17版：9.8 曲线与方程(步步高)

§5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题．导语同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数．一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识问题1结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？提示先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质．问题2绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)?提示如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)．问题3我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？提示如图，借助单位圆，在x轴上把[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象．知识梳理1．正弦函数的图象叫做正弦曲线.函数y＝sin x，x∈R图象2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.函数y＝cos x，x∈R图象例1(1)下列叙述正确的个数为()①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①，②，③均正确．(2)关于三角函数的图象，有下列命题：①y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是________．答案②④解析对于②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对于④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，画图可知①，③均不正确．反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( ) A ．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B ．都是对称图形 C ．都与x 轴有无数个交点D ．y ＝sin(－x )的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称 答案 A解析 由正弦、余弦函数的图象知，B ，C ，D 正确． 二、“五点(画图)法”画函数的图象问题4 如何画函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图？提示 根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可．今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 知识梳理 “五点(画图)法”函数 y ＝sin x y ＝cos x 图象画法 五点法五点法关键五点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)例2 (教材199页例1改编)用“五点法”作下列函数的图象： (1)y ＝1－2sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝cos x ＋12，x ∈[－π，π]．解 (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x1－11－2sin x1－11 3 1描点连线，画图如下．(2)列表：x －π －π2 0 π2 π cos x －1 0 1 0 －1 cos x ＋12－12123212－12描点连线，画图如下．反思感悟 作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0，2π]的图象的三个步骤跟踪训练2 用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象： (1)y ＝－sin x ；(2)y ＝2－cos x . 解x －π －π2 0 π2 π －sin x1－12－cos x3 2 1 2 3三、正弦函数、余弦函数图象的应用例3 不等式2sin x －1≥0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 答案 D解析 因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.在同一平面直角坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象．由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12.所以根据图象可知，sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 延伸探究1．在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”，求不等式2sin x －1≥0的解集． 解 在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.所以x ∈R 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 2．试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解 作出正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，作出直线y ＝12和y ＝32，如图所示．由图可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x ＝a (cos x ＝a )的x 值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________，所有的实数解的和为________． 答案 2 0解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y 轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.1．知识清单：(1)正弦函数、余弦函数的图象． (2)“五点法”作图． (3)函数图象的应用． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象．1．函数y ＝sin(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )答案 B解析 y ＝sin(－x )＝－sin x ，y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选B. 2．用“五点法”画函数y ＝1＋12sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是( )A ．0，π4，π2，3π4，πB ．0，π2，π，3π2，2πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3答案 B解析 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π答案 C解析 画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图如图所示．当sin x ＝－32时，x ＝4π3或x ＝5π3， 可知不等式sin x <－32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. 4．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.课时对点练1．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．2．利用“五点法”画y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]的图象，第三个点为( ) A ．(0，－1) B.⎝⎛⎭⎫π2，0 C ．(π，－1) D.⎝⎛⎭⎫3π2，－2 答案 C3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位长度，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位长度，得g (x )的图象答案 D解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， ∴f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象．4．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与函数y ＝1的图象的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，显然，数形结合可知，只有1个交点．5．在[0,2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤3π4，π 答案 B解析 依题意得2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选B.6．(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x >sin x 成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，5π4 C.⎝⎛⎭⎫5π4，2π D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4答案 AC解析 在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当cos x ＝sin x 时，x ＝π4或x ＝5π4，结合图象可知满足cos x >sin x 的是⎝⎛⎭⎫0，π4和⎝⎛⎭⎫5π4，2π.7．已知余弦函数过点⎝⎛⎭⎫－π6，m ，则m 的值为________． 答案32解析 设余弦函数为y ＝cos x ，由函数过点⎝⎛⎭⎫－π6，m ，可得m ＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝32. 8．若方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0,2π]上有解，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，0 解析 ∵x ∈[0,2π]，∴y ＝sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝4m ＋1∈[－1,1]， ∴m ∈⎣⎡⎦⎤－12，0. 9．画出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝3cos x ＋1，x ∈[0,2π]． 解 (1)x 0 π2 π 3π2 2π 1－sin x1121描点连线，画图如下．(2)x 0 π2 π 3π2 2π 3cos x ＋141－214描点连线，画图如下．10．分别作出函数y ＝|sin x |和y ＝sin |x |，x ∈[－2π，2π]的图象．解 y ＝|sin x |的图象为将y ＝sin x 在x 轴下方的图象沿x 轴翻折所得；y ＝sin |x |的图象为y ＝sin x 在y 轴右方的图象不变，再将y 轴右方的图象沿y 轴翻折所得．11．如图所示的曲线对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |答案 C12．函数f (x )＝cos x |tan x |的部分图象大致为( )答案 B解析 f (x )＝cos x |tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，tan x ≥0，－sin x ，tan x <0，其定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . 当x 在第一象限时，f (x )＝sin x >0；当x 在第三象限时，f (x )＝sin x <0；当x 在第二象限时，f (x )＝－sin x <0；当x 在第四象限时，f (x )＝－sin x >0，结合定义域可知选B.13．函数f (x )＝lg x 与g (x )＝cos x 的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．不确定答案 C解析 在同一坐标系中，作出函数f (x )＝lg x 与g (x )＝cos x 的图象，如图所示，由图可知，两函数的交点个数为3.14．方程2cos 2x －1＝0的解集是________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π6或x ＝k π－π6，k ∈Z 解析 由2cos 2x －1＝0，可得cos 2x ＝12， 所以2x ＝2k π＋π3或2x ＝2k π－π3(k ∈Z )， 即x ＝k π＋π6或x ＝k π－π6.15．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．答案 4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.16．求方程sin x ＋2|sin x |－|log 2x |＝0的解的个数．解 由方程sin x ＋2|sin x |－|log 2x |＝0，得sin x ＋2|sin x |＝|log 2x |.令f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，2k π≤x ≤π＋2k π，－sin x ，π＋2k π<x <2π＋2k π，k ∈Z ， g (x )＝|log 2x |，在同一平面直角坐标系内，作出f (x )＝sin x ＋2|sin x |和g (x )＝|log 2x |的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解．。

