出Venn图,结合图形知,小汽车和电动自行车至少有一种的家庭数为15+20+45=80,故选B.答案:B11若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:当m=0时,B=⌀,满足A∪B=A,即m=0;当m≠0时,B=,由A∪B=A,得=1或-1,即m=1或-1.故m=1或-1或0.答案:D12设I={1,2,3,4},A与B是I的子集,若A∩B={1,3},则称(A,B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)()A.4B.8C.9D.16解析:对子集A分类讨论:当A是两元素集{1,3}时,B可以为{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4种结果;当A是三元素集{1,2,3}时,B可以取{1,3,4},{1,3},共2种结果;当A是三元素集{1,3,4}时,B可以为{1,2,3},{1,3},共2种结果;当A是四元素集{1,2,3,4}时,此时B取{1,3},有1种结果.综上所述,共有4+2+2+1=9种结果,故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13若2∉{x|x-a<0},则实数a的取值集合是.解析:由题意知,{x|x-a<0}={x|x<a},∵2∉{x|x-a<0},∴a≤2,∴实数a的取值集合是{a|a≤2}.答案:{a|a≤2}14已知集合M={2},N={x|2x-a=0},且M∩N=N,则实数a=.解析:N=,∵M∩N=N,∴N⊆M.∴∈{2},即=2.∴a=4.答案:415已知集合A={x,y},B={2,2y},若A=B,则x+y=.解析:当x=2,y=2y时,x=2,y=0,则x+y=2;当x=2y,y=2时,x=4,y=2,则x+y=6.答案:2或616已知集合A={x|x≤-2,或x>1},B={x|2a-3<x<a+1},若A∪B=R,则a的取值范围是.解析:∵集合A={x|x≤-2,或x>1},B={x|2a-3<x<a+1},且A∪B=R,--∴解得0<a≤,∴a的范围是0<a≤.答案:0<a≤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设A={x∈Z|-6≤x≤6},B={1,2,3},C={3,4,5,6}.求(1)A∪(B∩C);(2)A∩[∁A(B∪C)].解(1)由题意知,A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.∵B∩C={3},∴A∪(B∩C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.(2)∵B∪C={1,2,3,4,5,6},∴∁A(B∪C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0},∴A∩[∁A(B∪C)]={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.18(12分)已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.解(1)由题意知B={x|x≥2},∴A∩B={x|2≤x<3}.(2)由题意知C=-,∵B∪C=C,∴B⊆C.∴-<2,∴a>-4.19(12分)设全集U=R,A={x∈R|a≤x≤2},B={x∈R|2x+1≤x+3,且3x≥2}.(1)若B⊆A,求实数a的取值范围;(2)若a=1,求A∪B,(∁U A)∩B.解(1)B=且,又B⊆A,∴a≤.(2)若a=1,则A={x|1≤x≤2},此时A∪B={x|1≤x≤2}∪=.由∁U A={x|x<1,或x>2},得(∁U A)∩B={x|x<1,或x>2}∩.20(12分)已知全集U=R,集合A={x|2x+a>0},B={x|x<-1,或x>3}.(1)当a=2时,求集合A∩B,A∪B;(2)若A∩(∁U B)=⌀,求实数a的取值范围.解由2x+a>0得x>-,即A=-.(1)当a=2时,A={x|x>-1}.∴A∩B={x|x>3}.A∪B={x|x≠-1}.(2)∵B={x|x<-1,或x>3},∴∁U B={x|-1≤x≤3}.又A∩(∁U B)=⌀,∴-≥3,解得a≤-6.∴实数a的取值范围是(-∞,-6].21(12分)已知集合A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16}.(1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围;(2)若A⊆(A∩B),求实数m的取值范围.解(1)∵A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16},若A∩B=⌀, 则当A=⌀时,符合题意,此时2m+1>3m-5,所以m<6.当A≠⌀时,---所以6≤m≤7.综上所述,m≤7.(2)∵A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16},且A⊆(A∩B), ∴A为空集或A为B的非空子集.则2m+1>3m-5或---或-解得m<6或m>.22(12分)设数集M=,N=-,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义“b-a”为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合M∩N的长度的最小值.解在数轴上表示出集合M与N,可知当m=0且n=1,或n-=0且m+=1时,M∩N的“长度”最小.当m=0且n=1时,M∩N=,“长度”为;当m=且n=时,M∩N=,“长度”为.综上,M∩N的“长度”的最小值为.第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2.1函数概念课时过关·能力提升1已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=()-A.{x|x≥-2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<2}D.{x|-2≤x<2}答案:D2函数f(x)=(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]解析:由x2+1≥1,得0<≤1,故函数f(x)的值域为(0,1].答案:B3已知函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点有()A.0个B.1个C.2个D.0个或多个解析:函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点个数有1个,故选B.答案:B4已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则此函数的定义域为()A.RB.{x|x>0}C.{x|0<x<5}D.解析:∵等腰三角形的周长为10,∴-<x<5.-答案:D5已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表,则方程g(f(x))=x的解集为()x 1 2 3A.{1}B.{2}C.{3}D.⌀解析:当x=1时,g(f(1))=g(2)=2,不符合题意;当x=2时,g(f(2))=g(3)=1,不符合题意;当x=3时,g(f(3))=g(1)=3,符合题意.故选C.答案:C★6若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R,则a的值是()A.a=-1或a=3B.a=-1C.a=3D.a不存在解析:因为函数f(x)的定义域和值域都为R,所以函数f(x)为一次函数,即---解得a=-1.故选B.答案:B7函数y=的定义域是.解析:要使该函数有意义,则x+2≥0,故x≥-2.答案:{x|x≥-2}8已知集合M={x|y=x2+1},集合N={y|y=x2+1},则M∩N=.解析:∵M=R,N={y|y≥1},∴M∩N={y|y≥1}.答案:{y|y≥1}9函数f(x)=(--2)0+-的定义域是.答案:{x|x>1,且x≠5}10已知函数f(x)=.(1)求f(2);(2)求函数f(x)的值域.解(1)f(2)=.(2)f(x)=-=1-,又≠0,∴1-≠1,∴f(x)≠1,故函数f(x)的值域是(-∞,1)∪(1,+∞).11若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=a2x+ab+b,f{f[f(x)]}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b,所以解得则f(x)=3x+2.★12已知函数f(x)=.(1)求f(2)与f,f(3)与f.(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f的关系吗?并证明你的发现.(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 016)+f+f+…+f.解(1)∵f(x)=,∴f(2)=,f,f(3)=,f.(2)由(1)中的结果发现f(x)+f=1.证明如下:f(x)+f==1.(3)f(1)=.由(2)知f(2)+f=1,f(3)+f=1,…f(2 016)+f=1,∴原式=…=2 015+.个2.2函数的表示法第1课时函数的三种表示方法课时过关·能力提升1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f(g(1))=()A.2B.1C.3D.不确定解析:由已知得g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.答案:B2去年国庆长假期间,某日8时至16时累计参观故宫人数的折线图如图所示,那么在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,入宫人数最多的时段是()A.8时~9时B.11时~12时C.13时~14时D.15时~16时解析:结合函数图像可知,在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,图像变化最快的,增加得最快的是11时~12时之间,故选B.答案:B,则当x≠0,且x≠1时,f(x)=()3若f-A. B.-C.D.-1-答案:B4下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x解析:因为f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),所以A满足要求;因为f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),所以B满足要求;因为f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),所以C不满足要求;因为f(2x)=-2x=2f(x),所以D满足要求.故选C.答案:C5若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数y=f(2x-1)的定义域是()A.[0,1]B.[0,2]C.D.[-1,3]解析:因为函数y=f(x)的定义域是[0,2],即0≤x≤2,所以0≤2x-1≤2,解得≤x≤.因此y=f(2x-1)的定义域是.答案:C6已知函数g(x)=1-2x,f[g(x)]=-(x≠0),则f(0)等于()A.-3B.