9.1锐角三角比课件

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锐角三角比

(
b邻边
A
小结
拓展
回味无穷驶向胜利
的彼岸
• 概念中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA 均大于0,无单位. 3.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
2
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
练习：
驶向胜利的彼岸
已知矩形ABCD，BD=6， ∠DBC=300，则AB=（）， BC=（）。
A
D
B
C
质疑再探
想一想
C
如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sinB可以由哪两条线段之比? AC = AD CD A sinB=sin∠ACD=
新课导入
知识准备
驶向胜利的彼岸
自学课本第88页内容，明确直角三角形边角关系的名称。然后回答：直角三角形ABC可以简记 Rt△ABC 为——，∠C所对的边AB称为斜边， c 用——表示，另两条直角边分别为∠A的 a、b 对边与邻边，用——表示。 Ba对边C 斜边
(
C
b
A
练习：
如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________; ∠M的对边是__________,∠M 的邻边是_______________;
谈谈今天的收获
sin A
a c
锐角三角比性质
锐角三角比

锐角的三角比(课件)-九年级数学上册精品课堂(沪教版)

sinA= 5，cosA= ，1t2anA= ， 5
13
13
12
sinB= 1，2 cosB= ，5tanB= . 12
13
13
5
针对练习
观察(1)中两锐角的三角函数值，你有什么新发现？解：(1)由勾股定理得
BC AB2 AC 2 132 122 5 因此
sinA= 5，cosA= ，1t2anA= ， 5
BC
∠A＝∠A'＝α，那么一下吗？
AB
与
B' C'有什么关系？你能解释 A' B'
B' B
A
C A'
C'
探究新知
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC
∽Rt△A'B'C'. 所以
AB BC
BC B' C'
A' B' B' C'
AB A'B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一
35m C
需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？
探究新知
D B
归纳： A 30°
CE
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个
1 直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2 .
探究新知
思考： Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？因为∠A=45°，则AC=BC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2.
第25章锐角的三角比

2022年青岛版数学九年级上《锐角三角比》课件(精品)

B
∠A的对边
A
∠A的邻边
C
复习导入
1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：综合法条件结论由因导果
分析法结论已知条件执果索因
情境导入
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。那么C在撒谎吗？为什么？
学习目标
在这条射线上取点B″，使AB ″= AB′，这样又得到
了一个锐角∠CAB″．过B ″作 B″C″⊥AC，垂足为
C ″，比值与Bk"的C"值相等吗？为什么？由此你得到怎样
AB"
的结论？ B
对于确定的锐角A来说，
比值k与点B′在AB边上的位置无关，只与锐角A的大小
B′ B″
有关．
A
C′ C″ C
由由由锐锐锐角角角AAA确确确记记定定定作作的的的scion比比比sAA，，∠∠∠∠AAAA即即的的的斜斜的叫叫叫对邻对边边邻scio做做做边边边边nsAA∠ ∠ ∠==AAA的的的∠∠正余正AA的的斜斜弦弦切对邻边边，，，边边锐角A的正记弦作、tan余A弦，、即正ta切nA统=称∠∠锐AA的的角对邻A边边的三角比．
，B2C2 ，B3C3
，B4C4
的值，你有什么发现？
AB AB1 AB2 AB3 AB4
= = = = BC
B1C1
B2C2
B3C3
B4C4
AB
AB1
AB2
AB3
AB4
观察与思考
（1）如图，作一个锐角A，在∠A的一边上任意取两个
点B，B′,经过这两个点分别向∠A的另一边作垂线，垂
足分别为C，C′，比值 BC 与 B'C' 相等吗？为什么？

初中数学沪教版九年级上册《锐角的三角比的意义》优质课公开课课件省级比赛获奖课件

越大的比＿＿＿＿＿
铅直高度水平宽度
想一想
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角
形ABC有什么关系?
B
BC B1C 1 AC AC 1 BC (2) AB和 , 和 , AB1 AB AB1 AC B1C 1 和有什么关系? AC 1

A C C1
(3)如果改变B在梯子上的位置呢?
初中数学沪教版九年级上册《锐角的三角比的意义》
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取宝物比赛
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅直高度
倾斜角
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
B c a b ┌ C
tanA=
a b
tanB=
b a
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A A 的三角函数
牛刀小试
B
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90° AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B的正弦, 余弦和正切. 观察以上计算结果,你发现了什么? 若AC=5,BC=3呢? 若AC=5呢?
铅直高度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？
铅直高度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与梯子的比,水平宽度与梯子的比,铅直高度与水平宽度的比,都发生了什么变化？

《锐角三角比》PPT精选教学优质课件

tanA= A的对边 = a
A的邻边 b
回顾小结
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
锐角三角比
比萨斜塔
怎么求塔身中心线偏离垂直中心线的角度
这个问题涉及到锐角三角函数的知识，学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了！
思考
在上面的问题中，如果使出水口的高度为
50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
50m 30m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 1
C.不变
D.不能确定
2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂
┌
足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。 A
C
(1) tanA =
(BC )
=
CD
AC (AD)
B D
(2) tanB=
( AC)
=
CD
BC ( BD) A
C
小结回顾在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a A的斜边 c
cosA= A的邻边 = b A的斜边 c
对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的值和它对应，所以sinA是A的函数，同样地， cosA，tanA也是A的函数。
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
例如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，

