北师大版七年级数学上册 第五章《一元一次方程》压轴题型：数轴上的行程问题

北师大版数学七年级上册第五章一元一次方程微专题——应用题动点类训练31.如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．(1)求线段MN的长度．(2)根据第(1)题的计算过程和结果，设AC=a，BC=b，其他条件不变，则MN=______ ．(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s 的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动.设点P的运动时间为t(s).当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，求时间t．2.已知数轴上有两点A、B，点A表示的数是4，点B表示的数是−11，点C是数轴上一动点．(1)如图1，若点C在点B的左侧，且BC：AB=3：5，求点C到原点的距离．(2)如图2，若点C在A、B两点之间时，以点C为折点，将此数轴向右对折，当A、B两点之间的距离为1时，求C点在数轴上对应的数是多少？(3)如图3，在(1)的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度的2倍少5个单位长度/秒．经过4秒，点P、Q之间的距离是点Q、R之间距离的一半，求动点Q的速度．3.距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题。

唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸。

研究数轴我们发现：若点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B两点之间的距离为AB=|a−b|。

已知如图，点O为原点，点A、B在数轴上对应的数分别为−2和6。

(1)①A，B两点之间的距离为__________;②点R是数轴上一点，若点R到点A的距离为6(RA=6)，则点R在数轴上对应的数为___。

(2)数轴上有一动点T，当点T以每秒1个单位长度的速度从O点向左匀速运动时，点A也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后T点到A、B两点的距离相等？4.如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒钟时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的运动速度比之是3∶2(速度单位：1个单位长度/秒)．(1)直接写出动点A的运动速度是___个单位长度/秒，动点B的运动速度是___个单位长度/秒；(2)A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；(3)若A、B两点分别从(2)中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：运动到几秒钟时，A、B两点之间相距4个单位长度？5.如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，点P，Q在线段AB上来回运动，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动.设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．(1)AC=______cm，BC=______cm；(2)当t=______秒时，点P与点Q第一次重合；当t=______秒时，点P与点Q第二次重合；(3)当t为何值时，AP=PQ？6.已知，线段AB上有三个点C、D、E，AB=18，AC=2BC，D、E为动点(点D在点E的左侧)，并且始终保持DE=8．(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；(2)如图2，点F为线段BC的中点，AF=3AD，求AE的长；(3)若点D从A出发向右运动(当点E到达点B时立即停止)，运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD、BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．7.如图，线段AB=36cm，动点P从A出发，以3cm/秒的速度沿射线AB运动，点M为AP的中点．(1)点P出发多少秒后，PB=2PM；(2)当点P在线段AB上运动时，试说明2BM−BP为定值；(3)当点P在线段AB延长线上运动，点N为BP的中点时，请判断线段MN的长度是否发生改变，若改变，请说明理由；若不改变，请求其值．8.已知a是最大的负整数，b是−6的相反数，c=−|−2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．(1)a=______，b=______，c=______；(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？(3)在(2)的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，MQ= 2MP9.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，如果把数轴沿表示−2的点对折A、B两点刚好重合．(1)数轴上点B表示的数是______；AB=______．(2)动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，当P、Q之间的距离恰好等于2时求点P表示的数．(3)动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点A时立即以每秒10个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点Q回到点B立即停止，若点P、Q同时出发，同时停止，求当PA=QA时，求点Q表示的数．10.如图，已知在原点为O的数轴上三个点A、B、C，OA=AB=BC=20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发向左以每秒a cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．(1)当点P从点O运动到点C时，求t的值；(2)若a=3，那么经过多长时间P，Q两点相距20cm？(3)当PA+PB=40cm，|QB−QC|=10cm时，求a的值．11.已知数轴上A，B两点表示的数分别为−8和20，若A，B两点同时出发，A点运动速度为每秒3个单位，B点运动速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒．(1)点A向右运动，B点向左运动，当t为何值时，A，B两点之间距离为8？(2)若A点和B点都向右运动，多少秒后，A，B两点之间距离为8？(3)在(2)的条件下，另一动点M同时从O点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，多少秒后，点M到点A和点B的距离相等？12.已知数轴上点A表示的数为12，点B表示的数为−8.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)当点P与点Q关于原点O对称时，求t的值；(2)是否存在t的值，使得点P与点Q之间的距离为3个单位长度？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．13.阅读理解：如图①，数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如，线段AB=0−(−1)=1：线段：BC=2−0=2；线段AC=2−(−1)=3(大的数减去小的数)．(1)数轴上点A、B表示的数分别是−3和2，则AB=______；(2)数轴上点M表示的数是−1，线段MN的长为2，则点N表示的数是______；(3)如图②，数轴上点A、B表示的数分别是−4和6，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，点P运动多少秒时BP=4.并求此时点P表示的数是多少？14.已知a是最大的负整数，b=−|−5|，c是−4的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．(1)则a=__________，b=__________，c=__________；(2)在数轴上，若点D到A的距离刚好是3，则D点叫做A的“幸福点”则A的幸福点D所表示的数应该是__________；(3)若动点P从点B出发以3个单位长度沿数轴向正方向运动，到达点C后立即原路返回，最后在B处停止运动．动点Q同时从点C出发每秒1个单位长度沿数轴向负方向运动，到达点A后停止运动．求运动几秒后，点P与点Q可以遇见？15.如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足|a+3|+|c−9|=0.若点A与点B之间的距离表示为AB=|a−b|，点B与点C之间的距离表示为BC=|b−c|，点B 在点A、C之间，且满足BC=2AB．(1)a=______，b=______，c=______；(2)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当|x−a|=3时，x=______；当代数式|x−a|+ |x−c|取得最小值时，此时最小值为______．(3)动点M从B点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，M，N两点之间的距离为2个单位？16.已知：如图线段AB=15，C为线段AB上一点，且BC=6。

