江苏省扬州中学高一上学期期末考试数学试题

高一数学试卷（满分160分，考试时间120分钟） 2013．1 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1． 已知全集{}5,4,3,2,1,0=U ，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C u ⋃= ▲ .2． 函数x x f 2log 21)(-=的定义域为 ▲ ．3． 函数()sin(2)4f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．4． 已知幂函数()f x 过点1(2,)4，则()f x = ▲ ．5． 已知角α终边经过点(2,3),P -则α的正弦值为 ▲ ．6． 若(2)()()x x m f x x++=为奇函数,则实数m = ▲ ． 7． 已知点D 是ABC ∆的边BC 的中点，若记,AB a AC b ==，则用,a b 表示AD 为 ▲ ．8． 设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f α=，则实数α= ▲ ． 9． 方程cos x x =在(),-∞+∞内解的个数是 ▲ ．10． 把函数cos 2y x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,得到的函数解析式是y = ▲ ．11． 下列计算正确的．．．是 ▲ .（把你认为正确的序号全部写上） ①1221[(2)]2--=- ②822log (log 16)3= ③3sin 6002=④0AB BD AC CD +--= 12． 设,,a b c 都是单位向量，且a 与b 的夹角为23π，则()()c a c b -⋅-的最小值 为 ▲ ．13． 已知(2,0)A ，(sin(260),cos(260))P t t --，当t 由20变到40时，P 点从1P 按顺时针运动至2P 的曲线轨迹与线段12,AP AP 所围成的图形面积是 ▲ ．14． 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2xf x =。

江苏省扬州市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（）A . {4}B . {2，4，5}C . {1，2，3，4}D . {1，2，4，5}2. （2分）已知向量、不共线，，如果，那么（）A . k=1且与同向B . k=1且与反向C . k=﹣1且与同向D . k=﹣1且与反向3. （2分）已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）函数的零点落在内，则的取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分）设函数，其中均为非零的常数，若，则的值是（）A .B .C .D . 不确定6. （2分）(2018·榆林模拟) 已知角始边与轴的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为，的面积为，函数的图象大致是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高三下·平谷模拟) 若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（）．A .B .C .D .8. （2分） (2015高一下·普宁期中) 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（）A . 甲B . 乙C . 一样低D . 不确定9. （2分）若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·广州期末) 已知函数f（x），则下列结论正确的是（）A . f（x）是周期函数B . f（x）是奇函数C . f（x）在（0，+∞）是增函数D . f（x）的值域为[﹣1，+∞）11. （2分）若函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是A .B .C .D .12. （2分）下列说法正确的是（）A . ，y R，若x+y 0，则x 且yB . a R，“ ”是“a>1”的必要不充分条件C . 命题“ x R，使得”的否定是“ R，都有”D . “若，则a<b”的逆命题为真命题二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为________14. （1分）若关于x的方程cos2x﹣sinx+a=0在[0，π]内有解，则实数a的取值范围是________．15. （1分）已知函数f（x）=x2+2x，，若任意x1∈[1，2]，存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________16. （1分）已知函数f（x）=asin（ωx+θ）﹣b的部分图象如图，其中ω＞0，|θ|＜， a，b分别是△ABC的角A，B所对的边，cosC=+1，则△ABC的面积S=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一上·大名期中) 计算（1）（0.064）﹣（﹣）0+[（﹣2）3] +（16）﹣0.75（2） log3 +lg25+lg4+7 +（﹣9.8）0 ．18. （10分） (2019高一上·辽宁月考) 设全集是实数集，， .（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围．19. （5分） (2017高一上·河北期末) 已知函数（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．20. （5分）已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；（II）若f（α）= ，求sin（4α+ ）的值．21. （10分） (2016高一上·澄海期中) 设a＞0，是R上的函数，且满足f（﹣x）=f（x），x∈R．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．22. （10分） (2016高一上·金华期中) 设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2023-2024学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．命题“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，sin x ＞1 B ．∃x ∈R ，sin x ≤1 C ．∀x ∈R ，sin x ＞1D ．∀x ∈R ，sin x ＜12．下列四个函数中，与y ＝2x 有相同单调性和奇偶性的是（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝sin x3．若全集U ＝R ，A ={x|12＜x ＜1}，B ={x|x−1x＜0}，则（∁U A ）∩B ＝（ ）A ．（0，1）B ．(0，12)C ．(0，12]D ．[0，1]4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 25．若实数m ，n 满足2m ＝3n ＝6，则下列关系中正确的是（ ） A ．1m+1n=1 B ．1m+2n=2 C ．2m+1n=2 D ．1m+2n =126．若p ：cosα≤12，q ：α≤π3，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ） A ．小于20克 B ．不大于20克C ．大于20克D ．不小于20克8．若α、β∈(0，π2)且满足sin αcos α+sin βcos β＞2cos αcos β，设t ＝tan αtan β，f(x)=1−t 2xtx ，则下列判断正确的是（ ） A ．f （sin α）＜f （sin β） B ．f （cos α）＜f （cos β） C ．f （sin α）＜f （cos β）D ．f （cos α）＜f （sin β）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的有（ ） A ．−3π4是第二象限角 B ．tan225°＝1 C ．小于90°的角一定是锐角D ．sin2＞010．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab B ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则a+m b+m＞abC ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1bD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b11．已知函数f(x)=sinx −2sin2x，则下列结论正确的有（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是以π为周期的函数C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．x ∈(0，π4]时，f （x ）的最大值为√22−212．如图，过函数f （x ）＝log c x （c ＞1）图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M （a ，0），N （b ，0）（b ＞a ＞1），线段BN 与函数g （x ）＝log m x （m ＞c ＞1）的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．下列结论正确的有（ ）A ．点C 的坐标为（b ，log c a ）B ．当a ＝2，b ＝4，c ＝3时，m 的值为9C ．当b ＝a 2时，m ＝2c 2D ．当a ＝2，b ＝4时，若x 1，x 2为区间（a ，b ）内任意两个变量，且x 1＜x 2，则a f(x 2)＜b f(x 1) 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边经过点（1，﹣2），则tan α•cos α的值为 ． 14．已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则lgx •lgy 的最大值为 ．15．已知定义域为R 的奇函数f （x ），当x ＞0时，f(x)={x 2−x +1，0＜x ≤112x−1，x ＞1，若当x ∈[m ，0）时，f（x ）的最大值为−34，则m 的最小值为 ．16．定义域为D 的函数f （x ），如果对于区间I 内（I ⊆D ）的任意三个数x 1，x 2，x 3，当x 1＜x 2＜x 3时，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜f(x 3)−f(x 2)x 3−x 2，那么称此函数为区间I 上的“递进函数”，若函数f(x)=x 3+ax 是区间[1，2]为“递进函数”，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）化简求值： （1）3log 32+(827)13+lg5−lg 12； （2）若x 12+x−12=√5，求x 2+x﹣2的值．18．（12分）已知tan α＝3．求值：（1）cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)；（2）2sin 2α+sin αcos α．19．（12分）已知函数f(x)=log 12(4−x)x−1的定义域为集合A ，函数g(x)=m √2x +5（x ∈[−12，112]）的值域为B ． （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知f(x)=sin(ωx +π6)，ω＞0．（1）若f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π2，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，当ω取最小值时，方程f （x ）＝m 在区间[π6，π2]上有解，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数f(x)=1−5x1+5x ，g(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中a ＜0．（1）判断并证明f （x ）的单调性；（2）①设t =√1+sinx +√1−sinx ，x ∈[−π2，π2]，求t 的取值范围，并把g （x ）表示为t 的函数h（t ）；②若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[−π，π]使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=log2(2x+m)−x2．（1）若f（x）为定义在R上的偶函数，求实数m的值；（2）若∀x∈[0，2]，f（x）+m≤1恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定为（）A．∃x∈R，sin x＞1B．∃x∈R，sin x≤1C．∀x∈R，sin x＞1D．∀x∈R，sin x＜1解：命题：“∀x∈R，sin x≤1”为全称命题，全称命题的否定是特称命题，即∃x∈R，sin x＞1．故选：A．2．下列四个函数中，与y＝2x有相同单调性和奇偶性的是（）A．y＝2x B．y＝x3C．y＝e x D．y＝sin x解：根据题意，函数y＝2x为奇函数，在R上为增函数，据此分析选项：对于A，y＝2x是非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，其定义域为R，关于原点对称，满足f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），f（x）为奇函数，且y′＝3x2≥0，恒成立，所以在R上为增函数，符合题意；对于C，y＝e x，是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝sin x，f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，但y＝sin x在R上不是增函数，不符合题意．故选：B．3．若全集U＝R，A={x|12＜x＜1}，B={x|x−1x＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．（0，1）B．(0，12)C．(0，12]D．[0，1]解：∵x−1x＜0，∴x（x﹣1）＜0，∴0＜x＜1，B＝（0，1），A＝（12，1），∁U A＝（﹣∞，12]∪[1，+∞），则（∁U A）∩B＝（0，12]．故选：C．4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2解：扇面（图中扇环）部分的面积S =12αr 2−12α(r 2)2=38αr 2=38×2π3×400=100π．故选：B ．5．若实数m ，n 满足2m ＝3n ＝6，则下列关系中正确的是（ ） A ．1m+1n=1 B ．1m+2n=2 C ．2m+1n=2 D ．