模块综合检测(C)(时刻：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题12小题，每题5分，共60分) 1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部份B ．椭圆的一部份C ．圆的一部份D ．直线的一部份2．假设抛物线的准线方程为x ＝－7，那么抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．x 2＝28y C ．y 2＝－28x D ．y 2＝28x 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线相互垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C.2 D.324．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出以下命题：①若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，那么a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，那么a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 5．已知a 、b 为不等于0的实数，那么ab>1是a >b 的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又没必要要条件6．假设抛物线y 2＝4x 的核心是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，那么通过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个7．假设双曲线x 2a2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右核心别离为F 1，F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的核心分成5∶3两段，那么此双曲线的离心率为( )A.3 B.6 C.233D.2638．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共核心，它们的离心率之和为245，那么此双曲线方程是( )A.x 212－y 24＝1 B ．－x 212＋y 24＝1C.x 24－y 212＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 9．以下四个结论中正确的个数为( )①命题“假设x 2<1，那么－1<x <1”的逆否命题是“假设x >1或x <－1，那么x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：假设a <b ，那么am 2<bm 2，那么p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c ) (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，那么以下点中必然在x 轴上的是( ) A ．(a ，b ) B ．(a ，c ) C ．(b ，c ) D ．(a ＋b ，c ) 11．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.10312．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．假设P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <2C ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥213．假设函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，那么m 的取值范围是________．14．一动圆圆心在抛物线x 2＝8y 上，且动圆恒与直线y ＋2＝0相切，那么动圆必过定点________． 15．已知F 1、F 2是椭圆C x 2a2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两个核心，P 为椭圆C 上一点，PF 1→⊥PF 2→.假设△PF 1F 2的面积为9，那么b ＝________.16．设f (x )、g (x )别离是概念在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，那么不等式f (x )g (x )<0的解集是________________________________________________________________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：x 2－12x ＋20<0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0 (a >0)．假设綈q 是綈p 的充分条 件，求a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f (x )＝0的一个根为2.(1)求c 的值； (2)求证：f (1)≥2.19.(12分) 如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 别离与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．20．(12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，假设p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．21.(12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，假设f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围． 22.（12分）如下图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2=－2py （p>0） 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 模块综合检测(C) 答案 1．B [x ＝1－4y 2，∴x 2＋4y 2＝1 (x ≥0)．即x 2＋y 214＝1 (x ≥0)．]2．D3．C [由已知，b 2a 2＝1，∴a ＝b ， ∴c 2＝2a 2，∴e ＝ca ＝2a a＝2.]4．C5．D [如取a ＝－3，b ＝－2，知足a b >1，但不知足a >b .反过来取a ＝1，b ＝－5，知足a >b ，但不知足ab>1，故答案为D.]6．D [因为点M (4，m )在抛物线y 2＝4x 上，因此可求得m ＝±4.由于圆通过核心F 且和准线l 相切，由抛物线的概念知圆心在抛物线上．又因为圆通过抛物线上的点M ，因此圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知关于点M (4,4)和(4，－4)，都各有两个交点，因此一共有4个知足条件的圆．]7．C8．B [由已知得椭圆中a ＝5，b ＝3， ∴c ＝4，且它的核心在y 轴上，故双曲线的核心也应在y 轴上且为(0,4)和(0，－4)， 又椭圆的离心率为e ＝c a ＝45，因此双曲线的离心率为2，即ca＝2，又c ＝4，∴它的实半轴为2，虚半轴平方为b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，那么双曲线方程为y 24－x 212＝1.]9．B [只有③中结论正确．] 10．A11．A [令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在概念域内只有一个极值，因此y max ＝1e.] 12．C [先化简P 与Q ，建构关于a 的关系式；由函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R 知：内层函数u (x )＝x 2＋2x ＋a 恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即P ⇔a ≤1；一样由y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1，即Q ⇔a <2；由P 或Q 为真，P 且Q 为假知，P 与Q 中必有一真一假．故答案为C.]13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 解析f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，因此Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.14．(0,2)解析 动圆必然过抛物线x 2＝8y 的核心． 15．3解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a|PF 1|·|PF 2|＝18，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋36＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2， ∴4a 2－4c 2＝36，∴b ＝3. 16．(－∞，－3)∪(0,3) 解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 当x <0时，F ′(x )>0， ∴F (x )在(－∞，0)上为增函数． 又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )， ∴F (x )为奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数． 又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0. ∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．17．解 p ：{x |2<x <10}，q ：{x |x <1－a ，或x >1＋a }．由綈q ⇒綈p ，得p ⇒q ， 于是1＋a <2，∴0<a <1.18．(1)解 ∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f ′(0)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝0. ∴c ＝0.(2)证明 ∵f (2)＝0，∴8＋4b ＋2c ＋d ＝0， 而c ＝0，∴d ＝－4(b ＋2)．∵方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＝0的两个根别离为x 1＝0，x 2＝－23b ，且f (x )在[0,2]上是减函数，∴x 2＝－23b ≥2，∴b ≤－3.∴f (1)＝b ＋d ＋1＝b －4(b ＋2)＋1 ＝－7－3b ≥－7＋9＝2. 故f (1)≥2.19．证明 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，那么直线MF 的斜率为－k ， 直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －y 20y 2＝x得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0. 于是y 0·y E ＝y 01－ky 0k.因此y E ＝1－ky 0k .同理可得y F ＝1＋ky 0－k .∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝y E －y Fy 2E －y 2F＝1y E ＋y F＝－12y 0(定值)．20．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，因此函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，那么有3－2a >1，即a <1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2.②若p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2}． 21．解 由f (x )>1，得ax －ln x －1>0. 即a >1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，那么g ′(x )＝－ln x x2，∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减．∴g (x )<g (1)＝1，即1＋ln x x<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.22．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为 OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.因此直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，y ′＝－x ，因此－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，因此P (－2，－2)． 现在点P 到直线l 的距离d ＝|2×－2－－2－2|22＋－12＝45＝455，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0， |AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·－42－4×－4＝410.∴△ABP 面积的最大值为410×4552＝82.。

