高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值教师用书 理 苏教版

1 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值教师用书 理 苏教版

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得

条件 对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0) 对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)

结论 f(x0)为最大值 f(x0)为最小值

【知识拓展】 2 函数单调性的常用结论

(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数，fx1－fx2x1－x2<0⇔f(x)在D上是减函数.

(2)对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a].

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)

(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × )

(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )

(4)所有的单调函数都有最值.( × )

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )

(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( √ )

1.(教材改编)下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是________.(填序号)

①y＝1x； ②y＝2x－1；

③y＝1－x； ④y＝(2x－1)2.

答案 ②

解析 ①y＝1x在(0，2)上为减函数；

②y＝2x－1在(0，2)上为增函数；

③y＝1－x在(0，2)上为减函数；

④y＝(2x－1)2在(－∞，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数.

2.(教材改编)函数y＝ x，x≥0，x2，x<0的单调增区间为__________；单调减区间为 3 __________.

答案 [0，＋∞) (－∞，0)

解析 当x≥0时，y＝x为增函数；当x<0时，y＝x2为减函数.

3.(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________.

答案 (－∞，1]

解析 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.

由图象可知函数f(x)的单调递增区间是[a，＋∞)，

由[1，2]⊆[a，＋∞)，可得a≤1.

4.(2016·盐城模拟)函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间为________.

答案 (0，＋∞)

解析 函数的对称轴为x＝－1，又x>0，

所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞).

5.(教材改编)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.

答案 2 25

解析 可判断函数f(x)＝2x－1在[2，6]上为减函数，

所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.

题型一 确定函数的单调性(区间)

命题点1 给出具体解析式的函数的单调性

例1 (1)(2016·连云港模拟)函数f(x)＝12log(x2－4)的单调递增区间是______________. 4 (2)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为____________.

答案 (1)(－∞，－2) (2)(－∞，－1]，[0，1]

解析 (1)因为y＝12logt，t>0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2).

(2)由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，

二次函数的图象如图.

由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数.

命题点2 解析式含参数的函数的单调性

例2 已知函数f(x)＝axx2－1(a>0)，用定义法判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性.

解 设－1

则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1

＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2x21－1x22－1＝ax2－x1x1x2＋1x21－1x22－1

∵－1

∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0.

又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，

∴函数f(x)在(－1，1)上为减函数.

引申探究

如何用导数法求解例2?

解 f′(x)＝a·x2－1－ax·2xx2－12＝－ax2＋1x2－12，

∵a>0，∴f′(x)<0在(－1，1)上恒成立，

故函数f(x)在(－1，1)上为减函数.

思维升华 确定函数单调性的方法

(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；

(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”； 5 (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.

(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为__________.

答案 [3，＋∞)

解析 设t＝x2－2x－3，则t≥0，即x2－2x－3≥0，

解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，

所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，

在[3，＋∞)上单调递增.

所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞).

(2)已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间.

解 (导数法)依题意知f(x)的定义域为(0，＋∞).

对f(x)求导，得f′(x)＝1x＋2mx＝1＋2mx2x.

当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

当m<0时，令f′(x)＝0，得x＝ －12m.

当x∈(0， －12m)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(0， －12m)上单调递增；

当x∈( －12m，＋∞)时，f′(x)<0，

所以f(x)在( －12m，＋∞)上单调递减.

题型二 函数的最值

例3 (1)函数f(x)＝ 1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________.

答案 2

解析 当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.

故函数f(x)的最大值为2.

(2)已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)，且a≤1. 6 ①当a＝12时，求函数f(x)的最小值；

②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

解 ①当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，

又x∈[1，＋∞)，所以f′(x)＝1－12x2>0，即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

所以f(x)min＝f(1)＝1＋12×1＋2＝72.

②f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞).

(ⅰ)当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数.

最小值为f(1)＝a＋3.

要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，

所以－3

(ⅱ)当0

因为x∈[1，＋∞)，所以f′(x)≥0，即f(x)在[1，＋∞)上为增函数，

所以f(x)min＝f(1)＝a＋3，

即a＋3>0，a>－3，所以0

综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，

a的取值范围是(－3，1].

思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

(1)函数y＝x＋x－1的最小值为________.

(2)函数f(x)＝x2＋8x－1(x>1)的最小值为________.

答案 (1)1 (2)8

解析 (1)易知函数y＝x＋x－1在[1，＋∞)上为增函数，∴x＝1时，ymin＝1.(本题也可用