1m+2n =12解：2m ＝3n ＝6，则m ＝log 26，n ＝log 36， 故1m +1n =1log 26+1log 36=log 62+log 63＝log 6（2×3）＝log 66＝1，故A 正确，B 错误，又2m+1n=2•log 62+log 63＝log 6（22×3）＝log 612≠2，故C 错误，1m +2n=log 62+2•log 63＝log 6（2×32）＝log 618≠12，故D 错误．故选：A ．6．若p ：cosα≤12，q ：α≤π3，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若p ：cosα≤12，则2kπ−π3≤α≤2kπ+π3，k ∈Z ，又“2kπ−π3≤α≤2kπ+π3，k ∈Z ”是“α≤π3“的既不充分也不必要条件， 则p 是q 的既不充分也不必要条件． 故选：D ．7．某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ） A ．小于20克 B ．不大于20克C ．大于20克D ．不小于20克解：根据题意，设天平的左臂长为a ，右臂长b ，售货员现将10g 的砝码放在左盘，将黄金xg 放在右盘使之平衡；然后又将10g 的砝码放入右盘，将另一黄金yg放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x+y（g）．则10a＝bx，ya＝10b，故x+y=10ab+10ba=10（ab+ba）≥10×2√ab×ba=20，当且仅当a＝b时等号成立，则该顾客实际所得黄金不小于20克．故选：D．8．若α、β∈(0，π2)且满足sinαcosα+sinβcosβ＞2cosαcosβ，设t＝tanαtanβ，f(x)=1−t 2xt x，则下列判断正确的是（）A．f（sinα）＜f（sinβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＜f（sinβ）解：因为sinαcosα+sinβcosβ＞2cosαcosβ，两边同时除以cosαcosβ，得sinαcosβ+sinβcosα＞2，因为α，β∈(0，π2)，若α+β≤π2则0＜α≤π2−β＜π2，sinα≤sin(π2−β)=cosβ，则sinαcosβ≤1，同理sinβcosα≤1，则sinαcosβ+sinβcosα≤2与sinαcosβ+sinβcosα＞2矛盾，所以α+β＞π2，则π2＞α＞π2−β＞0，sinα＞sin(π2−β)=cosβ，则sinαcosβ＞1，同理sinβcosα＞1，所以t=tanαtanβ=sinαcosβ⋅sinβcosα＞1，又f(x)=1−t2xt x=(1t)x−t x，t＞1，因为函数y=(1t)x，t＞1单调递减，y＝t x，t＞1单调递增，所以f(x)=1−t2xt x=(1t)x−t x，t＞1单调递减．对于AB：由于sinα与sinβ，cosα与cosβ大小关系不确定，故AB错误；对于CD：由于sinα＞cosβ，sinβ＞cosα，所以f（sinα）＜f（cosβ），f（cosα）＞f（sinβ），故C正确，D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法正确的有（）A．−3π4是第二象限角B．tan225°＝1C．小于90°的角一定是锐角D．sin2＞0解：对于A：−3π4为第三象限角，故A错误；对于B ：tan225°＝tan （180°+45°）＝tan45°＝1，故B 正确； 对于C ：小于90°的角是锐角或负角，故C 错误； 对于D ：由于sin2≈√32＞0，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab B ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则a+m b+m＞abC ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1bD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b解：根据题意，依次分析选项：对于A ，a 2+b 2﹣2ab ＝（a ﹣b ）2≥0，则有a 2+b 2≥2ab ，A 正确； 对于B ，当a ＝3，b ＝2，m ＝1时，a+m b+m=43＜ab =32，B 错误； 对于C ，若a ＜b ＜0，则b ﹣a ＞0，ab ＞0，则有1a −1b =b−aab＞0，C 正确；对于D ，若ac 2＞bc 2，则有ac 2﹣bc 2＝（a ﹣b ）c 2＞0，由于c ≠0，则有a ﹣b ＞0，即a ＞b ，D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f(x)=sinx −2sin2x，则下列结论正确的有（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是以π为周期的函数C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．x ∈(0，π4]时，f （x ）的最大值为√22−2解：∵f(x)=sinx −2sin2x （x ≠kπ2，k ∈Z ）， ∴f （﹣x ）＝﹣sin x +2sin2x=−f （x ），∴f （x ）为奇函数，A 正确； 又f （x +π）＝﹣sin x −2sin2x≠f （x ），∴f （x ）不是以π为周期的函数，B 错误； ∵f （π﹣x ）＝sin x +2sin2x ≠f （x ），∴f （x ）的图象不关于直线x =π2对称，C 错误； ∵x ∈(0，π4]⇒2x ∈（0，π2]，∴y ＝sin x 与y =−2sin2x 在(0，π4]上均为增函数，∴f(x)=sinx −2sin2x 在(0，π4]上单调递增，∴f （x ）max ＝f （π4）=√22−2．D 正确． 故选：AD ．12．如图，过函数f （x ）＝log c x （c ＞1）图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M （a ，0），N （b ，0）（b ＞a ＞1），线段BN 与函数g （x ）＝log m x （m ＞c ＞1）的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．下列结论正确的有（ ）A．点C的坐标为（b，log c a）B．当a＝2，b＝4，c＝3时，m的值为9C．当b＝a2时，m＝2c2D．当a＝2，b＝4时，若x1，x2为区间（a，b）内任意两个变量，且x1＜x2，则a f(x2)＜b f(x1)解：对于A，由图可知，若设A（a，t），则C（b，t），又A在f（x）＝log c x上，则t＝log c a，∴C（b，log c a），故A正确；对于B，由题意得A（2，log32），B（4，log34），C（4，log m4），且AC与x轴平行，∴log m4＝log32，解得m＝9，故B正确；对于C，由题意得A（a，log c a），B（b，log c b），C（b，log m b），且AC与x轴平行，∴log m b＝log c a，∵b＝a2，∴m＝c2，故C错误；对于D，∵a＜x1＜x2＜b，且c＞1，∴log c a＜log c x1＜log c x2＜log c b，∵b＞a＞1，∴a log c x2＜a log c b，b log c a＜b log c x1，∵log c b•log c a＝log c a•log c b，∴log c a log c b=log c b log c a，∴a log c b=b log c a，∴a log a x2＜b log c x1，∴a f(x2)＜b f(x1)，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边经过点（1，﹣2），则tanα•cosα的值为−2√55．解：由于角α的终边经过点（1，﹣2），所以sinα=25=−2√55，故tanα⋅cosα=sinα=−2√55．故答案为：−2√5 5．14．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则lgx•lgy的最大值为14．解：∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴lgx＞0，lgy＞0，∴√lgxlgy≤lgx+lgy2=lgxy2=lg102=12，当且仅当lgx＝lgy，即x＝y=√10时，取等号．∴lgx•lgy≤14，∴lgx•lgy的最大值为14．故答案为：1 4．15．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)={x2−x+1，0＜x≤112x−1，x＞1，若当x∈[m，0）时，f（x）的最大值为−34，则m的最小值为−76．解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[m，0）时，f（x）的最大值为−3 4，则x∈（0，﹣m]时，最小值为3 4，又当0＜x≤1时，f(x)=x2−x+1=(x−12)2+34，根据二次函数的性质可知，当x=12时，f（x）min=34，当x＞1时，f(x)=12x−1单调递减，又当f(x)=12x−1=34时，x=76，故x∈（0，﹣m]时，最小值为34，必有12≤−m≤76，则−76≤m≤−12，故m的最小值为−76．故答案为：−7 6．16．定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意三个数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，有f(x2)−f(x1) x2−x1＜f(x3)−f(x2)x3−x2，那么称此函数为区间I上的“递进函数”，若函数f(x)=x3+ax是区间[1，2]为“递进函数”，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．解：∵函数f(x)=x3+ax是区间[1，2]为“递进函数”，∴f′(x)=3x2−ax2的递增区间为[1，2]，令g(x)=3x2−ax2，则g′(x)=6x+2ax3≥0在[1，2]上恒成立，即a≥﹣3x4在[1，2]上恒成立，∴a≥﹣3，故答案为：[﹣3，+∞）．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）化简求值：（1）3log32+(827)13+lg5−lg12；（2）若x 12+x−12=√5，求x2+x﹣2的值．解：（1）原式=2+[(23)3]13+lg5+lg2=2+23+lg5+lg2=113；（2）由题意得(x 12+x−12)2=x+x−1+2=5，得x+x﹣1＝3，同理（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝9，故x2+x﹣2＝7．18．（12分）已知tan α＝3．求值：（1）cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)；（2）2sin 2α+sin αcos α．解：（1）因为tan α＝3，所以cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)=−sinα+cosα−2sinα+cosα=−tanα+1−2tanα+1=25；（2）因为tan α＝3，所以2sin 2α+sin αcos α=2sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α =2tan 2α+tanαtan 2α+1=2110．19．（12分）已知函数f(x)=log 12(4−x)1x−1的定义域为集合A ，函数g(x)=m √2x +5（x ∈[−12，112]）的值域为B ． （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）函数f(x)=log 12(4−x)+√x−1则{4−x ＞0x −1＞0，解得1＜x ＜4， 故A ＝（1，4）；当m ＝1时，g(x)=√2x +5在[−12，112]上单调增，则B ＝[2，4]，∴A ∪B ＝（1，4]；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集． 当m ＞0时，g(x)=m √2x +5在[−12，2]上单调增，则B ＝[2m ，4m ]，所以1＜2m ＜4m ＜4，解得12＜m ＜1；当m ＝0时，B ＝{0}，不符合题意；当m ＜0时，g(x)=m √2x +5在[−12，2]上单调减，则B ＝[4m ，2m ]，不符合题意；综上所述，实数m 的取值范围为（12，1）．20．（12分）已知f(x)=sin(ωx +π6)，ω＞0．（1）若f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π2，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，当ω取最小值时，方程f （x ）＝m 在区间[π6，π2]上有解，求实数m 的取值范围．解：（1）由于f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π，所以T 2=12×2πω=π2，则ω＝2，所以f(x)=sin(2x +π6)； 由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 所以函数f （x ）的单调增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k ∈Z ． （2）将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到y =sin[ω(x +π3)+π6]=sin(ωx +ωπ3+π6)， 若所得图象关于y 轴对称，则ωπ3+π6=π2+kπ，得ω＝1+3k ，k ∈Z ，因为ω＞0，所以ωmin ＝1； x ∈[π6，π2]，得x +π6∈[π3，2π3]，f(x)∈[√32，1]， 所以m 的取值范围为[√32，1]．21．（12分）已知函数f(x)=1−5x 1+5x ，g(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中a ＜0． （1）判断并证明f （x ）的单调性；（2）①设t =√1+sinx +√1−sinx ，x ∈[−π2，π2]，求t 的取值范围，并把g （x ）表示为t 的函数h （t ）；②若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[−π2，π2]使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）f （x ）是R 上的单调减函数，证明如下：在R 上任取x 1，x 2且x 1＜x 2，则5x 1−5x 2＜0，1+5x 1＞0，1+5x 2＞0，所以f(x 2)−f(x 1)=1−5x 21+5x 2−1−5x 11+5x 1=2(5x 1−5x2)(1+5x 1)(1+5x 2)＜0， 故f （x ）是R 上单调减函数；（2）①t =√1+sinx +√1−sinx ，则t 2=(√1+sinx +√1−sinx)2=2+2√1−sin 2x =2+2|cosx|，又因为x ∈[−π2，π2]，所以cos x ≥0，从而t 2∈[2，4]． 