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数学归纳法的应用知识点总结数学归纳法是一种重要的证明方法，常被应用于数学、逻辑以及计算机科学的领域。
它的核心思想是通过建立一个基础情形的真实性，以及在基础情形成立的前提下推导出一个一般情形的真实性，从而得出结论。
本文将对数学归纳法的基本概念和应用进行总结。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳证明。
首先，我们需要证明当n取某个特定值时，结论成立，这称为基础步骤。
接下来，我们假设当n=k时，结论成立，这称为归纳假设。
最后，通过归纳证明，我们将证明当n=k+1时，结论也成立。
二、数学归纳法的应用举例1. 求和公式数学归纳法可以用来证明一些求和公式的正确性。
例如，我们要证明正整数n的前n项和公式为：1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，我们可以验证当n=1时，等式左边为1，右边也等于1(1×2/2)，因此基础步骤成立。
然后，我们假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
我们将等式左边的前k+1项展开，得到1+2+3+...+k+(k+1)。
根据归纳假设，前k项的和为k(k+1)/2，再加上第k+1项(k+1)，则等式左边的和为(k+1)(k+2)/2。
与等式右边相比，我们可以得出结论，即当n=k+1时，等式也成立。
2. 整数性质证明数学归纳法也可以用来证明一些关于整数的性质。
例如，我们要证明任意正整数n的平方是奇数。
首先，我们验证当n=1时，等式成立，因为1的平方是1，是奇数。
然后，假设当n=k时，等式成立，即k的平方是奇数。
接下来，我们通过归纳证明，证明当n=k+1时，等式也成立。
我们将等式左边展开，得到(k+1)的平方。
根据归纳假设，k的平方是奇数，那么k的平方加上2k再加1，仍然是奇数。
因此，当n=k+1时，等式也成立。
三、数学归纳法的注意事项1. 基础步骤的正确性是数学归纳法的基础，必须确保基础步骤成立。
高一知识点归纳数学公式总结大全一、代数与函数1. 二次方程的解法：- 一元二次方程 ax²+bx+c=0 的解法为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
- 当 b²-4ac = 0 时，方程有一个重根；当 b²-4ac > 0 时，方程有两个不等实根；当 b²-4ac < 0 时，方程有两个共轭复根。
2. 一次函数的斜率与截距：- 一次函数的标准方程为 y = kx + b，其中 k 为直线的斜率，b 为直线与 y 轴的截距。
- 两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 间的斜率 k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
3. 二次函数的顶点和轴对称：- 二次函数的标准方程为 y = ax²+bx+c，其中 (h, k) 表示顶点的坐标。
- 顶点的 x 坐标为 h = -b/(2a)，y 坐标为 k = ah²+bh+c。
- 二次函数的图像关于直线 x = -b/(2a) 对称。
4. 绝对值函数的性质：- 绝对值函数 f(x) = |x| 分两段定义，当 x>=0 时，f(x) = x；当 x<0 时，f(x) = -x。
- 绝对值函数的图像为以原点为对称中心的 V 字形曲线。
- 绝对值函数是奇函数，即 f(x) = -f(-x)。
5. 指数函数的运算性质：- 指数函数aⁿ⁽⁻ᵐ⁾= aⁿ/aᵐ，aⁿ⋅aᵐ= aⁿ⁺ᵐ。
- 指数函数aⁿ/aⁿ⁽⁻ᵐ⁾ = aᵐ。
- 指数函数(aⁿ)ᵐ= aⁿ⁻ᵐ。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列的通项公式：- 等差数列的通项公式为 an = a₁+(n-1)d，其中 a₁为首项，d 为公差，an 表示第 n 项。
2. 等差数列的前 n 项和公式：- 等差数列的前 n 项和公式为 Sn = (a₁+an)n/2，其中 Sₙ 表示前 n 项和。
3. 等比数列的通项公式：- 等比数列的通项公式为 an = a₁⋅r⁽ⁿ⁻¹⁾，其中 a₁为首项，r 为公比，an 表示第 n 项。
数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．(1)第一数学归纳法设P(n) 是一个与正整数有关的命题，如果① n n0 ( n0 N 1．数学归纳法的基本形式)时，P (n) 成立；②假设n k(k n0,k N)成立，由此推得n k 1时，P(n)也成立,那么，根据①②对一切正整数n n0时，P(n)成立.(2)第二数学归纳法设P( n) 是一个与正整数有关的命题，如果①当n n°( n o N )时，P(n)成立；②假设n k(k n o，k N)成立，由此推得n k 1时，P(n)也成立,那么，根据①②对一切正整数n n o时，P(n)成立.2.数学归纳法的其他形式( 1 )跳跃数学归纳法①当n 1,2,3, ,l 时，P(1),P(2), P(3), ,P(l)成立,②假设n k时P(k)成立，由此推得n k l时，P(n)也成立，那么, 根据①②对一切正整数n 1时，P(n)成立.(2)反向数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①P(n)对无限多个正整数n成立；②假设n k时，命题P(k)成立，则当n k 1时命题P(k 1)也成立，那么根据①②对一切正整数n 1时，P(n)成立.例如，用数学归纳法证明：；为非负实数，有隔云/+町•+气”士)在证明中，由厂；真，不易证出J'■1■'真；然而却很容易证出■真，又容易证明不等式对无穷多个巧(只要；型的自然数)为真；从而证明 1，不等式成立.(3)螺旋式归纳法P (n )，Q (n)为两个与自然数有关的命题，假如①P(nO)成立；②假设P(k) (k>nO)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；综合(1)( 2),对于一切自然数n (>n0)，P(n),Q(n)都成立;(4)双重归纳法设是一个含有两上独立自然数 * 的命题.