当前位置：文档之家 › 梁的应力

梁的应力

  • 格式：pdf
  • 大小：1.15 MB
  • 文档页数：71

下载文档原格式

  / 71

合集下载

梁的弯曲应力

梁的弯曲应力

Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章 梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。 得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章 梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系

关于梁的正应力强度计算.

关于梁的正应力强度计算.

§7-2 梁的正应力强度计算一、最大正应力在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。

产生最大正应力的截面，称为危险截面。

对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。

危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。

对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为：maxmax max zM y I σ=令zz maxI W y =，则 maxmax zM W σ=式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。

常用单位是m 3或mm 3。

z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。

对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为：32z z max /12/26I bh bh W y h ===对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为：43z z max /64/232I d d W y d ππ===对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为：+1max z My I σ=2maxzMy I σ-=令z 11I W y =、z 22IW y =，则有： +max 1M W σ=max2M W σ-=maxσ-图7-9二、正应力强度条件为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。

现分两种情况表达如下：1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为：maxmax z[]M W σσ=≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：+maxmax 1[]M W σσ+=≤ max max2[]MW σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。

第五章梁的应力

第五章梁的应力

y
ρ
σmin M
σmax
σmax
材料力学
3.静力关系 3.静力关系
M O dA y
z
第五章 梁的应力
FN = σdA = 0 ∫A M y = ∫AzσdA = 0 M z = ∫ yσdA = M A E ∫ σ dA = ∫ ydA = 0
A
z(中性轴 中性轴) 中性轴
x
[σc ] = 60MPa ,试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
材料力学
52
第五章 梁的应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
A
a
C
B
l
1 2) M max = FL = 17.8kN • m 4 M max 17.8 × 103 σ max = = = 126 × 106 Pa = 126MPa < [σ ] Wz 141×10 −6
材料力学
第五章 梁的应力
例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图,[σt ] = 30MPa 型截面铸铁梁，截面尺寸如图,
材料力学
第五章 梁的应力
所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁 例5-3-5：图a所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁，该 ： 所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁， 截面对于中性轴z 的惯性矩I 已知图a中 截面对于中性轴 的惯性矩 z=5493×104 mm4。已知图 中， × b=2 m。铸铁的许用拉应力 σt]=30 MPa，许用压应力 σ c]=90 。铸铁的许用拉应力[σ ，许用压应力[ MPa 。试求梁的许可荷载 。 试求梁的许可荷载[F]。

理论力学第七章梁的应力

理论力学第七章梁的应力

WZ

IZ y max
圆截面
IZ

d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ

bh 3 12
WZ

bh 2 6
空心矩形截面
IZ

b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x

M

梁的弯曲(应力、变形)

梁的弯曲(应力、变形)
和梁的跨度、截面尺寸等因素。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。

梁的应力和强度计算

梁的应力和强度计算

z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN

A
E
y

dA 0
E

A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]

建筑工程技术 教材 梁横截面上的切应力

解 求A、B支座反力 FBy= FAy= 36N
弯曲应力
1 求C偏左截面上各点的切应力 1）确定C偏左截面上的剪力 FQCL=36－4×4=20N 2）求截面的惯性矩及d点对应的S* 。
Iz
1 12
bh3
1 100 2003= 12
667×106mm4
d点对应的S*
S
z
50100 75
3.75105 mm3
弯曲应力
第五节 梁的切应力及切应力强度计算
一、梁横截面上的切应力
1 矩形截面梁
切应力的计算公式
FQ
S
* z
Izb
式中，FQ为需求切应力处横截面上的剪力；I为横截面对中 性轴的惯性矩；S*为横截面上需求切应力处平行于中性轴的 线以上（或以下） 部分的面积对中性轴的静矩；ｂ为横截面
的宽度。
弯曲应力
切应力的分布规律如下： １）切应力的方向与剪力同向平行。 ２）切应力沿截面宽度均匀分布， 即同一横截面上，与中性轴等距离 的点切应力均相等。
1.5
FQ max bh
36 103 1.5
=
100 200
３）切应力沿截面高度按二次抛物
线规律分布。距中性轴最远的点处
切应力等于零；中性轴上切应力取
得该截面上的最大值，其值为
max
1.5
FQ bh
弯曲应力
例10-17 一矩形截面简支梁受荷载作用，截面宽度 b=100mm，高度h=200mm，q=4N/m，Fm。试求 ⑴ 求C偏左 截面上a、b、c、d四点的切应力。⑵ 该梁的最大切应力发生 在何处，数值等于多少？
3）求各点的切应力
a c 0
b