一元一次方程知识点（一）、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程. （例1）3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二）、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a ±c=b ±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c ≠0)，那么a c =b c（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）（四）、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．（五）、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a ≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a). 一．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．二、一元一次方程的实际应用1. 和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x 年后兄的年龄是15+x ，弟的年龄是9+x ．（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3•年后具有相反意义的量）2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.（2) 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝h r 2π ②长方体的体积 V ＝长×宽×高＝abc例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）． 解：设圆柱形水桶的高为x 毫米，依题意，得3. 工程问题：工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1例3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(115+112)×3+x 12=1 4.行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．例4. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

一元一次方程综合复习 考点一： 解一元一次方程 【方法点拨】一元一次方程解法的一般步骤： 化简方程----------分数基本性质 去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母 去 括 号----------注意符号变化 移 项----------变号（留下靠前） 合并同类项--------合并后符号 系数化为1---------除前面 例题

【例1】解方程： （1）2)2(53xx； （2）142312xx．

变式练习 1. 解方程： （1）)1(3)4(2xxx； （2）234131xx. 考点二： 同解方程. 例题

【例2】已知关于x的方程2333221xx）（和1623xmx的解相同，求：代数式20192020)23()2(mm的值．

变式练习 2. 已知关于x的方程﹣2x+a＝5的解和方程21234ax的解相同，求字母a的值，并写出方程的解． 考点三：一元一次方程之利润问题. 【例3】某种商品A的零售价为每件1000元，为了适应市场竞争，商店先按零售价的九折优惠，再让利20元销售，每件商品A仍可获利10%．

（1）商品A的进价为多少元？ （2）现有另一种商品B，其进价为每件500元，每件商品B也可获利8%，商品A和商品B共进货100件，若要使这100件商品共获利6320元，则商品A，B需分别进货多少件？

变式练习 3. （1）元旦期间，某商场用1400元购进了甲、乙两种商品，共100件，进价分别是18元、10元．

（1）求甲、乙两种商品各购进了多少件？ （2）商场搞促销活动，若同时购买甲、乙两种商品各1件，可享受标价的8折优惠，此时这两种商品的利润率是10%，求这两种商品的标价总共多少元？ （2）一商店在某一时间经销甲、乙两种商品，甲种商品以每件60元的价格售出，每件盈利为50%，乙种商品每件进价50元，每件以亏损20%的价格售出

一元一次方程（十大题型）

知识点1 一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值知识点2 等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；

如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；

01 思维导图02 知识速记知识点3：含参一元一次方程1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数知识点4： 解一元一次方程解一元一次方程的步骤： 1.去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax  b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 a

bx；

（2）注意：分子、分母不能颠倒知识点5： 一元一次方程的实际应用审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 题型一 一元一次方程的定义例题：下列方程中是一元一次方程的是（ ）A．2𝑥=3𝑦B．𝑥=9