又因为t ＞0，所以t ∈[√2，2]，因为cosx =12t 2−1，所以ℎ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]； ②设f （x ）在x ∈[﹣1，0]时值域为A ，则由f （x ）的单调性可知，A =[0，23]； 设h （t ）在t ∈[√2，2]时的值域为B ，由题意得A ⊆B ，（ⅰ）当−12≤a ＜0时，即−1a≥2，h （t ）在[√2，2]上单调增，则B =[√2，a +2]， 因为√2＞0，显然不满足A ⊆B ；（ⅱ）当√2−2＜a＜−12时，即√2+22＜−1a＜2，h（t）在[√2，−1a]上单调增，在[−1a，2]上单调减，且ℎ(2)＞ℎ(√2)，所以B=[√2，−12a−a]，显然不满足A⊆B；（ⅲ）当−√22＜a≤√2−2时，即√2＜−1a≤√2+22，h（t）在[√2，−1a]上单调增，在[−1a，2]上单调减，且ℎ(√2)＞ℎ(2)，所以B=[a+2，−12a−a]，且a+2＞0，所以不满足A⊆B；（ⅳ）当a≤−√22时，−1a≤√2，h（t）在[√2，2]上单调减，所以B=[a+2，√2]，因为A⊆B，所以a+2≤0且√2＞23，所以a≤﹣2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．22．（12分）已知函数f(x)=log2(2x+m)−x2．（1）若f（x）为定义在R上的偶函数，求实数m的值；（2）若∀x∈[0，2]，f（x）+m≤1恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为函数f（x）为定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对x∈R恒成立，所以f(x)−f(−x)=log2(2x+m)+x2−[log2(2−x+m)−−x2]=log22x+m(2−x+m)⋅2x=0，化简得2x+m(2−x+m)⋅2x=1，即（2x﹣1）（1﹣m）＝0，所以m＝1；（2）不等式f（x）+m≤1可化为log2(2x+m)−x2+m≤1（*），由题意得：2x+m＞0对任意x∈[0，2]恒成立，则m＞﹣1；（*）可化为log2(2x+m)≤log22(x2−m+1)，所以0＜2x+m≤2x2⋅(12)m−1，对于不等式2x+m≤2x2⋅(12)m−1，令t=2x2，因为x∈[0，2]，所以t∈[1，2]，∀x∈[0，2]，2x+m≤2x2⋅(12)m−1恒成立⇔∀t∈[1，2]，t2−(12)m−1t+m≤0恒成立；令F(t)=t2−(12)m−1t+m，可得{F(1)≤0，F(2)≤0，，即{(12)m−1−m≥1，2⋅(12)m−1−m≥4.（**），由于函数r(m)=2⋅(12)m−1−m为R上的减函数，且r（0）＝4，所以不等式2⋅(12)m−1−m≥4的解集为m≤0；由于函数t(m)=(12)m−1−m为R上的减函数，所以当m≤0时，t（m）≥t（0）＝2≥1恒成立，所以（**）式的解为m≤0．综上，m的取值范围为（﹣1，0]．。

20212022学年江苏省扬州市高一上学期1月期末考试数学试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤-2或x≥4}，则A∩B为（）A. {x|-2≤x≤3}B. {x|1≤x≤3}C. {x|-2≤x≤4}D. {x|-2≤x≤1}2. 函数f(x)=x²-2x+3的最小值是（）A. -1B. 1C. 3D. 23. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=10，S10=30，则该数列的通项公式an为（）A. an=2n-3B. an=2n-1C. an=n+2D. an=n-14. 若函数f(x)=log2(x+1)的定义域为（）A. (-1, +∞)B. (0, +∞)C. [-1, +∞)D. (-∞, 1)5. 若直线y=kx+1与圆x²+y²=4相切，则实数k的值为（）A. ±1B. ±2C. ±√2D. ±√36. 若函数f(x)=x²-2x+c在区间（0, +∞）上单调递增，则实数c的取值范围是（）A. c>1B. c≥1C. c<1D. c≤17. 已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）在x=1处取得极小值，且f(0)=0，则下列结论正确的是（）A. a<0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b<0D. a>0，b>08. 若函数f(x)=2x³-3x²+x-4的导数f'(x)在区间（-∞，a）上小于0，在区间（a，+∞）上大于0，则实数a的取值范围是（）A. a<0B. a>0C. a≥0D. a≤09. 已知三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且满足cosA+cosB+cosC=0，则三角形ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定10. 若数列{an}的通项公式为an=n²+n+1，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（）A. Sn>0B. Sn<0C. Sn=0D. Sn不确定二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x²-2x+1，求f(3)的值。

一、单选题1．设集合， ，且 ，则{}21A x x =-≤≤(){}22420B x x a x a =+--≤{}1x 1A B x ⋂=-≤≤=a （ ） A ．1 B ．C ．2D ．1-2-【答案】C【分析】分类讨论解不等式，确定集合，根据，确定22aB x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭{}1x 1A B x ⋂=-≤≤，求得答案. 12a-=-【详解】解，即 ，()22420x a x a +--≤(2)(2)0x a x +-≤当即时， ，此时，不合题意；122a -≥4a ≤-22a x ≤≤-A B ⋂=∅故，即，则 ，122a -<4a >-22a B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭由于，，所以，解得， {}21A x x =-≤≤{}11A B x x ⋂=-≤≤12a-=-2a =故选：C2．下列命题中的真命题是（ ） A ．B ．集合中最小的数是123≤N C ．的解集可表示为 D ．212x x +={}1,120x y +=【答案】A【分析】根据命题结论是否正确判断即可. 【详解】显然成立，故A 正确； 23≤集合中最小的数是0，故B 错误； N 根据集合元素的互异性可知C 错误；当或时，显然不成立，故D 错误.0x ≠0y ≠20x y +=故选：A 3．函数在其定义域上的图象大致为（ ）（原点为空心点）)(2ln x f x x=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】可判断函数为偶函数，再根据时的符号可得正确的选项. 1x >()f x 【详解】函数的定义域为，它关于原点对称. ()()()(),11,00,11,-∞--+∞U U U 又，()()2ln x f x f x x--==-故为偶函数，故排除CD 选项， ()f x 又当时，， 1x >()0f x >故选：B.4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (，，31log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）43c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a【答案】C【解析】利用函数的奇偶性化简，再根据单调性比较出三者的大小关系. ,a b【详解】由于是偶函数，故，()f x (a f f==，()331log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭43c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭由于在是增函数，所以，()f x (0,)+∞()34log 23f f f⎛⎫<< ⎪⎝⎭即b ＜c ＜a .故选：C5．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1SN可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约SN增加了（ ）（附：） lg 20.3010≈A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C 大约增加了SN ()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++.222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=故选：B.6．函数在区间（，）内的图象是( ) tan sin tan sin y xx x x =+--2π32πA ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|= 2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．7．已知,则的最小值为 1x >91x x +-A ．4 B ．6 C ．7 D ．10【答案】C【解析】由题意可得,可得,利用基本不等式求最小值,并验证等号10x ->()991111x x x x +=+-+--成立即可.【详解】解: 已知,则 1x >10x -> ()991111x x x x ∴+=+-+--, 17≥=当且仅当,即时等号成立. 911x x =--4x =所以的最小值为: 91x x +-7故选:C【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”.8．设函数，若关于的方程有四个实根，()()2244log 44x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，，x ()f x t =1234,,,x x x x ，则的最小值是（ ） ()1234x x x x <<<1234122x x x x +++A ．15B ．15.5C ．16D ．17【答案】C【分析】作出分段函数的图象，由图象分析可得，且，然()f x 1244,520x x x +=<<43144x x =+-后表示出，利用基本不等式求解最值，即可得到答案． 34122x x +【详解】作出函数的图象如图所示，()()2244log 44x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，，由图可知，， 124x x +=由，2|log (4)|(2)4x f -==可得或，故， 6516x =20x =4520x <<又因为， 2324log (4)log (4)0x x -+-=所以， 34(4)(4)1x x --=故， 43144x x =+-所以 123444111242(4)242x x x x x x +++=+++- 44214(4)1042x x =++-+-442114(4)1442x x =++-≥+-，16=当且仅当，即时取等号， 4421(4)42x x =--46x =所以的最小值为16． 1234122x x x x +++故选：C ．二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．函数是以为最小正周期，且在区间上单调递减的函数sin y x =ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭B ．若是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为x tan 0x ≤π0,3⎛⎤⎝⎦C ．函数的单调递减区间为3πtan 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()πππ5π,Z 2828k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．函数的值域为1πππsin 2,2344y x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】根据正弦函数的周期性和单调性可判断A 正确；根据正切函数的单调性可判断B ，C 正确；根据正弦函数的性质可判断D 错.【详解】A 选项，函数的图象是在的图象基础上，将轴下方的部分翻折到轴sin y x =sin y x =x x 上方，因此周期减半，即的最小正周期为；当时，，显然单调sin y x =ππ,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin sin y x x ==减；故A 正确；B 选项，因为是斜三角形的一个内角，所以或；由得x π02x <<ππ2x <<tan 0x ≤tan x ≤以或；故B 错； π03x <<ππ2x <<C 选项，由得，即函数的单π3πππ2π242k x k -+<-<+ππ5ππ,Z 8282k k x k +<<+∈3πtan 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭调递减区间为，故C 正确；()πππ5π,Z 2828k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D 选项，因为，所以，因此，所以ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,366x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 错. 1π11sin 2,2324x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：AC.10．已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） 0x >0y >224x y +=A ．B ． 2xy ≥x y +≥C ．D ．22log log 1x y +≤22x y ≤【答案】CD【解析】利用基本不等式可依次判断各项.【详解】对于A ，，即，，当且仅当等号成立，故A 错222x y xy +≥ 24xy ≤2xy ≤x y ==误；对于B ，，，，，，当且仅当()2222x y x y++≥()242x y +∴≤ 0x >0y >x y ∴+≤等号成立，故B 错误；x y ==对于C ，由A 得，，故C 正确； 2xy ≤2222log log log log 21x y xy ∴+=≤=对于D ，由B 得，，故D 正确.x y +≤2222x y x y +≤==故选：CD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．设函数，若在有且仅有5个最值点，则（ ）()sin()(0)5f x x ωωπ=+>()f x []0,πA ．在有且仅有3个最大值点 ()f x ()0,πB ．在有且仅有4个零点 ()f x ()0,πC ． 的取值范围是 ω4353[,1010D ．