下载文档原格式
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识能否忆起]一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．(2011·高考)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案：D2．(教材习题改编)下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，x0＋1x0＝2 B．∃x0∈R，sin x0＝－1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案：C3．(2012·高考)命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是( )A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q解析：选D 其否定为∀x∈∁R Q，x3∉Q.4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________.答案：所有的三角形都不是等边三角形5．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值围为________．解析：∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0为假命题，则∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤2 2.答案：[－22，2 2 ]1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．含有逻辑联结词命题的真假判定典题导入[例1] (2012·质检)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答] 命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．[答案] D由题悟法1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．以题试法1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是( )A．①③B．②④C．②③D．①④(2)(2012·盟校联考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x ＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值围是( )A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4] D．(－∞，1]解析：(1)选A “非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．(2)选C “p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0,1]，a≥e x，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.全称命题与特称命题的真假判断典题导入[例2] 下列命题中的假命题是( ) A ．∀a ，b ∈R ，a n ＝an ＋b ，有{a n }是等差数列 B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0 C ．∀x ∈R,3x≠0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0[自主解答] 对于A ，a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)＋b －(an ＋b )＝a 常数．A 正确；对于B ，∀x ∈(－∞，0)，2x >3x ，B 不正确；对于C ，易知3x≠0，因此C 正确；对于D ，注意到lg 1＝0，因此D 正确．[答案] B由题悟法1．全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．以题试法2．(2012·十二校联考)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0＝35B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0>1C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析：选C 由sin x cos x ＝35，得sin 2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，所以C 正确．全称命题与特称命题的否定典题导入[例3] (2013·适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )A．所有能被2整除的整数都是奇数B．所有不能被2整除的整数都不是奇数C．存在一个能被2整除的整数是奇数D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数[自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.[答案] D若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．答案：所有能被2整除的整数都不是奇数由题悟法1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．3．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假相反．4．常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假以题试法3．(2012·高考)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：选C 命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f( x1))(x2－x1)<0”．1．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( ) A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2B ．∃a <0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2C ．∀a >0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D 全称命题含有量词“∀”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，故选D.2．(2012·高考)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 命题p ，q 均为假命题，故p ∧q 为假命题．3．(2013·模拟)已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以綈p 为假命题，綈q 为真命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题．4．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )`都是偶函数 D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A 由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．5．(2012·高考)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析：选D 因为∀x ∈R ，e x＞0，故排除A ；取x ＝2，则22＝22，故排除B ；a ＋b ＝0，取a ＝b ＝0，则不能推出a b＝－1，故排除C.6．(2012·质检)已知命题p 1：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0；p 2：∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(綈p 1)∧(綈p 2)B ．p 1∨(綈p 2)C ．(綈p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C ∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 2＋x ＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1，∴∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题．7．(2012·“江南十校”联考)下列说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 0＋1x 0>2，则綈p ：∀x ∈R ，均有x ＋1x≤2B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析：选D 显然选项A 正确；对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确；对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确；对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故选项D 错误．8．(2013·模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析：选A 若命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0真，则a ≤1.若命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0真，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a ≥1或a ≤－2，又p 且q 为真命题所以a ＝1或a ≤－2.9．命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋5＝0”的否定是________． 答案：对任何x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠010．已知命题p ：“∀x ∈N *，x >1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．解析：q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真．答案：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真11．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值围为________．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)12．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． 解析：由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1. ∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12.答案：1213．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的是________．解析：因为命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是真命题，命题“(綈p )∨q ”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．答案：②④ 14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③1．下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，ln(x 20＋1)<0，则綈p ：∀x ∈R ，ln(x 2＋1)≥0 D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件解析：选D sin θ＝12是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.2．