一、选择题1.某车间原计划用13小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产了60件，设原计划每小时生产x个零件，那么下列方程正确的是( ) A．13x=12(x+10)+60B．12(x+10)=13x+60C．113x=112(x+10)+60D．112(x+10)=113x+602.下列方程变形正确的是( )A．方程3−x=2−5(x−1)，去括号，得3−x=2−5x+1 B．方程3x−2=2x+1，移项，得3x−2x=1−2C．方程13y=6，未知数系数化为1，得y=2D．方程x−12−2x5=1，去分母，得5(x−1)−4x=103.解方程x−32−2x+16=1，下列去分母正确的是( )A．3(x−3)−(2x+1)=1B．(x−3)−(2x+1)=6 C．3(x−3)−2x+1=6D．3(x−3)−(2x+1)=64.下列方程中，解为x=−3的是( )A．3x−13=0B．16x+12=0C．13x−1=0D．6x+12=05.关于x的方程3x−2a=x−5的解为负数，则a的取值范围是( )A．a<52B．a>52C．a<−52D．a>−526.已知a=b，则下列等式不一定成立的是( )A．a+1=b+1B．a−3=b−3C．ac=bc D．a÷c=b÷c7.已知关于x的方程mx+2=2(m−x)的解满足∣∣x−12∣∣−1=0，则m的值是( )A．10或25B．10或−25C．−10或25D．−10或−258.有两个数，第一个数比第二个数的2倍多1，第二个数比第一个数的3倍少4，问这两个数是多少？设第二个数为x，根据题意可列方程( )A．2(3x−4)+1=xB．3(2x+1)−4=xC．13x−4=12x+1D．2(3x−4)+1=3(2x+1)−49.下列方程中是一元二次方程的是( )A．2x+1=0B．x2+y=1C．x2+2=0D．1x+x2=110.佳佳超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．吴明两次购物分别付款80元、252元，如果吴明一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( )A．288元B．322元C．288元或316元D．322元或是321元二、填空题11.已知x=3是方程2x−a=1的解，则a=．12.在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．设a，b为正数，且a=b．∵a=b，∴ab=b2. ⋯⋯①∴ab−a2=b2−a2. ⋯⋯②∴a(b−a)=(b+a)(b−a). ⋯⋯③∴a=b+a. ⋯⋯④∴a=2a. ⋯⋯⑤∴1=2. ⋯⋯⑥大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是（填入编号），造成错误的原因是．13.若x=1为方程2x+a=3的解，则a=．14.规定一种运算“∗”，a∗b=13a−14b，则方程x∗2=1∗x的解为．15.已知x=−1是方程2ax=a−3的解，则a=．16.一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用3小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时，已知轮船在静水中的速度为30千米/时，求水流的速度，若设水流的速度为x千米/时，则可列一元一次方程为．17.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．三、解答题18.已知x=−1是关于x的方程4x+2m=3x+1的解，求方程3x+2m=6x+1的解．19.解下列方程：(1) 5x=2(x+3)．(2) x+13−12x=1−3x+26．20.山地自行车越来越受中学生的喜爱，一网店经营的某型号的山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价低100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．(1) 求二月份每辆车的售价是多少元？(2) 为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%，该网店每辆车仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？21.轮船沿甲港顺流行驶到乙港比从乙港返回到甲港少用3小时，已知轮船在静水中的速度是27千米/小时，水速是9千米/小时，求甲乙两港之间的距离．22.如果∣a∣≤3，且关于x的方程5x−2a=−4−x的解为正数，求a的范围．23.x−134x=14．24.解方程：−9x+7=−x−1．25.解方程．(1) 4x−2=x+7．(2) 2x−13−x+26=−1．