2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题（PDF版）
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2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题（PDF版）
哈师大附中2017级高三学年上学期期中考试
数 学 试 题（文科）
第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数i ai
-+21为纯虚数，则实数a 为( )
A.2
B.2-
C.21-
D.21
2.若向量)2,1(),3,2(-==b a ,则=-?)2(b a a ( )
A.8
B.7
C.6
D.5
3.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若1111,27m m m a a a a -+=++=,且45m S =，则 m =( )
A.8
B.9
C.10
D.11
4.设αβ，为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α，β平行于同一条直线
C ．α内有两条相交直线与β平行
D ．α，β垂直于同一平面 5.已知曲线x e a x f )12()(+=在0=x 处的切线过点)1,2(,则实数=a
( )
A.3
B.3-
C.31
D.31
-
6.函数2sin()()sin()2x x
f x x x ππ-+=++在],[ππ-的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 若把函数()sin(2)()2f x x π??=+
对称，将其图象沿轴向右平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象,则()()y f x g x =-的最大值为( )
A ．
3 B ． 2
C ．12
D ．1
8. 如图，三棱锥A BCD -中，90DAB DAC BAC ∠=∠=∠=?，1AB
AD AC ===，
,M N 分别为,CD BC 的中点，则异面直线AM 与DN 所成角余弦值为( ) A. 16
B. 6
C. 6
D. 56
9. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，那么;②如果，那么;
③如果，那么;④如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
10. 定义在R 的函数)(x f 满足)1()1(+-=+x f x f ，当1≠x 时，恒有)()(x f x f x '>'成立，若21<<="" ，)(log="">
A. c b a >>
B.a b c >>
C. b c a >>
D.c a b >>
11. 在ABC ?中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ?=?+?，则三角形的ABC ?形状是（ ） A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．无法确定
12.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()3()0xf
x f x '+>，则关于x 的不等式x ,αβ,m n ,,//m n m n αβ⊥⊥αβ⊥,//m
n αα⊥m n ⊥//,m αβα?//m β//,//m n αβm αn β
3
1(3)(3)03x f x f ??---<
的解集（ ） A.)6,3( B.)3,0( C.)6,0( D.),6(+∞ 第Ⅱ卷 （非选择题,
共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13.
已知cos 44πα??+=
,则=α2sin . 14.已知等比数列}{n a 的首项为1a ，前n 项和为n
S ,若数列{}12n S a -为等比数列，则
32a a = . 15.已知,08,0,0=-++>>xy y x y x 则xy 的最大值是 .
16.在四棱锥ABCD P -中,⊥PA 底面ABCD ,,2,//,===⊥AP DC AD DC
AB AB AD ,若点E 为棱PC 上一点,满足AC BE ⊥,则=EC
PE . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知关于x 的不等式|2|1()x m m R -≤∈的解集为[0,1].
（1）求m 的值；
（2）若,,a b c 均为正数，且a b c m ++=，求
111313131
a b c +++++的最小值. 1=AB 18．（本小题满分12分）
已知ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ，且满足sin
cos()6c B b C π=-
. （1）求角C 的大小；
（2）若ABC ?的周长为12，面积为.
19．（本小题满分12分）
三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中
点，M 为AB 中点 .
（1）求证：//FM 面11A ACC ；
（2）求证：AF BC ⊥
20.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2
(1)n n n a S n +=+，且11a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1132n a
n n b a -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，BCD ∠=135°，
PA ⊥底面ABCD ，
2AB AC PA ===，,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD
上．[来源:]
（1）求证：面EMF ⊥面PAC ；
（2）若M 为线段PD 的中点，求直线ME 与平面PAD 所成角的正切值．
22．（本小题满分12分）
已知函数2()2x k
f x e x =-由两个不同的极值点12,x x .
（1）求实数k 的取值范围；
（2）证明：122x x +>.
哈师大附中2017级高三学年上学期期中考试
数 学 答 案（文科）
一、选择题
15:;610:;11,12ADBCD DDBCA B A --
二、填空题
31113.;14.;15.4;16.423
三、解答题
17. （本小题满分10分）
（1）112|112122
m m x m x m x -+-≤?-≤-≤?≤≤， 由已知解集为[0,1]得102112
m m -?=+?=??解得1m =；……5分 （2）1a b c ++=
[(31)(31)3(1)]a b c +++++2111(
)(111)313131a b c ++≥+++++ 当且仅当13a b c ===时，111313131a b c +++++的最小值32
……10分 （注：“当且仅当13
a b c ===
时”不写，扣2分） 18. （本小题满分12分） （1）由正弦定理得，sin sin sin cos(
)6C B B C π
=-，sin 3cos C C = 即tan C =3C π=
； ……6分
（2）由余弦定理得222c a b ab =+-，342
321==ab S ,12=++c b a 解得4===c b a
……12分 19. （本小题满分12分）
（1）取AA 1中点N ，连结C 1N ，ND ，取C 1N 中点E ，连结EF ，AE ，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB 为平行四边形，∴AB//ND ，AB=ND ，∵NE=EC 1，C 1F=FD ，∴ND EF 2
1//=，又∵ND AM 21//=∴四边形MAEF 为平行四边形，∴MF//AE ，∵?MF 面11A ACC ，AE ?面11A ACC ，//FM 面11A
ACC .……6分
（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F
三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC ，D 为1B B 中点，所以四边形1BDC C 为梯形，
又P 为BC 中点，F 为线段1C D 的中点，所以1//PF CC ，
三棱柱111
ABC A B C -中，11//AA CC ，所以1//AA PF ，所以AF ?平面1A APF ， 三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且BC ?平面ABC ，所以1AA BC ⊥①
正三角形中， P 为BC 中点，则AP BC ⊥②
由①②及1AA AP A =得BC ⊥平面1A APF ，所以AF BC
⊥ ……12分
20. （本小题满分12分） （1）2(1)n n n a S n +=+，
2n ≥时，211(1)(1)(1)n n n a S n ---+=+-，
两式相减得： 1(1)(1)2(1)n n n a n a n ----=-……2分
因为2n ≥，所以12n n a a --=，……4分
又11a =，所以数列{}n a 为首项11a =，公差2d =的等差数列，所以21n a n =-.……6分
（2）11232
234n a n n b n n --=+=+……8分
2(22)(41)341241
n n n n n T n n +-=+=++-- ……12分 21. （本小题满分12分）
(1)∵⊥PA 面ABCD ，EF ?面ABCD ，∴EF ⊥AP
在ABC ?中，AB=AC ，?=∠=∠45ACB ABC ，∴AB ⊥AC ，
又BE AF =
//，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AB//EF ，因此，A C ⊥EF
AP AC=C ，AP ?面PAC ，AC ?面PAC ，∴EF ⊥面PAC
又EF ?面EMF ，∴面EMF ⊥面PAC . ……6分
（2）连接,AE AM
//ABC AB AC E BC AE BC AE AD ABCD AD BC =?⊥??⊥??
中，为的中点 中①
PA ABCD AE PA AE ABCD ⊥??⊥
平面平面② 由①②及PA AD A =得AE PAD ⊥平面
所以AM 是EM 在平面
PAD 中的射影，EMA ∠是EM 与平面PAD 所成的角； (9)
分 等腰直角三角形ABC ，
2AB AC ==
，所以AE =
