工业机器人奇异位形的分析及雅可比矩阵推导
内蒙古科技大学机械工程学院 石 炜 李 强
[摘 要]机械手运动过程中的奇异位形是很重要的,而奇异位形对于研究机械手的动力学问题也是十分重要的。雅可
比矩阵正是研究这种微分关系的数学方法,它反映了操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系。本文推导了
六自由度关节机器人的雅可比矩阵,对关节型机器人的动力学及轨迹规划进一步研究提供了理论支持。
[关键词]奇异性 微分 映射
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特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa，则a 为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。 奇异值：设A为m*n阶矩阵，A H A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记 (A) 为σ i 上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。 前面说了这么多，本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧：
实验（4）机器人机器人静力学和雅克比实验 一、实验目的： 1）理解机器人角速度的相关概念； 2）对构建的机器人进行速度分析； 3）了解和熟悉机器人雅克比矩阵的含义， 4）能够使用simulink构建机器人仿真模型。 二、雅克比矩阵 图1 机器人雅克比矩阵 在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来： 在matlab工具箱中，求取机器人雅克比矩阵函数为， J = (qr) ，其中p560为机器人名。 逆雅克比矩阵：
分析雅克比矩阵： 其中， 在matlab工具相中对应函数为， 推导可得， 变换为， 简化模型化为，
在matlab工具箱中，对应的RPY的雅克比速度映射函数， 该函数为从 RPY角速度到角速度的雅克比变换函数。即上式中的。在matlab工具箱中，对应的ZYZ欧拉角的雅克比速度映射函数， >> eul2jac,, ans = 对应书中p113页中公式（5-41和5-42）。 综上可得到解析型雅克比， 三、基于simulink的机器人仿真模型建立，要求机器人末端以一定
1）新建simulink 模型文件，保存为testrobotJ ； 2）在命令窗口中键入roblocks ，调出机器人library 库； 3）打开simulink 库； 4）在新建的simulink 模型文件中，从机器人库和simulink 库中查找相应的函数模型按给定例子搭建； simulink/Discrete roblocks/Kinematics simulink/User-Defined Functions matlab function simulink/Math Operations Reshape simulink/Sources roblocks/Robot Graphics DSP System Toolbox/Math functions/ matrices and Linear Algebra/matrix Operations simulink/Discrete Discrete Time Integrator
雅可比矩阵(Jacobi方法) Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ = diag(λ 1 ,λ 2 ,…,λ n ) (3.1) 其中λ i (i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a ij ) n×n ,Q交矩阵, 记B=Q T AQ=(b ij ) n×n , 则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换 设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵 易见 V ij (φ)是正交矩阵, 记 注意到B=V ij A的第i,j行元素以及的第i,j列元素为
可得 ≠0，取φ使得则有 如果a ij 对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。 设由式(3.4) 可得 这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可
知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法 通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵 4) 计算A(k+1) 5) 计算 6) 若E(A(k+1))<ε, 则 为特征值，
5.1.1 雅克比矩阵及其行列式的几何意义 因为雅克比矩阵如此重要且有趣，我们把它单列一节讨论，并放在矩阵的 行列式的几何意义后面。 说实在的，解说雅克比矩阵及其行列式的几何意义，是应一位网友的希望而作。先前的五章在网上发布以后引起了不少哥们的关注，大多是共鸣及鼓励的话。一位网友哥们说（大意是），你除了内容有些凌乱外细节写得还不错，是下了一番功夫……，不知以后写不写雅克比行列式的几何意义等等。嘿嘿，您的给力评论使俺很受鼓舞。就像在学校里，老师先表扬说你的作业写得不错，有进步，我再给你出个优等生的题目吧。因此，俺就把这事记下了，先把题目列在目录里防止忘了。 当写到这一节时才知道这个题目确实有点难度啊，又下了很大的功夫，才觉得这件事通顺了。至此俺才发现，老师出的这个题目太有目光了，雅克比矩阵简直就是线性代数和微积分的纽带，是把非线性问题转换为线性问题的有力工具之一啊。有时看到一点微分几何的内容，也觉得和微分几何颇有渊源（宽恕俺没学过微分几何）。 