①’’■ 与•、|对任意自然数八*成立；②若由"…)和厂F「1成立，能推出；，^ ' ■■- 1■'成立；根据(1)、( 2)可断定，‘2宀对一切自然数汕均成立.3 •应用数学归纳法的技巧(1)起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n 0也成立，而且验证起来比验证n 1时容易，因此用验证n 0成立代替验证n 1，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步，有意前移起点.(2)起点增多：有些命题在由n k向n k 1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点.(3)加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多.(4)选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设n k时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用.(5)变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明.5.归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法. 不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法.从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。
数学知识点归纳总结7篇篇1一、引言数学作为自然科学的基础学科，知识点众多且相互关联。
为了帮助我们更好地掌握数学知识，本文将对其核心知识点进行归纳总结。
本文内容严谨、结构清晰，旨在帮助读者系统地理解数学的基本概念和方法。
二、数与代数1. 数的认识（1）自然数、整数、有理数、无理数、实数的概念与性质。
（2）数的分类与数轴表示。
2. 代数式（1）代数式的概念、分类与运算。
（2）代数式的化简、因式分解。
3. 方程与不等式（1）一元一次方程、一元二次方程的解法。
（2）不等式的基本性质与解法。
（3）方程与不等式的应用。
三、几何知识1. 平面几何（1）点、线、面、角的性质。
（2）三角形、四边形、圆的性质与计算。
（3）相似与全等图形的概念与性质。
2. 立体几何（1）三维图形的认识与分类。
（2）表面积、体积的计算。
（3）空间位置关系。
四、函数与图像1. 函数概念与性质（1）函数的概念、分类与性质。
（2）反函数、复合函数的概念与应用。
2. 图像与性质分析（1）函数的图像表示。
（2）函数图像的平移、对称性质。
（3）函数的单调性、周期性分析。
五、数列与极限1. 数列概念与性质（1）数列的分类、通项公式与前n项和公式。
等差数列和等比数列的性质与应用。
无穷数列的概念与性质。
极限概念及计算六、微积分知识初级微积分知识，包括导数概念与应用，微分法则；积分概念，积分运算方法，定积分的应用等。
七、概率与统计概率基础知识，随机事件及其概率计算；统计学的描述性统计和推断性统计基础，包括数据的收集、整理与分析等。
八、数学史与数学文化介绍数学的发展历程，著名数学家的生平与贡献，数学在各个领域的应用等。
九、总结通过上述归纳和总结，我们可以清晰地看到数学知识体系的框架和各个知识点之间的联系。
为了更好地掌握数学知识，我们需要不断地学习与实践，深入理解各个知识点，掌握其应用方法。
同时，我们还需要注重数学与其他学科的交叉融合，拓展数学知识在各个领域的应用。
数学归纳法相关知识点总结数学归纳法是一种常用且重要的证明方法，广泛应用于数学和计算机科学等领域。
它是建立在自然数的基础上，通过确定基本情况成立和对于任意情况的假设进行推理，来证明任意情况成立的方法。
以下是与数学归纳法相关的知识点总结。
一、数学归纳法的基本思想1.1 证明基本情况成立：通过直接验证第一个情况是否成立来确保归纳法的开始。
1.2 假设第k个情况成立：假设前k个情况均成立，即假设第k个情况成立。
1.3 推导第k+1个情况成立：根据第k个情况的成立，推导第k+1个情况的成立。
1.4 利用数学归纳法原理：基于第一个情况成立、第k个情况成立能推导第k+1个情况成立，所以根据数学归纳法原理，可以得出所有情况均成立。
二、数学归纳法的应用场景2.1 整数证明：证明与整数相关的等式或不等式。
2.2 数列证明：证明数列的性质，如递推关系、通项公式等。
2.3 集合证明：证明集合的性质，如集合的元素个数等。
2.4 图论证明：证明与图论相关的问题，如图的染色问题、路径问题等。
三、数学归纳法常见误区及注意事项3.1 遗漏基本情况：在使用数学归纳法时，必须验证基本情况的成立，否则无法进行后续推导。
3.2 假设过强：假设第k个情况成立时，注意不要假设第k-1个情况也成立，否则可能导致推导错误。
3.3 步骤不清晰：数学归纳法需要严谨的逻辑推导，每一步的推导必须明确、清晰，不能存在模棱两可的推理。
3.4 漏掉递归关系：在推导第k+1个情况成立时，需要明确并合理利用第k个情况的假设，也即递归关系的应用。
四、数学归纳法的拓展应用4.1 强归纳法：相比于数学归纳法只假设前一个情况成立，强归纳法假设前k个情况均成立。
4.2 双重归纳法：在证明数学命题时，先对整数n归纳，再对其他相关数值归纳。
4.3 递归定义证明：对于递归定义的数列或集合，可以通过数学归纳法来证明其性质。
五、数学归纳法在计算机科学中的应用5.1 证明算法的正确性：通过数学归纳法来证明算法在各个情况下的正确性。
数学概括法数学概括法是用于证明与正整数n 相关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学比赛中据有很重要的地位．（1）第一数学概括法设 P( n) 是一个与正整数相关的命题，假如① n n0（ n0N 1．数学概括法的基本形式）时，P(n) 建立；②假定 n k(k n0 , k N ) 建立，由此推得n k 1时，P(n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．（2）第二数学概括法设 P( n) 是一个与正整数相关的命题，假如①当 n n0（ n0N ）时， P(n) 建立；②假定 n k(k n, k N )建立，由此推得n k 1时， P(n) 也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．2．数学概括法的其余形式（1）跳跃数学概括法①当 n 1,2,3, , l 时， P(1), P(2), P(3),, P(l ) 建立，②假定 n k 时P(k)建立，由此推得 n k l 时，P( n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n 1 时，P(n)建立．