01.3概率的公理化定义及概率的性质

性质2
4
47
ሜ =
()
4
50
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较
易时，可以利用性质2.
15
02
概率的运算性质
例2 （“分房模型”的应用）
恰有 k 个盒子中各有一球
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率.
P( A)
k
C 365
k!
365k
k
A365
18
02
概率的运算性质
例4 A,B是两个事件，已知 P ( B ) 0.3，P( A
B ) 0.6，
求 P ( AB ).
解 P ( AB ) P ( A AB ) P ( A) P( AB).
而 P( A
B ) P ( A) P ( B ) P ( AB) 0.6.
=
4
21
10
26
02
概率的运算性质
例10 已知() = 0.6，() = 0.2，() = 0.3，
求 ； ∪ .
解 = − = 0.3 − 0.2 = 0.1
∪ = 1 − ∪ = 1 −
= 1 − 0.1 = 0.9
件A发生的概率，并记 P ( A) p.
不足：不精确不严格不便使用.
公理化定义 通过规定概率应具备的基本性质来定义
概率.
4
01
概率论的公理化定义
概率的公式化定义
设随机试验E 的样本空间为S， 若对E 的每一事件
A 都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下列三条公理，
则称P(A) 为事件A 的概率.

五、概率的公理化定义及性质概率的公理化定义：(1)定义：随机试验的样本空间Ω对于随机事件A ，赋于一个实数，记为P A ()，称为事件A 的概率，如果集合函数P ()⋅满足下列条件：1) 对于任一事件A ，有P A ()≥0。

2)P ()Ω=13)设A A 12,, 是两两互不相容的事件，即对于i j A A i j i j ≠=∅=,,,,,12则有P A A P A P A ()()()1212=++1)P ()∅=0证明:设A n n =∅=,,,12 ，，则An n =∅=∞,1 P A P P P n n ()()()(),=∞=∅+∅+=∅1 P ()∅≥0∴P ()∅=0(2)性质：2) A A A n 12,, 是两两互不相容的事件，则有P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++ 证明:设 A i n n i =∅=++,,,12 ，则 ∞====∅∅=111i n i n i i i i A A A ,)( n i i i i A P A P 11=∞==)()(=++++∅+P A P A P A P n ()()()()12 =+++P A P A P A n ()()()12 ∴P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++3)设B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-且 )()(B P A P ≤。

证明: B A B A A B A =--=∅(),()且由性质2）：P B P A B A P A P B A ()(())()()=-=+- ∴P B A P B P A ()()()-=- P B A ()-≥0∴-≥P B P A ()()0即P B P A ()()≥ABB-A =B -AB 推论：)()()(AB P B P A B P -=-证明:AB B A B -=- BAB ⊂)()()()(AB P B P AB B P A B P -=-=-∴A5)P A P A ()()=-1A A 证明： A A AA ==∅Ω,∴=+=+=P P A A P A P A ()()()()Ω1∴=-P A P A ()()14)P A ()≤1证明： A ⊂Ω,∴≤=P A P ()()Ω1P ()Ω=1B B-AB6))()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 证明：P A B ()))((AB B A P -= )()()(AB P B P A P -+=)()(AB B P A P -+=(2)性质：1)P ()∅=0(逆不成立)2)A A A n 12,, 是两两互不相容的事件，则有P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++ (不相容的加法公式)3)设B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-且 )()(B P A P ≤。

于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 两个基本概率模型 古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有 有限个样本点。 m P ( A) n 几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有几 何度量。 L A P( A) L
A1 4只鞋子中恰有两只配成一双
于是 A A1 A2，且A1 A2 , 则 P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
1 2 2 2 C5 [C4 2 ] C5 13 4 4 21 C10 C10
另解 设A 4只鞋子都不能配成双
( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时
刻, 那末 0 x T , 0 y T .
两人会面的充 T 上点的坐标 , 则有如图区域。
a
针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, 表示针与该平行直线的 夹角.
M x
那么针落在平面上的位 置可由( x , )完全确定.
投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a {( x , ) | 0 x ,0 } 2 中的所有点一一对应 .
概率的可列可加性
2. 性质 (1) P ( ) 0.
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).

性质6 对于任意两个事件A，B，则有 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B )
推广1 对于任意三个事件A，B，C，则有 P(A B C)P(A)P(B)P(C) P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)
为求P(A), 先求P( A )
P(
A)
P3r65 (365)r
P(A)1P(A)1(3P3r66)5r5
性质4 如果 A B ，则有 P ( B A ) P ( B ) P ( A ) P(B)P(A)
性质5 对于任意两个事件A，B，则有 P ( B A ) P ( B ) P ( A B )
A={三次没有取到红球}, B={三次没有取 到白球}
我们介绍了
概率的公理化定义
它给出了概率所必须满足的最基本的 性质，为建立严格的概率理论提供了一个 坚实的基础.
由概率所必须满足的三条公理，我们 推导出概率的其它几条重要性质. 它们在 计算概率时很有用，尤其是加法公式.
谢谢
推广2 பைடு நூலகம்A1, A1,…… An 为n个随机事件，有
PP(A(1AA2B CA)n)Pn(AP)(Ai)P(B)PP((ACiA)j)
iP1(AB)1P i(jAnC)
P(AiAjAk)P(B(C 1))n1P P((AA1B A2C)An) 1ijkn
例4 袋中装有红,白,黑球各一个,每次从袋 中人取一个球,记录颜色以后再放回袋中, 这样连取3次,求三次都没有取到红球或三 次都没有取到白求的概率?
由概率的三条公理，我们可以推导 出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质.
性质1 P()0