2．1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标 1.掌握椭圆的简单几何性质，并正确地画出它的图形.2.能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝ca∈(0,1) 知识点二离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √ )一、椭圆的简单几何性质例1 求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 解 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3，故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝10,2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0)． 反思感悟 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．注意 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍． 跟踪训练1椭圆x 2＋y 2m＝1(m >0)的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 A 解析 ∵椭圆x 2＋y 2m＝1的焦点在x 轴上， ∴a 2＝1，b 2＝m ，则a ＝1，b ＝m ， 又长轴长是短轴长的两倍， ∴2＝4m ，即m ＝14.二、由几何性质求椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴长为25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (3)过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有公共焦点． 解 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9. 当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(3)∵椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点坐标为(0，±5)， 则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2m ＋5＝1(m >0)．又椭圆经过点(2，－3)，则有4m ＋9m ＋5＝1，解得m ＝10或m ＝－2(舍去)， 即所求椭圆的标准方程为x 210＋y 215＝1.反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是 (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；(2)过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率．解 (1)设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，2c ＝6，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12， 即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.三、求椭圆的离心率例3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33答案 D解析 方法一 由题意可设|PF 2|＝m ， 结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ， 故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.方法二 由PF 2⊥F 1F 2可知，P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a，所以|PF 2|＝b 2a .由|PF 2||F 1F 2|＝33，a 2＝b 2＋c 2，得e 2＋233e －1＝0， 解得e ＝33(舍负)． 延伸探究若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围． 解 由题意，知c >b ，∴c 2>b 2. 又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2， 即2c 2>a 2. ∴e 2＝c 2a 2>12，又0<e <1，∴e >22. 故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.反思感悟 椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地， (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝ca 求解．(2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可． 跟踪训练3 若椭圆过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦与该椭圆中心所成的角为直角，则该椭圆离心率e ＝________. 答案5－12解析 如图，易知椭圆过焦点的弦的一半等于焦距的一半，即b 2a＝c ，故b 2＝ac ，从而c 2＋ac －a 2＝0， 即e 2＋e －1＝0， 解得e ＝5－12或e ＝－1－52(舍去)．求离心率的取值范围典例 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. [素养提升] (1)根据已知条件求离心率的取值范围，难点是建立关于a ，b ，c 的关系式，最后转化为关于e 的关系式．(2)探究运算思路，选择运算方法有助于促进数学思维发展，提升学生的数学运算素养．1．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x |≤5，|y |≤3 B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15答案 B解析 椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上，所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3．过点A (－3,0)且离心率e ＝53的椭圆的标准方程是( ) A.x 29＋y 24＝1 B.x 29＋y 24＝1或x 29＋y 2814＝1 C.x 24＋y 29＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 2814＋y 29＝1 答案 B解析 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点A (－3,0)且离心率e ＝53，由a ＝3，c a ＝53，解得c ＝ 5. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－5＝4， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.②当焦点在y 轴上时，同理可得y 2814＋x 29＝1.综上，椭圆的标准方程是x 29＋y 24＝1或y 2814＋x 29＝1.4. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________． 答案 (0，±69)解析 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率为________．答案4 5解析根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．又因为a2－b2＝c2，所以a＝5，c＝4，故e＝ca＝4 5.1．知识清单：(1)椭圆的简单几何性质．(2)椭圆标准方程的求法．(3)离心率或离心率范围的求法．2．方法归纳：待定系数法、分类讨论、方程思想．3．常见误区：忽略先定型再定量的原则；求离心率范围时不能转化为不等式问题．。

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A 版2-2(配套备课资源)第一章11．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念一、基础过关1． 一物体的运动方程是s ＝3＋t2，则在一小段时刻[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2． 函数y ＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3． 设函数f(x)可导，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx 等于 ( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3)4． 一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．485． 函数y ＝3x2在x ＝1处的导数为 ( )A ．12B ．6C ．3D ．26． 甲、乙两厂污水的排放量W 与时刻t 的关系如图所示，治污成效较好的是( ) A ．甲 B ．乙C ．相同D ．不确定 7． 函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______．二、能力提升 8． 过曲线y ＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.9． 函数f(x)＝1x2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝__________. 10．求函数y ＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．11．求函数y ＝f(x)＝2x2＋4x 在x ＝3处的导数．12．若函数f(x)＝ax2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时刻单位：s) s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t2＋2 t ≥3 ①29＋3t －32 0≤t<3 ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B7．－98．2.19．－210．解 因为Δy ＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx)2，因此函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2Δx 2Δx ＝－8－2Δx.11．解 Δy ＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx 2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2Δx ＋16)＝16.12．解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c －a －c＝a(Δx)2＋2a Δx.∴f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 a Δx 2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a)＝2，即2a ＝2，∴a ＝1.13．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时刻变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0邻近的平均变化率为Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt ＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1邻近的平均变化率为Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