（2）反向数学概括法设 P( n) 是一个与正整数相关的命题，假如① P( n) 对无穷多个正整数n 建立；②假定 n k 时，命题P(k)建立，则当 n k 1时命题P(k1) 也成立，那么依据①②对全部正整数n 1 时，P(n)建立．比如，用数学概括法证明：为非负实数，有在证明中，由真，不易证出真；但是却很简单证出真，又简单证明不等式对无量多个（只需型的自然数）为真；进而证明，不等式建立．（ 3）螺旋式概括法P（n）， Q（ n）为两个与自然数相关的命题，若是①P(n0)建立；②假定P(k) (k>n0) 建立，能推出Q(k) 建立，假定Q(k) 建立，能推出P(k+1) 建立；综合（ 1）（ 2） ,关于全部自然数n（>n0）， P(n),Q(n) 都建立；（ 4）两重概括法设是一个含有两上独立自然数的命题．①与对随意自然数建立；②若由和建立，能推出建立；依据（ 1）、（ 2）可判定，对全部自然数均建立．3．应用数学概括法的技巧（1）起点前移：有些命题对全部大于等于1 的正整数正整数n都建立，但命题自己对 n 0 也建立，并且考证起来比考证 n 1时简单，所以用考证 n 0建立取代考证 n 1，同理，其余起点也能够前移，只需前移的起点建立且简单考证就能够．因此为了便于起步，存心前移起点．（2）起点增加：有些命题在由 n k 向 n k 1跨进时，需要经其余特别情况作为基础，此时常常需要增补考证某些特别情况，所以需要适合增加起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少概括中的困难，适合能够改变跨度，但注意起点也应相应增加．（4）选择适合的假定方式：概括假定为必定要拘泥于“假定 n k 时命题建立”不行，需要依据题意采纳第一、第二、跳跃、反向数学概括法中的某一形式，灵巧选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学概括证明时，需要引进一个协助命题帮助证明，或许需要改变命题马上命题一般化或增强命题才能知足概括的需要，才能顺利进行证明．5．概括、猜想和证明在数学中常常经过特例或依据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这类不严格的推理方法称为不完整概括法．不完整概括法得出的结论，只好是一种猜想，其正确与否，一定进一步查验或证明，常常采纳数学概括法证明．不完整概括法是发现规律、解决问题极好的方法．从 0 之外的数字开始假如我们想证明的命题其实不是针对所有自然数，而不过针对所有大于等于某个数字 b 的自然数，那么证明的步骤需要做以下改正：第一步，证明当 n=b 时命题建立。
解：设椭圆221mx ny +=，则4191m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得335835m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为223813535x y +=.六、数学归纳法（一）数学归纳法应用关于正整数的命题的证明可以用数学归纳法.本部分的数学归纳法指的是第一数学归纳法.第一数学归纳法的思维方法是：命题在1n =成立的条件下，如果n k =时命题成立能够推出1n k =+时命题也成立，我们就可以下结论，对于任意正整数命题都成立.1.证明等式典型例题：证明222112(1)(21)6n n n n ++⋅⋅⋅+=++，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边211==，右边11(11)(21)16=⨯⨯++=，等式成立.(2)假设n k =时等式成立，即222112(1)(21)6k k k k ++⋅⋅⋅+=++.则当1n k =+时，左边22222112(1)(1)(21)(1)6k k k k k k =++⋅⋅⋅+++=++++1(1)(2)(23)6k k k =+++1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++=右边，即1n k =+时等式成立.根据（1）（2）可知，等式对于任意n N *∈都成立.2.证明不等式典型例题 1.证明1111223n n+++⋅⋅⋅+<，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k+++⋅⋅⋅+<，则当1n k =+时，左边11111122311k k k k =+++⋅⋅⋅++<+++，右边21k =+.要证左边<右边，536只需证12211k k k +<++，而此式2112(1)k k k ⇔++<+2121k k k ⇔+<+24(1)(21)01k k k ⇔+<+⇔<，显然01<成立，故1n k =+时不等式也成立.综上所述，不等式对任意n N *∈都成立.典型例题2.已知,0a b >，a b ≠，n N ∈，2n ≥，证明()22n nn a b a b ++<.证明：（1）当2n =时，2222222222()2442a b a ab b a b a b +++++=<=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即()22k kk a b a b ++<，则当1n k =+时，左边1()2k a b ++11224k k k k k k a b a b a b a b ab +++++++<⋅=，因为11()()k k k ka b a b ab +++-+()()k k a b a b =--0>，所以11k k k k a b ab a b +++<+，则111142k k k k k k a b a b ab a b ++++++++<，即111()22k k k a b a b +++++<，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任意n N ∈，2n ≥都成立.3.证明整除性问题典型例题：证明22nn ab -能被a b +整除，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，显然22a b -能被a b +整除.（2）假设n k =时命题成立，即22k k a b -能被a b +整除，则当1n k =+时，2(1)2(1)2(1)2(1)2222k k k k k k a b a b a b a b ++++-=-+-222222()()k k k a a b b a b =-+-，因为22a b -与22k k a b -都能被a b +整除，所以222222()()k kk a a b b a b -+-能被a b +整除，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.4.