答案一、选择题1. 【答案】B【知识点】和差倍分2. 【答案】D【解析】A、方程3−x=2−5(x−1)，去括号，得3−x=2−5x+5，不符合题意；B、方程3x−2=2x+1，移项，得3x−2x=1+2，不符合题意；C、方程13y=6，未知数系数化为1，得y=18，不符合题意；D、方程x−12−2x5=1，去分母，得5(x−1)−4x=10，符合题意．【知识点】去分母去括号3. 【答案】D【知识点】去分母去括号4. 【答案】B【知识点】方程的概念与解5. 【答案】A【解析】解方程3x−2a=x−5，2x=2a−5，x=a−52，∵关于x的方程3x−2a=x−5的解为负数，∴a−52<0，解得a<52．【知识点】含参一元一次方程的解法6. 【答案】D【解析】A、由a=b知a+1=b+1，此选项一定成立；B、由a=b知a−3=b−3，此选项一定成立；C、由a=b知ac=bc，此选项一定成立；D、由a=b知当c=0时a÷c=b÷c无意义，此选项不一定成立．【知识点】等式的性质7. 【答案】A【解析】因为∣∣x−12∣∣−1=0，所以x−12=±1，解得x=32或x=−12．将x=32和x=−12分别代入方程mx+2=2(m−x)中，可解得m的值为10或25．【知识点】含绝对值的一元一次不等式、含参一元一次方程的解法8. 【答案】B【知识点】和差倍分9. 【答案】C【知识点】一元一次方程的概念10. 【答案】C【解析】超市推出以下方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠，所以在此范围内他的付款数为0<x≤100，（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折，所以在此范围内他的付款数为90<x≤270，（3）一次性购物超过300元一律八折，所以在此范围内他的付款数为x>240，两次购物分别付款80元、252元，80元在（1）范围内252在（2）或（3）范围内，所以若无优惠，应该付款：情况一：80+252÷0.9=360（元），情况二：80+252÷0.8=395（元），以上两种可能都在（3）的范围内，所以可以获得8折优惠，即实际付款：情况一：360×0.8=288（元），情况二：395×0.8=316（元）．【知识点】利润问题二、填空题11. 【答案】5【解析】把x=3代入方程得：6−a=1，解得：a=5．【知识点】含参一元一次方程的解法12. 【答案】④；等式两边除以0无意义【解析】由a=b，得a−b=0．两边都除以(a−b)无意义．故答案为：④；等式两边除以零，无意义．【知识点】等式的性质13. 【答案】1【知识点】含参一元一次方程的解法14. 【答案】x=107【知识点】移项合并同类项15. 【答案】1【解析】将x=−1代入方程得：−2a=a−3，解得：a=1．【知识点】含参一元一次方程的解法16. 【答案】3(x+30)=4(30−x)【解析】设水流的速度为x千米/时，则顺流行驶的速度为(x+30)千米/时，逆流行驶的速度为(30−x)千米/时，依题意，得：3(x+30)=4(30−x)．【知识点】和差倍分17. 【答案】12x+13x+14x=65【解析】设共有客人x人，根据题意得12x+13x+14x=65．【知识点】和差倍分三、解答题18. 【答案】因为x=−1是关于x的方程4x+2m=3x+1的解，所以−4+2m=−3+1，解得m=1，所以方程变为3x+2=6x+1，解得x=13．【知识点】移项合并同类项19. 【答案】(1) 去括号得：5x=2x+6.移项合并得：3x=6.解得：x=2.(2) 去分母得：2x+2−3x=6−3x−2.移项合并得：2x=2.解得：x=1.【知识点】解常规一元一次方程、去分母去括号20. 【答案】(1) 设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为(x+100)元，根据题意，得30000x+100=27000x.解得x=900.经检验，x=900是所列分式方程的解，且符合题意．答：二月份每辆车的售价是900元．(2) 设每辆山地自行车的进价是y元，根据题意，得900×(1−10%)−y=35%y.解得y=600.答：每辆山地自行车的进价是600元．【知识点】实际应用-其他实际问题、利润问题21. 【答案】设甲乙两港之间的距离是S千米，依题意得：S27+9+3=S27−9．解得S=108．答：甲乙两港之间的距离是108千米．【知识点】行程问题22. 【答案】2<a≤3．【知识点】含绝对值的一元一次方程的解法23. 【答案】x=−13【知识点】移项合并同类项24. 【答案】x=1．【知识点】移项合并同类项25. 【答案】(1) 4x−2=x+7. 4x−x=7+2.3x=9.x=3(2)2x−13−x+26=−1.2(2x−1)−(x+2)=−6.4x−2−x−2=−6.4x−x=−6+2+2.3x=−2.x=−23.【知识点】去分母去括号、移项合并同类项。