高中数学知识要点重温(26)数学归纳法、极限知识点分析

高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限知识点分析 - 1 - / 7 高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限 1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立”的问题。 2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。

[举例1]已知nnnnnf21312111)(，则)1(nf= A．)(nf+)1(21n， B．)(nf+121n+)1(21n， C．)(nf-)1(21n D．)(nf+121n-)1(21n 解析：)(nf是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故)1(nf是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即

)1(nf=111111113121nnnnnnnn

=)1(21121213121nnnnn=)(nf+121n+)1(21n-11n =)(nf+121n-)1(21n 故选D。 [举例2]用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为 [解析]假设n=k时命题成立.即:5k－2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k－2×2 k =5(5k－2k) ＋5×2k－2×2k=5(5k－2k) ＋3×2k

[巩固1] 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。

A. 2k1 B. 2k－1 C. 2k D. 2k＋1 [巩固2]用数学归纳法证明命题： (n＋1) ×(n＋2) ×…×(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1) 3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p (k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n≥n0的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。 4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限知识点分析 - 2 - / 7 题p(k)成立证明命题 p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。

[举例1] 已知m为正整数，用数学归纳法证明：当1x时，(1)1mxmx≥； 解析：视(1)1mxmx≥为关于m的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明： （ⅰ）当1m时，原不等式成立；当2m时，左边212xx，右边12x， 因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立； （ⅱ）假设当mk时，不等式成立，即(1)1kxkx≥，则当1mk时， 1x∵，10x∴，于是在不等式(1)1kxkx≥两边同乘以1x得

2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)kxxkxxkxkxkx·

≥≥

，

所以1(1)1(1)kxkx≥．即当1mk时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．

[举例2]设正整数数列na满足：24a，且对于任何*nN，有

11111122111nnnnaaaann

；（1）求1a，3a；（2）求数列na的通项na．

（07高考江西理22）

解析：（1）据条件得1111112(1)2nnnnnnaaaa ① 当1n时，由21211111222aaaa，即有1112212244aa， 解得12837a．因为1a为正整数，故11a． 当2n时，由33111126244aa，解得3810a，所以39a． （2）由11a，24a，39a，猜想：2nan． 下面用数学归纳法证明．

1当1n，2时，由（1）知2nan均成立； 高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限知识点分析 - 3 - / 7 2假设(2)nkk≥成立，则2kak，则1nk时 由①得221111112(1)2kkkkakak2212(1)(1)11kkkkkkakkk 22212(1)1(1)(1)11kkkakkk





因为2k≥时，22(1)(1)(1)(2)0kkkkk≥，所以22(1)011kk，． 11k≥，所以1011k，．又1ka*N，所以221(1)(1)kkak≤≤．

故21(1)kak，即1nk时，2nan成立．由1，2知，对任意n*N，2nan．

[巩固1]已知数列811322··，225328，…，8212122··nnn()()，…；Sn为其前n项和，求S1、S2、S3、S4，推测Sn，并用数学归纳法证明。 [巩固2] 已知各项均为正数的数列na的前n项和nS满足11S，且6(1)(2)nnnSaa，nN．（Ⅰ）求na的通项公式；

（Ⅱ）设数列nb满足(21)1nbna，并记nT为nb的前n项和，求证： 231log(3)nnTanN， （07高考重庆理21）

5．若)(cf存在，则)(limxfcx=)(cf，若)(cf=)(cg=0，则)()(limxgxfcx一般“约分”（约去含cx的因式）后再求极限。若)(limxfcx=A、cxlim)(xg=B，则cxlim[()fx±)(xg]= A±B, cxlim[()fx)(xg]=AB, cxlim)()(xg

xf

=BA (B≠0).

[举例] 11212lim21xxxxx .（07高考陕西理13） 解析：112122xxxx=)1)(2(1xxx=21x， 高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限知识点分析 - 4 - / 7 11limlimlim(11)()1212nnnnanaannnananaa





∴11212lim21xxxxx1limx21x=13 [巩固1] 下列四个命题中，不正确的是（ ）[来源:学+科+网Z+X+X+K]

A．若函数()fx在0xx处连续，则00lim()lim()xxxxfxfx→→

B．函数22()4xfxx的不连续点是2x和2x C．若函数()fx，()gx满足lim[()()]0xfxgx→，则lim()lim()xxfxgx→→

D．111lim12xxx→ （07高考湖南理7） [巩固2] 2241lim()42xxx________ 6．若|q|<1,则nlimnq=0；q=1，则nlimnq=1；若q>1或q≤-1, 则nlimnq不存在。nlimc

=c(c为常数)；“c ”型的式子极限为0；“0c”型、“c”型的极限不存在；“00”型和“”型，一般分子、分母“同除以”一个式子（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）

的式子一般有理化后再求极限。若nlimna=A、nlimnb=B，则 nlim(na±nb)= A±B,

nlim(nanb)=AB, nlimn

n

b

a

=BA (B≠0).

[举例1]若1lim1,()nannan则常数 . 解析：分母有理化

]

[举例2]已知p和q是两个不相等的正整数，且2q≥，则111lim111pqnnn→（ ） A．0 B．1 C．pq D．11pq （07高考湖北理5） 高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限知识点分析 - 5 - / 7 解析：111lim111pqnnn→1111111111lim2222qqqqppppnnCnCnqnCnCnp =qqqqppppnnCnCnqnCnCnp111111lim2222=12321232111111limqqqqqpppppnnCnCnCqnCnCnCp=pq，选C。 [巩固1]把21(1)(1)(1)nxxx展开成关于x的多项式，其各项系数和为na，则21lim1nnnaa→

等于（ ）

A．14 B．12 C．1 D．2] [巩固2]. n→∞lim12n(n2+1－n2－1) 等于 ( ) A. 1 B. 12 C.14 D.0

[迁移]设正数ab，满足22lim()4xxaxb，则111lim2nnnnnaabab（ ） Ａ．0 Ｂ．14 Ｃ．12 Ｄ．1 （07高考重庆理8） 7．无穷数列{na}的前n项和为Sn，nnSlim称为数列{na}的无穷多项和或所有项和。求nnS

lim

时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求Sn，再求极限。若{na}为等比数列，公比为q且|q|<1，则nnSlim=qa11。 [举例1]若数列}{na满足: 311a, 且对任意正整数nm,都有nmnmaaa, 则 )(lim21nnaaa （07高考湖南理2）

A．21 B．32 C．23 D．2