证明几何问题典型例题：求证平面内n 条直线的交点最多有1(1)2n n -个.证明：平面内n 条直线的交点最多，只需任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，下面在此条件下证明.（1）当2n =时，显然两条直线只有1个交点，而1(1)12n n -=，命题成立.537（2）假设n k =时命题成立，即平面内k 条直线的交点有1(1)2k k -个，则当1n k =+即平面上有1k +条直线时，因为任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，所以第1k +条直线与原来的k 条直线共有k 个交点.这时交点的总个数为1(1)2k k k-+1(1)[(1)1)]2k k =++-，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.（二）其他数学归纳法除了第一数学归纳法以外，还有一些特别的数学归纳法.1.第二数学归纳法典型例题:设n N *∈，且12cos x x α+=，证明：12cos n n x n x α+=.证明：（1）当1n =时，12cos x xα+=，命题成立.当2n =时，21()x x +2212x x =++24cos α=，得2212cos 2x xα+=，命题成立.(2)假设n k ≤(2)k ≥时命题成立，则当1n k =+时，有111k k x x +++11111()()()k k k k x x x x x x--=++-+2cos 2cos 2cos(1)k k ααα=⋅--2[cos(1)cos(1)]2cos(1)k k k ααα=++---2cos(1)k α=+，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，命题成立.2.反向数学归纳法典型例题:函数:f N N **→满足（1）(2)2f =，（2）对任意正整数m 、n ，()()()f mn f m f n =，（3）当m n >时，()()f m f n >；证明：()f n n =.证明：令2m =、1n =，则(2)(2)(1)f f f =，故(1)1f =.令2m =、2n =，则22(2)(2)(2)2f f f ==；令22m =、2n =，则323(2)(2)(2)2f f f ==；由第一数学归纳法易证(2)2mmf =.下面用反向数学归纳法证()f n n =.（1）由上面推证知，存在无数个形如2m的数使()f n n =成立.（2）假设1n k =+时成立，即(1)1f k k +=+.因为存在t N *∈满足1212t t k +<+≤，则122t t k +≤<.设2t k s =+，s N *∈，则1112(2)(21)(22)(2)(21)(2)2t t t t t t t t f f f f s f f +++=<+<+<⋅⋅⋅<+<⋅⋅⋅<-<=.所以1(21),(22),,(2),,(21)t t t t f f f s f +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-是区间1(2,2)t t +内的21t -个不同的自然数，538而区间1(2,2)t t +内恰好有21t -个不同的自然数121,22,,2,,21t t t t s +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-，于是11(21)21,(22)22,,(21)21t t t t t t f f f +++=++=+⋅⋅⋅-=-，即()f k k =.由反向数学归纳法知，对任意n N *∈都有()f n n =.3.跷跷板数学归纳法典型例题:n S 是数列{}n a 的前n 项和，设223n a n =，213(1)1n a n n -=-+，n N *∈，求证：2211(431)2n S n n n -=-+及221(431)2n S n n n =++.证明：设()P n ：2211(431)2n S n n n -=-+；()Q n ：221(431)2n S n n n =++.（1）当1n =时，111S a ==，则(1)P 成立.（2）假设n k =时，则()P k 成立，即2211(431)2k S k k k -=-+，则2212k k k S S a -=+=221(431)32k k k k -++21(431)2k k k =++，即()Q k 成立.当()Q k 成立时，21k S +=221k k S a ++21(431)3(1)12k k k k k =+++++21(1)[4(1)3(1)1]2k k k =++-++，即(1)P k +成立.由跷跷板数学归纳法可知，原命题成立.4.二重数学归纳法典型例题:设(,)f m n 满足(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-，其中,m n N *∈，1mn >，且(,1)(1,)1f m f n ==，证明：12(,)m m n f m n C -+-≤.证明：设命题(,)P m n 表示(,)f m n .（1）112(,1)1m m f m C -+-==，012(1,)1n f n C +-==，即(,1)P m 、(1,)P n 成立.（2）假设(1,)P m n +、(,1)P m n +成立，即1(1,)m m n f m n C +-+≤，11(,1)m m n f m n C -+-+≤.则(1,1)(1,)(,1)f m n f m n f m n ++≤+++11111(1)(1)2m m m m m n m n m n m n C C C C -+++-+-++++-≤+==，即(1,1)P m n ++也成立.由二重数学归纳法知，原不等式成立.539。