高考数学以能力立意，一是考察数学的基础知识，基本技术；二是考察基本数学思想方法，考察数学思想的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、办理和解决问题，是数学意识，是数学技术的升华和提升，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形联合思想、分类与整合思想、转变与化归思想．一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的本质是抛开所研究对象的非数学方程思想的本质就是将所求的量设成未知特点，用联系和变化的看法提出数学对象，数，依据题中的等量关系，列方程(组 )，经过抽象其数学特点，成立各变量之间固有的函解方程 (组 )或对方程 (组 )进行研究，以求得问数关系，经过函数形式，利用函数的相关性题的解决质，使问题获得解决函数与方程思想在必定的条件下是能够互相转变的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动向的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系例 1 (1)把一段长 16 的铁丝截成两段，分别围成两个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为 ________．(2) 已知椭圆x2y2C： a2＋ b2＝ 1(a>b>0) 的左焦点为F，若 F 对于直线3x＋ y＝ 0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为 ________．答案 (1)8 (2) 3－ 1分析(1) 设截成的铁丝此中一段长为x(0< x<16) ，则围成的两个正方形面积之和y＝ (x4)2＋16－ x 2() (0<x<16) ，4∴y＝1[( x－8) 2＋64] ，8故当 x ＝ 8 时， y min ＝ 8.即围成的两个正方形面积之和的最小值为8.(2) 设 F(－ c,0)， A(m ， n)，则n×－ 3＝－1，m ＋ cA( c3m － c解得 2，2 c)，3×2 ＋n＝ 0，2代入椭圆方程中，有c 2 3c 2 ＝ 1，4a 2＋ 4b 22 22 22 2所以 b c ＋ 3a c ＝ 4a b ，2222 2＝ 222所以 (a － c )c ＋ 3a c 4a ( a － c )，42 2 4 所以 c － 8a c ＋ 4a ＝ 0，所以 e 4－ 8e 2＋ 4＝0，所以 e 2＝ 4±2 3，所以 e ＝ 3－ 1 或 e ＝ 3＋ 1(舍去 )．即椭圆 C 的离心率为3－ 1.思想升华函数与方程思想在解题中的应用(1) 函数与不等式的互相转变，对函数 y ＝f(x)，当 y>0 时，就化为不等式 f(x)>0 ，借助于函数的图象和性质可解决相关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的看法去办理数列问题十分重 要．(3) 分析几何中的很多问题，需要经过解二元方程组才能解决．这都波及二次方程与二次函数相关理论．(4) 立体几何中相关线段、角、面积、体积的计算，常常需要运用列方程或成立函数表达式的方法加以解决．追踪操练 1 (1) 若函数 f(x)在 R 上可导，且知足f( x)<xf ′ (x) ，则 2f(1)________ f(2) ． (填“ >”“ <”“＝” )(2) 如图是函数 y ＝Asin( ωx＋φ)( 此中 A>0，ω>0，－ π<φ<π)在一个周期内的图象， 则此函数的分析式是 __________________．答案(1)<(2)y＝ 2sin(2x＋2π3)分析(1)因为 f(x)<xf′ (x)，f x f′ x x－f x则 (x)′＝x2>0 恒成立，f x所以x 在R上是单一递加函数，f 2 f 1∴2 > 1，即 f(2)>2 f(1)．(2) 依函数图象，知y 的最大值为2，所以 A＝ 2.T 5πππ又 2＝ 12－( －12)＝ 2，2π所以 T＝π，又ω＝π，所以ω＝ 2，所以 y＝ 2sin(2x＋φ)．ππ将 (－12， 2)代入可得sin(－6＋φ)＝ 1，π π故φ－6＝2＋ 2kπ，k∈Z，又－π<φ<π，2π所以φ＝3 .y＝ 2sin(2x＋2π所以函数的分析式为3 )．二、数形联合思想以形助数 (数题形解 )以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来论述数之间的关借助于数的精准性和规范性及严实性来说明系，把数转变为形，即以形作为手段，数作形的某些属性，即以数作为手段，形作为目为目的解决数学识题的数学思想的解决问题的数学思想数形联合思想经过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题详细化，能够变抽象思想为形象思想，有助于掌握数学识题的本质，它是数学的规律性与灵巧性的有机联合例 2(1)(2015 ·湖南 )若函数 f(x)＝ |2x－ 2|－ b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ________．(2) 在平面直角坐标系中， O 为原点， A(－ 1,0)， B(0，→3)， C(3,0) ，动点 D 知足 |CD|＝ 1，则→→→|OA＋OB＋ OD |的取值范围是 __________．答案(1)(0,2) (2)[ 7－ 1，7＋1]分析(1)由 f(x)＝|2x－ 2|－b＝ 0，得 |2x－ 2|＝ b.在同一平面直角坐标系中画出y＝ |2x－ 2|与 y＝ b 的图象，如图所示．则当0<b<2 时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝ |2x－ 2|－ b 有两个零点．→(2)设 D(x， y)，则由 |CD |＝ 1， C(3,0) ，得 (x－ 3)2＋y2＝1.→→→又∵ OA＋ OB＋OD ＝ (x－ 1， y＋ 3)，∴→→→x－ 12＋ y＋2 |OA＋ OB＋ OD |＝3 .∴→→→P(1，－22上点之间的距离，由 |PC| |OA＋ OB＋ OD |的几何意义是点3)与圆 (x－ 3) ＋ y＝ 1＝→→→1＋7，最小值是 7－ 1. 7知， |OA＋ OB＋ OD|的最大值是思想升华数形联合思想在解题中的应用(1)建立函数模型并联合其图象求参数的取值范围或解不等式．(2)建立函数模型并联合其图象研究方程根或函数的零点的范围．(3)建立分析几何模型求最值或范围．(4)建立函数模型并联合其图象研究量与量之间的大小关系．追踪操练 2 (1) 已知奇函数 f(x)的定义域是 { x|x≠ 0， x∈R} ，且在 (0，＋∞ )上单一递加，若f(1)＝ 0，则知足 x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 ________．(2)已知 P 是直线 l： 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 上的动点， PA、 PB 是圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1＝ 0 的两条切线， A、B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．答案(1)(－ 1,0)∪ (0,1)(2)22分析(1)作出切合条件的一个函数图象草图即可，由图可知 x ·f(x)<0 的 x 的取值范围是 (－1,0)∪ (0,1)．(2) 如图，1 S Rt △PAC ＝ 2PA ·AC1＝ 2PA ， 当 CP ⊥ l 时，|3× 1＋ 4× 1＋ 8|PC ＝ ＝3，223 ＋ 4∴ 此时 (PA) min ＝ PC 2－AC 2＝2 2. ∴ (S 四边形 PACB )min ＝ 2(S △PAC )min ＝ 2 2.三、分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学识题分解( 或切割 )成若干个基础性问题，经过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题推行分类与整合， 分类标准等于增添一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题 ) 分解为小问题 (或基础性问题 )，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对议论结果进行整合．2x －1－ 2， x ≤ 1，例 3(1) 已知函数 f(x)＝且 f(a)＝－ 3，则 f(6－ a)＝ ________.－ log 2 x ＋ 1 ，x>1 ，(2) 设x 2F 1， F 2 为椭圆 92 ＋y 4 ＝1 的两个焦点， P 为椭圆上一点．已知P ， F 1， F 2 是一个直角三角形的三个极点，且PF 1 >PF 2，则 PF 1的值为 PF 2 ________．答案(1)－ 7 (2)2 或74 2分析(1)因为 f(a)＝－ 3，① 若 a ≤ 1，则 2a －1－2＝－ 3，整理得 2a－1＝－ 1.因为 2x>0，所以 2a－1＝－ 1 无解；②若 a>1，则－ log 2(a＋ 1)＝－ 3，解得 a＋ 1＝ 8， a＝7，所以 f(6－ a)＝ f(－1)＝ 2－1－1－2＝－7 4.7综上所述， f(6－a)＝－4.(2)若∠PF2F1＝90°，则 PF21＝ PF22＋ F1F22，∵PF1＋ PF2＝ 6，F1F2＝ 2 5，14 4 PF17 解得PF1＝3， PF2＝3，∴PF2＝2.若∠ F2PF1＝ 90°，则 F1F22＝ PF21＋ PF22＝ PF21＋ (6－ PF1 )2，PF 1解得 PF1＝ 4， PF2＝ 2，∴＝2.综上所述，PF1＝ 2 或7. PF22思想升华分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学看法惹起的分类．有的看法自己是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制惹起的分类议论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不一样的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单一性等．(3)由数学运算和字母参数变化惹起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确立性惹起的分类议论．有的图形种类、地点需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的地点关系等．追踪操练3(1)若m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线y2x2＋ m＝ 1 的离心率是____________．(2) 设等比数列{ a n} 的公比为q ，前n 项和S n>0( n＝ 1,2,3， ) ，则q 的取值范围是________________ ．答案(1)3或 5 (2)(－1,0)∪(0，＋∞)2分析(1)因为 m 是 2 和 8 的等比中项，所以 m2＝2× 8＝ 16，所以 m＝±4.2当 m＝ 4 时，圆锥曲线y4＋ x2＝ 1 是椭圆，c 3其离心率 e＝a＝2；2当 m＝－ 4 时，圆锥曲线x2－y4＝1 是双曲线，c 5其离心率 e＝a＝1＝ 5. (2)因为 { a n} 是等比数列，S n>0，可得 a1＝ S1>0， q≠ 0.当 q＝ 1 时， S n＝ na1>0；a1 1－ q n当 q≠ 1 时， S n＝>0，1－ q1－ q n即>0( n＝ 1,2,3， )，则有1－q 1－ q<0，或②1－ q n<0.1－ q>0，①1－ q n>0，由①得－ 1<q<1，由②得 q>1.故 q 的取值范围是(－1,0)∪ (0，＋∞ )．四、转变与化归思想转变与化归思想，就是在研究和解决相关数学识题时采纳某种手段将问题经过变换使之转化，从而获得解决的一种方法．一般老是将复杂的问题经过变换转变为简单的问题，将难解的问题经过变换转变为简单求解的问题，将未解决的问题经过变换转变为已解决的问题．例 4 (1) 若函数f(x)＝ x3－ tx2＋ 3x 在区间 [1,4] 上单一递减，则实数t 的取值范围是__________ ．(2) 定义运算： (a b)? x＝ ax2＋bx＋ 2，若对于 x 的不等式 (a b)? x<0 的解集为 { x|1<x<2} ，则对于 x 的不等式 (b a)? x<0 的解集为 __________ ．51－∞，－2答案(1)[8，＋∞ )(2)3∪(1，＋∞ )分析(1)f′ (x) ＝ 3x2－ 2tx＋ 3，因为 f(x)在区间 [1,4] 上单一递减，则有f′ (x)≤ 0 在 [1,4] 上恒23131成立，即 3x－ 2tx＋3≤ 0，即 t≥2(x＋x)在 [1,4] 上恒成立，因为y＝2(x＋x) 在[1,4] 上单一递3 1 51 增，所以 t≥2(4 ＋4)＝8 .(2)1,2 是方程 ax2＋ bx＋ 2＝ 0的两实根，b2a＝ 1，1＋ 2＝－a， 1× 2＝a，解得b＝－ 3，由 (－ 3 1)? x＝－ 3x2＋ x＋ 2<0，得 3x2－ x－2>0 ，2解得 x<－3或 x>1.思想升华转变与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，波及到三角式的变形，一般经过转变与化归将复杂的三角问题转变为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用 )、角度的转变、函数的转变等．(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转变为简单的或熟习的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、分析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、分析几何语言进行转变．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转变为等差数列或等比数列求解．(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单一性、极值 (最值 )、切线问题，转变为其导函数 f′( x)组成的方程、不等式问题求解．(6)在解决分析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转变．追踪操练4(1)若对于随意t∈ [1,2] ，函数g(x) ＝x3＋ (m2＋ 2)x2－ 2x 在区间(t,3)上总不为单一函数，则实数 m 的取值范围是 __________．2(2) 已知 a 为正常数， 若不等式1＋ x ≥ 1＋ x － x对全部非负实数x 恒成立， 则 a 的最大值为2 2a________ ．答案(1)(－37，－ 5) (2)43分析(1)g ′ (x)＝ 3x 2＋ (m ＋ 4)x － 2，若 g(x) 在区间 (t,3) 上总为单一函数，则 ① g ′ (x)≥ 0 在(t,3)上恒成立，或 ② g ′ (x)≤ 0 在(t,3)上恒成立．