兹写作业在此，希望再次得到老师的表扬哦： 5.1.1雅克比矩阵及其行列式的几何意义 话说有一个函数方程组，是由n个函数组成，每个函数也有n个自变量：。。。。。。。。。。。。。。。。。 这个函数组有两个意义可以解释，一个解释它是一个映射，点被映射成； 另外的一个解释就是坐标变换的意思，如果你把这个函数组代到一个以为自变 量的某方程中，即相当于把某方程的原坐标系被替换成坐标系。这两个解释本 质是一回事，是同一件事情的从不同角度的看法。坐标系不动，一个点被变换到 另一个点；这等价于说点不动，一个坐标系被代换到另一个坐标系。 下面我们将从其坐标变换的解释角度来分析。 一般情况下，这个函数方程组不是线性方程组，它的图形多是高维曲线、曲 面类的。稍详细一点说，每一个函数是个超维曲面，n个超维曲面组合在一起交 割成超维曲线。不过猛地看起来蛮像线性方程组的样子，心里于是就有了把它弄 成线性方程组的冲动：弄成线性的可以使用矩阵、行列式啊什么的，可以和线性 变换联系起来，多有几何意义啊。
速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系 雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法 雅克比的性质： 6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。 雅克比的应用： 1、判断奇异状态：|J|=0 2、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。 3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。 4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。 5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。 附件1：矢量积法 矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。 对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且 0i i v z q w ?? ??=???????? 因此得到雅可比矩阵的第i 列 0i i Z L ?? =???? (移动关节i) 对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0 ()i i n i v z p q =?，产生 的角速度为i i w z q = 。 因此，雅可比矩阵的第i 列为 ()00i i i i n i n i i i Z R P Z P J z Z ??????==? ????????? 式中，?表示矢量积符号，0 i n P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0} 的表示，0 i n P = ( )0 i i n R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。 附件2：微分变换法 速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。因此，操作速度与关节速度之间的额关系
六自由度机器人Jacobian(雅克比)矩阵计算类六自由度机器人Jacobian(雅克比)矩阵计算类！ 作者：想飞的猪 说明：MLGetIdentityMat为获得单位矩阵函数 MLMatMulti为矩阵相乘函数 和OpenCV求逆矩阵函数cvInvert没有给出请大家自己写一下！很简单的！ typedef struct RobotJacobian6 { //变量! //各关节传递矩阵! union { struct { double AMat[6][4][4]; }; double A0to1[4][4]; double A1to2[4][4]; double A2to3[4][4]; double A3to4[4][4]; double A4to5[4][4]; double A5to6[4][4]; }; union {
struct { double TMat[6][4][4]; }; struct { double T0to6[4][4]; double T1to6[4][4]; double T2to6[4][4]; double T3to6[4][4]; double T4to6[4][4]; double T5to6[4][4]; }; }; //末端位姿! double EndPose[4][4]; //D-H参数表! double DHParam[6][4];//顺序为：Angle d_L a_L a_A! //雅克比矩阵! double EndJacobian[6][6]; //逆雅克比矩阵! double EndInvJacobian[6][6]; //基坐标的笛卡尔微分运动到末端坐标的传递矩阵! double JBasetoEnd[6][6];
奇异值分解及其应用 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 奇异值与特征值基础知识 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。我这里引用了一些参考文献中的内容来说明一下。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵： 它其实对应的线性变换是下面的形式：
矩阵的奇异值分解（SVD）及其应用 版权声明： 本文由LeftNotEasy发布于https://www.doczj.com/doc/9519041630.html,, 本文可以被全部的转载或者部分使用，但请注明出处，如果有问题，请联系wheeleast@https://www.doczj.com/doc/9519041630.html, 前言： 上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Sem antic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。 前面说了这么多，本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 1）特征值： 如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：