数学归纳法(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立 典型题例示范讲解例3是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ) 解 假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10)那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立学生巩固练习1 已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A 30B 26C 36D 62 用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *3 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论 4 设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足 a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围参考答案1 解析 ∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除 证明 n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36 答案 C2 证明 (1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除 3 (1)解 设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明 由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n+1⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小 取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测 (1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k 31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n+14 解 ∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n+1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想 a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…)综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证 (1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立 可推知n =2k +1也成立 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1)－21(q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q--＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52Ⅱ、示范性题组：例1. 已知数列223·11·8，…，22)12(·)12(·8+-n n n ，…。
数学归纳法相关知识总结数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，用于证明某种性质对于所有自然数成立。
它是数学推理和证明的重要基础，具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将对数学归纳法的基本概念、步骤以及一些常见的应用进行总结和讨论。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法基于自然数的递增性质，通过证明某个性质在第一个自然数上成立，并证明该性质在一个自然数成立时也在下一个自然数上成立，从而得出该性质对于所有自然数成立的结论。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法一般分为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
1. 基础步骤：首先证明当n等于某个确定的值时，所要证明的性质成立。
这个确定的值通常是第一个自然数1或者0。
2. 归纳步骤：假设当n等于k时，所要证明的性质成立。
然后证明当n等于k+1时，所要证明的性质也成立。
在归纳步骤中，对于任意一个自然数k，只需要证明性质在k+1上成立即可。
3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设当n等于k时，所要证明的性质成立。
这个假设是数学归纳法的关键，通过它我们可以得出当n等于k+1时，所要证明的性质成立的结论。
三、数学归纳法的应用1. 数列的性质证明：数学归纳法常用于证明数列的性质。
例如，我们可以通过数学归纳法证明斐波那契数列的递推公式。
假设当n=k时，斐波那契数列的递推公式成立，即F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
然后证明当n=k+1时，递推公式也成立，即F(k+1) = F(k) + F(k-1)。
通过数学归纳法，我们可以证明递推公式对所有自然数成立。
2. 数学恒等式的证明：数学归纳法也可以应用于证明一些数学恒等式。
例如，我们可以通过数学归纳法证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，在n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2，两边相等成立。
然后，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
接着证明当n=k+1时，等式也成立，即1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+1+1)/2。
数学数学归纳法数学归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
下面是店铺为你整理的高中数学数学归纳法，一起来看看吧。
高中数学数学归纳法定义最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：1.证明当n= 1时命题成立。
2.假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。
