(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_9函数模型及其应用教师用书理苏教

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用教师用书

理 苏教版

1.几类函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)

反比例函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c

(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c

(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

对数函数模型 f(x)＝blogax＋c

(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

2.三种函数模型的性质

函数

性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的单调递增 单调递增 单调递增 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2 增减性

增长速度

越来越快 越来越慢 相对平稳

图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同

值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax

【知识拓展】

1.解函数应用题的步骤

2.“对勾”函数

形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，

在[－a，0)和(0，a]上单调递减.

(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，

当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )

(2)幂函数增长比直线增长更快.( × )

(3)不存在x0，使0xa<0nx

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 3 增长速度.( √ )

(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )

1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元.

答案

2 250

解析 设每台原价是a元，则a(1＋40%)·80%

＝a＋270，解得a＝2 250.

2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________.

答案 y＝22－11100x(0≤x≤200)

解析 流速为22200＝11100，x分钟可流11100x，

则y＝22－11100x(0≤x≤200).

3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________.

答案 p＋1q＋1－1

解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，

∴x＝1＋p1＋q－1.

4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.

答案 3

解析 设隔墙的长度为x(0

∴当x＝3时，y最大.

5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L水，t min后，剩余水y L满足函数关系y＝ae－nt，那么乙桶的水就是y＝a－ae－nt，假设经过5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再过________ min，甲桶中的水只有a8 L.

答案 10 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 4 解析 由题意可得，5 min时，ae－5n＝12a，n＝15ln 2，

那么ln25eta＝18a，∴t＝15，即再过10 min，甲桶中的水只有a8 L.

题型一 用函数图象刻画变化过程

例1 某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元).

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 5

分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.

解 设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元.

由题意设f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2x(x≥0).

由图①知f(1)＝14，∴k1＝14.

由图②知g(4)＝52，∴k2＝54.

∴f(x)＝14x(x≥0)，g(x)＝54x(x≥0).

思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 6 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

解 (1)设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(300,35)，C(300，15)分别代入得k1＝150，k2＝120.

∴y1＝150x＋29，y2＝120x.

(2)令y1＝y2，即150x＋29＝120x，得x＝96623.

当x＝96623时，两种卡收费一致； 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 7 当x＜96623时，y1＞y2，即“如意卡”便宜；

当x＞96623时，y1＜y2，即“便民卡”便宜.

题型二 已知函数模型的实际问题

例2 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10 lgII0(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：

(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；

(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？

解 (1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为

L2＝10 lgI2I0＝10 lg 1＝0(分贝)；

耳语的强度水平为

L3＝10 lg I3I0＝10 lg102＝20(分贝)；

恬静的无线电广播的强度水平为

L4＝10 lg I4I0＝10lg 104＝40(分贝).

(2)由题意知0≤L1<50，即0≤10lg II0<50，

所以1≤II0<105，即1×10－12≤I<1×10－7.

所以新建的安静小区的声音强度I大于等于1×10－12 W/m2，同时小于1×10－7 W/m2.

思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

(3)利用该模型求解实际问题. 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 8 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.

(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为________.

答案 (1)19 (2)2

解析 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.

(2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·x100，令104·(100－10x)·70·x100≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2.

题型三 构造函数模型的实际问题 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 9 命题点1 构造二次函数模型

例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定________元.

答案 95

解析 设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225].

∴当x＝95时，y最大.

命题点2 构造指数函数、对数函数模型

例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

解 (1)光线通过1块玻璃后，强度y＝(1－10%)k＝0.9k；

光线通过2块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.9k＝0.92k；

光线通过3块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.92k＝0.93k；

……

光线通过x块玻璃后，强度y＝0.9xk.

故y关于x的函数解析式为y＝0.9xk(x∈N*).

(2)由题意，得0.9xk

即0.9x<14，两边取对数，得xlg 0.9

因为lg 0.9<0，所以x>lg14lg 0.9.

又lg14lg 0.9＝－2lg 22lg 3－1＝－0.602 00.954 2－1＝－0.602 0－0.045 8≈13.14，

且x∈N*，所以xmin＝14.

故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下.

命题点3 构造分段函数模型

例5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