1.5
FQLC bh

材料力学悬臂梁应力计算

材料力学悬臂梁应力计算悬臂梁是一种常见的结构，在工程设计和材料力学中应用广泛。

悬臂梁的应力计算是一个重要的课题，它涉及到材料力学原理的应用，以及悬臂梁结构参数的分析。

悬臂梁的应力计算是指在给定的外力作用下，计算悬臂梁上各个位置处的应力情况。

根据材料力学的基本公式和悬臂梁结构的几何形状参数，可以求解出悬臂梁上各个位置的应力分布情况。

悬臂梁在实际工程设计中常常被用来支持和承载不同的载荷。

例如，一座桥梁的桥墩，其中桥墩顶部就可以看作是悬臂梁。

通过计算桥墩顶部的应力情况，可以判断桥墩结构的安全性以及在不同情况下的变形程度。

悬臂梁的应力计算可以通过以下步骤实现：1.确定外力：首先要明确悬臂梁所受到的外力情况，包括静载荷、动载荷以及温度变化等。

这些外力会直接影响悬臂梁的应力分布情况。

2.绘制悬臂梁的几何形状：根据悬臂梁的实际结构情况，绘制出悬臂梁的几何形状。

通常包括悬臂梁的长度、截面形状以及悬臂梁所受力的位置。

3.计算应力：利用材料力学的基本公式，结合悬臂梁的几何形状和外力情况，可以计算出悬臂梁上各个位置的应力分布。

应力计算的结果可以体现在一种称为应力云图的结果上，通过不同颜色的区域表示不同的应力大小。

4.分析应力：根据应力云图的结果，可以对悬臂梁的应力情况进行分析。

关注应力集中的位置和应力大小，可以判断悬臂梁结构的安全性，并提出相应的设计改进建议。

需要注意的是，悬臂梁的应力计算是一个复杂的过程，需要综合考虑多种因素。

例如，材料的弹性模量、抗弯强度，悬臂梁的截面形状以及载荷的类型和大小等。

此外，还需要考虑悬臂梁在使用中的变形情况，以及悬臂梁与其他结构的连接情况等。

这些因素的综合影响决定了悬臂梁的应力分布情况，对于悬臂梁的实际应用有着重要的指导意义。

在实际工程设计中，悬臂梁的应力计算是一个极为重要的课题。

正确地进行悬臂梁的应力计算，可以保证结构的安全性和可靠性，并且可以根据应力分布情况对结构进行优化设计。

悬臂梁应力计算的研究和应用，对于完善材料力学理论、提高工程设计水平都具有重要意义。

梁的切应力及其强度条件

FS S z 66103 462102 ta 26.5MPa 4 dIz 10115210
4) 求d点的切应力
10 220 d 103 47
FSD C y
td ta
140
10
C y 10
tmax
3 3 S z 15010 [103 (150/ 2)] 4210 mm
10 320 10 50kN 50kN 50kN
Байду номын сангаас
100
9.5
F1
F2
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
解 1）求内力
FA 75kN
FB 75kN
10 320 10
50kN 50kN 50kN
100
F1
F2
9.5
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
dA
tmax
* FS S z t bI z
h
z
y
h h/2 y S b y 2 2
* z
y
b
2
b h2 2 y 2 4
FS h 2 FS b h 2 2 y t y 4 2I 4 I zb 2 z 2 2 3 FS 3FS FSh FSh t max 3 8I z 8 bh 12 2 bh 2 A
y
2、翼缘上的切应力

F
* N2

d h
O
t
y
F t
* 1 N1
t1'
d F S t 1 d x
* FS S z t 1 I z

梁的正应力


校核梁的强度是否安全。
y
F
A
B
C
150
BA
50
2F
1400
600
200
12kNm
96.4
z
50
16kNm

A

M Ayl IZ
16103 250 96.4
24.09M1.0P2a108

A

M Ayy IZ

16103 96.4 151.1.022MP1a08

B
B
z
zd 2
d
d
z z
d
2
d
(a)
max (a)
Mz d3

6M z d3
6
d
d
2
2
d
(b)
(c)
Mz
max (b)
2 d .d 2

6M z d3
2
6
Mz
max (c)

2 d d
2



12M d3
z
2
6
弯曲应力例题
1 q=60kN/m 例1 简支梁
A
B 求：（1）1—1截面上1、2两

qx2 ) 2
x1
60kNm
M max qL2 / 8 67.5kNm
x
2 求应力
Iz

bh3 12

5.832105 m4
Wz I z / ymax 6.48104 m3
1
2

M1y Iz
60 60 105 61.7MPa 5.832
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