§2 矩阵的奇异值分解 定义 设A 是秩为r 的m n ?复矩阵，T A A 的特征值为 1210r r n λλλ>λλ+≥≥ ≥===. 则称i σ=(1,2, ,)i n =为A 的奇异值. 易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于其秩. 矩阵的奇异值具有如下性质： （1）A 为正规矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值的模； （2）A 为半正定的Hermite 矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值； （3）若存在酉矩阵,m m n n ??∈∈U V C C ，矩阵m n ?∈B C ，使=UAV B ，则称A 和B 酉等价.酉等价的矩阵A 和B 有相同的奇异值. 奇异值分解定理 设A 是秩为r (0)r >的m n ?复矩阵，则存在m 阶酉矩阵U 与n 阶酉矩阵V ，使得 H ?? ==?? ?? O U AV O O ∑?. ① 其中12diag(,,,)r σσσ=∑，i σ(1,2,,)i r =为矩阵A 的全部非零奇异值. 证明 设Hermite 矩阵H A A 的n 个特征值按大小排列为 1210r r n λλλ>λλ+≥≥ ≥===. 则存在n 阶酉矩阵V ，使得 1 2 H H ()n λλ???? ??==??? ??? ??? ? O V A A V O O ∑. ②
将V 分块为 12()=V V V ， 其中1V ，2V 分别是V 的前r 列与后n r -列. 并改写②式为 2 H ??=? ??? O A AV V O O ∑. 则有 H 2H 112==A AV V A AV O ， ∑. ③ 由③的第一式可得 H H 2H 1111()()r ==V A AV AV AV E ， 或者∑∑∑. 由③的第二式可得 H 222()() ==AV AV O AV O 或者. 令111-=U AV ∑，则H 11r =U U E ，即1U 的r 个列是两两正交的单位向量.记作112(,,,)r =U u u u ， 因此可将12,,,r u u u 扩充成m C 的标准正交基， 记增添的向量为1, ,r m +u u ，并构造矩阵21(, ,)r m +=U u u ，则 12121(,)(,, ,,, ,)r r m +==U U U u u u u u 是m 阶酉矩阵,且有 H H 1121 r ==U U E U U O ，. 于是可得 H H H 1 121H 2()()????===???? ???? O U U AV U AV AV U O O O U ，，∑∑. 由①式可得 H H H H 111222r r r σσσ??==+++???? O A U V u v u v u v O O ∑. ④ 称④式为矩阵A 的奇异值分解. 值得注意的是：在奇异值分解中121,, ,,, ,r r m +u u u u u 是H AA 的特征 向量，而V 的列向量是H A A 的特征向量，并且H AA 与H A A 的非零特征值
第4章 速度运动学——雅可比矩阵 在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。 雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。 1.角速度：固定转轴情形 k θ ω =（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ 是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵 一个n n ?的矩阵S 被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T ,我们用)3(so 表示所有 33?反对称矩阵组成的集合。 如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33?的反对称矩阵具有下述形式： ???? ? ?????---=0001 2 13 23s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式： ???? ????? ?---=000 )(x y x z y z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质 1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3 R ，α、β为标量
2）p a p a S ?=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ?表示向量叉乘 3）)()(Ra S R a RS T =，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。 4）对于一个n n ?的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T 旋转矩阵的导数 )(θθ SR R d d = 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。 3.角速度：一般情况 )())(()(t R t w S t R = ，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p 。 4.角速度求和 假定我们有112010...-=n n n R R R R ，则00,00)(n n n R S R ω= ，其中 0,104 ,303 ,202,10 1,01,10134,30323,20212,10101,00,0......n n n n n n n R R R R ----+++++=+++++=ω ω ω ωωωωωωωω （0 2,1ω表示对应于1 2R 导数的角速度在坐标系0000z y x o 中的表达式） 5.移动坐标系上点的线速度 v r o Rp S o p R p +?=+=+=ωω 110)( 其中，1 Rp r =是从1 o 到p 的向量在坐标系0000z y x o 的姿态中的表达式，v 是原点1o 运
PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 奇异值与特征值基础知识 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 特征值
如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。我这里引用了一些参考文献中的内容来说明一下。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵： 它其实对应的线性变换是下面的形式： 因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是：
矩阵的奇异值分解及数值实现 1.引言 矩阵的奇异值分解是数学研究中一种重要的方法, 除了其理论价值外,在工程领域中的应用也很普遍。例如: 在最优化问题、特征值问题、广义逆矩阵计算、高质量的统计计算、信号和图像处理、系统辨识、滤波器设计、谱估计、时间序列分析、控制理论和酉不变范数理论等领域, 奇异值分解都占有极其重要的作用同时它在求线性方程组的数组时也经常使用。它的核心在于在求出矩阵的有效秩的同时不改变矩阵的有关度量特性, 这对统计和检测数据的处理有很重要的作用。但矩阵奇异值分解的严重不足之处在于速度慢、计算量和存储量相当大, 并且到现在仍然没有计算矩阵的奇异值分解的快速算法。因此研究奇异值分解的快速算法,在理论上和工程实际中都有重要意义。 2.矩阵的奇异值分解 在数值分析中,矩阵的奇异值分解具有相当重要的作用, 因此在求矩阵的奇异值分解时, 必须掌握矩阵的奇异值分解的理论及相关概念。 2.1 矩阵的奇异值相关定义 定义2.1.1对于任一个mn阶复(实)矩阵A,设AH(AT)为A的共轭转置矩阵，则AHA的n个特征值的非负平方根称为A的奇异值,也就是A共有n个奇异值，且全部》0。AHA是一个半正定矩
阵,所以它的特征值》0。 设A?HYCmn(r>0),AHA的特征值 为？％d1>?%d夢…》?%dr>?%dr+1=- =?%dn=0则 称？％li=(i=1,2,…,n)为A的奇异值。 从定义可以看出以下性质: (1)mn 矩阵的奇异值的个数等于列数; (2)AHA和AAH的非零特征值相同,A的非零奇异值的个数等 于r?%ZnkA。 定义2。1。2设A为复数域C上的n阶矩阵,如果存在 数？％d?HY(和非零的n维向量x,使得Ax=?%dx就称？％d是矩阵A 的特征值,x是A的属于(或对应于)特征值？％d的特征向量。 定义2。1。3 设mn矩阵A?HYCmn,r?%ZnkA=r(r>0),则AHA 和AAH的特征值都是非负实数。 3.矩阵奇异值分解的性质 既然矩阵奇异值分解在计算中有如此重要的作用, 当然它就具有一些重要的性质, 并且这些性质的应用也相当广泛。 性质3.1 A的奇异值由A惟一确定，但酉矩阵U和V不惟一，故矩阵A的奇异值分解一般不惟一。 性质 3.2 奇异值分解可以计算出矩阵的条件数。 设A?HYCmn且存在可逆矩阵P使得 P- 1AP=di?%Zg(?%d1 …,？％dn),则称？UP-1?U|| PII 为矩阵A关于特征值问题的条件数, 记为k(P) 。
矩阵的奇异值分解 在数字图像处理的应用浅析 学院：··· 专业：·· 姓名：·· 学号：·· 2011年11月6日
目录 一、绪论 ................................................................................................................................. - 1 - 二、数字图像处理简介 ............................................................................................................. - 2 - 三、矩阵的奇异值分解原理 ..................................................................................................... - 4 - 3.1 矩阵的奇异值 ............................................................................................................. - 4 - 3.2 矩阵的奇异值分解（SVD） ....................................................................................... - 4 - 四、奇异值分解的图像性质 ..................................................................................................... - 5 - 五、图像的奇异值分解压缩方法 ............................................................................................. - 7 - 5.1 奇异值分解压缩原理分析 ......................................................................................... - 7 - 5.2 奇异值分解压缩应用过程 ......................................................................................... - 8 - 六、小结 ................................................................................................................................. - 9 -
Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ = diag(λ 1,λ 2 ,…,λ n ) 其中λ i (i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a ij ) n×n ,Q交矩阵, 记B=Q T AQ=(b ij ) n×n , 则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换 设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵 易见 V ij (φ)是正交矩阵, 记 注意到B=V ij A的第i,j行元素以及的第i,j列元素为 可得 如果a ij ≠0，取φ使得则有 对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。
设由式 可得 这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由可知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法 通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵 4) 计算A(k+1) 5) 计算 6) 若E(A(k+1))<ε, 则 为特征值， Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T 的各列为相应的特 征 向量；否则，k+1=>k
Stewart平台雅可比矩阵分析 赵慧[1]张尚盈[2] [1]武汉科技大学机械自动化学院 430081 Email: [2]华中科技大学数字制造及设备技术国家重点实验室 430074 Email: 摘要：雅可比矩阵是对Stewart平台进行分析时的重要变量，通过对其的分析和计算，可以得到平台速度和液压缸速度之间的关系，得到平台承载与各液压缸出力之间的关系，可以判断液压缸的可控性，可以得到各自由度之间的运动耦合情况。因此，导出雅可比矩阵，并对其物理意义进行诠释和深刻理解非常重要。本文通过Stewart平台的运动学分析，推导出雅可比矩阵的公式，并通过仿真结果对其物理意义进行验证。 关键词：Stewart平台，运动学分析，雅可比矩阵 1 引言 随着科技的发展以及人们对未知世界探索的需求，Stewart平台在飞行模拟器、空中交会对接(RVD)仿真技术[1]、虚拟轴机床、力－扭矩传感器、装配机械手等领域有广泛的应用。其中液压驱动Stewart平台由于具有快速、高精度、大负载和结构紧凑等特点而受到青睐 [2]。 Stewart平台是一个典型的多变量和本质非线性的复杂系统。对Stewart平台运动学和动力学进行研究，是设计、分析和控制Stewart平台的基础。雅可比矩阵是在对Stewart平台进行运动学动力学分析过程中产生和定义的矩阵，具有重要的物理意义，本文将对其实质展开论述，并用仿真结果来验证。 2 Stewart平台描述 2.1 坐标系建立 如图1所示，Stewart平台的主体部分由上平台（Platform）、下平台（Base）以及六个液压缸组成。静止不动的下平台与可动作的上平台分别通过上、下胡克铰与液压缸的两端相连。选取体坐标系{}P— O X Y Z在上平台上，坐 p p p p
动力学分析基础——雅可比矩阵 代码编写,资料整理——ZH1110 动力学仿真计算归结为对典型的常微分方程组的初值问题。在解上述的初值问题时，除了应用常微分方程初值问题的数值积分 外，还将用到求解线性代数方程组的数值方法,所以首先我们必须先研究这两个常用的计算机算法,已便于后面的计算. 高斯消去法求解线性代数方程组(直接法,即消去法)，已在线性代数课程中有详细的讨论，在此给出些说明以及具体的算法描述。 大致可以分为以下两步。 1．将系数矩阵经过一系列的初等行变换（归一化） 在变换过程中，采用原地工作，即经变换后的元素仍放在原来的位置上。 2.消去。它的作用是将主对角线以下的均消成0，而其它元素与向量中的元素也应作相应的变换 最后，进行回代依次解出 如:我们要解如下方程组：
初等行变换: 回代得到结果: 龙格-库塔算法求解常微分方程 用欧拉算法、改进欧拉算法以及经典龙格-库塔算法对常微分方程的初值问题进行数值求解算法。 动力学仿真计算最后会出现一加速度，速度，坐标的两阶微分方程组，其积分需要这种计算方法。 一、 使用欧拉算法及其改进算法（梯形算法）进行求解 所谓的微分方程数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。欧拉(Euler)算法是其实现的依据是用向前差商来近似代替导数。对于常微分方程： dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b] y(a)=y0 可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xI点有y'(xI)=f(xI,y(xI))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xI+1)-y (xI))/h= f(xI,y(xI))，因此可以根据xI点和yI点的数值计算出yI+1来.由此可以看出，常微分方程数值解法的基本出发点就是计