在上单调递增 ()f x (0,)20π【答案】ACD 【分析】令，利用图像逐项分析最值点、零点个数，单调性即可.5t x πω=+sin y t =【详解】，[]0,π,0x ω∈> ，，0x ωπω∴≤≤555x πππωπω∴≤+≤+令，，5t x πω=+55t πππω∴≤≤+画出图像进行分析:sin y t =对于A 选项：由图像可知：在上有且仅有这3个最大值点，故A 选项正确； ()f x []0,π135,,x x x 对于B 选项：当，即时，在有且仅有个零点；9525πππωπ≤+<4324105ω≤<()f x ()0,π4当，即时，在有且仅有个零点，故B 选项不正确；11552ππππω≤+<2453510ω≤<()f x ()0,π5对于C 选项：在有且仅有个最值点，()f x []0,π5，， 911252ππππω∴≤+<43531010ω∴≤<的取值范围是，故C 选项正确； ω∴4353[,1010对于D 选项：，，，π0,,020x ω⎛⎫∈> ⎪⎝⎭π020x ωω∴<<π55205x πππωω∴<+<+由C 选项可知，， 43531010ω∴≤<83ππ93π200205200πω∴≤+<，在上单调递增，故D 选项正确. 932002ππ<()f x π0,20⎛⎫⎪⎝⎭故选：ACD.12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+A ．，为奇函数 ,R a b ∃∈()f x B ．，为偶函数 R,R b a ∃∈∀∈()f x C ．，的值为常数 ,R a b ∃∈()f x D ．，有最小值 R,R b a ∃∈∀∈()f x 【答案】BCD【分析】对于A 、B ，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C ；对于D ，将函数解析式变形为，分和两种情()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦()0a f x -=()0a f x -≠况讨论，即可判断.【详解】解：因为，，()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+x ∈R 对于A ：若为奇函数，则，即， ()f x ()()f x f x -=-22222211ax bx ax bx x x -+++=-++即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A 错220ax +=220ax +=,R a b ∈()f x 误；对于B ：若为偶函数，则，即， ()f x ()()f x f x -=22222211ax bx ax bx x x -+++=++即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B 正确；0bx =0b =0bx =0b =R a ∀∈()f x 对于C ：当，时为常数函数，故C 正确；2a =0b =()222221x f x x +==+对于D ：的定义域为，，()f x R ()2221ax bx f x x ++=+所以，()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦当，即时变形为，()0a f x -=()f x a =()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦20bx a +-=当时方程有解，0b ≠20bx a +-=当、时方程在上恒成立， 0b =2a =20bx a +-=R 当，即时，()0a f x -≠()f x a ≠方程在上有解，所以，()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦R ()()2420b a f x f x ∆=---≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即，()()()2244280fx a f x a b -++-≤因为， ()()()22221621681620a a b a b ⎡⎤+--=-+≥⎣⎦当、时变形为，解得0b =2a =()()()2244280f x a f x a b -++-≤()()2416160f x f x -+≤()2f x =，当或时，可以求得的两个值，0b ≠2a ≠()()()2244280fx a f x a b -++-=()f x 不妨设为和，则，m n ()m n <2284m n a a b mn +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩所以解得，()()()2244280fx a f x a b -++-≤()m f x n ≤≤所以当时，，有最小值，故D 正确； 0b ≠R a ∀∈()f x 故选：BCD三、填空题13．函数的定义域为____．(2)log (51)x y x x -=-+【答案】1,1(1,2)5⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题可得，进而即得.51>0212>0x x x -⎧⎪-≠⎨⎪-⎩【详解】要使函数有意义，(2)log (51)x y x x -=-+则， 51>0212>0x x x -⎧⎪-≠⎨⎪-⎩解得或，115x <<12x <<所以函数的定义域为．(2)log (51)x y x x -=-+1,1(1,2)5⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：．1,1(1,2)5⎛⎫⎪⎝⎭14．若集合，，则________ {}60A x x =->521x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭()R A B = ð【答案】或{1x x <}49x ≤≤【分析】先解两个集合中的不等式，再利用集合基本运算求解.【详解】或，或{}{6004A x x x x =->=≤< }9x >{R 0A x x ∴=<ð}49x ≤≤，{}52311x B x x x x ⎧⎫-=≥=-≤<⎨⎬-⎩⎭ 或.(){R 1A B x x ∴⋃=<ð}49x ≤≤故答案为：或.{1x x <}49x ≤≤15．已知，，满足，则的最小值是______． 0x >0y >2220x xy +-=2x y +.【分析】由已知得，进而，利用基本不等式计算即可. 12y xx =-3212x x y x+=+【详解】由，得，2220x xy +-=21222x xy x x -==-(x ∈所以113222222x x x y x x x +=+-=+≥==当且仅当即时等号成立，312x x =x =所以. 2x y+.16．对于正整数，函数定义如下：对于实数，记方程n ()f x ()()()223,(0)log 4,0x n x f x x n x +⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩t 的不同实数解的个数为，求使得函数的最大值为4的所有正整数的和为()f x t =()g t ()g t n ___________. 【答案】33【分析】根据指数函数及对数函数的性质结合函数的大致图象可得当时，方程至29n <<()f x t =多有4个不同实数解，进而即得.【详解】因为 ()()()223,(0)log 4,0x n x f x x n x +⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩当时，，所以当时，先减后增，方程至多有两个不同0x <239x +<09n <<()23x f x n +=-()f x t =实数解；当时，单调递减，方程至多有一个实数解；9n ≥()2233x x f x n n ++=-=-()f x t =当时，，所以当时，先减后增，方程至多0x ≥()2log 42x +≥2n >()()2log 4f x x n =+-()f x t =有两个不同实数解；当时，单调递增，方程至多有一个实数解；02n <≤()()()22log 4log 4f x x n x n =+-=+-()f x t =所以当时，方程至多有4个不同实数解，又为正整数， 29n <<()f x t =n 所以使得函数的最大值为4的正整数可取3,4,5,6,7,8， ()g t n 所以，34567833+++++=即使得函数的最大值为4的所有正整数的和为33. ()g t n 故答案为：33.四、解答题17．在①是的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一x A ∈x B ∈A B B ⋃=A B ⋂=∅个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合，.11{|}A x m x m =-≤≤+{}2|230B x x x =--≤(1)当时，求；3m =A B ⋂(2)若选___________，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){|23}A B x x ⋂=≤≤(2)选①，；选②，；选③，或[0,2][0,2]{|4m m >2}m <-【分析】(1)由题意可得，，由交集的定义求解即可； {|24}A x x =……{|13}B x x =-……(2)若选①，则可得集合是集合的真子集，根据集合间的包含关系列出不等求解即可； A B 若②则有，根据集合间的包含关系列出不等求解即可； A B ⊆若选③，由，，可得或，求解即可. A B ⋂=∅A ≠∅13m ->11m +<-【详解】（1）解：当时，集合，， 3m ={|24}A x x =……{|13}B x x =-……所以；{|23}A B x x = ……（2）解：选择①：因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， x A ∈x B ∈A B 因为，所以， {|11}A x m x m =-+……A ≠∅又因为，{|13}B x x =-……所以（等号不同时成立），1113m m --⎧⎨+⎩……解得，02m ……因此实数m 的取值范围是. [0,2]选择②：因为，所以. A B B ⋃=A B ⊆因为，所以，{|11}A x m x m =-+……A ≠∅又因为，所以，{|13}B x x =- (11)13m m --⎧⎨+⎩……解得，02m ……因此实数m 的取值范围是. [0,2]选择③：因为，A B ⋂=∅而，且不为空集，{|11}A x m x m =-+……，{|13}B x x =-……所以或， 13m ->11m +<-解得或，4m >2m <-故实数m 的取值范围是或. {|4m m >2}m <-18．计算下列各题：(1)()414343340.064225---⎛⎫⎡⎤--+--⋅⎪⎣⎦⎝⎭(2)5log 22232lg 25lg8lg 5lg 20lg 2log 3log 853++⋅++⋅+【答案】(1)1；(2)8.【分析】（1）根据指数幂的运算性质运算即得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算即得. 【详解】（1）原式 111190.41616=-+-⨯ 519121616=-+- ；1=（2）原式 ()2lg33lg2lg25lg4lg52lg2lg5lg 22lg2lg3=+++++⨯+ 22lg1002lg5lg2lg 5lg 232=+++++22(lg2lg5)5=+++．8=19．已知函数（其中）的最小正周期为．()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>π(1)求，的单调递增区间；()y f x =[]0,πx ∈(2)若时，函数有两个零点、，求实数的取值范围．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()g x f x m =+1x 2x m 【答案】(1)和π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3éùêúêúëû(2) (]2,1--【分析】（1）根据函数的最小正周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计ω算可得；（2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得与在上有两个交x π26x +()y f x =y m =-π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦点，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.【详解】（1）解：函数的最小正周期为且，()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π0ω>，，2ππ2ω∴==()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭由，解得，πππ2π22π262k x k -≤+≤+()Z k ∈()Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈的单调递增区间为和.()[]()0,πy f x x ∴=∈π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3éùêúêúëû（2）解：当时，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，解得，令，解得，πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤ππ7π2266x ≤+≤ππ62x ≤≤所以在上单调递增，在上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上有两个零点，()()g x f x m =+π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦即与在上有两个交点，()y f x =y m =-π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， π1sin 2,1262m x ⎛⎫⎡⎫∴-=+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.(]2,1m ∴∈--20．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：x ()M x ；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函()8020xM x x=+x 数（单位：百万元）：． ()N x ()14N x x =(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百x y 万元），写出关于的函数解析式；y x (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大y 值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【答案】(1)， 801100204x y x x =-++[]0,400x ∈(2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），y 340（百万元）．【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出400x -()400N x -关于的函数解析式；y x （2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，400x -则，()8020x M x x=+()()1140040010044N x x x -=-=-，． 