由 ① 得 3x 2＋ (m ＋ 4)x － 2≥0，2即 m ＋ 4≥ x －3x 在 x ∈ (t,3)时恒成立，所以 m ＋ 4≥2t － 3t (t ∈ [1,2] )恒成立，则 m ＋ 4≥ － 1，即 m ≥ － 5；2由 ② 得 m ＋ 4≤ x － 3x 在 x ∈(t,3)时恒成立，2则 m ＋ 4≤ 3－9，即 m ≤ － 37.所以函数 g(x)在区间 (t,3)上总不为单一函数的m 的取值范围为 (－ 37，－ 5)．3 3x2≥ 1＋ x(2) 原不等式即 2a2－ 1＋ x (x ≥ 0)， (*)令 1＋ x ＝t ， t ≥ 1，则 x ＝ t 2－ 1，t 2－ 1 2 t 2－ 1所以 (*) 式可化为≥ 1＋2 － t2at 2－ 2t ＋ 1 t －1 2 ＝ ＝ 对 t ≥ 1 恒成立，2 22t ＋ 1所以≥1 对 t ≥ 1 恒成立，又 a 为正常数，a所以 a ≤ [(t ＋ 1)2] min ＝ 4，故 a 的最大值是 4.A 组专题通关1．在区间 (－∞，t]上存在 x，使得不等式x2－4x＋ t≤ 0 成立，则实数 t 的取值范围是 ________．答案[0,4]分析由二次函数图象知：当t≤ 2时， t2－ 4t＋ t ≤0? 0≤ t≤ 3，即0≤ t≤ 2；当t>2时， 22－4× 2＋ t≤ 0? t≤ 4，即 2<t≤ 4.综上实数 t 的取值范围是 [0,4] ．log 2 x＋ 1 ， x>3，2．已知函数 f( x)＝x－ 3知足 f(a)＝ 3，则 f(a－ 5)的值为 ________．2＋ 1，x≤ 3答案32a≤ 3，分析分两种状况剖析，①2a－3＋ 1＝ 3或许a>3，②log 2 a＋ 1 ＝ 3.①无解，由②得， a＝ 7，233所以 f( a－ 5)＝ 2 －＋ 1＝2.3． (2015 ·标全国课Ⅱ改编 )已知等比数列{ a n} 知足a1＝ 3， a1＋ a3＋ a5＝ 21，则 a3＋a5＋ a7＝________.答案42分析设等比数列{ a n} 的公比为q，则由a1＝ 3， a1＋ a3＋ a5＝ 21 得3(1＋ q2＋ q4)＝ 21，解得q2＝－ 3(舍去 )或 q2＝ 2，于是 a3＋ a5＋a7＝q2( a1＋ a3＋a5 )＝ 2×21＝ 42.4．已知 F 为双曲线x2y2a2－ b2＝1(a>0， b>0) 的左焦点，定点G(0， c)．若双曲线上存在一点P知足 PF＝ PG，则双曲线的离心率的取值范围是答案( 2，＋∞ )__________ ．分析由题意知线段FG的中垂线y＝－ x与双曲线x2y2a2－ b2＝ 1(a>0， b>0) 有公共点，联立方程，由Δ≥0 化简可得b≥ a，所以e≥2，可是当e＝2时，双曲线是等轴双曲线，此时线段FG的中垂线与双曲线的渐近线y＝－ x 重合，明显不合题意．5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l：x－ky＋ 1＝ 0 与圆C：x2＋ y2＝ 4 订交于A，【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题八数学思想方法(含答案分析)→→→B 两点， OM ＝OA＋ OB.若点 M 在圆C 上，则实数 k＝ ________.答案0分析设 A(x1，y12，y22＋ y2＝4，整理得 (k2＋ 1)y2－ 2ky－ 3＝ 0，)，B(x) ，将直线方程代入C：x所以， y1＋ y2＝2k－ 2→→ →－ 22k2， x1＋ x2＝k(y1＋ y2)－ 2＝2，OM＝OA＋OB＝(2，2) ．k ＋ 1k＋1k ＋ 1k＋ 1因为 M 点在圆 C 上，所以 (－ 222k 2) ＋ () ＝4，k2＋ 1k2＋ 1解得 k＝ 0.x2＋ bx＋c， x≤ 0，若 f(－4)＝ f(0)， f(－ 2)＝－ 2，则对于 x 的方程 f(x)＝ x 6．设函数 f(x)＝2， x>0 ，的解的个数为 ________．答案3分析由 f(－ 4)＝ f(0) ， f(－ 2)＝－ 2，解得 b＝ 4， c＝ 2，∴f(x)＝x2＋ 4x＋2， x≤ 0，2，x>0.作出函数y＝ f( x)及 y＝x 的函数图象如下图，由图可得交点有 3 个．x≥ 0，．已知变量x， y 知足的不等式组 y≥2x，表示的是一个直kx－ y＋1≥ 0角三角形围成的平面地区，则实数k＝ ________.1答案－或 0x≥ 0，分析不等式组y≥ 2x，表示的可行域如图(暗影部分 )所示，由图可知若不等式组kx－ y＋ 1≥ 0x≥ 0，y≥ 2x，表示的平面地区是直角三角形，只有直线 y＝ kx＋1 与直线 y＝ 0 垂直 (如图kx－ y＋1≥ 0① )或直线 y＝kx＋ 1 与直线 y＝ 2x 垂直 (如图② )时，平面地区才是直角三角形．1由图形可知斜率k 的值为 0 或－2.8．等比数列 { a n} 中， a3＝ 7，前 3 项之和 S3＝ 21，则公比q 的值是 ________．答案 1 或－12a1 1－ q3分析当公比 q＝ 1 时，a1＝ a2＝ a3＝ 7，S3＝3a1＝21，切合要求．当 q≠1 时，a1q2＝ 7，1－ q ＝ 21，11解得 q＝－2或 q＝ 1(舍去 )．综上可知，q＝ 1 或－2.9．(2015 ·标全国课Ⅱ改编 )设函数 f′( x)是奇函数f(x)( x∈R)的导函数， f(－ 1)＝ 0，当 x>0 时，xf′ (x)－ f(x)＜0，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 __________ ．答案(－∞，－ 1)∪ (0,1)分析因为 f(x)(x∈R )为奇函数， f(－ 1)＝ 0，所以 f(1)＝－ f(－ 1)＝ 0.当 x≠ 0时，令 g(x)＝f x，x则 g(x)为偶函数，且 g(1)＝ g(－ 1)＝ 0.则当 x＞ 0xf′ x － f x时， g′ (x)＝f x′＝x2＜ 0，故xg(x)在 (0，＋∞ )上为减函数，在 (－∞， 0)上为增函数．所以在(0，＋∞ )上，当 0＜x＜ 1 时，g(x)＞ g(1) ＝ 0? f x＞ 0? f(x)＞ 0；在 (－∞，0)上，当 x＜－ 1时， g(x)＜g(－1)＝ 0?f x＜ 0? x xf(x)＞ 0.综上，使得 f(x)＞ 0 成立的 x 的取值范围是 (－∞，－ 1)∪ (0,1)．π10．将函数 y＝ sin(4x－3)的图象向左平移 m(m>0) 个单位长度后，所获得的图象对于y 轴对称，则 m 的最小值为 ________．答案5π24分析πm 个单位长度后，获得 y＝ sin[4( x＋ m)－把 y＝ sin(4x－ ) 的图象上全部的点向左平移3ππ3]＝ sin(4 x＋ 4m－3) 的图象，而此图象对于y 轴对称，则π π4m － ＝ k π＋2(k ∈ Z )，31 5π解得 m ＝ 4k π＋ 24(k ∈ Z )，又 m>0 ，5π 所以 m 的最小值为 24.|lg x|， 0<x ≤10，11．已知函数f(x)＝1x ＋ 6， x>10， 若 a ，b ， c 互不相等，且f(a)＝ f(b)＝ f(c)，则－2abc 的取值范围是 __________． 答案 (10,12)分析作出 f(x)的大概图象．由图象知，要使f(a)＝ f(b)＝ f(c) ，不如设 a<b<c ，1则－ lg a ＝ lg b ＝－ 2c ＋ 6.∴ lg a ＋ lg b ＝ 0， ∴ab ＝ 1， ∴ abc ＝ c.由图知 10<c<12 ， ∴abc ∈ (10,12) ．12．对随意 x ， y ∈R ，不等式 x 2＋ y 2 ＋ xy ≥ 3(x ＋ y － a)恒成立，则实数 a 的取值范围为__________ ． 答案 [1，＋∞ )分析不等式 x 2＋ y 2＋ xy ≥ 3(x ＋y － a)恒成立 ? 不等式 x 2＋ (y － 3)x ＋ y 2 －3y ＋ 3a ≥ 0 恒成立 ?＝ (y － 3)2 － 4(y 2－ 3y ＋ 3a)＝－ 3y 2＋ 6y ＋ 9－ 12a ＝－ 3(y － 1)2＋ 12(1－ a)≤ 0，要使得上式恒成立，则有 1－ a ≤0 成立，故 a ≥ 1.13．要制作一个容积为 4m 3，高为 1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________元．答案 160分析设该长方体容器的长为 x m ，则宽为4m ．又设该容器的造价为 y 元，则 y ＝ 20× 4＋x44 44 42(x ＋ x )× 10，即 y ＝ 80＋≥2 x ·20(x ＋ x )(x>0)．因为 x ＋ x x ＝ 4(当且仅当 x ＝ x ，即 x ＝ 2 时取“ ＝”)，所以 y min ＝ 80＋20× 4＝ 160(元 ) ．B 组 能力提升14．已知函数 f(x)的导函数为 f ′ (x)，e 为自然对数的底数， 若函数 f(x) 知足 xf ′ (x) ＋f(x)＝ ln x x，且 f(e)＝1e ，则不等式 f(x)－ x>1e － e 的解集是 __________．答案(0， e)ln x分析设 g(x)＝ xf(x)，则 g ′ (x)＝ xf ′ (x)＋ f(x)＝ x ，g(x)＝ln x2 2＋ a，＋ a ， f(x) ＝ln x22xx1 ＋ a ＝1? a ＝ 1，f(e)＝ 2e e e2f(x)＝ ln x 2 12x ＋ 2x ，ln x 2－ 2x 2＋ 1 令 h(x) ＝f(x)－ x ＝ 2x ，－ 2 ln x 2＋ 4ln x － 4x 2－2h ′ (x)＝ 4x 2<0，h(x)递减，原不等式转变为， h(x)>h(e)， 0<x<e.15． (2015 福·建改编 )若 a ， b 是函数 f(x)＝ x 2－ px ＋ q(p ＞ 0，q ＞ 0)的两个不一样的零点，且a ，b ，－ 2 这三个数可适合排序后成等差数列， 也可适合排序后成等比数列，则 p ＋q ＝ ________.答案9分析由题意知： a ＋ b ＝ p ， ab ＝ q ，∵ p ＞ 0， q ＞ 0， ∴a ＞ 0， b ＞0.在 a ， b ，－ 2 这三个数的 6 种排序中，成等差数列的状况有 a ， b ，－ 2； b ， a ，－ 2；－ 2，a ， b ；－ 2， b ， a ；成等比数列的状况有： a ，－ 2， b ； b ，－ 2， a.ab ＝ 4，ab ＝ 4，a ＝ 4，a ＝ 1，∴或解得或2b ＝ a － 22a ＝ b － 2，b ＝ 1b ＝ 4.∴ p ＝ 5， q ＝ 4， ∴ p ＋ q ＝ 9.1 n ＋ 116．已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1＝ 2， a n ＋1＝ 2n a n .(1) 证明：数列 { a n n} 是等比数列；(2) 求通项 a n 与前 n 项的和 S n .(1) 证明因为 a 1＝1， a n ＋ 1＝ n ＋ 1a n ，2 2n当 n ∈ N *时，ann≠ 0.a 1 1 a n ＋ 1 a n 1*又 1＝ 2，n ＋ 1∶ n ＝ 2(n ∈ N )为常数，a n 11所以 { n } 是以 2为首项，2为公比的等比数列．(2) (1) a n＝ 1 (1)n －1，解由得·n 2 21 n所以 a n ＝ n ·( ) .2∴ S n ＝ 1 1 2 1 3 1 n ，1·＋ 2·( ) ＋ 3·( ) ＋ ＋ n ·( )222211 2 ＋ 1 31 n 1 n 1 ，2 S n ＝ 1·( ) 2·( ) ＋ ＋ (n － 1)( 2 ) ＋ n ·( ) ＋2 2 2∴12S n ＝ 12＋ (12)2＋ (12)3＋ ＋ (12)n －n ·(12)n ＋ 111 n ＋12－21 n ＋ 1＝1－ n ·(，2)1－ 2∴ S n ＝ 2－ ( 1 n 11 n)－－ n ·( )221＝ 2－ (n ＋ 2) ·( )n . 21 n1 n 综上， a n ＝ n ·( ， S n ＝ 2－ (n ＋ 2) ·(2)2) .17．已知函数 f(x)＝ x ＋a－ ln x － 3，此中 a ∈ R ，且曲线 y ＝ f(x)在点 (1，f(1)) 处的切线垂直于4 x 21直线 y ＝2x.(1) 求 a 的值；(2) 求函数 f(x)的单一区间与极值．1 a 1解 (1)对 f(x)求导得 f ′ ( x)＝ 4－ x 2－ x ，由 f(x)在点 (1，f(1)) 处的切线垂直于直线y＝1＝－3－ a＝－ 2，解得 a＝52x 知 f′ (1)44.x53(2) 由 (1)知 f(x)＝4＋4x－ ln x－2，x2－ 4x－ 5则 f′ ( x)＝2.4x令 f′ ( x)＝ 0，解得 x＝－ 1 或 x＝5.因为 x＝－ 1 不在 f(x)的定义域 (0，＋∞ )内，故舍去．当 x∈ (0,5) 时， f′ (x)<0 ，故 f(x)在 (0,5) 内为减函数；当 x∈ (5，＋∞ )时， f′ (x)>0，故 f(x)在 (5，＋∞ )内为增函数．由此知函数f(x)在 x＝5 时获得极小值f(5) ＝－ ln 5.。

