二次根式知识点归纳

二次根式知识点二次根式是初中数学中一个重要的知识点。

在学习二次根式之前，我们首先来了解一下根式的定义。

一、根式的概念根式是代表求根运算的一种表示方法。

其中，被开方数叫做被开方数，开方的次数叫做指数，开方的运算叫做根号运算。

开方的基本性质有三个：非负性、唯一性、封闭性。

1. 非负性：对于任意的实数a，当a≥0时，a的平方根存在且唯一。

2. 唯一性：对于任意的实数a，其平方根是唯一的。

3. 封闭性：平方根的运算封闭在非负实数集合内。

二、二次根式的定义二次根式是指指数为2的根式，也即平方根。

如果a≥0，那么二次根式√a就是等于非负实数b的平方根。

例如，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。

三、二次根式的化简在计算二次根式时，有时需要对二次根式进行化简。

化简的目的是为了得到最简形式的二次根式。

二次根式的化简原则如下：1. 提出因式：如果二次根式中有完全平方因子，可以将其提出根号外部。

2. 合并同类项：如果根式中有相同的根号，则可以将其合并并进行运算。

3. 分解质因数：如果根式中的被开方数可以分解为质因数的乘积，那么可以在根号内部进行分解。

化简二次根式的过程需要掌握一定的分解质因数的技巧，并且需要熟练掌握平方数的求法。

四、二次根式的运算规则在二次根式的运算过程中，需要掌握以下几个基本的运算规则。

1. 加减运算：二次根式之间可以进行加减运算，但要求被开方数、指数相同。

2. 乘法运算：二次根式之间可以进行乘法运算，运算后仍然是二次根式。

3. 除法运算：二次根式之间可以进行除法运算，运算后仍然是二次根式。

4. 有理化：如果二次根式中含有分母，可以通过有理化的方法将其变为无理数的形式。

掌握了这些运算规则，我们可以在计算中利用它们进行简化和优化，使得计算更加方便和高效。

五、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛应用，在解决实际问题时也经常会用到。

1. 几何应用：在几何中，二次根式常常用来表示长度、距离等概念。

二次根式的知识点汇总济宁附中李涛【本章难点】(a≥0)是一个非负数的理解，对等式2＝a(a ≥0)a (a ≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

a aa baba ÷b aa 2a2a2a2【学习目标】北师大版八年级上册数学第 7 讲《二次根式》知识点梳理1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质1. ≥0，（a≥0）；2. （a≥0）；3. .4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，=(或=÷ b )即（a ≥0，b >0）.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即a = ( a )2(a≥0）.（2）与( a )2 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，( a )2 中a ≥0，中a 为任意值。

② a ≥0 时，( a )2 = =a ；a <0 时，( a )2 无意义，= -a .要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；1 3 - 3 (- 1)23 1- x x -1 x + 2 3 - 2x -32 (-0.3)2 -2 x（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2） 含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1. 当 x 为实数时，下列各式有个. 【答案】 3.x 2 , x 2 -1, x , x 3 , (-x )2, ， ， ， 属二次根式的【解析】 x 2 , x , 这三个式子满足无论 x 取何值，被开方数都大于或等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0．举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.（1） ；（2） ； （3） -A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B.；（4） 3 8 ； （5） ；（6） （ x > 1 ）2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1） y = ； （2）y= － ；【答案与解析】 （1） x -1≥0，所以 x ≥1.3（2） x + 2 ≥0,3 - 2x ≥0,所以-2 ≤x ≤ 2 ； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.A. B. C. D.(-x )2x 2 +1(- 3)2 4 (3.14 -π)2(m +1)2 2 5 【答案】B.类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：-2 ⨯ (1) (2) 【答案与解析】(1)原式=-2 ⨯ =- 3 2 . (2) 原式= 3.14-π=π-3.14 .【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三：【变式】（1）（2） a - 2 - ( = . 2 - a )2 =.【答案】(1) 10； (2) 0.4. （ 2015• 蓬溪县校级模拟） 已知： 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示， 化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上 a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且 b ＞a ，故 a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三：= m +1,且m <, 【变式】若整数m 满足条件则m 的值是 .【答案】m =0 或m =-1. 3 4 (-2 5 )2 21 5 0.1 15 12 类型三、最简二次根式5. （2016•濉溪县校级月考） 下列根式中，最简二次根式共有 个. 【思路点拨】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.【答案与解析】【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1) 被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三：【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ． D.2【答案】C.。

第⼗六章⼆次根式知识点归纳第⼗六章⼆次根式知识点归纳⼀、形如（）的式⼦叫做⼆次根式。

注：在⼆次根式中，被开⽅数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平⽅根，所以是为⼆次根式的前提条件，⼆次根式成⽴应满⾜两个条件：第⼀，有⼆次根号“”；第⼆，被开⽅数是正数或0．三、⼆次根式（）的双重⾮负性：1、被开⽅数⾮负。

2、a的值⾮负。

四、⼆次根式的化简。

1、化简2a时，⼀定要弄明⽩被开⽅数的底数a是正数还是负数或0.2a=∣a∣①若a是正数，则∣a∣等于a本⾝；②若a是负数，则∣a∣等于a的相反数-a,③若a是0，则∣a∣等于0.2、()2a=a (a≥0).3、被开⽅数是乘积⽤ab =a ·b（a≥0，b≥0）化，4、被开⽅数是商的形式⽤ab=ba（a≥0，b>0）或ba=b1ab5、最简⼆次根式应满⾜的条件：（1）被开⽅数不含分母或分母中不含⼆次根式；（2）被开⽅数中的因数或因式不能再开⽅。

（五）⼆次根式的加法和减法1 同类⼆次根式⼀般地，把⼏个⼆次根式化为最简⼆次根式后，如果它们的被开⽅数相同，就把这⼏个⼆次根式叫做同类⼆次根式。

2 合并同类⼆次根式把⼏个同类⼆次根式合并为⼀个⼆次根式就叫做合并同类⼆次根式。

3⼆次根式加减时，可以先将⼆次根式化为最简⼆次根式，再将被开⽅数相同的进⾏合并。

（六）⼆次根式的混合运算 1确定运算顺序2灵活运⽤运算定律3正确使⽤乘法公式4⼤多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲⽬有理化（七）分母有理化分母有理化：利⽤分式的基本性质，分⼦与分母同时乘以分母根号本⾝。

构成()2a 化去分母中的根号。

分母有理化有两种⽅法I.分母是单项式 II.分母是多项式要利⽤平⽅差公式注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

第⼗七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直⾓三⾓形的两直⾓边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。