《锐角三角比复习》课件

5.如果
1 cos A 3 tan B 3 0 2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形
例5.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再比较PD与18的大小关系.
（1）三边关系： a 2 b 2 c 2 （勾股定理）
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
a （3）边角的关系：sin A c
b cos A c
a tan A b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知元素.
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
点拨：本题是由特殊角的三角比值求角度，首先
3 将原式变形为tanα= ，从而求得α的度数. 3
例3.在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，a=5，求b、c的大小.
解: ∠B=90°- ∠ A=90°-30°=60°，
∵tanB=b/a,
B 5
∴b=a· tanB=5· tan60°= 5 3 ∵ sinA=a/c,
（２）在Rt △ACD中，因为sinC＝
B
D
C
13
设AC=13k,AD=12k，所以CD=5k,又AC=BD=13k，

锐角三角比.ppt

2、当一个锐角的三角比不易求
出时，常找到与其他相等的角，
求出相等角的三角比即可；
C
3、在非直角三角形中求三角比时，常常通过作高构造直角三角
形求解。
课堂小结：
1． ∠A的正弦： ∠A的余弦： ∠A的正切：
sinA =
∠A的对边斜边
cosA =
∠A的邻边斜边
tanA
=
∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比．
45°时，∠A的对边与斜边的比都等于
2 2
，也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
那么 BC 与 B'C' 有什么关系．你能解释一下吗？ AB A' B'
B
sin
A
A的对边斜边
a c
c 斜边
a 对边
例如，当∠A＝30°时，我们有
A
bC
sin A sin 30 1 2
当∠A＝45°时，我们有
sin A sin 45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的
cosA =
∠A的邻边斜边
∠A的正切：
tanA
=
∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比．注意：一个锐角的三角比只与角的度数有关．
温馨提示：

沪教版(上海)九年级第一学期《锐角三角比的意义》课件

回顾
直角三角形的相关知识
角的关系：有一个角是直角、两锐角互余
边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
边与角的关系：含30°角的直角三角形含45°角的直角三角形
A
b
c
Ca B
‹# ›
‹# ›
25.1（1）锐角三角比的意义
‹# ›
问题1
对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？
‹# ›
小结
1、Rt△ABC中（∠C=90°），当锐角A大小确定后，不论Rt△ABC 的边长怎样变化，∠A的对边BC与邻边AC的比值总是确定的。
2、如图，锐角A的正切记作tanA 锐角A的余切记作cotA
B
a
c
C
b
A
3、同一个锐角中，tanA和cotA之间有什么关系？两个互余的锐角中，tanA和cotB之间有什么关系？
‹# ›
思考与归纳
B3B2 B1 C3C2 C1 A A
Q FN EM
D
CP
‹# ›
思考与归纳
B3B2 B1 C3C2 C1 A A
Q FN EM
D
CP
我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。(tangent)
如图，锐角A的正切记作tanA
tanA
锐锐角角AA的的邻对边边
‹# ›
作业 TTL：25.1（1）
‹# ›
‹# ›
例题1
ABC中，C 90，AC 3，BC 2，求tan A、tan B的值。
想一想： ①同一个锐角中，tanA和cotA之间有什么关系？ ②两个互余的锐角中，tanA和cotB之间有什么关系？变式： Rt△ABC中，∠C=90°,tanA= ,BC=4,求AC和AB的长

青岛版九年级数学上册 (锐角三角比)课件

怎样
? 解答
A 20
12
B
C
解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC= AB2 BC2 202 122 =16(cm),
tan A=
.
tan B=
解题小结
直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解； (2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．
随堂练习
1.判断对错:
(1)如图1，
tan A=
BC AC
.
（错）
(2)如图1， tan B = AC .
BC
? 怎样
解答
（错）
B
A
C
图1
(３)如图2，tan A=0.7 m. （错）
例１如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
甲
乙
13 m
5m 6m
8m
解：甲梯中，
tan α=
的对边的邻边
5 132 52
. 5 12
乙梯中，
tan β＝
的的邻对边边
6 8
3 4
.
因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡.
例2 在△ABC中，∠C=90°，BC=12 cm， AB=20 cm，求tan A和tan B的值.
例题探究
例如图，在Rt△ABC，∠B=90°，AC=200，sin A=0.6.
求BC的长.
C
200
? 怎样
解答
┌
A
B
老师期望:
请你求出cos A, tan A, sin C, cos C和tan C 的值.你敢应战吗?