-C.D.3解析:令g(x)=1-2x=0,则x=,则f(0)=-=3.故选D.答案:D7函数f(n)对任意实数n满足条件f(n+3)=,若f(1)=6,则f(7)的值为.解析:由f(n+3)=得,f(7)==f(1)=6.答案:6★8若2f(x)+f=2x+(x≠0),则f(2)=.答案:9如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),那么f的值等于.解析:由函数f(x)的图像,知f(1)=2,f(3)=1,则f=f(1)=2.答案:210求下列函数的解析式:(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(1-x)=-,求f(x).解(1)∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)令1-x=t,则x=1-t.又1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2,即0≤t≤2.∴f(t)=---(0≤t≤2).∴f(x)=-(0≤x≤2).★11已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求f(f(-3))的值.解(1)∵f(2)=1,∴=1,即2a+b=2.①又f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,∴ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,∴Δ=(b-1)2=0,∴b=1,代入①得a=,∴f(x)=.=6,(2)由(1)知f(-3)=--故f(f(-3))=f(6)=.★12已知f(x)对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0)与f(1)的值;(2)求证:f=-f(x);(3)若f(2)=p,f(3)=q(p,q均为常数),求f(36).(1)解令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)证明令a=,b=x,得f(1)=f+f(x)=0,即f=-f(x).(3)解令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q.令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.第2课时分段函数课时过关·能力提升1已知f(x)=则f(f(f(-3)))=()A.0B.πC.π+1D.2π解析:因为-3<0,所以f(-3)=0,所以f(f(-3))=f(0)=π,又π>0,所以f(f(f(-3)))=f(π)=π+1.答案:C2函数f(x)=x+的图像是()解析:f(x)=-故选C.答案:C3某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km为1.6元(不足1 km,按1 km计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为()解析:由题意,当0<x≤3时,y=10;当3<x≤4时,y=11.6;当4<x≤5时,y=13.2;……当n-1<x≤n时,y=10+(n-3)×1.6,故选C.答案:C4已知f(x)=则f+f-等于() A.-2 B.4 C.2 D.-4答案:B5已知f(x)=g(x)=3-2x,则f(g(2))=() A.-3 B.-2 C.3 D.-1解析:因为g(x)=3-2x,所以g(2)=3-2×2=-1<0,所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.答案:C6拟定从甲地到乙地通话m min的话费y(元)满足y=其中[m]是不超过m的最大整数,如[3.74]=3,从甲地到乙地通话5.2 min的话费是()A.3.71元B.4.24元C.4.77元D.7.95元解析:f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=4.77.答案:C7若函数f(x)=则f(-3)=.解析:f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.答案:6若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.8已知实数a≠0,函数f(x)=--答案:---9已知函数f(x)=(1)求f-,f,f的值;(2)作出函数f(x)的简图;(3)求函数f(x)的值域.分析:给出的函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内函数有不同的解析式.(1)根据自变量的值所在的区间,选用相应的关系式求函数值.(2)函数f(x)在不同区间上的关系式都是常见的基本初等函数,因而可利用常见函数的图像完成作图.(3)函数的值域是各段函数值的集合的并集.解函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].(1)∵-1≤x<0时,f(x)=-x,∴f-=--.∵0≤x<1时,f(x)=x2,∴f.∵1≤x≤2时,f(x)=x,∴f.(2)在同一平面直角坐标系中分段画出函数f(x)的图像,如图.(3)由(2)中函数f(x)的图像可知,函数的值域为[0,2].★10某市范围内住宅电话通话费为前3 min 0.20元,以后每分0.10元(不足3 min按3 min计,以后不足1 min按1 min 计).(1)在直角坐标系内,画出一次通话在6 min内(包括6 min)的通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图像;(2)如果一次通话t min(t>0),写出通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数).解(1)如图:(2)由(1)知,话费与时间t的关系是分段函数,当0<t≤3时,话费为0.2元;当t>3时,话费应为[0.2+([t]-3)×0.1]元,所以y=-★11已知函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线的一部分(包括端点)组成,如图,试求函数的解析式.解设左射线所在直线的解析式为y=kx+b,因为点(1,1),(0,2)在直线上,故由得-所以左射线的解析式为y=-x+2(x<1).同理可得右射线的解析式为y=x-2(x>3).再设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,因为点(1,1)在此抛物线上,所以a+2=1,a=-1,所以中间抛物线的解析式为y=-(x-2)2+2=-x2+4x-2,1≤x≤3.综上所述,所求函数的解析式为y=----2.3映射课时过关·能力提升1映射f:A→B,在f作用下A中元素(x,y)与B中元素(x-1,3-y)对应,则与B中元素(0,1)对应的A中元素是()A.(-1,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(-1,3)2下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A.A=B=N+,对应关系f:x→y=|x-3|B.A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=C.A={x|x>0},B={y|y∈R},对应关系f:x→y=±D.A=Z,B=Q,对应关系f:x→y=答案:B3集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数为()A.2B.3C.5D.8解析:存在的映射有-1+1=0,1+(-1)=0,0+0=0共3个.答案:B4已知A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是从A到B的映射,若3和7的原像分别是5和9,则6在f下的像是()A.3B.4C.5D.6解析:因为3和7的原像分别是5和9,所以解得-即f:x→y=x-2,所以当x=6时,y=6-2=4,故选B.答案:B5已知映射f:A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是() A.4 B.5 C.6 D.7解析:对应关系是f:a→|a|,因此3和-3对应的像是3;-2和2对应的像是2;1和-1对应的像是1;4对应的像是4,所以B={1,2,3,4}.6若A到B的映射f:x→3x-1,B到C的映射g:y→,则A到C的映射h:x→.解析:由题意,得y=3x-1,.--故h:x→.-答案:-7设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素对应B中的元素3.解析:对应关系为f:n→2n+n,根据2n+n=3,可得n=1.答案:18设a,b为实数,集合M=,N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b的值为.解析:∵f:x→x,∴M=N,∴=0,a=1,b=0.故a+b=1.答案:19设f,g都是由A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:设a=g(f(3)),b=g(g(2)),c=f(g(f(1))).试判断a,b,c的大小关系.解∵a=g(f(3))=g(1)=2,b=g(g(2))=g(1)=2,c=f(g(f(1)))=f(g(2))=f(1)=2,∴a=b=c.10设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y).(1)求A中元素(-1,2)的像;(2)求B中元素(-1,2)的原像.解(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即A中元素(-1,2)的像为(-3,1).(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,则由--解得所以B中元素(-1,2)的原像为.11已知从集合A到集合B={0,1,2,3}的映射f:x→-,试问集合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.解∵f:x→-是从集合A到集合B的映射,∴A中每一个元素在集合B中都有像.令-=0,则该方程无解,故0没有原像.分别令-=1,2,3可得x=±2,±,±.故集合A中的元素最多为6个,即A=---.★12设映射f:A→B,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求A中元素(3,4)的像.(2)求B中元素(5,10)的原像.(3)A中是否存在这样的元素(a,b)使它的像仍是它本身?若有,求出这个元素;反之,说明理由.解(1)因为所以--所以集合A中元素(3,4)的像是(2,23).(2)因为--所以所以集合B中元素(5,10)的原像是(2,1).(3)因为--即--解得所以存在元素使它的像仍是它本身.§3函数的单调性第1课时函数单调性的定义与判断课时过关·能力提升1设函数f(x)在区间(a,b),(c,d)上是增加的,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定答案:D2若y=f(x)是R上的增函数,且f(2m)<f(9-m),则实数m的取值范围是()A.(3,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,0)D.(-3,3)。

