《复变函数》考试试题（三）
一. 判断题. (20分).
1. cos z 与sin z 的周期均为πk
2. ( )
2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )
3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )
4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )
5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )
6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )
7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D
上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则 )1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）
8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.
( )
9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )
10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )
二. 填空题. (20分)
1. 设11)(2+=
z z f ，则f (z )的定义域为___________.
2. 函数e z 的周期为_________.
3. 若n n
n i n n z )1
1(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________. 5. =-⎰=-1||00)
(z z n z z dz _________.（n 为自然数）
6. 幂级数∑
∞=0n n nx 的收敛半径为__________.
7. 设11)(2+=
z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________. 8. 设1-=z e ，则___=z .
9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim
0=→z f z z .
10. ____)0,(Res =n z z e
.
三. 计算题. (40分)
1. 将函数12
()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.
2. 试求幂级数n
n n
z n n ∑
+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z z e )
9(d 22，其中C 是1||=z . 4. 求028226
9=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数.
四. 证明题. (20分)
1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.
2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时 n z M z f |||)(|≤，
证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