1 变化率与导数1．变化率函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢的量．式中Δx ，Δy 的值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy 的值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．例1 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t 0]内的平均速度哪个大？解 比较在相同的时间段[0，t 0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果． 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0.所以在时间段[0，t 0]内乙的平均速度比甲的大．点评 比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小．2．导数的概念及其几何意义函数y ＝f (x )在x 0点的导数即为函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率，即当Δx 趋于0时，函数值y 关于x 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的极限值；Δx 趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．函数y ＝f (x )在x 0点处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即f ′(x 0)＝k ＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．例2 在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是__________．解析 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →02x Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是⎝⎛⎭⎫12，14. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，14例3 函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析 根据导数的几何意义，考查函数在点B (2，f (2))及A (3，f (3))处的切线的斜率．由图可见，过点B 的切线的斜率大于过点A 的切线的斜率，则有0<f ′(3)<f ′(2)． 另一方面，这两点的平均变化率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，其几何意义为割线AB 的斜率．由图可知，0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)． 答案 C点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫．2 导数计算中的策略1．活用定义例1 已知函数f (x )＝3x 4－2x 3＋5，则lim Δx →0f (1＋2Δx )－f (1)Δx＝________.解析 因为f ′(x )＝12x 3－6x 2，所以原式＝lim Δx →0f (1＋2Δx )－f (1)2Δx ·2＝2f ′(1)＝12. 答案 12 2．整体构造例2 若函数f (x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2 018)，求f ′(2 018)的值．解 令φ(x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2 017)，则f (x )＝(x －2 018)φ(x )，故f ′(x )＝φ(x )＋(x －2 018)φ′(x )，于是有f ′(2 018)＝φ(2 018)＝1×2×3×…×2 017. 3．化繁为简例3 求f (x )＝(1－x )·⎝⎛⎭⎫1＋1x 的导函数．解 因为f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1－x ＋1x－1 ＝－x ＋1x， 所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x ′＝－12x －12－12x －32.点评 在导数的运算中，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运算失误.3 函数单调性的多方妙用1．根据函数的单调性求解参数问题例1 已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且f ′⎝⎛⎭⎫12＝32，求a ，b ，c 的值． 解 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由于f (x )在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f ′(0)＝f ′(1)＝0.又f ′⎝⎛⎭⎫12＝32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，34a ＋b ＋c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，c ＝0.点评 由于此题给出了函数定义域范围内的所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数的极值点，通常情况下单调区间的端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题的方法进行解答．例2 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，且在[2，＋∞)的任何子区间上不恒为零， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min . ∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ≤16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.点评 已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(递减)等价于不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，且在I 的任何子区间上不恒为零．然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f ′(x )＝0是否有有限个解．2．利用函数的单调性证明不等式欲证明不等式f (x )>g (x )(或f (x )≥g (x ))成立，可以构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，利用导数进行证明．例3 已知x >0，求证：e x >1＋x .证明 设函数f (x )＝e x －(1＋x )，则f ′(x )＝e x －1. 当x >0时，e x >e 0＝1，所以f ′(x )＝e x －1>0. 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 所以当x >0时，f (x )>f (0)． 又f (0)＝e 0－(1＋0)＝0，所以f (x )>0，即e x －(1＋x )>0.故e x >1＋x .点评 若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明．3．利用函数的单调性判断方程根的个数若f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]上有唯一实数根；若f (a )f (b )与零的大小无法确定，则f (x )＝0在[a ，b ]上至多有一个实数根．例4 试判断函数f (x )＝13x －ln x (x >0)在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1和区间(1，e)内零点的个数． 解 因为f ′(x )＝13－1x.所以当x ∈(3，＋∞)时，y ＝f (x )是增函数； 当x ∈(0,3)时，y ＝f (x )是减函数．而0<1e <1<e<3，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0， 所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有唯一零点.4 揭开导数问题易错点的面纱一、剖析导数运算中的常见错误 1．对f ′(x 0)与f ′(x )理解有误例1 已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)的值为( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 错解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得f (0)＝0. 所以f ′(0)＝0.故选A.错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f ′(1)是常数. 正解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)． 所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)．所以f ′(1)＝－2. 从而f ′(x )＝2x －4.所以f ′(0)＝－4.故选B. 2．切点位置的确定有误例2 求过点P (1,0)且与曲线f (x )＝x 3－x 相切的直线的方程． 错解 由题意知点P (1,0)在曲线上． 因为f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(1)＝2.所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.错因分析 点P (1，0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P (1，0)当作切点显然是错误的.求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P 处的切线方程(一定是以点P 为切点)；(2)曲线过点P 的切线方程(无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点).正解 设切点为(x 0，x 30－x 0)，则过该点的切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)．由切线过点P (1,0)，得0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)，整理得2x 30－3x 20＋1＝0.即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0. 3．对切线定义的理解有误例3 已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43，曲线C 在点P (2,4)处的切线方程为y ＝4x －4，试分析该切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线y ＝4x －4与曲线C 相切，因此除切点P (2,4)外没有其他的公共点．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，消去y 整理，得x 3－12x ＋16＝0， 即(x －2)(x 2＋2x －8)＝0. 所以(x －2)2(x ＋4)＝0， 解得x ＝2或x ＝－4.所以交点的坐标为(2,4)，(－4，－20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)． 二、剖析导数应用中的常见错误1．将函数单调性的充分条件误认为是充要条件例4 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围． 错解 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1. 因为f (x )在R 上是减函数， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，36＋12a <0，解得a <－3.故实数a 的取值范围为(－∞，－3)．正解 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1. (1)当f ′(x )<0时，f (x )是减函数， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，36＋12a <0，解得a <－3.(2)当a ＝－3时，f ′(x )＝－9x 2＋6x －1＝－(3x －1)2≤0， 当且仅当x ＝13时，f ′(x )＝0.易知此时函数f (x )在R 上也是减函数． 综上知，实数a 的取值范围为(－∞，－3]．点评 解决此类问题既要注意其充分性，又要注意其必要性． 2．将函数取极值的必要条件误认为是充要条件 例5 求函数f (x )＝x 6－3x 4＋3x 2的极值． 错解 f ′(x )＝6x 5－12x 3＋6x ＝6x (x 4－2x 2＋1) ＝6x (x 2－1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1. 当x ＝±1时，函数f (x )取极大值1；当x ＝0时， 函数f (x )取极小值0.正解 f ′(x )＝6x (x 2－1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1.f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的符号如下表所示：因此函数f (x )无极大值，当x ＝0时， 函数f (x )取极小值0.点评 函数y ＝f (x )在x 0处可导，则“f ′(x 0)＝0”是“f (x )在x 0处取得极值”的必要条件，但不是充要条件．一般地，函数f (x )在x 0的附近可导且f ′(x 0)＝0，如果f ′(x )在x 0两侧的符号相反，则f (x )在x 0处取极值；如果f ′(x )在x 0两侧的符号相同，则f (x )在x 0处无极值.5 导数应用中的数学思想1．方程思想例1 已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＝________，n ＝________. 解析 f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3－6m ＋n ＝0，f (－1)＝－1＋3m －n ＋m 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9.但当m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立， 即x ＝－1不是f (x )的极值点，应舍去． 