第一章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( A )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|－2<x<－1}，故选A．2．下列集合中表示同一集合的是( B )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[解析]A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．设集合A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则( D )A．B∈A B．B AC．A∉B D．A＝B[解析]由已知可得B＝{a，b}，∴A＝B4．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝( B )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}[解析]易得∁U B＝{x|x≤1}，故A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．5．(2019·全国卷Ⅱ理，1)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( A )A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故选A．6．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的范围是( C )A．a≤－1 B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1[解析]∵P＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P，∴a∈P.即－1≤a≤1.7．设集合A ＝{x|x≤13}，a ＝11，那么( D ) A ．a A B ．a ∉A C ．{a}∉AD ．{a} A[解析] A 是集合，a 是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A 是包含与否的关系，据此，A 、C 显然不对．而11<13，所以a 是A 的一个元素，{a}是A 的一个子集．故选D ．8．设全集U ＝{x ∈N|x≥2}，集合A ＝{x ∈N|x 2≥5}，则∁U A ＝( B ) A ．∅ B ．{2} C ．{5}D ．{2,5}[解析] 本题考查集合的运算．A ＝{x ∈N|x 2≥5}＝{x ∈N|x≥5}，故∁U A ＝{x ∈N|2≤x<5}＝{2}．选B ．9．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A 等于( D ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9}[解析] 因为A∩B＝{3}，所以集合A 中必有元素3.因为(∁U B)∩A＝{9}，所以属于集合A 不属于集合B 的元素只有9.综上可得A ＝{3,9}．10．已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，且B≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为( D )A ．－3≤m≤4B ．－2<m<4C ．2<m<4D ．2<m≤4[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ． 又因为B≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，所以2<m≤4.11．已知集合A ＝{x|x<3或x≥7}，B ＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a 的取值范围为( A ) A ．a>3 B ．a≥3 C ．a≥7D ．a>7[解析] 因为A ＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A ＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.12．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}有两个元素；④集合{x ∈Q|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集， ∴①不正确．②当a ＝0时，0∈N ，∴②不正确． ③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1， ∴{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}＝{1}， ∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时6x ∈N ，∴{x ∈Q|6x ∈N}是无限集，∴④不正确．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{x|x －2>0}，若a ∈A ，则集合B ＝{x|x 2－ax ＋1＝0}中元素的个数为2.[解析] ∵A ＝{x|x －2>0}，a ∈A ，∴a －2>0，即a>2，∴a 2－4>0，则方程x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的实数根．故集合B 中元素的个数为2.14．设集合A ＝{x||x|<2}，B ＝{x|x>a}，全集U ＝R ，若A ⊆∁U B ，则a 的取值范围是a≥2. [解析] ∵|x|<2，∴－2<x<2，∴A ＝{x|－2<x<2}．而∁U B ＝{x|x≤a}，故当A ⊆∁U B 时，a≥2. 15．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N|1≤x≤10}，B ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则图中阴影表示的集合为{－3}.[解析] 如图阴影部分为(∁U A)∩B．∵A ＝{x ∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}， B ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}， ∴(∁U A)∩B＝{－3}．16．集合M ＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z}，P ＝{y|y ＝3l ＋1，l ∈Z}，S ＝{z|z ＝6m ＋1，m ∈Z}之间的关系是SP ＝M.[解析] M 、P 是被3除余1的数构成的集合，则P ＝M ，S 是被6除余1的数，则S P. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x ∈Z|－6≤x≤6}，B ＝{1,2,3}，C ＝{3,4,5,6}．求： (1)A ∪(B∩C)； (2)A∩[∁A (B ∪C)]．[解析] 由题意知A ＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}． (1)易知B∩C＝{3}，故A ∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)∵B ∪C ＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A (B ∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}， ∴A∩[∁A (B ∪C)]＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．18．(本小题满分12分)已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a 的值． [解析] ∵M∩N＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0， 解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.19．(本小题满分12分)已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|mx －2＝0}且A ∪B ＝A ，求实数m 组成的集合C ．[解析] 由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，因此B 有可能等于空集． ①当B ＝∅时，此时方程mx －2＝0无解， 即m ＝0符合题意．②当B≠∅时，即m≠0，此时A ＝{1,2}，B ＝{2m }，∵B ⊆A ．∴2m ＝1或2m ＝2，∴m ＝2或m ＝1.因此，实数m 组成的集合C 为{0,1,2}．20．(本小题满分12分)集合A ＝{x|－2<x<4}，集合B ＝{x|x －m<0}. (1)若m ＝3，求A∩B，A ∪B ；(2)若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B＝A ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＝3时，B ＝{x|x<3}． 又A ＝{x|－2<x<4}，∴A∩B＝{x|－2<x<4}∩{x|x<3}＝{x|－2<x<3}， A ∪B ＝{x|－2<x<4}∪{x|x<3}＝{x|x<4}． (2)∵A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}，又A∩B＝∅， ∴m≤－2，即m 的取值范围是{m|m≤－2}． (3)∵A∩B＝A ，∴A ⊆B ．又A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}， ∴m≥4，即m 的取值范围是{m|m≥4}．21．(本小题满分12分)已知M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，N ＝{x|ax ＝12}，若N ⊆M ，求实数a 所构成的集合A ，并写出A 的所有非空真子集.[解析]∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析](1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．第二章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)[解析] 要使x ＋1有意义，须满足x ＋1≥0，即x≥－1；要使12－x 有意义，须满足2－x≠0，即x≠2，所以函数f(x)的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( D )A ．2B ．1C ．0D ．－2[解析] ∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋11)＝－2.3．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( B )[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．4．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( C ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值．5．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A→B，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( A )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5[解析]由题意，得n2＋n＝20，∴n2＋n－20＝0，∴(n＋5)(n－4)＝0，∴n＝－5或n＝4.∵n∈N，∴n＝4，故选A．6．(2019·山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：则f[f(4)]＝(A．－1 B．－2C．－3 D．3[解析]由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.7．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x 的取值范围是( D )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3][解析]∵f(x)为R上的奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D．8．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是( B )A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1[解析]∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．9．定义在[1＋a,2]上的偶函数f(x)＝ax2＋bx－2在区间[1,2]上是( B )A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数[解析]∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0.定义域为[1＋a,2]，则1＋a＝－2，∴a＝－3.又二次函数f(x)＝－3x2－2的图像开口向下，对称轴为y轴，则在区间[1,2]上是减函数．10．若函数y＝kx＋5kx2＋4kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围为( D )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[解析] ∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立； k≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k<34.11．函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．12D ．－12[解析] ∵函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b. ∴a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b＝－1. 12．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 因为y ＝f(x)，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x ＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m 2＝m ，当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m ，因此选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是y ＝x 2＋4x ＋2.[解析] y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2 ＝x 2＋4x ＋2.14．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x|x≤2且x≠－1}. [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x≥0x ＋1≠0，解得x≤2且x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．15．已知函数f(x)＝x 2－|x|，若f(－m 2－1)<f(2)，则实数m 的取值范围是(－1,1).[解析] 因为f(x)＝x 2－|x|＝|x|2－|x|＝(|x|－12)2－14，所以f(x)为偶函数，且在区间(12，＋∞)上为增函数．又f(－m 2－1)＝f(m 2＋1)<f(2)， 所以m 2＋1<2.所以m 2<1，即－1<m<1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；②y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；③y ＝2x 2＋1，x ∈{－2,2}．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有3个．[解析] 根据定义，满足函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2}；y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x≤－1)x 2(－1<x<2)2x (x≥2).(1)求f{f[f(3)]}的值； (2)求f(a)＝3，求a 的值； (3)画出函数的图像．[解析] (1)∵－1<3<2，∴f(3)＝(3)2＝3. 又 3≥2，∴f[f(3)]＝f(3)＝2×3＝6. 又6≥2，∴f{f[f(3)]}＝f(6)＝2×6＝12.(2)当a≤－1时，f(a)＝a ＋2.若f(a)＝3，则a ＋2＝3， ∴a ＝1(舍去)．当－1<a<2时，f(a)＝a 2.若f(a)＝3，则a 2＝3， ∴a ＝3，或a ＝－3(舍去)．当a≥2时，f(a)＝2a.若f(a)＝3，则2a ＝3， ∴a ＝32(舍去)．综上可知，a ＝ 3.(3)函数f(x)的图像如图所示，18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3]． (1)当a ＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f(x)＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]， 又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f(x)min ＝－19，当x ＝3时，f(x)max ＝41.(2)函数f(x)＝(x －a)2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数， 所以a≤－3或a≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1a －1x (a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2. 则f(x 1)－f(x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2. ∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0. ∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f(x 1)<f(x 2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f(x)在[12，2]上是增加的，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (12)＝12f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f(x)＝x －2m2－m ＋3，其中m ∈{x|－2<x<2，x ∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x ∈[0,3]时f(x)的值域． [解析] 由{x|－2<x<2，x ∈Z}＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m<1，∴m ＝－1或0.由(2)知f(x)是奇函数．当m ＝－1时，f(x)＝x 2为偶函数，舍去． 当m ＝0时，f(x)＝x 3为奇函数． ∴f(x)＝x 3.当x ∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数， ∴f(x)的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x 2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x≥0时，f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－2，x≥0(x ＋1)2－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数， 在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2. 当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小． [解析] (1)函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数， 证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b>0，得a>－b ，由(1)知f(a)>f(－b)， 因为f(x)的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称， 又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.第三章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·山东潍坊高一期末测试)函数f(x)＝ln (x ＋1)x －2的定义域是( B )A ．(－1，＋∞)B ．(－1,2)∪(2，＋∞)C ．(－1,2)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)[解析] 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －2≠0，∴x>－1且x≠2，故函数f(x)的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)． 2．下列计算正确的是( B ) A ．log 26－log 23＝log 23 B ．log 26－log 23＝1 C ．log 39＝3D ．log 3(－4)2＝2log 3(－4)[解析] 在B 选项中，log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1，故该选项正确．3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x>0)3x(x≤0)，则f[f(14)]的值是( B )A ．9B ．19 C ．－19D ．－9[解析] ∵x>0时，f(x)＝log 2x ， ∴f(14)＝log 214＝log 22－2＝－2，又∵x<0时，f(x)＝3x ，∴f(－2)＝3－2＝19.∴f[f(14)]＝f(－2)＝19.4．(2019·山东潍坊高一期末测试)已知x ＝log 512，y ＝(12)0.1，z ＝213 ，则( A )A ．x<y<zB ．x<z<yC ．y<x<zD ．z<x<y[解析] log 512<log 51＝0，∴x<0；(12)0.1<(12)0＝1，∴0<y<1；213 >20＝1，∴z>1，∴x<y<z.5．函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是( A )[解析] 排除法：∵函数y ＝－log a x 中x>0，故排除B ；当a>1时，函数y ＝a x为增函数，函数y ＝－log a x 为减函数，故排除C ；当0<a<1时，函数y ＝a x 为减函数，函数y ＝－log a x 为增函数，故排除D ，所以选A ． 6．