801100204x y x x ∴=-++[]0,400x ∈（2）解：由（1）可得， 80111600100180204420x y x x x x=-+=--++， ()1640018520185145420x x ⎡⎤=-++≤=⎢⎥+⎣⎦当且仅当，即时等号成立，此时． 64002020x x+=+60x =400340x -=所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万y 14560元），（百万元）．34021．已知二次函数.()()223f x ax b x =+-+（1）若不等式的解集为，解不等式； ()0f x >()1,3-230ax x b ++<（2）若为偶函数，且，当时，函数的最小值为，求()f x ()14f =(]0,1x ∈()1332x x y f λ=-⋅6-λ的值.【答案】（1）；（2）的取值为.()(),14,-∞-+∞ λ4【解析】（1）由是方程的两根，可求得，然后可解不等式．1,3-()0f x =,a b （2）由偶函数得，再由求得，时，令，得，函数化为二次函2b =(1)4f =a (]0,1x ∈3x t =(]1,3t ∈数，分类讨论其最小值可得． 21322y t t λ=⋅-⋅+λ【详解】解（1）由的解集为可知，是方程的两根，()0f x >()1,3-1,3-()0f x =2132134133b a a b a-⎧-=-+=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪=-⨯=-⎪⎩或 2230340(4)(1)01ax x b x x x x x ∴++<⇒-++<⇒-+>⇒<->4x 故所求不等式的解集为()(),14,-∞-+∞ （2）若为偶函数，则，又，即，()f x 2b =()14f =34a +=1a ∴= ()23f x x ∴=+当时， (]0,1x ∈()()21133333222x x x x y f λλ=-⋅=⋅-⋅+令，则，的对称轴为， 3x t =(]1,3t ∈21322y t t λ=⋅-⋅+t λ=①当时，该函数在上单调递增，无最小值，1λ≤(]1,3②当时，该函数在单调递减，在单调递增， 13λ<<()1,λ(],3λ当时，（舍去） t λ=22min 13622y λλ=-+=-215λ∴=③当时，该函数在上单调递减，当时，3λ≥(]1,33t =min 1393622y λ=⨯-+=-4λ∴=故综上可知，的取值为．λ4【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，考查二次函数的最值问题，指数函数的性质．对含有参数的二次函数的最值需要根据对称轴与给定区间的关系分类讨论．对或型函数一般用换元法，令（或）化为一般的多项式函()x f a (log )a f x x t a =log a t x =数，然后再求解，只是换元时要注意新元的取值范围． 22．已知函数.()()3R f x x x a a =-+∈(1)当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；2a =()f x (2)当时，解不等式；0a =()()121286x xf f +-+->(3)若存在，使得，求实数的取值范围.(]12,,ln4x x ∞∈-()()12e e 3x xf f ->a 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，在单调递增. (),1-∞()1,2()2,+∞(2). ()2log 3,∞+(3)或134a <a >【分析】（1）讨论x 取值范围去掉绝对值符号，可得，由此可得其单调区()2223,223,2x x x f x x x x ⎧-++≤=⎨-+>⎩间；（2）由，可令，判断其单调性以及奇偶性，进而将不等式()3f x x x =+()g x x x =转化为，利用的性质即可得()()121286x x f f +-+->()()121280x x g g +-+->()g x x x =，即可求得答案.12128x x +->-+（3）设，则问题转化为存在，使得，结合的特征，1212e ,e x xt t ==(]12,0,4t t ∈()()123f t f t ->()f t进而将问题转化为存在，即在上有解，然后分离参数，结合函(]()0,4,6t f t ∈>3t t a ->(]0,4∈t 数的单调性以及最值，求得答案.【详解】（1）当时， , 2a =()2223,22323,2x x x f x x x x x x ⎧-++≤=-+=⎨-+>⎩故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.()f x (),1-∞()1,2()2,+∞（2）当时，，记 , 0a =()3f x x x =+()22,0,0x x g x x x x x ⎧-<==⎨≥⎩则，故为奇函数，且在上单调递增，()()g x g x -=-()g x ()g x R 不等式化为，()()121286x x f f +-+->()()12132836x xg g +-++-+>即，()()121280x xg g +-+->即，即，()()12128x x g g +->--()()12182x xg g +->-从而由在上单调递增，得，即，解得，()g x R 12128x x +->-+23x >2log 3x >故不等式的解集为.()()121286x xf f +-+->()2log 3,∞+（3）设，则问题转化为存在，使得，1212e ,e x xt t ==(]12,0,4t t ∈()()123f t f t ->又注意到时，，且，0t >()33f t t t a =-+>()03f =可知问题等价于存在，即在上有解.(]()0,4,6t f t ∈>3t t a ->(]0,4∈t 即在上有解，于是或在上有解，3t a t ->(]0,4∈t 3a t t ->3a t t -<-(]0,4∈t 进而或在上有解，3a t t>+3a t t <-(]0,4∈t由函数在上单调递减，在上单调递增， ()3g t t t=+(4⎤⎦在上单调递增，3()h t t t =-(]0,4可知， ()min max 13()()44g t gh t h ====故的取值范围是或. a 134a <a >。

2023-2024学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题一、单选题1．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 的范围是（）A ．2a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤【正确答案】B【分析】结合数轴分析即可.【详解】由数轴可得，若A B ⊆，则1a ≤.故选：B.2．命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，则实数b 的值可能是（）A ．74-B ．32-C ．2D ．52【正确答案】B【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：x ∀∈R ，210x bx ++>，利用判别式小于即可求解.【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，所以命题：x ∀∈R ，210x bx ++>是真命题，也即对x ∀∈R ，210x bx ++>恒成立，则有240b ∆=-<，解得：22b -<<，根据选项的值，可判断选项B 符合，故选.B 3．函数21x y x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除A,D ,再根据01x <<,对应0y <,排除C ,进而选出正确答案B .【详解】由函数21x y x =-，可得1x ≠±，故函数的定义域为()()()1111∞∞--⋃-⋃+，，，，又()()()2211xxf x f x x x --===---，所以21x y x =-是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此A,D 错误；当01x <<时，221001xx y x -<=<-，，所以C 错误．故选:B4．已知322323233,,log 322a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【正确答案】D【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，3222333012a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝<=⎭<∴ ，，∴01a <<；32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，23033222013b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝>=⎭<∴ ，，∴1b >；223332log log 123c ==-=-∴c a b <<故选：D5．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP 翻两番的目标的年份为（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）（）A ．2032B ．2035C ．2038D ．2040【正确答案】D【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.【详解】设2022年我国GDP （国内生产总值）为a ，在2022年以后，每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n 年以后的GDP （国内生产总值）为()18%na +，由题意，经过n 年以后的GDP （国内生产总值）实现翻两番的目标，则()18%4n a a +=，所以lg 420.301020.301027lg1.083lg32lg5lg 25n ⨯⨯===-20.301020.301020.30100.6020183lg 32(1lg 2)3lg 32lg 2230.477120.301020.0333⨯⨯⨯===≈--+-⨯+⨯-=，所以到2040年GDP 基本实现翻两番的目标.故选：D.6．将函数sin y x =的图像C 向左平移6π个单位长度得到曲线1C ，然后再使曲线1C 上各点的横坐标变为原来的13得到曲线2C ，最后再把曲线2C 上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线3C ，则曲线3C 对应的函数是（）A ．2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用图像变换方式计算即可.【详解】由题得1C ：sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2C ：sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到3C ：2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C7．已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（）A ．9B ．6C ．4D ．1【正确答案】D 【分析】由题可得211x y+=，利用基本不等式可得29x y +≥，进而即得.【详解】因为20x y xy +-=，0x >，0y >，所以211x y+=，所以()212222559y x x y x x y y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝+++≥⎭==，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时等号成立，所以912x y ≤+，即92x y+的最大值为1.故选：D.8．已知22log log 1a b +=且21922m m a b+≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．(][),13,-∞-⋃∞B ．(][),31,-∞-⋃∞C ．[]1,3-D ．[]3,1-【正确答案】C【分析】利用对数运算可得出2ab =且a 、b 均为正数，利用基本不等式求出192a b+的最小值，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为()222log log log 1a b ab +==，则2ab =且a 、b 均为正数，由基本不等式可得1932a b +≥=，当且仅当2192ab a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，即当136a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，所以，192a b+的最小值为3，所以，223m m -≤，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤.故选：C.二、多选题9．函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（）A ．函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是()y f x a b =+-为奇函数B ．函数32()3f x x x =-的图像的对称中心为()1,2-C ．函数()y f x =的图像关于x a =成轴对称的充要条件是函数()y f x a =-是偶函数D ．函数32()|32|g x x x =-+的图像关于直线1x =对称【正确答案】ABD【分析】根据函数奇偶性的定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形，则有()()2f a x f a x b++-=函数()y f x a b =+-为奇函数，则有()()0f x a b f x a b -+-++-=，即有()()2f a x f a x b++-=所以函数(=)y f x 的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是为()y f x a b =+-为奇函数，A 正确；对于B,32()3f x x x =-，则323(1)2(1)3(1)23f x x x x x++=+-++=-因为33y x x =-为奇函数，结合A 选项可知函数32()=-3f x x x 关于点(1,2)-对称，B 正确；对于C ，函数()y f x =的图像关于x a =成轴对称的充要条件是()()f a x f a x =-+，即函数()y f x a =+是偶函数，因此C 不正确；对于D ，32()|-3+2|g x x x =，则323(1)|(1)3(1)2||3|g x x x x x +=+-++=-，则33(1)|3||3|(1)g x x x x x g x -+=-+=-=+，所以32()|-3+2|g x x x =关于=1x 对称，D 正确故选:ABD.10．下列结论中正确的是（）A ．若一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +的值是14-B ．若集合*1N lg 2A x x ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭∣，{}142x B x-=>∣，则集合A B ⋂的子集个数为4C ．