(m代表任意自然数)这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。
当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。
把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。
例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：1)证明第一张骨牌会倒。
2)证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
高中数学数学归纳法及其证明方法(一)第一数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况，(2)假设当n=k(k≥[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no<n<k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。
综合(1)(2)对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(>n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立，(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，总而言之：归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
数学归纳法
1．数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0 时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，
n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
1/ 1。
数学归纳法相关知识点总结一、数学归纳法的基本概念数学归纳法的基本思想是：如果我们能够证明一个结论对于第一个自然数成立（通常是对于n=1），并且能够证明结论对于某一个自然数成立时，它也对于下一个自然数成立，那么我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
因此，数学归纳法通常包括两个步骤：基础步骤（base case）和归纳步骤（inductive step）。
基础步骤是证明一个结论对于第一个自然数成立，通常是证明结论对于n=1时成立。
这个步骤通常是比较直接的，可以通过代入数值或者简单的推理来进行证明。
归纳步骤是假定结论对于某一个自然数n成立，然后证明结论对于下一个自然数n+1也成立。
这个步骤通常是通过数学推理和逻辑推导来进行证明，因此需要一定的数学技巧和思维能力。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的基本思想和步骤。
二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理是非常简单的，可以用如下的语言来描述：如果一个结论对于第一个自然数成立，并且对于某一个自然数n成立时，它也对于下一个自然数n+1成立，那么这个结论对于所有自然数都成立。
这个原理也可以用数学符号来表达。
假设P(n)是关于自然数n的一个命题，那么数学归纳法的原理可以用如下的数学表达来描述：(1) 基础步骤：证明P(1)成立；(2) 归纳步骤：假设对于某一个自然数n，命题P(n)成立，证明P(n+1)也成立。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的原理。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是数学中非常重要的一种证明方法，它被广泛应用于代数、数论、组合数学、离散数学等多个数学领域中。
下面我们将介绍数学归纳法在不同数学领域中的具体应用。
1. 代数在代数中，数学归纳法常常被用来证明各种恒等式和不等式的成立。
例如，我们可以用数学归纳法来证明各种整式的恒等式、不等式和递推关系式。
数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。
证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ³，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。
在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k £的时依然成立。
第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k £，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。
可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N £³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++£思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ³+，n k =时，不等式为321k k ³+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +³+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+£-()()()1313131n n n n +\-£+-1133331n n n n n n n ++Û×-£×+--321n n Û³+，下面用数学归纳法证明：（1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =³Î时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=׳+=+>++所以1n k =+时，不等式成立n N *\"Î，均有131n n S n S n++£小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++Î（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a