9.1锐角三角比

B3
1.00
0.50
A
C1 C2 C3 C4
C
B4
0.80
0.40
（1）利用上述数据，计算的值，你有什么发现？
BC ，B1C1
AB AB1
，B2C2 ，B3C3
AB2 AB3
，B4C4
AB4
= = = = BC
B1C1
B2C2
B3C3
B4C4
AB
AB1
AB2
AB3
AB4
（2）比值为什么相等？是巧合吗？
AB '
比值k的大小与点B′在AB边上的位置有关吗？
对于确定的锐角A来说，比值k与点B′在AB 边上的位置无关．
B B′
A C′ C
（3）如图，以点A为端点，在锐角A的内部作一条射线，
在这条射线上取点B″，使AB ″= AB′，这样又得到了
一个锐角∠CAB″．过B ″作 B″C″⊥AC，垂足为C
A ∠A的邻边
C'
∠A的对边
k
=
B'C'
=
∠A的对边
AC'
B'
你会读吗？
∠ A的正弦：sinA =
∠A的对边斜边
sine 音标：[sain]
∠A的余弦：cosA =
∠A的邻边斜边
cosine音标：['kəusain]
∠A的正切：tanA
=
∠A的对边 ∠A的邻边
tangent音标：['tæ
ndʒənt]
c
tanA= a
b
sin B = b c
cosB = a tan B = b
c
a

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△AB4C4
sinA 0.5 0.5 0.5 0.5
由此可以看出一角锐角的三角比是由这个角的大小唯一确定的。
1.如果在R t△ABC∽ R t△A′B′C′，∠C= ∠C′=90°，sinA等于sinA′吗？为什么？ cosA与cosA′呢？ sinA=sinA′, cosA=cosA′, 因为R t△ABC∽ R t△A′B′C′，∠A= ∠A′． 2.如图，在R t△ABC中， ∠C=90°， AB=3， BC=2，求∠A的正弦、余弦、正切的值．
1． ∠ A的正弦： sinA =
∠A的对边斜边 ∠A的邻边斜边正切： tanA = ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比． 2．一个锐角的三角比只与这个角的大小有关．
必做题:课本P65
选做题:课本P65
A组 1、2、3题
B组 1题
B B4 B1 B2 B3 木板上到A点的距地面的距离/米高度/米的点 B1 B2 B3 1.50 1.20 1.00 0.75 0.60 0.50
C A
C1 C2 C3
C4
B4
0.80
0.40
请根据课本P62页的图9-1及表格中的数据填写下表
三角形
△AB1C1 △AB2C2 △AB3C3
同学们, 再见!
4
AC 4 2 5 = = AB 2 5 5
cosA=
BC 2 1 = = tanA= AC 4 2
有一块长2.00米的平滑木板AB．小亮将它的一端B架高1米，另一端A放在平地上（如图），分别量得木板上的点B1，B2，B3，B4到A点的距离AB1， AB2，AB3，AB4与它们距地面的高度B1C1，B2C2， B3C3，B4C4，数据如下表所示：
a tanA= b b cosA= c
c
a C
A
b
例１如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠A的正弦、余弦、正切的值．解：在Rt△ABC中，∠C=90°．因为AC=4，BC=2，所以
A B
2 5
2
C
AB= AC 2 + BC 2 = 4 2 + 2 2 = 2 5．
BC 2 5 = = sinA= AB 2 5 5
2 sinA= 3
cosA=
5
5
5 3
B C A
tanA=
2
知识拓展
锐角三角比也叫做锐角的三角函数。即： sinA叫做角A的正弦函数，cosA叫做角A的余弦函数，tanA叫做角A的正切函数。在这三种函数中，自变量是角A, sinA、 cosA、 tanA的值随着A的变化而变化，当A的值确定之后， sinA、 cosA、 tanA的值是唯一确定的。即锐角三角函数的值是由角的大小唯一确定的。
A b C
由锐角A确定的比 ∠A的对边叫做∠A的正弦，
斜边 ∠A的邻边叫做∠A的余弦， ∠A的对边由锐角A确定的比记作sinA，即 sinA = 斜边斜边 ∠A的对边由锐角A确定的比叫做∠A的正切， ∠A的邻边 ∠A的邻边记作cosA，即 cosA = 斜边 ∠A的对边锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比．记作tanA，即 tanA = ∠A的邻边 B
学习目标 1、理解并记住三种锐角三角比的定义。 2、会用符号表示三种锐角三角比，会进行锐角三角比的文字语言与符号语言的转化。 3、明确锐角三角比的大小是由角的大小唯一确定的。 4、会求直角三角形中指定锐角的三角比。
知识链接
1、如图Rt△ABC中, ∠C=900，那么AB叫做___边，AC是∠A的___边，是∠B的___ 斜邻对边; BC是∠A的___边，是∠B的___边; 对邻 2、若a=3,c=6,则b=____ 3、若a=3,b=5,则c=___ B 4、 ∠A+ ∠B＝——0 c a
∠A的对边
A
∠A的邻边
C
演示
注：1．sinA,cosA,tanA分别是一个完整的记号．记号里习惯省去角的符号“∠”，不能理解成 sin· A,cos· A,tan· A． 2．在三角形中，通常把∠A的对边记作a， ∠B的对边记作b， ∠C的对边记作c．如图，你能用a、b、c表示∠A和∠B的正弦、余弦和正切吗？ B sinA= a c