所以m ＝2，n ＝9. 答案 2 9点评 本题的解答充分体现了方程思想的应用，通过已知的极值求得函数解析式中的参数，但要注意对所求值的验证． 2．函数思想例2 设函数f (x )＝1－e －x ，证明：当x >－1时，f (x )≥xx ＋1. 证明 令g (x )＝e x －x －1， 则g ′(x )＝e x －1.解方程e x －1＝0，得x ＝0.当x 变化时，g ′(x )，g (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，＋∞)g ′(x ) －0 ＋g (x )从上表看出，当x ＝0时，函数有极小值，且g (0)＝0. 因而当x ∈R 时，有g (x )≥g (0)＝0，即e x ≥1＋x .所以当x >－1时，有f (x )＝1－e －x ＝1－1e x ≥1－1x ＋1＝x x ＋1，即f (x )≥x x ＋1.点评 本题通过构造函数，使问题的解决变得简捷．3．数形结合思想例3 已知曲线f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 与x 轴只有一个交点，求实数a 的取值范围． 解 f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 － f (x ) 极小值极大值所以当x ＝－1时，f (x )有极小值f (－1)＝a －5；当x ＝3时，f (x )有极大值f (3)＝a ＋27. 画出大致图象，要使f (x )的图象与x 轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a ＋27<0或a －5>0，解得a <－27或a >5. 故实数a 的取值范围为a <－27或a >5.点评 数形结合思想是中学数学的一种重要思想．画出图象可以加强直观性，便于对问题的理解．4．分类讨论思想例4 求函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a 的单调区间．解 f ′(x )＝3ax 2－6x .由题意，得a ≠0. 当a >0时，由3ax 2－6x >0，解得x <0或x >2a ；由3ax 2－6x <0，解得0<x <2a.所以f (x )的单调增区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，2a . 当a <0时，由3ax 2－6x >0，解得2a <x <0；由3ax 2－6x <0，解得x <2a 或x >0.所以f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2a ，0，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)． 点评 注意本题中隐含了a ≠0的条件．a 在导函数的二次项系数中，a 的正负决定了不等式的解集，因此要对a 分大于0和小于0两种情况进行讨论.6 多法求解定积分用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 时，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的F (x )，但在求解函数F (x )时经常会遇到计算上的复杂，或者找不到函数F (x )等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法． 1．几何法例1 求定积分ʃ10(1－(x －1)2－x )d x 的值． 解 ʃ10(1－(x －1)2－x )d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的一部分与直线y ＝x 所围成的图形(如图所示的阴影部分)的面积，因此ʃ10(1－(x －1)2－x )d x ＝π×124－12×1×1＝π4－12.点评 数形结合思想在这里得到了充分的体现．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力． 2．函数性质法 例2 求12121lg1xx-+-⎰的值． 解 记f (x )＝lg 1＋x1－x ，易知定义域为(－1,1)，因为f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因此有12121lgd 0.1xx x-+=-⎰点评 从定积分的定义(或几何意义)可知：偶函数f (x )有ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x ；奇函数f (x )有ʃa －a f (x )d x ＝0. 3．转化法 例3 计算定积分22sin d 2xx π⎰的值．解 222001cos sin d d 22x x x x ππ-=⎰⎰ 220011d cos d 22x x x ππ=-⎰⎰ ＝12x 20|π－12sin x 20|π ＝π4－12·0－12sin π2＋12sin 0＝π4－12. 点评 较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分．4．分段法例4 求定积分ʃ2－1x |x |d x 的值． 解 因为f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，－x 2，x <0， 所以ʃ2－1x |x |d x ＝ʃ0－1(－x 2)d x ＋ʃ20x 2d x ＝－x 33| 0－1＋x 33| 20＝－13＋83＝73. 点评 这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，从而去掉绝对值．5．换元法例5 求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积．解 方法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积即为所求．解⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，y ＝x －4， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4. 所以交点为A (2，－2)，B (8,4)．选取x 为积分变量，则0≤x ≤8.因此S ＝2ʃ202x d x ＋ʃ82(2x －x ＋4)d x＝ ⎪⎪⎪423x 3220＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋223x 32－x 2282＝18.方法二 选取纵坐标y 为积分变量，则－2≤y ≤4，所求图中阴影部分的面积为S ＝ʃ4－2⎝⎛⎭⎫y ＋4－y 22d y ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 22＋4y －y 364－2＝18. 点评 从上述两种方法中可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷．因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要．但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是x ＝φ(y )，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x ＝y 22，x ＝y ＋4的形式，然后求面积.7 利用定积分速求面积1．巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便．例1 求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成的图形的面积．解 画出图象如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2， 得A (－1,1)，B (3,9)．故所求图形的面积为ʃ3－1(2x ＋3－x 2)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2＋3x －13x 33－1＝323. 点评 本题若选纵坐标y 为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变．2．妙用对称在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段．例2 求由两条曲线y ＝x 2,4y ＝x 2和直线y ＝1所围成的图形的面积．解 如图，因为y ＝x 2,4y ＝x 2是偶函数，根据对称性，只需算出y 轴右边的图形的面积再乘以2即可．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝x 2，y ＝1， 得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)． 所以22122012()d (1)d 44x x S x x x ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝ 312320111142|||.4123x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝＝43. 点评 巧用对称性能简化解题．3．恰到好处的分割 例3 求两曲线y ＝sin x 与y ＝sin 2x 在[0，π]上围成的图形的面积．解 如图，令sin x ＝sin 2x ，得交点的横坐标为x ＝0，x ＝π3，x ＝π.由图形分割，得3035(sin 2sin )d (sin sin2)d .2S x x x x x x πππ=⎰⎰＝－＋－ 点评 类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法．4．进行适当转换例4 求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π2和直线x ＝3π2及x 轴围成的平面图形的面积． 解 由图可知，当x ∈[0，π]时，曲线y ＝sin x 位于x 轴的上方，当x ∈⎣⎡⎦⎤π，3π2时，曲线y ＝sin x 位于x 轴的下方．因此所求面积应为两部分面积的和，即2200|sin |d sin d sin d S x x x x x x 3π3πππ-⎰⎰⎰＝＝＝－cos x | π0＋2cos |3ππ＝2＋1＝3. 点评 对于y ＝f (x )和x ＝a ，x ＝b (a <b )及y ＝0围成的平面图形的面积的计算：(1)若f (x )>0，则ʃb a f (x )d x >0，S ＝ʃb a f (x )d x ；(2)若f (x )<0，则ʃb a f (x )d x <0，()d ba S f x x ⎰＝＝－ʃb a f (x )d x ；(3)若a <c <b ，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，当c ≤x ≤b 时，f (x )>0，则ʃc a f (x )d x <0，ʃb c f (x )d x >0，所以S ＝－ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x .。

2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的范围思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2) 由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p ＞0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 知识点二 抛物线的对称性、准线方程 抛物线四种形式的性质如下表所示：直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或垂直，此时直线与抛物线有1个公共点．类型一 抛物线的性质应用例1 (1)已知抛物线y 2＝8x ，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围． (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解 (1)抛物线y 2＝8x ，p ＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3,∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为：y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得： (3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是：y 2＝3x 或y 2＝－3x . 类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________． 答案 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72解析 (1)由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x 即x 2－12x ＋4＝0. 所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. (2)∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意， ∴可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，∴2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1.∴所求直线l 的方程为y ＋x －1＝0或x －y －1＝0.(3)抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，又准线方程为x ＝－1，因此点M 到抛物线准线的距离为 52＋1＝72.