(2019·北京文，3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( A ) A ．y ＝x 12 B ．2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x[解析] 函数y ＝x 12＝x ，在(0，＋∞)上单调递增，函数y ＝2－x＝(12)x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，＋∞)上都是单调递减的，故选A ．7．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax 2－x(a ∈R)．若f[g(1)]＝1，则a ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－1[解析] 由已知条件可知：f[g(1)]＝f(a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A ．8．给出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x (x≥4)f (x ＋1)(x<4)，则f(log 23)的值等于( D )A ．－238B ．111C ．119D ．124[解析] 因为log 23∈(1,2)， 所以f(log 23)＝f(log 23＋1)＝f(log 26)＝f(log 26＋1) ＝f(log 212)＝f(log 212＋1) ＝f(log 224)＝12log 224＝124.9．若a>b>0,0<c<1，则( B ) A ．log a c<log b c B ．log c a<log c b C ．a c<b cD ．c a>c b[解析] 对于选项A ：log a c ＝lgc lga ，log b c ＝lgclgb，∵0<c<1，∴lgc<0，而a>b>0，所以lga>lgb ，但不能确定lga 、lgb 的正负，所以它们的大小不能确定； 对于选项B ：log c a ＝lga lgc ，log c b ＝lgb lgc ，而lga>lgb ，两边同乘以一个负数1lgc 改变不等号方向所以选项B 正确；对于选项C ：利用y ＝x c在第一象限内是增函数即可得到a c>b c，所以C 错误；对于选项D ：利用y ＝c x在R 上为减函数易得为错误．所以本题选B ．10．设函数f(x)＝x 2－4x ＋3，g(x)＝3x－2，集合M ＝{x ∈R|f[g(x)]>0}，N ＝{x ∈R|g(x)<2}，则M∩N ＝( D )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)[解析] ∵f[g(x)]>0，∴g 2(x)－4g(x)＋3>0. ∴g(x)>3或g(x)<1， ∴M∩N＝{x|g(x)<1}．∴3x－2<1,3x<3，∴x<1.故选D ．11．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，－log 2(x ＋1)，x≤1，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( A )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[解析] 由已知条件可得函数图像：故f(a)＝－3＝－log 2(a ＋1)，可得a ＝7； f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.故本题正确答案为A ．12．已知f(x)＝log 12(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－4,4)B ．[－4,4)C ．(－4,4]D ．[－4,4][解析] 要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则需g(x)＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上递增且恒大于零． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2g (2)＝22－2a ＋3a>0，解得－4<a≤4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·大连市高一期末测试)已知16a＝4，lg x ＝a ，则x ＝10. [解析] ∵16a＝4，∴a ＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012＝10，∴x ＝10.14．(2019·安徽安庆二中高一期中测试)计算：(49)12 ＋(12)log23＋lne ＝2.[解析] 原式＝23＋12log 23＋1＝23＋13＋1＝2. 15．(2019·全国卷Ⅱ理，14)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln2)＝8，则a －3.[解析] 解法一：设x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝－e－ax，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－e －ax，∴f(x)＝e－ax＝1eax ＝1(e x )a ， ∵ln2>0，∴f(ln2)＝1(e ln2)a ＝12a ＝8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.解法二：∵ln2>0，∴－ln2<0， 又∵当x<0时，f(x)＝－e ax， ∴f(－ln2)＝－e －aln2＝－1e aln2＝－1(e ln2)a＝－12a ，又∵f(x)为奇函数，∴f(－ln2)＝－f(ln2) ＝－8， ∴－12a ＝－8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.16．关于函数y ＝2x2－2x －3有以下4个结论：①定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)； ②递增区间为[1，＋∞)； ③是非奇非偶函数； ④值域是(116，＋∞)．则正确的结论是②③.(填序号即可)[解析] ①不正确，因为y ＝2x 2－2x －3的定义域为R ； ④不正确，因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴2x2－2x －3≥2－4＝116，即值域为[116，＋∞)；②正确，因为y ＝2u为增函数，u ＝x 2－2x －3在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，所以y ＝2x2－2x －3的递增区间为[1，＋∞)；③正确，因为f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·安徽太和中学高一期中测试)计算下列各式的值： (1)(12)－2＋(12)0－2713 ＋38；(2)log 327－log 33＋lg25＋2lg2＋lne 2. [解析] (1)原式＝22＋1－(33) 13 ＋323＝4＋1－3＋2＝4.(2)原式＝log 3332 －log 3312 ＋lg25＋lg4＋2＝32－12＋lg100＋2 ＝32－12＋2＋2＝5. 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)． (1)求g(x)的解析式及定义域； (2)求函数g(x)的最大值和最小值． [解析] (1)∵f(x)＝2x， ∴g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)＝22x－2x ＋2.∵f(x)的定义域是[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤30≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.∴g(x)的定义域是[0,1]． (2)g(x)＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4. ∵x ∈[0,1]， ∴2x ∈[1,2]．∴当2x ＝1，即x ＝0时，g(x)取得最大值－3； 当2x＝2，即x ＝1时，g(x)取得最小值－4.19．(本小题满分12分)已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(12)＝0，求不等式f(log 4x)>0的解集．[解析] 因为f(x)是偶函数， 所以f(－12)＝f(12)＝0，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(x)在(－∞，0)上是减函数． 所以f(log 4x)>0⇒log 4x>12或log 4x<－12，解得：x>2或0<x<12，则不等式f(log 4x)>0的解集是 {x|x>2，或0<x<12}．20．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a x ，x ∈[2,4]的值域为[m ，m ＋1]，求a 的值．[解析] 当a>1时，f(x)＝log a x ，在[2,4]上是增加的，∴x ＝2时，f(x)取最小值；x ＝4时，f(x)取最大值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m log a 4＝m ＋1，∴2log a 2＝log a 2＋1.∴log a 2＝1，得a ＝2 当0<a<1时，f(x)＝log a x 在[2,4]上是减少的，∴当x ＝2时，f(x)取最大值；x ＝4时，f(x)取最小值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m ＋1log a 4＝m ，∴log a 2＝2log a 2＋1，∴log a 2＝－1.∴a ＝12.综上所述，a ＝2或a ＝12.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(12x －1＋12)·x 3.(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0.[解析] (1)因为要使题中函数有意义，需2x－1≠0，即x≠0， 所以所求定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)因为f(x)＝2＋(2x－1)2(2x－1)·x 3＝2x＋12(2x －1)·x 3， 又f(－x)＝2－x＋12(2－x －1)·(－x)3＝1＋2x2(1－2x )·(－x 3)＝2x＋12(2x－1)·x 3， 所以f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (3)证明：因为x>0时，2x>1，所以2x－1>0. 又因为x 3>0，所以f(x)>0；因为x<0时，0<2x<1，所以－1<2x－1<0. 又因为x 3<0，所以f(x)>0.所以当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f(x)>0.22．(本小题满分12分)某商品的市场日需求量Q 1和日产量Q 2均为价格P 的函数，且Q 1＝144·(12)P ＋12，Q 2＝6×2P ，日总成本C 关于日产量Q 2的关系式为：C ＝10＋13Q 2.(1)Q 1＝Q 2时的价格为均衡价格，求此均衡价格P 0；(2)当P ＝P 0时，求日利润L 的大小．[解析] 均衡价格即供需相等时所对应的价格，利润＝收益－成本，列出方程即可求解． (1)根据题意有Q 1＝Q 2， 144·(12)P ＋12＝6×2P，即(2P )2－2·2P－24＝0. 解得2P＝6,2P＝－4(舍去)． ∴P ＝log 26，故P 0＝P ＝log 26. 即均衡价格为log 26元． (2)由于利润＝收益－成本，故L ＝Q 1P －C ＝36log 26－(10＋13×36)＝36log 26－22，故P ＝P 0时，利润为(36log 26－22)元．第四章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是( D )A．0 B．1C．2 D．3[解析]因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．2．函数y＝x的零点是( A )A．0 B．(0,0)C．(1,0) D．1[解析]函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A．3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是( B )A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,4)[解析]若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B．4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为( D )A．1 B．2C．3 D．4[解析]因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( C ) A．0 B．2C．4 D．无法判断[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．∴x1＋x2＝4.6．下图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．在下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( B )A ．[－2，－1]B ．[1,2]C ．[4,5]D ．[5,6][解析] 在区间[1,2]上的零点为不变号零点，故不能用二分法求．7．夏季高山温度从山脚起每升高100m ，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为( C )A ．1 750mB ．1 730mC ．1 700mD ．1 680m[解析] 设从山脚起每升高x 百米时，温度为y 摄氏度，根据题意得y ＝26－0.7x ，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x ＝17(百米)，∴山的相对高度是1 700m.8．函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( B ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] ∵f(x)＝2x＋3x ，∴f(－1)＝－52<0，f(0)＝1>0，故选B ．9．若方程lnx ＋x －4＝0在区间(a ，b)(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设f(x)＝lnx ＋x －4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0， ∴根在区间(2,3)内，∴a ＝2.故选B ．10．若方程x 2＋(m －2)x ＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( A ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析] 考查函数f(x)＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧－m －22>2f 2＝m ＋5>0m －22－45－m≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m<－2m>－5m≥4或m≤－4，∴－5<m≤－4.故选A ．11．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的变号零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[0，a 2]，[0，a 4]，[0，a8]，则下列说法正确的是( D )A ．函数f(x)在区间[0，a16]中有零点B ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a8]中有零点C ．函数f(x)在区间[a16，a]中无零点D ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a 8]中有零点，或零点是a16[解析] 由二分法的定义可知，只有D 正确．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( D )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[解析] 令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ， 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ， ∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x≥0－x 2－3x x<0.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x≥0－x 2－4x ＋3x<0.当x≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x 2－3)(x 2－2x －3)的零点为±3，3，－1 . [解析] 令f(x)＝0，得x ＝±3，或x ＝3，或x ＝－1.14．用一根长为12m 的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9m 2. [解析] 设框架的一边长为xm ，则另一边长为(6－x)m.设框架面积为ym 2，则y ＝x(6－x)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9(0<x<6)，y max ＝9(m 2)．15．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为4_025.[解析] 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2 012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2 012个零点，又x ∈R ，所以f(0)＝0，因此共4 025个零点．16．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x≤02x －6＋lnx x>0的零点个数是2.[解析] 当x≤2，令x 2－2＝0，得x ＝－2； 当x>0时，令2x －6＋lnx ＝0， 即lnx ＝6－2x ，在同一坐标系中，画出函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像如图所示．由图像可知，当x>0时，函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点． 综上可知，函数f(x)有2个零点．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数y ＝x 3－7x ＋6的零点． [解析] ∵x 3－7x ＋6＝(x 3－x)－(6x －6) ＝x(x 2－1)－6(x －1) ＝x(x ＋1)(x －1)－6(x －1) ＝(x －1)(x 2＋x －6) ＝(x －1)(x －2)(x ＋3)，∴由x 3－7x ＋6＝0即(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0得x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2. ∴函数y ＝x 3－7x ＋6的零点为－3,1,2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－x ＋m 的零点都在区间(0,2)内，求实数m 的范围．[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f 0>0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4m≥0m>04－2＋m>0，解得0<m≤14.所以实数m 的取值范围是(0，14]．19．(本小题满分12分)(济南一中月考，有改动)判断方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内实数根的个数．[解析] 设f(x)＝x 3－4x －2，则f(x)的图像是连续曲线，而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，若取区间[－2,0]内一点－1，得f(－1)＝1>0，取x ＝3，得f(3)＝13>0，因此函数f(x)满足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0，∴f(x)分别在[－2，－1)，(－1,0)，(0,3)内至少存在一个零点， 又∵x 3－4x －2＝0最多有3个根，∴方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内有2个实数根．20．(本小题满分12分)某公司从2009年的年产值100万元，增加到10年后2019年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)[解析] 设每年年增长率为x ， 则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5， 两边取常用对数，得 10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝lg510＝110(lg10－lg2)＝0.710.又∵lg(1＋x)＝ln1＋xln10，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝0.710×ln10＝0.710×2.30＝0.161＝16.1%.又由已知条件ln(1＋x)≈x 得x≈16.1%. 故每年的平均增长率约为16.1%.21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．[解析] 若实数a 满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．f(－1)f(3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a)(5a ＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x. 令f(x)＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1. (2)当f(3)＝0时a ＝－15，此时f(x)＝x 2－135x －65.令f(x)＝0，即x 2－135x －65＝0.解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：(1)当一顶点在BC 上时，只有在B 点时长方形BCDB 1面积最大， ∴S 1＝SBCDB 1＝5 600m 2.(2)当一顶点在EA 边上时，只有在A 点时长方形AA 1DE 的面积最大， ∴S 2＝SAA 1DE ＝6 000m 2.(3)当一顶点在AB 边上时，设该点为M ，则可构造长方形MNDP ，并补出长方形OCDE. 设MQ ＝x(0≤x≤20)，∴MP ＝PQ －MQ ＝80－x. 又OA ＝20，OB ＝30，则OA OB ＝MQ QB ，∴23＝x QB ，∴QB ＝32x ，∴MN ＝QC ＝QB ＋BC ＝32x ＋70，∴S 3＝S MNDP ＝MN·MP＝(70＋32x)·(80－x)＝－32(x －503)2＋18 0503，当x ＝503时，S 3＝18 0503.比较S 1，S 2，S 3，得S 3最大，此时MQ ＝503m ，BM ＝25 133m ，故当长方形一顶点落在AB 边上离B 点25133m 处时公寓占地面积最大，最大面积为18 0503m 2.。