æö=+ç÷èø，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+æö>Îç÷èø解：（1）2632n n n S a a =++①()21116322,n n n S a a n n N *---=++³Î②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-Þ+=-0n a >Q 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a \是公差为3的等差数列()131n a a n \=+-，在2632n n n S a a =++中令1n =可得：211116321S a a a =++Þ=（舍）或12a =31n a n \=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +æö×××>ç÷-èøL ，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。
2024高考数学数学归纳法知识点整理数学归纳法是高中数学中的重要概念和解题方法之一。
它是一种推理方法，用于证明一些关于整数或正整数的性质。
在高考数学中，对于数学归纳法的理解和运用都是必备的知识点。
本文将整理归纳了2024年高考数学数学归纳法的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
这样，就可以通过递推的方式证明命题对于所有正整数都成立。
2. 数学归纳法的三个步骤数学归纳法主要包含三个步骤：2.1 基础步骤（或称初始步骤）首先，我们需要证明当n=1时命题成立。
这是数学归纳法的基础，也是推理的起点。
2.2 归纳步骤（或称归纳假设）假设当n=k时命题成立，我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
这是数学归纳法的关键，通过这一步骤我们可以建立起命题成立的递推关系。
2.3 归纳结论在经过归纳步骤后，我们可以得出结论：对于所有大于等于1的正整数n，命题都成立。
这是数学归纳法的最终目标，通过这一步骤我们将命题的正确性扩展到了所有正整数上。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1 证明数列的性质我们可以使用数学归纳法证明某个数列的性质。
以等差数列为例，假设我们已知当n=k时等差数列的某个性质成立，通过归纳步骤可以推导出当n=k+1时该性质也成立。
3.2 证明数学等式数学归纳法也可以用来证明某些数学等式的成立。
例如，我们可以使用数学归纳法证明等式1+2+...+n=n(n+1)/2。
3.3 证明不等式的性质对于一些数学不等式，我们也常常使用数学归纳法进行证明。
例如，证明2^n > n^2对于所有大于等于5的正整数n成立。
4. 数学归纳法的注意事项在使用数学归纳法时，需要注意以下几个方面：4.1 对于基础步骤的证明要充分，不能遗漏。
数学归纳法高中知识点总结一、数学归纳法的概念数学归纳法是一种数学证明方法，它通过证明一个命题在某个基本情形成立，然后证明它在某一个情形成立时也在下一个情形成立，从而证明这个命题对所有情形都成立。
数学归纳法通常包括以下两个基本步骤：1. 基础情形的证明：首先证明当n取某个基本值时命题成立，通常情况下取n=1时成立。
2. 归纳假设的证明：假设当n=k时命题成立，然后证明在n=k+1时命题也成立。
通过这两个步骤可以证明对于所有的正整数n都成立，这就是数学归纳法的基本原理。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法的具体步骤可以分为以下几个步骤：1. 确定基础情形：首先需要确定要证明的命题的基础情形，通常取n=1。
2. 证明基础情形成立：证明当n取基础值时命题成立。
3. 假设归纳前提成立：假设当n=k时命题成立，即归纳假设。
4. 证明归纳假设成立：证明当n=k+1时命题也成立。
5. 结论：根据数学归纳法的原理，得出对所有正整数n命题成立的结论。
通过以上步骤可以完整地运用数学归纳法来证明一个命题对所有正整数n成立的结论。
三、高中数学中的数学归纳法应用知识点数学归纳法在高中数学中有着广泛的应用，主要包括以下几个知识点：等差数列、等比数列、二次不等式、整式的推广、不等式的证明等。
1. 等差数列等差数列是一类数学中常见的数列，它的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为第n项。
在高中数学中，我们经常需要证明一些等差数列的性质，如等差数列的通项公式、前n项和公式等。
而数学归纳法正是证明这些性质的有效方法之一。
2. 等比数列等比数列是另一类常见的数列，它的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数，an为第n项。
在高中数学中，我们同样需要证明一些等比数列的性质，如等比数列的通项公式、前n项和公式等。
数学归纳法同样可以用来证明这些性质。
3. 二次不等式在高中数学中，我们学习了很多的二次不等式，如x^2>0，ax^2+bx+c>0等。
数学归纳法高中知识点总结数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在高中数学中也是一个重点知识点。
在本文中，将对数学归纳法的概念、原理以及具体应用进行总结。
希望通过本文的阐述，能够帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的相关知识。
一、概念和原理数学归纳法是一种用于证明某个命题对于所有自然数都成立的方法。
它的基本思想是：首先证明当n=m时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而可以得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
数学归纳法的推理过程分为两步：归纳基础和归纳步骤。
归纳基础是证明当n=m时命题成立，通常情况下令m=1或m=0。
归纳步骤是证明当n=k+1时，命题也成立。
二、具体应用1. 证明数学等式或不等式的成立数学归纳法可以用来证明一些与自然数有关的等式或不等式的成立。
具体的做法是，首先证明当n=m时命题成立，再假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，从而得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
