(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_1函数及其表示教师用书理苏教版

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示教师用书 理

苏教版

1.函数与映射

函数 映射

两集合A、B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空集合

对应法则f：A→B 如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应 如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应

名称 这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射

记法 y＝f(x)(x∈A) f：A→B

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域.

(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法. 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2 3.分段函数

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

【知识拓展】

求函数定义域常见结论

(1)分式的分母不为零； (2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零；

(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(k∈Z)；

(6)零次幂的底数不能为零；

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × )

(3)映射是特殊的函数.( × )

(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.( × )

(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )

1.设f(x)＝ x，x∈－∞，a，x2，x∈[a，＋∞.若f(2)＝4，则a的取值范围为________.

答案 (－∞，2]

解析 因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2].

2.(2016·江苏)函数y＝3－2x－x2的定义域是________.

答案 [－3，1]

解析 要使原函数有意义，需满足3－2x－x2≥0，

解得－3≤x≤1，故函数的定义域为[－3，1].

3.(教材改编)设f(x)＝ 1，x>0，0，x＝0，1，x<0，g(x)＝ 1，x为有理数，0，x为无理数， 则f(g(π))的值为所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 3 ________.

答案 0

解析 由题意得，g(π)＝0，

∴f(g(π))＝f(0)＝0.

4.(教材改编)如果f(1x)＝x1－x，则当x≠0，1时，f(x)＝________.

答案 1x－1

解析 令1x＝t，则x＝1t，代入f(1x)＝x1－x，

则有f(t)＝1t1－1t＝1t－1，∴f(x)＝1x－1.

5.已知f(x)＝1x＋1，则f(f(x))的定义域为________.

答案 {x|x≠－2且x≠－1}

解析 因为f(x)＝1x＋1，

所以f(x)的定义域为{x|x≠－1}，

则在f(f(x))中，f(x)≠－1，即1x＋1≠－1，

解得x≠－2，

所以f(f(x))的定义域为{x|x≠－2且x≠－1}.

题型一 函数的概念

例1 有以下判断： 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 4 ①f(x)＝|x|x与g(x)＝ 1 x≥0－1 x<0表示同一函数；

②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；

④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.

其中正确判断的序号是________.

答案 ②③

解析 对于①，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝ 1x≥0，－1x<0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.

综上可知，正确的判断是②③.

思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).

(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________. 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 5

(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是________.

①y＝x－1和y＝x2－1x＋1；

②y＝x0和y＝1；

③f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；

④f(x)＝x2x和g(x)＝xx2.

答案 (1)2 (2)④

解析 (1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.

(2)①中两个函数的定义域不同；②中y＝x0的x不能取0；③中两函数的对应法则不同.

题型二 函数的定义域问题

命题点1 求函数的定义域

例2 (1)(教材改编)函数f(x)＝x－104－2x的定义域用区间表示为____________.

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是________.

答案 (1)[0，1)∪(1，2) (2)[0，1)

解析 (1)要使函数有意义，需满足 x－1≠0，x≥0，4－2x>0， 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 6 即 x≠1，x≥0，x<2.

∴函数f(x)的定义域为[0，1)∪(1，2).

(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，

又x－1≠0，即x≠1，

所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0，1).

引申探究

例2(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0，2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]”，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域为________________.

答案 [12，1)∪(1，32]

解析 由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]，

得函数y＝f(x)的定义域为[1，3]，

令 1≤2x≤3，x－1≠0，得12≤x≤32且x≠1，

∴g(x)的定义域为[12，1)∪(1，32].

命题点2 已知函数的定义域求参数范围

例3 (1)若函数f(x)＝2221xaxa的定义域为R，则a的取值范围为________.

(2)若函数y＝ax＋1ax2＋2ax＋3的定义域为R，则实数a的取值范围是________.

答案 (1)[－1，0] (2)[0，3)

解析 (1)因为函数f(x)的定义域为R，

所以222xaxa－1≥0对x∈R恒成立，

即222xaxa≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，

因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.

(2)因为函数y＝ax＋1ax2＋2ax＋3的定义域为R，

所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，

即函数t＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点.

当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；

当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0

综上所述，a的取值范围是[0，3). 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 7 思维升华

(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.

(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a

(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.

(1)已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝12(2)log(2)fxx的定义域为______________.

(2)若函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是______________.

答案 (1)[32，2) (2)[0，34)

解析 (1)要使函数y＝12(2)log(2)fxx有意义，

需满足 3≤2x≤6，12log2－x>0⇒ 32≤x≤3，0<2－x<1⇒32≤x<2.

(2)要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立.

①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；

②当m≠0时，要使不等式恒成立，

需满足 m>0，Δ＝4m2－4×m×3<0，