函数()21f x x x =++的最小值为1D ．函数()21xf x =-与函数()f x =【正确答案】AB【分析】对于A ：12-和13为方程220ax bx ++=的两根且0a <，即可得到方程组，解得即可判断A ；根据对数函数、指数函数的性质求出集合A 、B ，从而求出集合A B ⋂，即可判断B ；当1x <-时()0f x <，即可判断C ；求出两函数的定义域，化简函数解析式，即可判断D.【详解】解：对于A ：因为一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以12-和13为方程220ax bx ++=的两根且0a <，所以112311223b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，所以14a b +=-，故A 正确；对于B：{{}**1N lg N 1,2,32A x x x x ⎧⎫=∈≤=∈<≤=⎨⎬⎩⎭∣∣0，{}{}12234222|2x x B x x x x --⎧⎫=>=>=>⎨⎬⎩⎭∣∣，所以{}2,3A B ⋂=，即A B ⋂中含有2个元素，则A B ⋂的子集有224=个，故B 正确；对于C ：()21f x x x =++，当1x <-时10x +<，()0f x <，故C 错误；对于D ：()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥==-=⎨-<⎩，令()2210x -≥，解得x ∈R ，所以函数()f x =R ，函数()21xf x =-的定义域为R ，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D 错误；故选：AB11．已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.当()()122f x f x =时，12min2x x π-=，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．6x π=是函数()f x 的一个零点B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．函数()1y f x =+的图象的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的图象向右平移2π个单位长度可以得到函数2y x =的图象【正确答案】AB【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的解析式())6f x x π=-，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()()f x x ωϕ=+，可得()()min max f x f x ==因为()()122f x f x =，可得()()122f x f x =，又由12min2x x π-=，所以函数()f x 的最小正周期为2T π=，所以24T πω==，所以()()4f x x ϕ=+，又因为012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭(]012πϕ⨯-+=，即cos()13πϕ-+=，由2πϕ<，所以6πϕ=-，即())6f x x π=-，对于A 中，当6x π=时，可得(cos(062f ππ==，所以6x π=是函数()f x 的一个零点，所以A 正确；又由函数的最小正周期为2T π=，所以B 正确；由()1)16y f x x π=+=-+，所以对称中心的纵坐标为1，所以C 不正确；将函数())6f x x π=-的图象向右平移2π个单位长度,可得()2)2666f x x x x πππππ=--=--=-，所以D 不正确.故选：AB.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()2e 11e 2x x f x =-+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列叙述正确的是（）A ．()g x 是偶函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()f x 的值域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【正确答案】BD【分析】依题意可得()2321e xf x =-+，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B 、D ，再根据高斯函数的定义求出()g x 的解析式，即可判断A 、D.【详解】解：因为()()22e 2e 111321e 21e 21e 21122e 2x x x x x xf x =-=-=--=-+-++++，定义域为R ，因为1e x y =+在定义域上单调递增，且e 11x y =+>，又2y x=-在()1,+∞上单调递增，所以()2321e xf x =-+在定义域R 上单调递增，故B 正确；因为1e 1x +>，所以1011e x<<+，所以1101e x -<-<+，则2201e x -<-<+，则1323221e 2x -<-<+，即()13,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故C 错误；令()0f x =，即32021e x-=+，解得ln 3x =-，所以当ln 3x <-时()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()1f x =，即32121e x-=+，解得ln 3x =，所以当ln 3ln 3x -<<时()()0,1f x ∈，当ln 3x >时()31,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()1,ln 30,ln 3ln 31,ln 3x g x f x x x ≥⎧⎪⎡⎤==-≤<⎨⎣⎦⎪-<-⎩，所以()g x 的值域是{}1,0,1-，故D 正确；显然()()55g g ≠-，即()g x 不是偶函数，故A 错误；故选：BD 三、填空题13．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，方程()f x k =有3个实数解，则k 的取值范围为___________.【正确答案】(4,3]--【分析】根据给定条件将方程()f x k =的实数解问题转化为函数()y f x =的图象与直线y k =的交点问题，再利用数形结合思想即可作答.【详解】方程()f x k =有3个实数解，等价于函数()y f x =的图象与直线y k =有3个公共点，因当0x ≤时，()f x 在(,1]-∞-上单调递减，在[1,0]-上单调递增，(1)4,(0)3f f -=-=-，当0x >时，()f x 单调递增，()f x 取一切实数，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象及直线y k =，如图：由图象可知，当43k -<≤-时，函数()y f x =的图象及直线y k =有3个公共点，方程()f x k =有3个解，所以k 的取值范围为(4,3]--.故(4,3]--14．已知()1sin 503α︒-=，且27090α-︒<<-︒，则()sin 40α︒+=______【正确答案】3-##【分析】由4090(50)αα︒+=︒-︒-，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求cos(50)α︒-，即可得解.【详解】由题设，()sin 40sin[90(50)]cos(50)ααα︒+=︒-︒-=︒-，又27090α-︒<<-︒，即14050320α︒<︒-<︒，且()1sin 503α︒-=，所以14050180α︒<︒-<︒，故22cos(50)3α︒-==-.故3-15．关于x 不等式0ax b +<的解集为{}3x x >，则关于x 的不等式2045ax bx x +≥--的解集为______.【正确答案】()[)13,5-∞- ，【分析】根据不等式的解集，可得方程的根与参数a 与零的大小关系，利用分式不等式的解法，结合穿根法，可得答案.【详解】由题意，可得方程0ax b +=的解为3x =，且a<0，由不等式2045ax bx x +≥--，等价于()()22450450ax b x x x x ⎧+--≥⎪⎨--≠⎪⎩，整理可得()()()()()510510ax b x x x x ⎧---+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得()[),13,5-∞- ，故答案为.()[)13,5-∞- ，16．已知函数f （x ）=221122x a x x x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩（），（），满足对任意实数12x x ≠，都有1212f x f x x x -<-（）（）0成立，则实数a 的取值范围是()【正确答案】138a ≤【分析】根据分段函数的单调性可得()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解不等式组即可.【详解】根据题意可知，函数为减函数，所以()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤.故138a ≤本题考查了由分段函数的单调性求参数值，考查了基本知识掌握的情况，属于基础题.四、解答题17．在①A B B ⋃=；②“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}{}121,13A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤.(1)当2a =时，求A B ⋃；()R A B ð(2)若_______，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1){}15A B x x ⋃=-≤≤，{}35R A B x x ⋂=<≤ð(2)答案见解析【分析】（1）代入2a =，然后根据交、并、补集进行计算.（2）选①，可知A B ⊆，分A =∅，A ≠∅计算；选②可知A B ，分A =∅，A ≠∅计算即可；选③，分A =∅，A ≠∅计算.【详解】（1）当2a =时，集合{}{}15,13A x x B x x =≤≤=-≤≤，所以{}15A B x x ⋃=-≤≤；{}35R A B x x ⋂=<≤ð（2）若选择①A B B ⋃=，则A B ⊆，当A =∅时，121a a ->+解得2a <-当A ≠∅时，又A B ⊆，{|13}B x x =-≤≤，所以12111213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是)([],10,1-∞-⋃.若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ，当A =∅时，121a a ->+解得2a <-当A ≠∅时，又AB ，{|13}B x x =-≤≤，12111213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩或12111213a a a a -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是)([],10,1-∞-⋃.若选择③，A B ⋂=∅，当A =∅时，121a a ->+解得2a <-当A ≠∅又A B ⋂=∅则12113211a a a a -≤+⎧⎨->+<-⎩或解得2a <-所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞ .18．计算下列各式的值：(1)1222301322(2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)7log 2log lg25lg47++【正确答案】(1)12；(2)112.【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的定义及运算求解.【详解】（1）12232231222301322(2.5)34833331222-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥⎢⎥ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦2339199112242442--+-+⎛⎫=== ⎪⎝⎭.（2）7log 2log lg25lg47+++()31111log 27lg 2542322222=+⨯+=⨯++=.19．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭同时满足下列两个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和.【正确答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）23π.【分析】（1）由条件可得2A =，最小正周期T π=，由公式可得2ω=,得出答案.(2)由()10f x +=，即得到1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解出满足条件的所有x 值，从而得到答案.【详解】（1）由函数()f x 的最大值为2，则2A =由函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则最小正周期T π=，由2T ππω==，可得2ω=所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()10f x +=，所以1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()2266x k k πππ+=-+∈Z 或()72266x k k πππ+=+∈Z ，解得()6x k k ππ=-+∈Z 或()2x k k ππ=+∈Z .又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π，故方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解得和为23π.20．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x =+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【正确答案】（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100千件【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得：当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭L x x x x x x ．当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭100001250⎛⎫=-+ ⎝⎭x x 所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(60)10003L x x =--+．此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．