综合质量评估第一～四章(120分钟150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2012·惠州高一检测）若A={x|1<x≤1},则A∪B=( )（A）{x|x>0} （B）{x|x（C）{x|0≤x（D）{x|0＜x2.下列函数是幂函数的是( )（A）y=2x2（B）y=x3+x（C）y=3x（D）y=1 2 x3.已知a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,则a,b,c的大小关系是( ) （A）a＜b＜c （B）c＜a＜b（C）a＜c＜b （D）b＜c＜a4.（2012·莆田高一检测）函数f(x)=1x-x的图像关于( )(A)y轴对称(B)直线y=-x对称(C)坐标原点对称(D)直线y=x对称5.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根可以为（精度为0.1）( )(A)1.2 (B)1.3 (C)1.43 (D)1.56.（2012·北京高一检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是( )（A）y=2x1x1--与y=x+1（B）y=x与y=log a a x(a＞0,a≠1)（C ）与y=x-1 （D ）y=lgx 与y=12lgx 27.已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，则( ) （A ）f(2x)=e 2x(x ∈R) （B ）f(2x)=ln2·lnx(x ＞0) （C ）f(2x)=2e x (x ∈R) （D ）f(2x)=ln2+lnx(x ＞0)8.如图，与函数y=a x,y=log a x,y=log (a+1)x,y=(a-1)x 2依次对应的图像是( ) (A)①②③④ (B)①③②④ (C)②③①④ (D)①④③②9.（易错题）已知ab ＞0，下面四个等式中： ①lg(ab)=lga+lgb ；②lg ab =lga-lgb ； ③12lg(a b )2=lg a b； ④lg(ab)=ab 1log 10（）其中正确命题的个数为( ) (A)0(B)1(C)2 (D)310.（2012·曲靖高一检测）设函数f(x)=x 3+bx+c 在［-1,1］上是增加的，且f(-12)·f(12)＜0,则方程f(x)在［-1,1］内( ) （A ）可能有3个实数根 （B ）可能有2个实数根 （C ）有唯一实数根（D ）没有实数根11.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) （A ）y=-3|x|（B ）y=13x（C ）y=log 3x 2 （D ）y=x-x 212.（2012·杭州高一检测）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t天后体积与天数t 的关系式为：V=a ·e -kt.若新丸经过50天后，体积变为49a ，则一个新丸体积变为827a 需经过的天数为( ) (A)125天(B)100天(C)75天(D)50天二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上） 13.计算：(1)log 23·log 32=___________;14.（2012·陕西高考）设函数f(x)=xx 0,1(),x 0,2≥⎨⎪⎩＜ 则f(f(-4))=_________.14.设g(x)=x e ,x 0lnx,x 0⎧≤⎨⎩，＞，则g(g(12))=__________.15.（2012·南安高一检测）已知函数f(x)=log a (2x-1)(a ＞0,a ≠1)的图像恒过定点P ，则P 点的坐标是________．16.（能力题）若f(a+b)=f(a)·f(b)，且f(1)=2，则()()()()()()f 2f 3f 2 012f 1f 2f 2 011++⋯+=___________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（10分）（2012·嘉峪关高一检测）设集合A={x|-5≤x ≤3},B={x|x ＜-2或x ＞4}，求A ∩B ，(A)∪(B).18.（12分）（2012·福州八县联考）若函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且 x ∈(0,+∞)时，f(x)=2x. （1）求f(x)的表达式；（2）在所给的坐标系中直接画出函数f(x)的图像.（不必列表） 19.（12分）已知函数f(x)=log 2(x-3). （1）求f(51)-f(6)的值； （2）求f(x)的定义域；（3）若f(x)≥0,求x 的取值范围.20.（12分）（能力题）已知函数f(x)=2x,g(x)=x 12+2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.21.（12分）(2011·湖北高考）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)22.（12分）（2012·晋江高一检测）已知函数f(x)=x m-4x，且f(4)=3.(1)求m的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并应用单调性的定义给予证明.答案解析1.【解析】选D.由题意A∪B={x|0＜x2.【解析】选D.结合幂函数的形式y=xα可知，D选项正确.3.【解析】选C.a=log20.3＜0,b=20.1＞1,0＜c=0.21.3＜1，所以a<c<b.4.【解析】选C.因为函数f(x)=1x-x是奇函数，故其图像关于坐标原点对称.5.【解析】选C.∵1.438-1.406 5＜0.1,结合选项可知1.43为方程的一个近似根，故选C.6.【解析】选B.∵y=2x 1x 1--与y=x+1的定义域不同，故A 不正确；∵y=x 与y=log a a x(a ＞0,a ≠1)的定义域及对应法则均相同，故B 正确； ∵与y=x-1的值域不同，故C 不正确； ∵y=lgx 与y=12lgx 2的定义域不同，故D 不正确. 7.【解析】选D.指数函数的反函数是对数函数，显然y=f(x)=lnx ，则f(2x)=ln2x=ln2+lnx ． 8.【解析】选B.结合图像知0＜a ＜1,故与函数y=a x,y=log a x,y=log (a+1)x, y=(a-1)x 2依次对应的图像是①③②④，故选B.9.【解析】选B.当a ＜0,b ＜0时，lga,lgb 无意义，故①②不正确；由于当ab=1时log （ab ）10不存在，故④不正确；结合对数的运算性质可知③正确.故选B. 【误区警示】本题在求解过程中常常忽略lg(ab)=ab 1log 10（）中ab ≠1而错选C ．10.【解析】选C.∵f(x)在［-1,1］上是单调的， 且f(-12)·f(12)＜0， ∴f(x)在［-1,1］上有唯一实数根.11.【解析】选A.是偶函数排除了B ，D ；在区间(0,+∞)上单调递减排除了C ， 故选A ．12.【解题指南】先利用“V=a ·e -kt”及“新丸经过50天后，体积变为49a ”求出e -k的值，然后借助指数幂的运算求一个新丸体积变为827a 需经过的天数. 【解析】选C.∵新丸经过50天后体积变为49a,∴由V=a ·e -kt得49=e -50k ，∴e -k=1504()9.∴由827=e -kt 得827=t504()9，∴t 3502=，∴t=75. 13.【解析】(1)log 23·log 32=lg3lg2·lg2lg3=1.π|=π-3.答案：(1)1(2)π-314.【解析】∵x=-4<0，∴f （-4）=（12）-4=16，因为x=16>0，所以f （16）答案：414.【解析】g(g(12))=g(ln 12)=1ln 2e =12.答案：1215.【解析】由题意可知，当2x-1=1，即x=1时，f(x)=0, ∴点P(1,0). 答案：(1,0)16.【解题指南】注意到分子分母间的变量相差1，故可先探索f(a+1)与f(a)·f(1)的关系. 【解析】令b=1，则f(a+1)=f(a)·f(1)=2f(a)， 即()()f a 1f a +=2.∴()()f 2f 1=2,()()f 3f 2=2，…,()()f 2 012f 2 011 =2, 则()()()()()()f 2f 3f 2 012f 1f 2f 2 011++⋯+=4 022. 答案：4 02217.【解析】∵A={x|-5≤x ≤3},B={x|x ＜-2或x ＞4｝， ∴A ∩B=［-5,-2),(A)∪(B)=(-∞,-5)∪［-2,+∞).18.【解析】（1）∵f(x)为定义在R 上的奇函数， ∴f(0)=0.当x ∈(-∞,0)时，-x ∈(0,+∞)，则f(-x)=2-x. 又f(x)为定义在R 上的奇函数， ∴f(-x)=-f(x)，则f(x)=-f(-x)=-2-x.∴f(x)=x x 2x (0,)0x 02x (,0)-⎧∈+∞⎪=⎨⎪-∈-∞⎩， ，， ，，.（2）【举一反三】已知函数f(x)=()22log x,x 1,4x 51,x (4,7∈⎧⎪⎨-+∈⎪⎩［］，］.（1）在给定的直角坐标系内画出f(x)的图像； （2）写出f(x)的单调递增区间（不需要证明）； （3）写出f(x)的最大值和最小值（不需要证明）. 【解析】(1)作图.(2)单调递增区间为［1,4］与［5,7］. (3)最大值是5；最小值是0.19.【解析】（1）f(51)-f(6)=log 2(51-3)-log 2(6-3)=log 2483=log 216=4. （2）由x-3＞0得x ＞3. (3)∵f(x)≥0，即log 2(x-3)≥0, ∴x-3＞0且x-3≥1,∴x ≥4, 即x 的取值范围是［4,+∞).【变式训练】已知函数f(x)＝a x-2(x ≥0)的图像经过点(4,19)， 其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域． 【解析】(1)函数图像过点(4,19)， 所以a 4-2=a 2=19,∴a=13. (2)由(1)知f(x)＝(13)x-2(x ≥0).由x ≥0，得x －2≥－2，∴0＜(13)x-2≤(13)-2＝9，∴函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域为(0,9］． 20.【解析】（1）g(x)=x12+2=(12)|x|+2, 因为|x|≥0,所以0＜(12)|x|≤1, 即2＜g(x)≤3,故g(x)的值域是（2，3］. （2）由f(x)-g(x)=0，得2x-x 12-2=0, 当x ≤0时，显然不满足方程， 即只有x ＞0满足2x-x12-2=0, 整理得(2x )2-2·2x -1=0,(2x-1)2=2，故2x=1当x ＞0时，2x＞1,故2x∴x=log 221.【解析】(1)由题意知当0≤x ≤20时，v(x)＝60； 当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b （a ≠0)，再由已知得200a b 020a b 60⎧⎨⎩＋＝，＋＝，解得1a .3200b 3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，＝故函数v(x)的表达式为v(x)＝600x 20.1(200x)20x 2003≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩， ，－， ＜(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x 0x 201x(200x)20x 200.3≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩， ，－， ＜当0≤x ≤20时，f(x)为增加的，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时， f(x)＝13x(200－x)=-13(x-100)2+10 0003， 所以，当x ＝100时，f(x)在区间(20,200］上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间［0,200］上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时． 22.【解析】（1）∵f(4)=3，∴4m-44=3，∴m=1. （2）因为f(x)=x-4x ，定义域为{x|x ≠0}，关于原点成对称区间，又f(-x)=-x-4x - =-(x-4x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.（3）f(x)在(0,+∞)上单调递增，证明： 设x 1＞x 2＞0，则 f(x 1)-f(x 2)=x 1-14x -(x 2-24x )=(x 1-x 2)(1+124x x ). 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1-x 2＞0，1+124x x ＞0， 所以f(x 1)＞f(x 2)，因此f(x)在(0,+∞)上为单调递增的.。

