指数及指数函数 导学案

指数及指数函数

知识梳理： 一）、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *

．

◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，

当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2．有理指数幂的含义及其运算性质： ①r

s

r s

a a a +⋅=；②()r s rs

a a =；③()(0,0,,)r

r r

ab a b a b r s Q =>>∈。

④∈=-p a

a

p p (1

Q ） ⑤m a a a n m n m

,0(>=、∈n N * 且)1>n ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

◆指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x

≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；

基础检测：

1、下列各式成立的是( )

A

B

C

D

2、已知函数f （x ）=a x

（a ＞0，a ≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

3、若指数函数f （x ）=（3m ﹣1）x

在R 上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞0且m ≠1 B ．m ≠ C ．m ＞且m ≠ D ．＜m ＜ 4、函数1()2,(0x f x a x a -=+->且1)a ≠的图象必经过定点（ ） A ．(1,2)- B ．()1,1- C ．()0,1- D ．()0,1 5、若 1.5

0.9

0.48

14,8

,2a b c -⎛⎫=== ⎪

⎝⎭

，则 （ ）

A. c a b >>

B. b a c >>

C. a b c >>

D. a

c b >>

6、已知a =， 0.32b =， 0.20.3c =，则,,a b c 三者的大小关系是（ ） A. b c a >> B. b a c >> C. a b c >> D. c b a >>

7、若不等式22

23122x ax

x a -+⎛⎫

< ⎪

⎝⎭

恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A. ()0,1

B. 3,4⎛⎫+∞

⎪⎝⎭ C. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 3,4⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭

8、函数()1

22x x

f x =-

的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于x 轴对称

C. 关于y 轴对称

D. 关于直线y x =轴对称 9、函数

的图象大致形状是（

）

A.

B. C.

D.

10、定义： a b

ad bc c d =-，如12

1423234=⨯-⨯=-，当x R ∈时，

3

1

2

x

e k ≥恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）．

A. (],3-∞-

B. (),3-∞-

C. ()3,-+∞

D. [)3,-∞

11、函数2

212x x y -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

的值域是 ( )

A 、R

B 、(0，＋∞)

C 、(2，＋∞)

D 、⎪⎭

⎫⎢⎣⎡∞+，21

12、若函数()2

21

x x f x a -+=在()1,3上是减函数，则关于x 的不等式1x a >的解集为

（ ）

A. {}

1x x B. {|1}x x < C. {}

0x x D. {|0}x x <

典例导悟： 13、化简

（1）)0,0)(3

1

()3)((65

613

1212132>>÷-b a b a b a b a

（2）()0

4130.753

3

50.064[(2)]169---⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭

；

14、已知函数()()10x f x a x -=≥.其中0a >且1a ≠. （1）若0x ≥的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

，求a 的值； （2）求函数()()0y f x x =≥的值域.

15、已知定义在R 上的函数x

x x f 2

12)(-=.

（1）若f (x )=

2

3

，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+⋅t mf t f t

对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.

16、已知函数3

4231)(+-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=x ax x f .

（1）若1-=a ，求)(x f 的单调区间； （2）若)(x f 有最大值3，求a 的值.

17、已知定义域为R 的函数122()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数．

（1）求b a ,的值；

（2）关于x 的不等式f(x)21

02

t t -+

<，对任意x R ∈恒成立，求t 取值范围