例如，我们要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，显然等式两边相等。
然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳步骤，易知1+2+3+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
因此，通过数学归纳法，我们可以证明该等式对于任意正整数n成立。
2. 证明命题关于自然数集的成立数学归纳法还可以用于证明一些命题关于自然数集的成立。
通常情况下，我们需要在归纳步骤中利用归纳假设来进行推理。
例如，我们要证明命题P(n)：1+3+5+...+(2n-1) = n^2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，命题显然成立。
然后假设当n=k时命题成立，即1+3+5+...+(2k-1) = k^2。
我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
根据归纳步骤，易知1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)^2。
数学归纳法
数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．
（1）第一数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
0n n =（N n ∈01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．
（2）第二数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；
②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．
2．数学归纳法的其他形式
（1）跳跃数学归纳法
①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立，
②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．
（2）反向数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
)(n P 对无限多个正整数n 成立；
②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 例如，用数学归纳法证明：
为非负实数，有
在证明中，由
真，不易证出 真；然而却很容易证出 真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要
型的自然数）为真；从而证明
，不等式成立． （3）螺旋式归纳法
P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如 ①P(n0)成立；
②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；
综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立；
（4）双重归纳法 设
是一个含有两上独立自然数 的命题． ①
与 对任意自然数 成立； ②若由
和 成立，能推出
成立；
根据（1）、（2）可断定，
对一切自然数 均成立． 3．应用数学归纳法的技巧
（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，因此用验证0=n 成立代替验证1=n ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．
（2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．
（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．
（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．
（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．
5．归纳、猜想和证明
在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正
确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．
从0以外的数字开始
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：
第一步，证明当n=b时命题成立。
第二步，证明如果n=m(m ≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。
用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。
只针对偶数或只针对奇数
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：
第一步，证明当n=1时命题成立。
第二步，证明如果n=m 成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
偶数方面：
第一步，证明当n=0或2时命题成立。
第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法
数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。
对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的
n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。
（一）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数有关的命题P(n），
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；
（四）螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设Q(k）成立，能推出P(k+1）成立；
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。