第四章 4.1.1A 级 基础巩固1．函数y ＝x 2－5x ＋6的零点是( A ) A ．2,3 B ．－2，－3 C ．1,6D ．－1，－6[解析] 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或3，所以y ＝x 2－5x ＋6的零点是2,3，故选A ． 2．函数f(x)＝x 3＋x －1的零点所在的区间是( C ) A ．(32，2)B ．(1，32)C ．(12，1)D ．(0，12)[解析] 因为f(12)·f(1)＝－38×1＝－38<0，且函数f(x)在R 上连续，所以函数f(x)＝x 3＋x －1的零点所在区间是(12，1)．3．若方程2ax 2－x －1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是( D ) A ．a<－1 B ．－1<a<1 C ．0≤a<1D ．a>1[解析] 令f(x)＝2ax 2－x －1，因为方程f(x)＝0在区间(0,1)内恰有一解，所以函数f(x)在区间(0,1)内恰有一个零点． 所以f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0. 所以a>1.故选D ．4．函数f(x)＝x 3－2x 2＋2x 的零点个数为( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ∵f(x)＝x 3－2x 2＋2x ＝x(x 2－2x ＋2)， 又x 2－2x ＋2＝0，Δ＝4－8<0，∴x 2－2x ＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B ．5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3(x≤0)－2＋x 2(x>0)的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 令f(x)＝0，则x 2＋2x －3＝0(x≤0)或x 2－2＝0(x>0)， 解得：x ＝－3或x ＝2符合题意，故选B ．6．(2019·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx ＋12x －2有零点的一个区间是( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] f(1)＝12－2＝－32<0，f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0， f(3)＝ln3＋32－2＝ln3－12>0.∴f(2)·f(3)<0，故选C ．7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f(x)＝c(c ∈R)有两个实根m ，m ＋6，则实数c 的值为9.[解析] 由函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)知方程x 2＋ax ＋b ＝0有两相等实根，从而Δ＝a 2－4b ＝0，①，方程f(x)＝c 可化为x 2＋ax ＋b －c ＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－am (m －6)＝b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2m －6b ＝m 2－6m ＋c，代入①，得(－2m －6)2－4(m 2－6m ＋c)＝0， 整理，得c ＝9.8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x≤0)2 (x>0)，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是3.[解析] 由已知⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝24－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 (x≤0)2 (x>0)，作图像如图所示．由图像可知f(x)＝x 的解的个数为3.9．若函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点． [解析] 由已知方程得x 2－ax －b ＝0的两根为2和3.∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a 2×3＝－b，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g(x)＝－6x 2－5x －1.令－6x 2－5x －1＝0得6x 2＋5x ＋1＝0， ∴x ＝－12或x ＝－13.∴函数g(x)＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.10．已知二次函数f(x)＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5. (1)当函数f(x)有两个不同零点时，求k 的取值范围； (2)若－1和－3是函数的两个零点，求k 的值．[解析] (1)令f(x)＝0，得x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0. 由Δ＝(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)＝－3k 2－16k －16>0， 知3k 2＋16k ＋16<0，即(3k ＋4)(k ＋4)<0，∴－4<k<－43.∴当函数有两个不同零点时，k 的取值范围为(－4，－43)．(2)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2(－1)×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解之得k ＝－2.B 级 素养提升1．已知函数f(x)＝6x－log 2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析] 因为f(1)＝6－log 21＝6>0，f(2)＝3－log 22＝2>0，f(4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C ．2．若函数f(x)＝a x－x －a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a 的范围是( A ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)∪(1,2)[解析] 令y 1＝a x ，y 2＝x ＋a ，则f(x)＝a x－x －a 有两个零点，即函数y 1＝a x与y 2＝x ＋a 有两个交点． (1)当a>1时，y 1＝a x过(0,1)点，而y 2＝x ＋a 过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．(2)当0<a<1时，(0，a)点在(0,1)点下方，由图像知只有一个交点．∴a 的取值范围为a>1.3．关于x 的方程mx 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根，则m 的范围为m≤1. [解析] ①m ＝0时，x ＝－12适合题意．②m≠0时，应有m<0或⎩⎪⎨⎪⎧m>0－22m <0，Δ≥0解得m<0或0<m≤1.综合①②可得，m≤1.4．方程lgx ＋x ＝0的实数解的存在区间为(110，1).[解析] 令f(x)＝lgx ＋x ，则f(110)＝lg 110＋110＝－910<0，f(1)＝lg1＋1＝1>0.∴f(110)f(1)<0.而f(x)＝lgx ＋x 在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)仅有一个零点，且在(110，1)内．5．设函数f(x)＝ax ＋2a ＋1(a≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围． [解析] 因为函数f(x)在[－1,1]上存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0f (1)≥0.即f(－1)·f(1)≤0.所以(－a ＋2a ＋1)·(a＋2a ＋1)≤0， 即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.解得－1≤a≤－13.6．讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由． [解析] 令f(x)＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x －15在[1,2]上都为增函数． ∴f(x)＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f(x)＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解．C 级 能力拔高求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点． [解析] (1)当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2； (2)当a≠0时，令y ＝0得x ＝1a 或x ＝－2.①当a ＝－12时，函数的零点为－2；②当a≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：当a ＝0或－12时，零点为－2；当a≠0且a≠－12时，零点为1a ，－2.第四章 4.1.2A级基础巩固1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上( B )A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点[解析]∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故选B．2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是不间断的，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在该区间上( D ) A．只有一个零点B．有二个零点C．不一定有零点D．至少有一个零点[解析]若y＝f(x)在[a，b]上单调，f(a)·f(b)<0说明只有一个零点且为变号零点．若不单调，零点个数有可能多于一个．故选D．3．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上( C )A．有3个零点B．有2个零点C．有1个零点D．没有零点[解析]∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一个零点．4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( C )[解析]A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C．5．已知连续函数y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a<b)，则y＝f(x)( B )A．在区间[a，b]中可能没有零点B．在区间[a，b]中至少有一个零点C．在区间[a，b]中零点的个数为奇数D．在区间[a，b]中零点的个数为偶数[解析] 因为f(a)·f(b)<0，所以由函数零点的性质判断，得f(x)在区间[a ，b]中至少存在一个零点．6．设f(x)＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0，在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( A )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0， ∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A ．7. 若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是(－∞，－18).[解析] 当m ＝0时，函数有零点，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m≠0Δ＝1＋8m<0，解得m<－18.8．已知函数f(2x)＝3x 2＋1，则f(x ＋5)有0个零点． [解析] ∵f(2x)＝3x 2＋1，∴f(x)＝3x24＋1，∴y ＝f(x ＋5)＝3x ＋524＋1，令y ＝0，方程无解． 即f(x ＋5)无零点．9．求证：方程5x 2－7x －1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上． [解析] 设f(x)＝5x 2－7x －1， 则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0， f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0. 而二次函数f(x)＝5x 2－7x －1是连续的， ∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x 2－7x －1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上． 10．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图像． [解析] ∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2,2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x 的一些值(包括零点)．列出这个函数的对应值表： x … －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1 2 2.5 … y…－5.62531.875－1.875－35.625…B级素养提升1．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.7)的一个根所在的区间是( C )x －1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.09x＋2 1 2 3 4 5A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[解析]判断e x－(x＋2)＝0的一个根所在的区间转化为f(x)＝e x－(x＋2)零点的位置，∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝7.39－4>0.∴零点在(1,2)内．2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( C )A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点[解析]如图，若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)如图(1)或图(2)所示，可知A错，若如图(3)所示，可知B错、D错，C对．3．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的对应值表：x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 则下列判断正确的是(1)(2)(3).(1)函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点；(2)函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点；(3)函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点；(4)函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．[解析]观察对应值表，不难得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)，(2,3)，(5,6)内至少各有一个零点．而(－1,7)内至少有三个零点．故应填(1)(2)(3)．4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a x ＜14x －ax －2a x≥1.①若a ＝1，则f(x)的最小值为－1；②若f(x)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是12≤a<1或a≥2.[解析] ①a ＝1时f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1x<14x －1x －2x≥1.函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞为增函数，当x＝32时，f(x)取得最小值为－1. ②若函数f(x)＝2x－a 在x<1时与x 轴有一个交点，则a>0，并且当x ＝1时，f(1)＝2－a>0，则0<a<2，函数f(x)＝4(x －a)(x －2a)与x 轴有一个交点，所以2a≥1且a<1⇒12≤a<1；若函数f(x)＝2x－a 与x 轴无交点，则函数f(x)＝4(x －a)(x －2a)与x 轴两个交点，当a≤0时f(x)与x 轴无交点，f(x)＝4(x －a)(x －2a)在x≥1与x 轴无交点，不合题意；当f(1)＝2－a≥0时，a≥2，f(x)与x 轴有两个交点，x ＝a 和x ＝2a ，由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1；综上所述a 的取值范围12≤a<1或a≥2.5．图像连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x)148－2273－2－18试判断函数[解析] ∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函数f(x)图像又是连续不间断的， ∴一定存在x 0∈(2,3)，使f(x 0)＝0， 即f(x)在(2,3)内有零点．同理，f(x)在区间(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零点，而且是变号零点．6．中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？[解析] 取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．C级能力拔高求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)．[解析]由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：为1.3.第四章 4.2A 级 基础巩固1．一段导线，在0℃时的电阻为2Ω，温度每增加1℃，电阻增加0.008Ω，那么电阻R(Ω)表示为温度t(℃)的函数关系式为( B )A ．R ＝0.008tB ．R ＝2＋0.008tC ．R ＝2.008tD ．R ＝2t ＋0.008[解析] 由题意知电阻R 与温度t 构成一次函数关系，故选B ．2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A ) A ．3 B ．4 C ．6D ．12[解析] 设隔墙的长为x ，则矩形的长为24－4x 2.由24－4x 2＝12－2x>0，得0<x<6.设矩形面积为y ，则y ＝x·24－4x2＝2x(6－x)，0<x<6. 由y ＝2x(6－x)＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，知当x ＝3时，y 最大且y max ＝18.3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m ，则从2018年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( A )A ．y ＝0.95x50 ·m B ．y ＝(1－0.05x50 )·m C ．y ＝0.9550－x·mD ．y ＝(1－0.0550－x)·m[解析] 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.95，∴q%＝0.95150 ， 即x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y ＝0.95x50 ·m.4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( C ) A ．14 400亩 B ．172 800亩 C ．17 280亩D ．20 736亩[解析] 因为年增长率为20%，所以第四年造林为10 000×(1＋20%)3＝17 280(亩)，故选C ．5．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：A ．y ＝log 2(x ＋1)B ．y ＝2x－1 C ．y ＝2x －1D ．y ＝(x －1)2＋1[解析] 代入数值检验，把x ＝2代入可排除A 、B 、C ，把x ＝1,2,3 代入D 选项，符合题意． 6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( B )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年[解析] 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg2－lg1.3lg1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年，选B ．7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密函数为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是4.[解析] 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6， 故6＝a 3－2，解得a ＝2， 所以加密函数为y ＝2x－2， 因此当y ＝14时，由14＝2x－2， 解得x ＝4.8．已知气压p(hPa)与海拔高度h(m)的关系式为p ＝1 000×(7100)h3000 ，则海拔6 000m 处的气压为4.9hPa.[解析] 把h ＝6 000代入p ＝1 000(7100)h 3000 ，得p ＝4.9.9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)[解析] (1)当0<x≤100时，P ＝60；当100<x≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x50.所以P ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60(0<x≤100)62－x50(100<x≤500)(x ∈N ＋)．(2)设销售商一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元， 则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x (0<x≤100)22x －x250(100<x≤500)(x ∈N ＋)．当x ＝450时，L ＝5 850，因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)[解析] 解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.依题意，得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝1282 187>120，⎝ ⎛⎭⎪⎫238＝2566 561<120，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 解法2：接解法1：(23)n ≤120，则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)， 即n≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋，∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．B 级 素养提升1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m 2)与时间t(月)的关系：y ＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2； ③浮萍从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m 2、4m 2、8m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3. 其中正确的是( D ) A ．①② B ．①②③④ C ．②③④⑤D ．①②⑤[解析] 设此指数函数为y ＝a x(a>0且a≠1)， 由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得： a ＝2，∴y ＝2x，故①正确． 当x ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确．当y ＝4时，x ＝2，当y ＝12时，x ＝log 212>log 2272 ，从而可知浮萍从4m 2蔓延到12m 2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．把y ＝2,4,8代入y ＝2t分别得t 1＝1，t 2＝2，t 3＝3，故⑤正确．因此选D ． 2．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h ，在22℃的保鲜时间是48h ，则该食品在33℃的保鲜时间是( C )A ．16hB ．20hC ．24hD ．21h[解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧192＝eb48＝e22k ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b12＝e 11k.于是当x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝(12)3×192＝24(h)．3．日本东京为成功举办2020年奥运会，决定从2016年底到2019年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2017年底已更新现有总车辆数的百分比约为30.2%(保留3位有效数字)．[解析] 设现有车辆总数为a,2017年底更新了现有总车辆数的百分比为x ，则a·x＋a·x(1＋10%)＋ax(1＋10%)2＝a.∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.∴x≈30.2%.4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．[解析] 由图像可知，当0≤t<0.1时，y ＝10t ；当t ＝0.1时，由1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，得a ＝0.1，∴当t ＞0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t-110 .5．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围； (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．[解析] 由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p%(万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧80×(80－10p )×p%≥96，0<p<8，解得2≤p≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p≤6. (2)当0<p<8时，f(p)＝80×(80－10p)×p% ＝－8(p －4)2＋128. ∴当p ＝4时，f(p)max ＝128.即当p ＝4时，开发金额最多，可达到128万元．6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解析] 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，则窗框总长l ＝πx2＋x ＋2y ，y ＝2l －(2＋π)x 4，由y>0，得x ∈(0，2l π＋2)．S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋2l －(2＋π)x4·x＝－4＋π8(x －2l 4＋π)2＋l 22(4＋π)，x ∈(0，2l π＋2)．当x ＝2l 4＋π时，S max ＝l 22(4＋π)，此时，y ＝l 4＋π＝x 2.答：窗户中的矩形高为l 4＋π，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．C 级 能力拔高某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y ＝a·b x＋c(其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．[解析] 设两个函数y 1＝f(x)＝px 2＋qx ＋r(p≠0)；y 2＝g(x)＝a·b x＋c.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05q ＝0.35r ＝0.7.∴y 1＝f(x)＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f(4)＝1.3(万件)，依题意，也有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1g (2)＝ab 2＋c ＝1.2g (3)＝ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8b ＝0.5c ＝1.4.∴y 2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4， g(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．经比较可知，g(4)＝1.35(万件)，比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选用y 2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．。