(2012·“江南十校”联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题．3．已知命题p ：“∃x 0∈R,4x 0－2x 0＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值围是________．解析：若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案：(－∞，1] 4．下列四个命题：①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2；②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2；③对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x≥2；④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝ 2.其中正确命题的序号为________．解析：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]；故①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2错误； ④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2正确； ∵sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2错误；③对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x ≥2正确．答案：③④5．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，数x 的取值围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，数a 的取值围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}， 因为綈p 是綈q 的充分不必要条件， 所以A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值围是(1,2]．6．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a >2或a <－2.即a 的取值围为{ a |}a >2，或a <－2.1．(2012·模拟)有下列四个命题：p 1：若a ·b ＝0，则一定有a ⊥b ；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝a 1－2x ＋1都恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2； p 4：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ≥0.其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 3C ．p 1，p 3D ．p 2，p 4 解析：选A 对于p 1：∵a ·b ＝0⇔a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，当a ＝0，则a 方向任意，a ，b 不一定垂直，故p 1假，否定B 、D ，又p 3显然为真，否定C.2．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”“綈q ”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．答案：綈p ，綈q3．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值围．解：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根x 1，x 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0，m >0. 解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0.解得1<m <3，即q ：1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.∴m 的取值围是(1,2]∪[3，＋∞)．。
《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》教材解读一．要点解读1．理解基本逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，并能加以判断三种复合命题的真假情况。
2．全称量词与存在量词也是刻画命题的常用逻辑用语。
全称命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，命题中常含有“所有的、对一切、每一个、任意”等全称量词；存在性命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题，命题中常含有“至少存在一个、某些、对某个、有一个”等存在量词。
二．学法指导1．判断复合命题真假的简单程序：（1）确定复合命题的构成形式；（2）判断其中简单命题的真假；（3）根据其真值表判断复合命题的真假。
2．判定全称命题的真假的方法：（1）定义法：对给定的集合的每一个元素x ，)(x p 都为真；（2）代入法：在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假，则全称命题为假。
3．判定存在性命题的真假的方法——代入法：在给定的集合中找到一个元素x ，使命题)(x p 为真，否则命题为假。
4．“若A 则B ”型命题的否定：“若A 则非B ”。
全称命题的否定是存在性命题。
存在性命题的否定是全称命题。
注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断。
三．典例剖析1．复合命题的真假判断问题例1．以下判断中正确的是（ ）A ．命题⌝p p b a >122->b a p p ⌝p p p p b a >122->b a b a >122-≤b a b a ≤122-≤b a ⌝p p ⌝p p p p p 212--x x ，那么对命题的补集。
解析：由：|3－4|＞2，得：＜32或＞2，所以﹁：32≤≤2， 即﹁：{|32≤≤2}； 由q ：212--x x ＞0，得q ：＜－1或＞2，所以﹁q ：－1≤≤2， 即﹁q ：{|－1≤≤2}。
点评：含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题：M x ∈∀，)(x p ，它的否定﹁：M x ∈∃，﹁)(x p ，即全称命题的否定是存在命题；含有一个量词的存在命题的否定，有下面的结论：存在命题：M x ∈∃，)(x p ，它的否定﹁：M x ∈∀，﹁)(x p ，即存在命题的否定是全称命题。
2018高考数学考点突破--简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（附解析）简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若ab ＝0，bc＝0，则ac＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∧(綈q)答案]A解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然ab＝0，bc＝0，但ac＝1≠0，∴p是假命题．a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．又∵綈p为真命题，綈q为假命题，∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题．【类题通法】1.“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．【对点训练】1.命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p∨qB．p∧qC．qD．綈p答案]B解析]取x＝π3，y＝5π6，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确．故綈p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．考点二、全称命题、特称命题【例2】(1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1(2)不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3答案](1)A(2)C解析](1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x－1，故选A.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由x＋y＝1，x－2y＝4，得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k＝－12－1，观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0y＝－x2＋u2，u2表示纵截距．结合题意知p1，p2正确．【类题通法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题.【对点训练】2．(1)命题“∀x∈0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈0，＋∞)，x30＋x00D．∃x0∈0，＋∞)，x30＋x0≥0(2)下列命题中为假命题的是()A．∀x∈0，π2，x＞sinxB．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2C．∀x∈R,3x＞0D．∃x0∈R，lgx0＝0答案](1)C(2)B解析](1)全称命题：∀x∈0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈0，＋∞)，x30＋x00. (2)对于A，令f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx，当x∈0，π2时，f′(x)＞0.从而f(x)在0，π2上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即x＞sinx，故A正确；对于B，由sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2＜2知，不存在x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝2，故B错误；对于C，易知3x＞0，故C正确；对于D，由lg1＝0知，D正确．考点三、由命题的真假求参数的取值范围【例3】(1)已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－1)B．(－1,3)C．(－3，＋∞)D．(－3,1)(2)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2答案](1)B(2)A解析](1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×12＜0，则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3.(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此，由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.【类题通法】1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．2．全称命题可转化为恒成立问题．【对点训练】3．若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.答案]1解析]∵0≤x≤π4，∴0≤tanx≤1，由“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，得m≥1.故实数m的最小值为1.。
