黑龙江省哈师大附中2020_2021学年高二数学上学期期中试题文

1 黑龙江省哈师大附中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文

第I卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线350xy的倾斜角为（ ）

A．30° B．60° C．120°

D．150°

2．直线l过点(－1, 2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是（ ）

A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0

3．抛物线22yx的焦点坐标是（ ）

A．1(,0)4 B．1(,0)2 C．1(0,)4

D．1(0,)8

4．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是线段F1P的中点，|OM|＝3，则点P到椭圆左焦点F1的距离为（ ）

A．3 B．4 C．5

D．6

5．点P(4, －2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

6．过原点的直线l与双曲线226xy交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ）

A．4 B．1 C． 12 D．14

7．如果椭圆193622yx的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程（ ）

A．02yx B．042yx

C．01232yx D．082yx

8．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（ ）

A．42 B．83 C．24

D．48

9．过点(1,2)的直线被圆229xy所截弦长最短时的直线方程是（ ）

A．250xy B． 20xy

C．230xy D．20xy

10．若点P为抛物线22xy上的动点，F为抛物线的焦点，则||PF的最小值为（ ）

A． 2 B．21 C．41 D．81

11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线x24－y25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则A点的横坐标为（ ）

A．22 B．3 C．23 D．4

12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，1A,2A,1B,2B为椭圆

的顶点，2F为右焦点，延长12BF与22AB交于点P，若12BPB为钝角，

则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A．52(,1)2 B．52(0,)2 2 ABFCPEDC．51(,1)2 D．51(0,)2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)

13． 若x，y满足约束条件1020220xyxyxy，则zxy的最大值为____________．

14．设双曲线C经过点(2，2)，且与2214yx具有相同渐近线，则双曲线C的方程为____________．

15．倾斜角为4的直线l经过抛物线24yx的焦点F，与抛物线相交于,AB两点，则弦AB的

长为 ____________．

16．过双曲线22115yx的右支上一点P，分别向圆221:44Cxy和圆222:41Cxy

作切线，切点分别为,MN，则22PMPN的最小值为____________．

三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题 10 分）已知动圆M过点(2,0)F，且与直线2x相切．

（Ⅰ）求圆心M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）斜率为1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点,AB，求线段AB的垂直平分线方程．

18．（本小题 12 分）已知函数()36fxx，()3gxx．

（Ⅰ）求不等式()()fxgx的解集； （Ⅱ）若()3()fxgxa对于任意xR恒成立，求实数a的最大值．

19．（本小题 10 分）已知圆22:(3)(4)4Cxy．

（Ⅰ）若直线1l过定点(3,0)A，且与圆C相切，求直线1l的方程；

（Ⅱ）若圆D半径为3，圆心在直线2:20lxy上，且圆C外切，求圆D的方程．

20．（本小题 12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，△PAD 为

正三角形，且E，F分别为AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：DF∥平面PEB；

（Ⅱ）求证：BC⊥平面PEB．

21．（本小题 12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率22e，且过点)22,1(.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点(1,0)P的直线l与椭圆C交于A,B两点，若OBOA，求直线l方程．

22．（本小题 12分）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条 3 GABFCPED互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，||4AB．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求使||||ABCD取最小值时直线AB的方程．

哈师大附中2020-2021学年度高二上学期期中考试

数学参考答案（文科）

一、选择题

题号 1 2 3

4 5 6 7 8 9

10

11 12

答案 C A D B A C D C A D B

D

二、填空题

13．23； 14．112322yx； 15．8； 16．13．

三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．解：（Ⅰ）设动点(,)Mxy，则22(2)|2|xyx

化简得轨迹E的方程： 28yx

（Ⅱ）由228yxyx，得21240xx

设1122(,),(,)AxyBxy，AB中点00(,)Mxy

则12062xxx，0024yx

所以，AB垂直平分线方程为100xy

18．解：（Ⅰ）设直线1l的方程为(3)30ykxkxyk即：，则

圆心到1l的距离d为：24231dkk 所以，直线1l的方程为333xy或333xy

（Ⅱ）设圆心(,2)Daa，则||5CD

22(3)(2)532aaaa或

所以，圆D的方程为：2222(3)(1)9(2)(4)9xyxy或

19．解：（Ⅰ）由fxgx，得363xx，

平方得22363xx，

得2842270xx，即29430xx，

解得92x或34x.

故不等式fxgx的解集是93,,24.

（Ⅱ）若232fxgxaa恒成立，即3639xxa恒成立.

只需min(3633)xxa即可.

而3639363915xxxx，

所以15a

故实数a的最大值为15.

20．证明：（Ⅰ）取PB中点G，因为F是PC中点，

∴FG∥BC，且FG21BC

∵E是AD的中点，则DE∥BC，且DE21BC

∴FG∥DE，且FG=DE 4 ∴四边形DEGF是平行四边形，∴DF∥EG

又∵DF平面PEB，EG平面PEB

∴DF∥平面PEB．

（Ⅱ）因为E是正三角形PAD边为AD的中点，则PE⊥AD．

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，

∴正三角形BAD中，BE⊥AD，

∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PEB

∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB．

21．解：（Ⅰ）由22ace，得222ba，又121122ba，解得1,222ba

∴椭圆C的方程为1222yx

（Ⅱ）设1:myxAB，

由22122yxmyx，得012)2(22myym

0，设1122(,),(,)AxyBxy

∴21,22221221myymmyy，

∴22212221)(2222222121221mmmmmmyymyymxx

∵OBOA，∴0OBOA

∴0221222121mmyyxxOBOA，得22m

∴直线AB方程为022yx或022yx.

22．解：（Ⅰ）由题意知1,242ceaa．又222abc，解得2,3ab，

所以椭圆方程为22143xy．

（Ⅱ）①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，

由题意知|AB|+|CD|=7，不满足条件．

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为(1)ykx，

则直线CD的方程为1(1)yxk，设1122(,),(,)AxyBxy