综合测试题(二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2016·四川理，1）设集合A ＝｛x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知集合A ＝{x |0<log 4x 〈1｝，B ＝{x ｜x ≤2}，则A ∩B ＝( ） A ．(0，1） B ．(0，2］ C ．（1,2）D ．（1，2］3．(2015·广东高考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ) A ．y ＝x ＋e x B ．y ＝x ＋错误! C ．y ＝2x ＋错误!D ．y ＝错误!4．设f (x ）＝错误!,则f [f (错误!）］＝( ) A 。

12B.错误! C ．－错误!D 。

错误!5．log 43、log 34、错误!错误!的大小顺序是( ) A ．log 34<log 43〈错误!错误! B ．log 34〉log 43〉错误!错误! C ．log 34〉错误!错误!>log 43D．错误!错误!>log34〉log436．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0）在闭区间［2，3］上有最大值5，最小值2，则a,b 的值为(）A．a＝1,b＝0B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3C．a＝－1,b＝3D．以上答案均不正确7．函数f(x）＝a x＋log a(x＋1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（）A.错误!B.错误!C．2 D．48．（2015·安徽高考)函数f（x）＝错误!的图像如图所示，则下列结论成立的是（)A．a>0,b〉0，c<0B．a〈0,b〉0，c>0C．a〈0，b〉0，c〈0D．a〈0，b<0,c〈09．(2016·山东理，9）已知函数f（x)的定义域为R.当x＜0时，f(x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f（－x)＝－f（x）;当x＞错误!时，f(x＋错误!)＝f（x－错误!）．则f(6)＝（）A．－2 B．－1C．0 D．210．函数f(x)＝（x－1）ln|x｜－1的零点的个数为（）A．0 B．1C．2 D．311．设0〈a〈1,函数f(x）＝log a（a2x－2a x－2），则使f(x)〈0的x的取值范围是(）A．(－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，log a3) D．(log a3，＋∞）12．有浓度为90％的溶液100g,从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0。

高中数学必修1—4综合训练题一、选择题(每题5分)1、 设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x ≤1},则S ∩T=（ ）A ．[-4,+∞)B ．(-2, +∞)C ．[-4,1]D ．(-2,1]2、 已知51sin()25πα+=,那么cos α=A ．25- B ．15-C．15D ．253、已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 ( A )！4、角α终边上有一点P (,)(,0)a a a R a ∈≠且，则cos α的值是（ ）A 、22B 、22- C 、22±D 、1 5、已知a 、b 是异面直线。

c 、d 是和a 、b 都相交的直线，则这四条直线可构成的平面数有（ ）A 、3B 、4C 、3或4D 、无法确定6、设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则M 与N 的关系是（） A 、M=N B 、MN ⊂ C 、M N ⊃ D 、M N =∅7、已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．128、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面4个命题：①//l m αβ⇒⊥，②//l m αβ⊥⇒，③//l m αβ⇒⊥，④//l m αβ⊥⇒其中正确的是（ ）A 、①与②B 、③与④C 、②与④D 、①与③9、函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( )A ．1-B． CD ．0—10、对于任意实数k ，圆C:2268120xy x y +--+=与直线:410l kx y k --+=的位置关系是（ ）A 、相交B 、相切C 、相离D 、不能确定 11、已知f(x)是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数。