当80x ≥时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭12502001050=-=．此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元．由于10001050<，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1050万元本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.21．已知函数2()(22)x f x a a a =--(a >0,a ≠1)是指数函数.(1)求a 的值,判断1()()()F x f x f x =+的奇偶性,并加以证明；(2)解不等式log (1)log (2)a a x x +<-.【正确答案】（1）3a =，是偶函数，证明见解析；（2）1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（1）根据2221,0,1a a a a --=>≠，求出a 即可；（2）根据对数函数的单调性解不等式，注意考虑真数恒为正数.【详解】（1）函数2()(22)x f x a a a =--(a >0,a ≠1)是指数函数，所以2221,0,1a a a a --=>≠，解得：3a =，所以()3x f x =，1()()33()x x F x f x f x -=+=+，定义域为R ，是偶函数，证明如下：()33()x x F x F x --=+=所以，1()()()F x f x f x =+是定义在R 上的偶函数；（2）解不等式log (1)log (2)a a x x +<-，即解不等式33log (1)log (2)x x +<-所以012x x <+<-，解得112x -<<即不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭此题考查根据指数函数定义辨析求解参数的值和函数奇偶性的判断，利用对数函数的单调性解对数型不等式，注意考虑真数为正数.22．已知函数2()2x x b cf x b ⋅-=+，1()log a x g x x b -=+（0a >且1a ≠），()g x 的定义域关于原点对称，(0)0f =．(1)求b 的值，判断函数()g x 的奇偶性并说明理由；(2)求函数()f x 的值域；(3)若关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)1b =，()g x 为奇函数(2)()1,1-(3)(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U 【分析】（1）根据()g x 的定义域关于原点对称可得1b =，再求解可得()()0g x g x -+=判断即可；（2）根据指数函数的范围逐步分析即可；（3）参变分离，令()()21,3t f x =-∈，将题意转换为求()()222tm t t =---在()1,3t ∈上的值域，再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可.【详解】（1）由题意，1()log ax g x x b-=+的定义域10x x b ->+，即()()10x x b -+>的解集关于原点对称，根据二次函数的性质可得1x =与x b =-关于原点对称，故1b =.此时1()log 1ax g x x -=+，定义域关于原点对称，11()log log 11a a x x g x x x --+-==-+-，因为1111()()log log log log 101111aa a a x x x x g x g x x x x x -+-+⎛⎫-+=+=⨯== ⎪+-+-⎝⎭.故()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.（2）由（1）2()21x x cf x -=+，又(0)0f =，故002121c -=+，解得1c =，故212()12121x x xf x -==-++，因为211x +>，故20221x<<+，故211121x -<-<+，即()f x 的值域为()1,1-（3）由（2）()f x 的值域为()1,1-，故关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，即()()()22f x m f x f x -=-在()()()1,00,1f x ∈-⋃上有解.令()()()21,22,3t f x =-∈⋃，即求()()212223tm t t t t==---+-在()()1,22,3t ∈⋃上的值域即可.因为2333t t +-≥-=-，当且仅当t =时取等号，且21301+-=，223333+-=，故)2233,00,3t t ⎛⎫⎡+-∈⋃ ⎪⎣⎝⎭，故13,223m t t∞∞⎛⎛⎫=∈-⋃+ ⎪ ⎝⎭⎝+-，即m的值域为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，即实数m的取值范围为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U .。

2022学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．1. 设集合U＝{0, 1, 2, 3}，A＝{0, 1, 3}，B＝{1, 2}，则A∩(∁U B)＝（）A.{0, 3}B.{1, 3}C.{1}D.{0}2. 对命题“∃x∈R，x≤0”的否定正确的是（）A.∃x∈R，x>0B.∀x∈R，x≤0C.∀x∈R，x>0D.∀x∈R，x≥03. 已知，，则cosα＝（）A. B. C. D.4. 若方程的解在区间[k, k+1](k∈Z)内，则k的值是（）A.−1B.0C.1D.25. 函数f(x)＝在[−π, π]的图象大致为（）A.B.C.D.6. 设函数，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是（）A. B. C. D.7. 计算器是如何计算sinx，cosx，e x，lnx，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中n!＝1×2×3×∗∗∗×n．英国数学家泰勒(B．Taylor, 1685−1731)发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到cos1的近似值为（）A.0.50B.0.52C.0.54D.0.568. 在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0<x<2或x>4时，2x>x2；当2<x<4时，2x<x2，请比较a＝log43，，的大小关系（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）下列说法中，正确的有（）A.若a<b<0，则ab>b2B.若a>b>0，则C.若对∀x∈(0, +∞)，恒成立，则实数m的最大值为2D.若a>0，b>0，a+b＝1，则的最小值为4如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一图，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（）A.经过15分钟，点P首次到达最高点B.从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高C.若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍D.在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m设函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)−m有四个零点，则实数m可取（）A.−1B.1C.3D.5对于任意两正数u，v(u<v)，记区间[u, v]上曲线下的曲边梯形（图中阴影部分）面积为L(u, v)，并约定L(u, u)＝0和L(v, u)＝−L(u, v)，且L(1, x)＝lnx，则下列命题中正确的有（）A.L(1, 6)＝L(1, 2)+L(1, 3)B.L(1, uv)＝L(1, u)+L(u, uv)C.D.对正数u，ℎ有三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(9)＝________．已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为________．已知函数f(x)＝x|x|，则满足f(x)+f(3x−2)≥0的x的取值范围是________．（用区间表示）定义域为R的函数F(x)＝2x可以表示为一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)的和，则f(x)＝________；若关于x的不等式f(x)+a≥bF(−x)的解的最小值为1，其中a，b∈R，则a的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）计算：（1）；（2）．已知关于x的不等式ax2+x+2≥0的解集为A．（1）当a＝0时，“x∈A”是“x∈{x|m−1≤x≤m+1, m∈R}”的必要条件，求m的取值范围；（2）若A＝R，求实数a的取值范围．已知函数，、分别为其图象上相邻的最高点、最低点．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在上的单调区间和值域．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f(x+1)−f(x)＝2x−2；②不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}；③函数y＝f(x)的图象过点(3, 2)．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）已知二次函数f(x)＝ax2+bx+c，且满足_____（填所选条件的序号）．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设g(x)＝f(x)−mx，若函数g(x)在区间[1, 2]上的最小值为3，求实数m的值．某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量P（万只）与投入广告费x（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是多少？（2）若m＝3，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？若函数f(x)的图象关于点(a, b)中心对称，则对函数f(x)定义域中的任意x，恒有f(x)＝2b−f(2a−x)．如：函数f(x)的图象关于点(3, 5)中心对称，则对函数f(x)定义域中的任意x，恒有f(x)＝10−f(6−x)．已知定义域为[0, 2m+2]的函数f(x)，其图象关于点(m+1, e)中心对称，且当x∈[0, m+1)时，f(x)＝e|x−m|，其中实数m>−1，e为自然对数的底．（1）计算f(m+1)的值，并求函数f(x)在[0, 2m+2]上的解析式；（2）设函数，对任意x1∈[0, 2m+2]，总存在，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2022学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出∁U B，由此能求出A∩(∁U B)．【解答】∵集合U＝{0, 1, 2, 3}，A＝{0, 1, 3}，B＝{1, 2}，∴∁U B＝{0, 3}，∴A∩(∁U B)＝{0, 3}．2.【答案】C【考点】命题的否定【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出全称命题即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“∃x∈R，x≤0”的否定是：“∀x∈R，x>0”．故选：C．3.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】利用同角三角函数间的关系式求值即可．【解答】因为，，∴sinα＝，∴cosα＝-＝-．4.【答案】B【考点】函数零点的判定定理函数的零点与方程根的关系【解析】利用零点判断定理推出函数的零点的范围，即可得到k的值．【解答】设f(x)＝，易知，f(0)＝0−1＝−1<0，f(1)＝1−>0，由零点定理知，f(x)在区间[0, 1]内一定有零点，即方程一定有解．所以k的值是0，故选：B．5.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】利用奇偶性和特殊点即可判断出图象．【解答】函数f(x)＝，则f(−x)＝＝＝f(x)，可知f(x)是偶函数，排除A，B选项．当x＝时，f（）＝>0，∴图象在x轴的上方．6.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．【解答】函数，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x+2φ−）的图象．若g(x)为偶函数，则2φ−＝kπ+，k∈Z，令k＝−1，求得φ的最小值为，7.【答案】C【考点】归纳推理【解析】根据新定义，取x＝1代入公式中，直接计算取近似值即可．【解答】由题意可得，＝1−0.5+0.041−0.001+...≈0.54，8.【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点对数值大小的比较【解析】利用对数的运算、三角函数求值以及指数的运算，结合放缩法的使用，对a，b，c依次比较即可．【解答】，，故b>c因为，故，所以c<a，因为，所以，故＝＝a，故b>a，所以b>a>c．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）【答案】A,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】A,D【考点】三角函数模型的应用【解析】由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设y＝Asin(ωx+φ)+k，x表示时间，由题意可得：A＝40，k＝50，P(0, 10)，T＝30，可得ω，可得点P离地面的高度ℎ＝40sin（x−）+50，进而判断出结论．【解答】由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设y＝Asin(ωx+φ)+k，x表示时间．由题意可得：A＝40，k＝50，T＝30，可得ω＝＝，因为P(0, 10)，可得10＝40sin（×0+φ)+50，解得sinφ＝−1，可得φ＝-，故有点P离地面的高度ℎ＝40sin（x−）+50，A．经过15分钟，ℎ＝40sin（×15−）+50＝90．点P首次到达最高点，故A正确；B．经过15分钟，点P首次到达最高点，再经过15分钟，点P到达最低点．故B错误；C．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，故C错误；D．令f(t)>70，可得40sin（x−）+50>70，化为：cos x<−，可得2kπ+<x<2kπ+，k∈Z，解得30k+10<x<30k+20，k∈Z，可得20−10＝10，在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m，故D正确．