反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p 2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p 2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)；③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.类型三 抛物线中的最值问题例3 如图，已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝82k 2＋1|4k －3|，令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 225t 2＋6t＋1>2 2.当t <0时，|MN |＝2 2⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.反思与感悟 (1)利用抛物线的定义进行转化，然后利用图形的几何特征进行处理． (2)建立目标函数，然后利用函数的相关性质求最值．如已知M (a,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的一个定点，在抛物线上求一点N 使得|MN |最小．其解法为：设y 2＝2px (p >0)上一点为N (x 0，y 0)，则y 20＝2px 0，故|MN |2＝(x 0－a )2＋y 20＝x 20－2ax 0＋a 2＋2px 0＝[x 0－(a －p )]2－p2＋2ap (x 0≥0)．①当a >p 时，x 0＝a －p 使|MN |最小，则N (a －p ， ±2p (a －p ))．②当a ≤p 时，x 0＝a 使|MN |最小，则N (0,0)．(3)除了上述几何法、二次函数法解决此类问题外，还要注重不等式方法的应用及利用函数的单调性求解最值问题．跟踪训练3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( ) A.12 B.22C.32D.223答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过P 作PN 垂直x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接P A ，在Rt △P AN 中，sin ∠P AN ＝|PN ||P A |，当|PN ||P A |＝|PF ||P A |最小时，sin ∠P AN 最小， 即∠P AN 最小， 即∠P AF 最大，此时，P A 为抛物线的切线， 设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， |PF ||P A |＝|PN ||P A |＝cos ∠NP A ＝22，故选B.1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12y D ．y 2＝±6y答案 C解析 对称轴为y 轴可设抛物线方程为x 2＝my (m ≠0)， 又∵⎪⎪⎪⎪m 4＝3，∴m ＝±12.∴抛物线方程为x 2＝±12y . 2．设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦为AB ，则|AB |的最小值为( ) A.p 2 B ．p C ．2p D ．无法确定答案 C解析 由题意得当AB ⊥x 轴时，|AB |取最小值，最小值为2p . 3．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点 答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，∴直线过点(1,0)，又点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝3FQ →，则|QF |等于( ) A.83 B.43 C ．2 D ．1 答案 B解析 焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，设点P (－1，m )，设点Q (x 0，y 0)，FP →＝(－2，m )， FQ →＝(x 0－1，y 0)， 根据FP →＝3FQ →，求解得到|QF |＝43，故选B.5．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，M 是抛物线C 的一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________________． 答案 y 2＝8x解析 由题意，得F (p 2，0)，准线方程为x ＝－p2，∵|MF |＝4|OF |，∴|MF |＝2p ， ∴M 的横坐标为2p －p 2＝3p2，∴M 的纵坐标为y ＝±3p ， ∵△MFO 的面积为43， ∴12×p2×3p ＝43， 即p ＝4，抛物线的方程为y 2＝8x .(1)已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向 .一次项的变量如果为x (或y )，那么x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．例如抛物线的方程为x 2＝－2y ，则y 轴为对称轴，开口方向和y 轴正方向相反．(2)由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p .(3)画图时特别注意不要把抛物线看成双曲线的一支．(4)解决直线与抛物线相交问题时，一般常将直线方程代入抛物线的方程中得到一元二次方程，这个方程的两个根就是交点的横(纵)坐标，利用根与系数的关系可以解决弦中点、弦长、轨迹等问题．(5)解决弦长问题时，应注意所给弦是否过焦点．(6)解决中点弦问题的思路一般有两种：一是用根与系数的关系解，二是用“点差法”解决，其中“点差法”用的较多．一、选择题1．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 C解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，抛物线的准线为x ＝－4， 且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)， 将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4， 故a ＝2，故实轴长为4.2．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15 B ．215 C.152D ．15答案 A解析 令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ， 得4x 2－8x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15.3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85 D ．3答案 A解析 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为43.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其上的三个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( ) A ．不存在 B ．必是锐角三角形 C ．必是钝角三角形 D ．必是直角三角形 答案 B解析 设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k >0)，由抛物线定义得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2 答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.6．已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．0 答案 B解析 因为点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，所以x ≥0，因为z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， 所以当x ＝0时，z 最小，其值为3.7．设F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交曲线C 于A ，B 两点(B 点在第一象限，A 点在第四象限)，O 为坐标原点，过A 作C 的准线的垂线，垂足为M ，则|OB |与|OM |的比值为( ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 如图所示：抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，x ＝－p 2，直线AB 的方程为y ＝tan 60°(x －p 2)＝3(x －p 2)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －p 2)，y 2＝2px消去y 并整理，得3x 2－5px ＋34p 2＝0， 解得x ＝3p 2或x ＝p 6， 将x ＝3p 2或x ＝p 6代入抛物线的标准方程得， A (p 6，－33p )，B (3p 2，3p )， |OM |＝ (p 2)2＋(－33p )2＝712p ， |OB |＝(3p 2)2＋(3p )2＝214p ， 故|OB ||OM |＝3，故选C. 二、填空题8．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1＝________.答案 90°解析 如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AF A 1，又∠AA 1F ＝∠A 1FO ，所以∠AF A 1＝∠A 1FO ，同理∠BFB 1＝∠B 1FO ，于是∠AF A 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.9．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．答案 25p 8解析 由题意知直线l 过(p 2，0)和(2p,2p )， 所以l ：y ＝43(x －p 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝43(x －p 2)，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝17p 8， 所以焦点弦的长度为x 1＋x 2＋p ＝25p 8. 10．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案 y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－kx ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),∴x 1＋x 2＝k .又∵P (2,2)为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝2. ∴k ＝4.∴y 2＝4x .三、解答题11．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x＝my ＋p 2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0. 若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上， 所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2， 故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以A ，O ，C 三点共线，所以直线AC 经过原点O .12．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知直线l 的方程为x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)， 得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4.∴b ∈(2，＋∞)．13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1|F A |＋1|FB |＝2p； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 如图所示．(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，把它代入y 2＝2px ， 化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝(－p 2)24p 2＝p 24. (2)根据抛物线定义知|F A |＝|AA 1|＝x 1＋p 2，|FB |＝|BB 1|＝x 2＋p 2， ∴1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p ＝2(2x 2＋p )＋2(2x 1＋p )(2x 1＋p )(2x 2＋p )＝4(x 1＋x 2)＋4p 4x 1x 2＋2p (x 1＋x 2)＋p 2＝4(x 1＋x 2＋p )2p (x 1＋x 2＋p )＝2p . (3)设AB 中点为C (x 0，y 0)，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1.则|CC 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB|.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．。