考点简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；p∨q有真为真，同假则假；p与¬p必定是一真一假．3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．4. 含有一个量词的命题的否定典例剖析题型一 含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是_________________________． 答案 任意一个无理数，它的平方不是有理数解析 根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．变式训练 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则Øp 是________．答案 存在x ∈A,2x ∉B解析 命题p ：任意x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定Øp 应为：存在x ∈A,2x ∉B . 解题要点 ①要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”；②在写出全称命题（或存在性命题）的否定时，一般要在两个地方做出变化：一是量词符号，全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词；二是命题中结论要进行否定． ③弄清命题的否定与否命题的区别“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.题型二 复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是________．①存在x ∈R ，sin x ＝52②存在x ∈R ，log 2x ＝1 ③任意x ∈R ，(12)x >0 ④任意x ∈R ，x 2≥0 答案 ①解析 因为任意x ∈R ，sin x ≤1<52，所以①是假命题；对于②，存在x ＝2，log 2x ＝1；对于③，根据指数函数图象可知，任意x ∈R ，(12)x >0；对于④，根据二次函数图象可知，任意x ∈R ，x 2≥0.变式训练 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②Øp∧Øq③Øp∧q④p∧Øq答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、Øp为假命题，Øq为真命题，Øp∧Øq、Øp∧q为假命题，p∧Øq为真命题，故选④.解题要点若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据“或”——有真则真，“且”——有假则假，“非”——真假相反，作出判断即可．题型三由命题真假求参数范围例3命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案[－22，22]解析由题可知原命题的否定“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤2 2.变式训练已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax ＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案{a|a≤－2或a＝1}解析由题意知，p为真，则a≤1；q为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数解，从而Δ≥0，解得a≤－2或a≥1，∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1.解题要点以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先求出两命题分别为真时参数满足的条件，然后依据“p且q”“p或q”“￢p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解．当堂练习x≥”的否定为．1. 命题“对任意x∈R,都有20x<答案对任意x∈R,使得202．若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有．(填序号)①p真q真②p真q假③p假q假④p假q真答案③解析∵“p或q”为假命题，∴p，q均为假命题.3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是．(填序号)①￢p或q②p且q③￢p且￢q④￢p或￢q答案④解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而￢p或￢q为真命题.4．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断正确的是．(填序号)①“p或q”为假，“非q”为假②“p或q”为真，“非q”为假②“p且q”为假，“非p”为假④“p且q”为真，“p或q”为假答案②解析∵p为假命题，q为真命题，∴p或q真，非q假.5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是．答案②③解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而￢p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而￢q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(￢q)为真命题；④(￢p)∨q为假命题．课后作业1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是_______．(填序号)①不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 ②存在x∈R，x3－x2＋1≤0③存在x∈R，x3－x2＋1>0 ④对任意的x∈R，x3－x2＋1>0答案③2．下列命题中正确的是_______．(填序号)①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件③命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”④已知命题p：$x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥0答案②解析若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故①错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故②正确；选项③错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故④错．3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是_______．(填序号)①p∧q②￢p∧￢q③￢p∧q④p∧￢q答案④解析依题意，命题p是真命题．由x＞2⇒x＞1，而x＞1x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则￢q是真命题，p∧￢q是真命题，选④. 4．已知命题p：$x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则￢p为____________________．答案∀x∈R，x2＋2x＋2>0解析根据含有量词的命题的否定形式，所以该题中￢p为："x∈R，x2＋2x＋2>0. 5．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为_______．答案 1解析由题可得p假q假，∴p∧q，p∨q均为假命题，￢p为真命题.6．下列命题中的假命题是_______．(填序号)①"x∈R，2x－1>0 ②"x∈N*，(x－1)2>0 ③$x∈R，lg x<1 ④$x∈R，tan x＝2 答案②解析①项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；②项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；③项，当x＝110时，lg 110＝－1<1；④项，当x∈R时，tan x∈R，∴$x∈R，tan x＝2.故选②.7．若命题“$x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是_______．答案[2,6]解析∵命题“$x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“"x∈R，使得x2＋mx ＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.8．已知命题p："x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：$x∈R，使sin x＋cos x＝2，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是_______．(填序号)答案②④解析由题意知p假q真，故②④正确.9．命题“$x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．答案"x∈R，|x|>0解析 根据“$x ∈M ，p (x )”的否定为“"x ∈M ，Øp (x )”可直接写出答案．10．若命题“$x ∈R 使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是______________． 答案 m ＞1解析 由题意得x 2＋2x ＋m ＞0恒成立，∴4－4m ＜0，得m ＞1.11．命题：“对任意k >0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是________．答案 存在k >0，方程x 2＋x －k ＝0无实根12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为________________________． 答案 存在两个等边三角形，它们不相似13．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－8, 0]解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0. 综上，－8≤a ≤0.。
典型高考数学试题解读与变式2018版考点3 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词【考纲要求】(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．【命题规律】考查简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词的题型一般以选择题或填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大．【典型高考试题变式】（一）含简单的逻辑联结词的命题的真假判断例1.【2017山东卷】已知命题p：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
；命题q：若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
.下列命题为真命题的是( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】由错误！未找到引用源。
时错误！未找到引用源。
成立知p是真命题,由错误！未找到引用源。
可知q是假命题,所以错误！未找到引用源。
是真命题，故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．【变式1】【改变例题的中命题错误！未找到引用源。
】已知命题p：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
；命题q：若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
.下列命题为真命题的是( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【答案】B【变式2】【改变例题的中命题错误！未找到引用源。
】已知命题p：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