【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】画出函数的图象，利用已知条件结合函数的图象，推出结果即可．【解答】令g(x)＝0得f(x)＝m，做出f(x)的函数图象如图所示：∵函数f(x)的图象与y＝m有四个交点，∴m的取值范围为0<m<4．故选：BC．【答案】A,B,D命题的真假判断与应用【解析】理解曲边梯形（图中阴影部分）面积为L(u, v)的定义，用定义及对数性质即可判断AB，根据凸函数性质即可判断C，由平均面积可判断D．【解答】对于A，L(1, 6)＝ln6＝ln2+ln3＝L(1, 2)+L(1, 3)，则A对；对于B，对于区间[1, uv]＝[1, u]∪[u, uv]，[1, u]∩[u, uv]＝{u}，由题设得，L(1, uv)＝L(1, u)+L(u, uv)，则B对；对于C，由于f(x)是向下凸函数，则C错；对于D，存在t∈(v, v+ℎ)，使得f(t)ℎ＝L(v, v+ℎ)，t∈(v, v+ℎ)⇒⇒⇒<L(v, v+ℎ)<，则D对；三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】81【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由已知先求出f(x)＝x2，由此能求出f(9)．【解答】∵幂函数f(x)＝xα图象过点，∴f（）＝＝2，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(9)＝92＝81．【答案】36cm2【考点】扇形面积公式【解析】由题意直接利用扇形的面积公式即可求解．【解答】由题意得，S＝＝＝36cm2，【答案】函数单调性的性质与判断【解析】根据f(x)的解析式可看出，f(x)是奇函数，在R上单调递增，从而得出f(x)≥f(2−3x)，进而得出x≥2−3x，从而解出x的范围即可．【解答】f(−x)＝−f(x)，且，则f(x)在R上单调递增，∴由f(x)+f(3x−2)≥0得，f(x)≥f(2−3x)，∴x≥2−3x，解得，∴x的取值范围是：．【答案】,a≥−1【考点】函数奇偶性的性质与判断函数的最值及其几何意义【解析】由函数的奇偶性的定义，结合方程思想解得f(x)，再由指数函数的单调性和换元法、二次不等式的解法，解不等式可得所求a的范围．【解答】由题意可得f(x)+g(x)＝F(x)＝2x，①又f(−x)+g(−x)＝F(−x)＝2−x，即为−f(x)+g(x)＝2−x，②由①②解得f(x)＝(2x−2−x)；关于x的不等式f(x)+a≥bF(−x)即为(2x−2−x)+a≥b⋅2−x，整理可得2x−(1+2b)2−x+2a≥0，可令t＝2x，由x≥1可得t≥2，所以t−(1+2b)•+2a≥0，即t2+2at−(1+2b)≥0，由题意可得t2+2at−(1+2b)≥0的解的最小值为t＝2，设g(t)＝t2+2at−(1+2b)．由于t2+2at−(1+2b)≥0的解的最小值为t＝2，可得g(0)＝−1−2b≤0，即b≥−，由g(2)＝4+4a−1−2b＝0，可得4+4a＝1+2b≥0，解得a≥−1．四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】原式＝；原式＝．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】（1）直接利用对数的运算性质和运算法则求解即可；（2）直接利用有理指数幂的运算性质以及根式的性质求解即可．【解答】原式＝；原式＝．【答案】当a＝0时，由x+2≥0，得x≥−2，所以A＝[−2, +∞)，因为“x∈A”是“x∈{x|m−1≤x≤m+1, m∈R}”的必要条件，所以[m−1, m+1]⊆[−2, +∞)，所以m−1≥−2，得m≥−1，故实数m的取值范围为[−1, +∞)．1∘当a＝0时，不等式即为x+2≥0，不符合题意．2∘当a≠0时，因为ax2+x+2≥0的解集为R，所以，解得．综上，实数a的取值范围是．【考点】充分条件、必要条件、充要条件一元二次不等式的应用【解析】（1）先解不等式求出集合A，然后根据“x∈A”是“x∈{x|m−1≤x≤m+1, m∈R}”的必要条件建立关系式，解之即可；（2）讨论a是否为0，然后根据A＝R建立关系式即可．【解答】当a＝0时，由x+2≥0，得x≥−2，所以A＝[−2, +∞)，因为“x∈A”是“x∈{x|m−1≤x≤m+1, m∈R}”的必要条件，所以[m−1, m+1]⊆[−2, +∞)，所以m−1≥−2，得m≥−1，故实数m的取值范围为[−1, +∞)．1∘当a＝0时，不等式即为x+2≥0，不符合题意．2∘当a≠0时，因为ax2+x+2≥0的解集为R，所以，解得．综上，实数a的取值范围是．【答案】因为f(x)图象上相邻两个最高点和最低点分别为，，所以A＝2，，解得T＝π；又，ω>0，所以ω＝2，f(x)＝2sin(2x+φ)；又图象过点，所以，即；所以，k∈Z，即，k∈Z．又，所以，所以．由，k∈Z，解得，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z；又，所以f(x)的单调递增区间为，同理f(x)的单调递减区间为．又，，，所以当时，f(x)值域为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性【解析】（1）由f(x)图象上相邻两个最高点和最低点坐标求出A、T、ω和φ的值，即可写出f(x)的解析式．（2）由正弦函数的图象与性质求出f(x)的单调递增、和单调递减区间，从而求出时f(x)的最大、最小值和值域．【解答】因为f(x)图象上相邻两个最高点和最低点分别为，，所以A＝2，，解得T＝π；又，ω>0，所以ω＝2，f(x)＝2sin(2x+φ)；又图象过点，所以，即；所以，k∈Z，即，k∈Z．又，所以，所以．由，k∈Z，解得，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z；又，所以f(x)的单调递增区间为，同理f(x)的单调递减区间为．又，，，所以当时，f(x)值域为．【答案】条件①：因为f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，所以f(x+1)−f(x)＝a(x+1)2+b(x+1)+c−(ax2+bx+c)＝2ax+a+b＝2x−2，即2(a−1)x+a+b+2＝0对任意的x恒成立，所以，解得，条件②：因为不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}，所以，解得，且a>0，条件③：函数y＝f(x)的图象过点(3, 2)，所以9a+3b+c＝2，若选择条件①②：则a＝1，b＝−3，c＝2，此时f(x)＝x2−3x+2；若选择条件①③：则a＝1，b＝−3，c＝2，此时f(x)＝x2−3x+2；若选择条件②③：则a＝1，b＝−3，c＝2，此时f(x)＝x2−3x+2．由（1）知g(x)＝x2−(m+3)x+2，其对称轴为，①当，即m≤−1时，g(x)min＝g(1)＝3−(m+3)＝−m＝3，解得m＝−3，min（舍），③当，即−1<m<1时，，无解．综上所述，所求实数m的值为−3．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】（1）分别求出每个条件下a，b，c满足的关系，再任选2个条件求出a，b，c的值，得到函数f(x)的解析式．（2）对函数g(x)的对称轴位置分3种情况讨论，分别求出g(x)的最小值，从而求出m的值，注意检验是否符合每种情况的取值范围．【解答】条件①：因为f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，所以f(x+1)−f(x)＝a(x+1)2+b(x+1)+c−(ax2+bx+c)＝2ax+a+b＝2x−2，即2(a−1)x+a+b+2＝0对任意的x恒成立，所以，解得，条件②：因为不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}，所以，解得，且a>0，条件③：函数y＝f(x)的图象过点(3, 2)，所以9a+3b+c＝2，若选择条件①②：则a＝1，b＝−3，c＝2，此时f(x)＝x2−3x+2；若选择条件①③：则a＝1，b＝−3，c＝2，此时f(x)＝x2−3x+2；若选择条件②③：则a＝1，b＝−3，c＝2，此时f(x)＝x2−3x+2．由（1）知g(x)＝x2−(m+3)x+2，其对称轴为，①当，即m≤−1时，g(x)min＝g(1)＝3−(m+3)＝−m＝3，解得m＝−3，min（舍），③当，即−1<m<1时，，无解．综上所述，所求实数m的值为−3．【答案】当投入广告费为1万元时，，销售价为，年利润，得m≤2，∴m的最大值为2．故要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是2；当m＝3时，年利润＝，当且仅当，即x＝2时等号成立．故当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由x＝4时，P＝3.4，求得a值，可得．（1）写出投入广告费为1万元时的年利润W，由W≥4.5列式求得m的范围，则m的最大值可求；（2）把m＝3代入利润函数解析式，利用基本不等式求最值．【解答】当投入广告费为1万元时，，销售价为，年利润，得m≤2，∴m的最大值为2．故要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是2；当m＝3时，年利润＝，当且仅当，即x＝2时等号成立．故当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润．【答案】因为f(x)图象关于点(m+1, e)中心对称，所以f(x)＝2e−f(2m+2−x)，则f(m+1)＝2e−f(2m+2−m−1)，即f(m+1)＝e．当x∈(m+1, 2m+2]时，2m+2−x∈[0, m+1)，则f(x)＝2e−f(2m+2−x)＝2e−e|m+2−x|．综上，f(x)＝．设f(x)在区间[0, 2m+2]上值域为A，在[(1−e)3, (e−1)3]的值域为B，则B＝[2e−e2, e2]．因为对任意x1∈[0, 2m+2]，总存在，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以A⊆B．①当−1<m≤0时，．当0≤x≤m+1时，f(x)＝e x−m∈[e−m, e]，当m+1<x≤2m+2时，f(x)＝2e−e m+2−x∈(e, 2e−e−m]，所以f(x)值域为[e−m, 2e−e−m]．又因为−1<m≤0，所以2e−e2<0<e−m，2e−e−m<2e<e2，所以A⊆B，符合题意．②当m>0时，函数f(x)在[0, m]上单调递减，在[m, m+1]上单调递增，又f(x)图象关于点(m+1, e)中心对称，所以f(x)在[0, m]和[m+2, 2m+2]上单调递减，在[m, m+2]上单调递增，又f(0)＝e m，f(m)＝1，f(m+2)＝2e−1，f(2m+2)＝2e−e m，因为2e−e2≤1≤e2，2e−e2≤2e−1≤e2，所以要使得A⊆B，只需，解得m≤2．又m>0，所以0<m≤2．综上，m的取值范围是(−1, 2]．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）由已知可得f(x)＝2e−f(2m+2−x)，从而可求得f(m+1)，由x∈(m+ 1, 2m+2]时，2m+2−x∈[0, m+1)，根据已知可求得f(x)的解析式；（2）设f(x)在区间[0, 2m+2]上值域为A，在[(1−e)3, (e−1)3]的值域为B，由题意可得A⊆B，对m分类讨论，求得满足条件的m的取值范围即可．【解答】因为f(x)图象关于点(m+1, e)中心对称，所以f(x)＝2e−f(2m+2−x)，则f(m+1)＝2e−f(2m+2−m−1)，即f(m+1)＝e．当x∈(m+1, 2m+2]时，2m+2−x∈[0, m+1)，则f(x)＝2e−f(2m+2−x)＝2e−e|m+2−x|．综上，f(x)＝．设f(x)在区间[0, 2m+2]上值域为A，在[(1−e)3, (e−1)3]的值域为B，则B＝[2e−e2, e2]．因为对任意x1∈[0, 2m+2]，总存在，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以A⊆B．①当−1<m≤0时，．当0≤x≤m+1时，f(x)＝e x−m∈[e−m, e]，当m+1<x≤2m+2时，f(x)＝2e−e m+2−x∈(e, 2e−e−m]，所以f(x)值域为[e−m, 2e−e−m]．又因为−1<m≤0，所以2e−e2<0<e−m，2e−e−m<2e<e2，所以A⊆B，符合题意．②当m>0时，函数f(x)在[0, m]上单调递减，在[m, m+1]上单调递增，又f(x)图象关于点(m+1, e)中心对称，所以f(x)在[0, m]和[m+2, 2m+2]上单调递减，在[m, m+2]上单调递增，又f(0)＝e m，f(m)＝1，f(m+2)＝2e−1，f(2m+2)＝2e−e m，因为2e−e2≤1≤e2，2e−e2≤2e−1≤e2，所以要使得A⊆B，只需，解得m≤2．又m>0，所以0<m≤2．综上，m的取值范围是(−1, 2]．。

一、选择题1．(0分)[ID ：12119]已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．982．(0分)[ID ：12116]已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>3．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．(0分)[ID ：12112]已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞5．(0分)[ID ：12093]设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ） A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,16．(0分)[ID ：12101]若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．(0分)[ID ：12100]若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e8．(0分)[ID ：12081]设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．(0分)[ID ：12077][]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12034]已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．(0分)[ID ：12030]若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．412．(0分)[ID ：12066]下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y13．(0分)[ID ：12065]已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．114．(0分)[ID ：12062]已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。