高三数学圆与圆的位置关系试题
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高三数学圆与圆的位置关系试题
1. 已知,．若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】表示单位圆O及其内部，表示以为圆心，为半径的圆C及其内部，因为是的充分非必要条件，所以圆O在圆C内，因此.
【考点】圆与圆位置关系
2. 若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．
【答案】4
【解析】依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．
(1)求圆弧C2所在圆的方程；
(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．
【答案】（1）x2＋y2－28x－29＝0.（2）P不存在（3）
【解析】(1)由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则，解得
所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.
(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.由
解得x＝－70(舍去)；
由解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．
(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋， 即＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.
4. 已知圆C1：x2＋y2－2y＝0，圆C2：x2＋(y＋1)2＝4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且直线PC1，PC2的斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹M的方程；
(2)是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得|C1C|＝|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在
【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，
设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0)．
由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．
所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．
(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．
联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①
依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－
当－
则x1＋x2＝，则x0＝＝，
所以y0＝k(x0－2)＝k＝.
要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，
所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，
因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，
所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，
综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.
5. 圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3两圆的圆心距离为＝，则R－r<
6. 若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】本题是圆与圆相交问题，从已知可知圆的直径是圆的弦，从而弦心距也即圆心距为1．故有．
【考点】圆与圆相交，圆的性质．
7. 圆与圆的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D相离
【答案】B
【解析】两圆圆心间的距离，两圆半径的差为和为，因为，故两圆相交，选B.
【考点】圆与圆的位置关系.
8. 已知圆，圆，动圆与已知两圆都外切.
（1）求动圆的圆心的轨迹的方程（2）直线与点的轨迹交于不同的两点、，的中垂线与轴交于点，求点的纵坐标的取值范围.
【答案】（1）动圆的圆心的轨迹的方程为：；（2）
【解析】（1）两圆外切，则两圆圆心之间的距离等于两圆的半径之和，由此得将两式相减得：
由双曲线的定义可得轨迹的方程；
（2）将直线的方程代入轨迹的方程，利用根与系数的关系得到、的中点的坐标（用表示），从而得的中垂线的方程。再令得点的纵坐标（用表示）。根据的范围求出点的纵坐标的取值范围.
（2）题中要利用及与双曲线右支相交求的范围，这是一个易错之处
试题解析：（1）已知两圆的圆心、半径分别为
设动圆的半径为，由题意知：
则
所以点在以为焦点的双曲线的右支上，其中，则
由此得的方程为： 4分
（2）将直线代入双曲线方程并整理得：
设的中点为
依题意，直线与双曲线右支交于不同两点，故
且
则的中垂线方程为：
令得： 12分
【考点】1、两圆外切的性质；2、双曲线的定义及方程；3、直线与圆锥曲线的关系
9. 若圆与圆关于直线对称，则的方程为 ． 【答案】 【解析】根据已知中圆可知，圆心为原点，而，化为标准式为，圆心为（2，-2），那么可知圆心连线所在直线的斜率为-1，对称轴所在直线的斜率,1，且两圆心的中点（1，-1），则根据点斜式方程得到为y+1=x-1,化简得到为。 【考点】本试题考查了圆与圆的位置关系的运用。 点评：解决该试题的关键是理解对称轴所在直线的求解的斜率就是圆心连线的斜率的负倒数，同时过两圆圆心的中点，那么利用点斜式方程得到结论。属于基础题。
10. 一动圆与圆外切，与圆内切.
(I)求动圆圆心M的轨迹方程．(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点，使直线与的斜率？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）
【答案】(I) (II) 圆心M的轨迹上存在四个点，使直线与的斜率.
【解析】 解：（1）设动圆圆心为，半径为．
由题意，得，， (1分)
, 由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上， (3分)
且，． (5分)
动圆圆心M的轨迹方程为． (6分)
(II) 由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为和 (7分)
设是椭圆上的点，由得 (9分)
即，这是实轴在轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.
即圆心M的轨迹上存在四个点，使直线与的斜率. (12分)
11. 已知圆及点,在圆上任取一点,连接,做线段的中垂线交直线于点.
(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹的方程;
(2)设轨迹与轴交于两点,在轨迹上任取一点，直线分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆过两个定点,并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为
【解析】本试题主要考查了运用双曲线定义求解轨迹方程，以及利用直径的两端点坐标求解圆的方程的综合运用试题。
解:（1），
又
点轨迹是以为焦点的双曲线……………4分
（2）
……………8分
以为直径的圆方程……………9分时，……………11分
定点为
12. 设圆与圆外切，与直线相切，则的圆心轨迹方程为 【答案】 【解析】设圆C的圆心为，由几何位置关系值圆心C在直线的右侧，又圆C与直线相切,则圆C的半径为x+1;又根据圆与圆外切可得： ，化简得 13. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ． 【答案】
【解析】略
14.
两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为
（
）
A．
B．
C． D．
【答案】C
【解析】略
15. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程
【答案】
【解析】略
16. （4-1几何证明选讲）（本小题10分）
如图圆O和圆相交于A，B两点，AC是圆的切线，AD
是圆O的切线，若BC=2，AB=4，求BD.
【答案】
【解析】如图圆O和圆相交于A，B两点，AC是圆的切线，AD是圆O的切线，
若BC=2，AB=4，求BD.
解答：易证∽，…………5分
所以，…………10分
17. 圆O1：和圆O2：的位置关系是
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】B
【解析】，，。
18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系中，
已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，
求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，
它们分别与圆和圆相交，且直线被圆
截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
【答案】(1) 或，(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。
【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： w.w.w.k.s 化简得：求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故有：，化简得：
关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解之得：点P坐标为或。
19. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，，两点的横坐标之积为6，设圆与圆相交于，两点，直线：，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】设圆， 圆， 故是关于的方程的两根 因此由韦达定理得，所以点在圆上，其到直线距离就是点与直线上任意一点之间的距离的最小值，为 【考点】直线与圆位置关系 20. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆的方程化为一般方程为：，根据圆的标准方程知圆心坐标为，所以答案为：C． 【考点】1．配凑法；2．圆的标准方程．