对全梁（等截面）：
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
§9–1
梁内正应力、正应力强度条件
q = 2 kN m
4m
试计算图示简支矩形截 面木梁平放与竖放时的最 大正应力，并加以比较。
200
100
200
100
qL2 8
横放
qL2 = 8 2 = 12MPa hb 6
竖放
qL2 = 8 2 = 6MPa bh 6
§9–2
梁内剪应力、剪应力强度条件
一、矩形截面上的剪应力
q
FR
FR
kN
kNm
§9–2
梁内剪应力、剪应力强度条件
假设：
1、横截面上的τ方向与FS平行
y
Fs
z
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
§9–2
12
a a x
梁内剪应力、剪应力强度条件
F
h2
12
dx
a
a
h2
y
τy
yy1Βιβλιοθήκη dAA∗y
1
M
M + dM
∗ F N1
30
§9–1
梁内正应力、正应力强度条件
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面为T字 形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为 y [σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。
F
A
B
C
B
A
50
150
96.4
2F
1400 600
z
d d
d 2 d 2
z
d 2 d 2
z z
d
d
(a)
σ max (a) =
M z 6M z = 3 d3 d 6
(b)
(c)
B
Mz 12M σ max (c) = 2 2 ⋅ = 3 z d ⎛d ⎞ d⎜ ⎟ ⎝2⎠ 6
Mz 6M σ max (b) = 2 ⋅ = 3 z d 2 d .d 2 6
F
150
B
A
50
96.4 C 50
l 2
l 2
200
z
M max =
y
+ max
FL = 16kNm 4
+ σ max − σ max
= 200 + 50 − 96.4 = 153.6mm
− ymax = 96.4mm
+ Mymax = IZ − Mymax = IZ
= 24.09 MPa = 15.12 MPa
+ A
§9–1
梁内正应力、正应力强度条件
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的 吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图 示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ] ＝160MPa ，试计 算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选 择多大型号的工字钢？
σ max =
M max WZ
σ max =
M max WZ
§9–1
梁内正应力、正应力强度条件
长为l 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力 F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝ 1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。
A
l 2
FL
B
l 2
F
C
h6
a
b
h
h2
1 h FL M y σa = B a = 2 3 3 bh IZ 12
h2
y0
A∗
y
τ max
3F s F sh 2 F sh 2 = = = 3 2A bh 8I Z 8 12
§9–2
梁内剪应力、剪应力强度条件
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如 图示。求σmax , τmax 。
F
M max
h
l2
FL = 4
FL = 4 1 2 bh 6
bh 2 WZ = 6
l2
F = 25kN
q = 12kN m
A
C
1m
B
D
3m
2m
24
kN ⋅ m
12.75 C截面
+ σ C max
12.75 ×103 × 139 ×10 −3 = 44MPa = −7 403 × 10
果 61 T z 截 170 139 面 倒 30 置 3 −3 24 × 10 × 61×10 + 会 = 36.3MPa σ B max = 403 × 10 −7 如 3 −3 24 × 10 × 139 × 10 − 何 = 82.8MPa σ B max = −7 403 × 10 ???
c b
bh 3 IZ = 12
= 1.65MPa
1 M B = FL 2
σb = 0
h 1 FL M y σ c = B c = 2 3 2 = 2.47 MPa （压） bh IZ 12
§9–1
梁内正应力、正应力强度条件
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 y 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
D
d
q
A B
FB
C
3q FA = kN 4
梁的强度
9q FB = kN 4
FA
2m
1m
1 q 2
9q 32
1 q ≤ πd 2 [σ ] = 22.3kN / m 9
WZ [σ ] = 15.68kN / m 0.5 杆的强度 9q 4 ≤ [σ ] FNBD σ= ≤ [σ ] 1 2 A πd 4 q≤
中性层
实验观察：
F F
m n
m
n
m
中性轴： 中性层与横截面的交线称为中 性轴。
n
o1
m
o2
n
中性轴
§9–1
F
梁内正应力、正应力强度条件
F
m n
(ρ + y )dθ − ρdθ ε=
ρdθ
=
y
ρ
m
n
σ = εE =
σ FN = ∫A dA =
E
y
ρ
E
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
o
ρ∫
A
ydA = 0
σ
200kN吊车
150kN吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
FA
B
C
F l
辅助梁
∑M ∑M
A
=0
x
FB
B
=0
F (l − x ) FB l= F (l − x ) = 0 FB − l F x= Fxl = 0 FA − FA l
Fx 令: FA = ≤ 200kN l x ≤ 2.667 m
FB =
F (l − x ) l x ≥ 2m
FA = 46.9kN
31.9
[σ ]
= 61.2cm3
查表
15 3.75
kN
28.1
kNm
N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
13.16
§9–1
梁内正应力、正应力强度条件
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸 铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应力强度条 件校核梁的强度。 200 B截面 如
Fs S τ = I zb
* z
§9–2
* Fs S z τ = IZb
梁内剪应力、剪应力强度条件
IZ – 截面对中性轴的惯性矩； SZ＊ – 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.
b
Fs – 横截面上的剪力； b – 截面的宽度；
Fs h 2 τy = ( − y2 ) 2I Z 4
h2
z
y
τ max
M ( x)
σ ( x) = E ⋅ ε ( x)
ε ( x) =
Δ(dx) dx
§9–1
梁内正应力、正应力强度条件
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
§9–1
q = 30 kN m
A
0 .5 m
梁内正应力、正应力强度条件
B
2m
FB = 28.1kN
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示， 其 外 伸 部 分 为 0.5m ， 梁 上 承 受 均 布 荷 载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。 已知工字钢抗弯强度［σ］=215MPa。
WZ = M max
z
200
12kNm
50
16kNm
− σA =
M Ay y IZ
16 ×103 × 96.4 = 15.12 MPa 8 1.02 ×10
M Ayl 16 ×103 × (250 − 96.4 ) σ = = 24.09 MPa IZ 1.02 ×108 M By y 12 ×103 × (250 − 96.4 ) − σB = = 18.07 MPa IZ 1.02
z
ρ
dθ