第四章综合测试一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.若3log 14a ，则实数a 的取值范围是（ ）A .304æöç÷èø，B .34æö+¥ç÷èøC .314æöç÷èø，D .()3014æö+¥ç÷èøU ，，2.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A .a b c＜＜B .a c b＜＜C .c a b＜＜D .b c a＜＜3.设227a =，则3log 2等于（ ）A .3aB .3a C .13aD .3a4.已知a ，b ，c 均大于1，且1log log 4c c a b =g ，则下列不等式一定成立的是（ ）A .ac b≥B .bc a≥C .ab c≥D .ab c≤5.已知5log 2x =，2log y =123z -=，则下列关系正确的是（ ）A .x z y＜＜B .x y z＜＜C .z x y＜＜D .z y x＜＜6.“{}12m Î，”是“ln 1m ＜”成立的（ ）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件7.已知函数()()log 2a f x x =+，若图象过点()63，，则()2f 的值为（ ）A .2-B .2C .12D .12-8.已知2510a b ==，则11a b+=（ ）A .1B .2C .12D .159.已知函数()ln xf x x=，若()2a f =，()3b f =，()5c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A .b c a＜＜B .b a c＜＜C .a c b＜＜D .c a b＜＜10.如果函数()f x 的图象与函数()x g x e =的图象关于直线y x =对称，则()24f x x -的单调递增区间为（ ）A .()0+¥，B .()2+¥，C .()02，D .()24，二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.已知函数()()()log 401a f x ax a a =-¹＞，且在[]01，上是减函数，则a 取值范围是________.12.不等式()2log 1020x -≥的解集为________.13.已知函数()()2log 13f x x =++，若()25f a +=，则a =________.14.已知()12log 11x +≥，则实数x 的取值范围是________.15.若()lg lg 2lg 2x y x y +=-，则xy=________.16.已知函数()()()log 201a f x x a a =-¹＞，恒过定点M 的坐标为________；若2a =则()34f =________.三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.（1）()()3122log 22641log ln 349e p -+æö+-+++ç÷èø；（2）若lg 2a =，lg3b =，求5log 12的值（结果用a ，b 表示）18.（1()1132081274e p -æöæö--++ç÷ç÷èøèø；（2（3）已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ==，1110x y z++=，求abc 的值.19.函数()()2log 21x f x =-.（1）解不等式()1f x ＜；（2）若方程()()4log 4x f x m =-有实数解，求实数m 的取值范围.20.已知函数()()()()log 2log 201a a f x x x a a =+--¹＞，且.（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）解关于x 的不等式()()log 3a f x x ≥.21.设函数()13lg 1x xf x x-=++.（1）试判断函数()()()2f x f xg x +-=和函数()()()2f x f x h x --=在定义域内的奇偶性；（2）令()()3x x f x j =-，求不等式()()2x x j j --＜的解集.第四章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：3log 14a 等价于：3log log 4a a a ＞，可得134a a ìïíïî＞＞（无解）或034a a ìïíïî＜＜1＞，解得314a æöÎç÷èø.故选：C.2.【答案】B【解析】解：22log 0.2log 10a ==＜，0.20221b ==＞，0.3000.20.21=∵＜＜，()0.30.201c =Î∴，，a c b ∴＜＜，故选B.3.【答案】D【解析】因为227a =，所以2233log 273log 3log 2a ===，则33log 2a=.4.【答案】C【解析】a ∵，b ，c 均大于1，且1log log 4c c a b =g ，log c a ∴、log c b 大于零，则2log log log log 2c c c c a b a b +æöç÷èøg ≤，即2log log 142c c a b +æöç÷èø≤，()log 1c ab ∴≥或()log 1c ab -≤，当且仅当log log c c a b =，即a b =时取等号，a ∵，b ，c 均大于1，则log 1c ab ≥，解得ab c ≥，故答案选C.5.【答案】A【解析】解：551log 2log 2x ==＜，2log 1y =，121312z -æö==ç÷èø，.x z y ∴＜＜.故选：A.6.【答案】A【解析】解：对数函数的性质知ln10=，ln 2ln 1e =＜，从而知{}12m Î，是ln 1m ＜的充分条件，反过来由ln 0m ＜得到0m e ＜＜，m ∴并不是只能为1，2，“{}12m Î，”是“ln 1m ＜”成立的充分不必要条件，故选A.7.【答案】B【解析】解：将点()63，代入()()log 2a f x x =+中，得()3log 62log 8a a =+=，即38a =，2a =，所以()()2log 2f x x =+，所以()()22log 222f =+=.故选B.8.【答案】A【解析】解：2510a b ==∵，2log 10a =∴，5log 10b =，101010251111log 2log 5log 101log 10log 10a b +=+=+==∴，故选A.9.【答案】D【解析】解：由已知ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a b ---=-==＜，所以a b ＜，ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010a c ---=-==＞，所以a c ＞，c a b ∴＜＜.故选D.10.【答案】C【解析】解：由题意可得函数()f x 与()x g x e =的互为反函数，故()ln f x x =，()()224ln 4f x x x x -=-，令240t x x =-＞，解得04x ＜＜.故()24f x x -的定义域为()04，，本题即求函数()24f x x -在()04，上的增区间.再利用二次函数的性质可得函数()24f x x -在()04，上的增区间为()02，，故选：C.二、11.【答案】()14，【解析】解：因为0a ＞，所以4t ax =-是减函数，又因为函数()()()log 401a f x ax a a =-¹＞，且在[]01，上是减函数，所以log a y t =是增函数，所以得1410a a ìí-´î＞＞，解得14a ＜＜，a 取值范围是()14，.故答案为()14，.12.【答案】92æù-¥çúèû，【解析】解：不等式()2log 1020x -≥可化为()22log 102log 1x -≥，即1021x -≥，解得92x ≤；所以函数()f x 的解集为92æù-¥çúèû，.故答案为：92æù-¥çúèû，.13.【答案】1【解析】解：由题意可得()()22log 335f a a +=++=，故()2log 32a +=，解得1a =.故答案为1.14.【答案】[)1112æù--+¥çúèûU ，，【解析】解：()12log 11x +≥，()12log 11x +∴≥或()12log 11x +-≤，解得1012x +＜≤或12x +≥，即112x --＜≤或1x ≥；∴实数x 的取值范围是[)1112æù--+¥çúèûU ，，.故答案为：[)1112æù--+¥çúèûU ，，.15.【答案】4【解析】因为()lg lg 2lg 2x y x y +=-，所以()22xy x y =-，即22540x xy y -+=，解得x y =或4x y =.由已知得0x ＞，0y ＞，20x y -＞，所以x y =不符合题意，当4x y =时，得4xy=.故答案为4.16.【答案】()30，5【解析】解：令()()log 20a f x x =-=，解得3x =，所以点()30M ，，当2a =时，()52234log 32log 25f ===.故答案为()30，；5.三、17.【答案】（1）解：()()3122log 22641log ln 349e p -+æö+-+++ç÷èø12281109278æö´-ç÷èøæö=++++´ç÷èø711182088=+++=；（2）lg 2a =∵，lg3b =，5lg122lg 2lg32log 12lg51lg 21a ba++===--∴.18.【答案】（1）解：原式1312325252121223333´æö-´-ç÷èøæö=--+=--+=ç÷èø；（2）原式()28125lg lg1025411lg10lg1022´´===-´--；（3）a ∵，b ，c 为正实数，0x y z a b c k ===＞，1k ¹.lg lg k x a =∴，lgk lg y b =，lg lg k z c=，1110x y z ++=∵，()lg lg lg lg 0lg lg abc a b c k k ++==∴，1abc =∴.19.【答案】（1）解：()1f x ＜即()2log 211x -＜，0212x -∴＜＜，123x ∴＜＜，20log 3x ∴＜＜，故不等式()1f x ＜的解集为{}20log 3x x ＜＜；（2）()()24log 21log 4x x m -=-∵有实数解， 210x -∵＞，0x ∴＞，且40x m -＞，()2214x x m -=-∴，在0x ＞上有解，即22241x x m =-++g g 在0x ＞上有解，设()21x t t =＞即2221m t t =-+在1t ＞上有解，当1t ＞时，22112212122m t t t æö=-+=-+ç÷èø，故实数m 的取值范围：1m ＞.20.【答案】（1）解：要是函数有意义，则2020x x +ìí-î＞＞，解得22x -＜＜，故函数()f x 的定义域为()22-，；（2）()()()()()()log 2log 2log 2log 2a a a a f x x x x x f x -=--+=-é+--ù=-ëû，所以函数()f x 为奇函数；（3）()()()2log 2log 2log 2a a axf x x x x+=+--=-∵，()()log 3a f x x ≥.()2log log 32aa xx x+-∴≥，02x ＜＜.当01a ＜＜时，232x x x +-0＜，解得213x ≤；当1a ＞时，2302x x x +-＞，解得12x ≤＜或203x ＜≤.21.【答案】（1）解：()g x 和()h x 的定义域都是()11-，，且()()()3322x xf x f xg x -+-+==，()()()331lg 221x x f x f x xh x x-----==++，所以对任意()11x Î-，有，()()332x xg x g x -+-==，()()331331lg lg 2121x x x x x xh x h x x x---+---=+=--=--+，故函数()g x 在()11-，内是偶函数，函数()h x 在()11-，内是奇函数；（2）因为()()13lg1x xx f x x j -=-=+，所以()()2x x j j --＜就是11lg lg 211x xx x-+-+-＜，即1lg 11x x -+＜，10101x x -+＜＜，解得9111x -＜＜.故此不等式的解集是9111æö-ç÷èø.。

第四章 对数运算与对数函数§2 对数的运算2.2 换底公式知识点 对数的换底公式1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。

A.14 B.12C.2D.4 答案：D解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。

故选D 。

2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27的值是( )。

A.2B.32C.1D.23答案：D 解析：log 849log 27=log 272log 223÷log 27=23。

故选D 。

3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。

A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B解析：因为log 2x ·log 34·log 59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。

故选B 。

4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212+log 223+log 234+…+log 21516等于( )。

A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D解析：原式=log 2(12×23×34×…×1516)=log 2116=-4。

故选D 。

5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。

A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D解析：原式可化为log 8m =2log 34,所以13log 2m =2log 43,所以m 13=3,m =27。