精编小学五年级奥数周期问题

第11周周期问题专题简析：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

例题1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？分析根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。

因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。

练习一1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2，有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3，1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？例题2 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？分析（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的1247；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的2047；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的1547。

练习二1，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2，黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3，在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

第11讲周期问题一、知识要点周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

二、精讲精练【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？练习1：1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？练习2：1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。

这些同学中共有多少个女生？【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？练习3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？【例题4】将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25……………………练习4：1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？3.上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。

第11讲周期问题一、知识要点周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

二、精讲精练【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？练习1：1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？练习2：1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。

这些同学中共有多少个女生？【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？练习3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？【例题4】将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25……………………练习4：1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？3.上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。

周期问题一、知识要点周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

二、精讲精练【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。

因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。

练习1：1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？7=0.……，小数点后面第100个数字是多少？【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。

练习2：1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

1. 掌握各种周期问题的求解方法．2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。

知识点说明： 周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类：1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题． 周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。

主要方法有观察法、逆推法、经验法等。

主要问题有年月日、星期几问题等。

⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个； 例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829¸=，所以第18个数是2．⑵如果比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351¸=×××，所以第16个数是1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(161)271-¸=×××，所以第16个数是2．板块一、图形中的周期问题 【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列： ●●○●●○●●○… 你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90330¸=，正好有30个周期，第90个是白球．100333¸=…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．【答案】第90个是白球，第100个是黑球【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的： 例题精讲知识精讲教学目标 周期问题○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为102425¸=…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25126+=（个）【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有26个【巩固】 黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。

周期问题一、知识要点周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

二、精讲精练【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。

因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。

练习1：1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。

练习2：1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

小学奥数复杂周期问题
一直以来，奥林匹克数学题目中的复杂周期问题困扰着小学生，但它也提供了一个机会来挑战自己的智慧，以及获得解决这类问题的能力。

小学奥数复杂周期问题是学习奥数非常重要的一个环节，它是一种特殊的定律，能够借助计算机的先进技术进行解答。

这一领域包括了许多复杂的科学知识，下面我们就一一介绍。

一、数学解法
1. 时间和频率的应用
该问题的关键在于其中的时间和频率的运用，可以灵活运用比较、推导、变换等方法对数学模型进行处理，从而获得最佳时间和频率的求解结果。

2. 数学公式的应用
该领域的数学解法中还包括了数学公式的应用，比如近似值计算、极限运算以及一些复杂类型的微分方程，能够帮助孩子们更好地理解奥
数复杂周期问题并找到更好的解决思路。

二、心理学解法
1. 情绪控制
情绪控制能够帮助孩子们更好的理解题目的意思，学习数学知识，把握奥数复杂周期问题。

2. 框架训练
框架训练可以针对不同复杂周期问题给出针对性解决方案，更好地获得相关答案。

三、教育解法
1. 向老师请教
孩子们需要认真对待奥数复杂周期问题，如果有不明白的地方能及时的去询问老师，有助于加深理解，也可以帮助解决难题。

2. 加强思考
孩子们也可以通过多想多思来探究题目的解题思路，从而加深对奥数
复杂周期问题的理解，及时解决问题。

总之，小学奥数复杂周期问题是一个非常复杂的概念，需要孩子们更多努力来学习解答。

上述三种解决方法，任选一种或多种都可以使孩子们更好地理解并解决这一问题。

第11周周期问题专题简析：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

例题1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？分析根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。

因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。

练习一1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2，有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3，1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？例题2 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？分析（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的1247；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的2047；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的1547。

练习二1，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2，黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3，在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

八周期性问题(A)____ 年级______ 班姓名___________ 得分______一、填空题1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期________ .2. 1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期________ .3. 按下面摆法摆80个三角形,有 ______ 个白色的•4•节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_________ 灯.5. 时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是6. _____________________________________________________________ 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“ 1992”在 ______________________ 列.7. 把分数4化成小数后，小数点第110位上的数字是________ .78.循环小数0.1992517与0.34567 .这两个循环小数在小数点后第_______ 位,首次同时出现在该位中的数字都是7.9.一串数:1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4, ……共有1991 个数.(1) 其中共有____ 个1, ____ 个9 ____ 个4;(2)这些数字的总和是 ____ .10.71 474 27 4 (437)所得积末位数是 _________.50个二、解答题11.紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数•例如8 9=72,在9后面写2,9 2=18,在2后面写8,……得到一串数字：1 9 8 92 8 6……这串数字从 1 开始往右数，第 1989 个数字是什么？12.1991 个 1990相乘所得的积与 1990个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位 数是多少？13.设n 21 424 22 4 (432)，那么 n的末两位数字是多少？1991 个14．在一根长 1 00厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左 每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是 1 厘米的短木棍 有多少根？八周期性问题(B)_____ 年级 ______ 班 姓名 ___________ 得分 _______ 一、填空题1. 1992 年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期___________ .2. 黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图： ..• ... • - ________________ ……这串珠子中，最后一颗珠子应该是 _____ 的,这种颜色的珠子在这串中共有 ________ 颗•3. 流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿,再2个黑，再1 个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,……继续下去第1993个小珠的颜色是 __________ 色.4. 把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入 A 、B 、C 、D E 、F 袋中.第1992粒珠子投在 _____ 袋中•么数列中的数349应排在第.行第 ______ 列.1 46 7 1_Q 1 53 14 13 11 12 Y78910114 @7 /4043/A 21/11 乘积1 2 3 4…… 是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12 有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的 5恰好是第二个613- 社会主义好社会主义好社会主义好……上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会）， 那么第340组是 __________ .14.甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔 5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米,这样交替做到底.然后,乙从木棍同一端点开始留出6 厘米不涂色，接着涂黑6厘米,再间隔6厘米不涂色，交替做到底•最后,木棍上没有被涂黑 部分的长度总和为 ______________________ 米•5•将数列1,4710,13…依次如图排列成6行,如果把最左边的一列叫做第一列 左到右依次编号 解答题6 •分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是137. —化成小数后，小数点后面1993位上的数字是148. 在一个循环小数中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节的两个小圆点，应分别在 ____ 和_____ 这两个数字上.9. 1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是 _____ .10. 算式(367367+762762) 123123的得数的尾数是 ____ .数的1，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3 4除所得的余数是几？共产党好共产党好共产党好……答案1. 二因为7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1 日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了31+30+31+1=93（天）.因为93 7=13…2,所以这年6月1日是星期二.2．日依题意知,这十年中1992年、1996年都是闰年,因此,这十年之中共有365 10+2=3652（天）因为（3652+1）7=521…6,所以再过十年的12月5日是星期日.［注］上述两题（题1—题2）都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几,解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律,运用周期性解答. 在计算天数时,要根据“四年一闰,整百不闰,四百年才又一闰”的规定,即公历年份不是整百数时,只要是4 的倍数就是闰年,公历年数为整百数时,必须是400的倍数才是闰年.3. 39从图中可以看出, 三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列,也就是这一排列的周期为6,并且每一周期有3个白色三角形.因为80 6=13…2,而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13 3=39（个）.4. 白依题意知, 电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的,也就是这一排列的周期为4.由73 4=18…1,可知第73盏灯是白灯.5. 13 时.分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991 24=82…23, 1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13 时.［注］在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常, 但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题, 周期现象就是其中的一个重要方面.6. 3第一组9 8 7 610 11 12 13 14 ( 第二组彳 18 |17 16 15 (19 20- 21 22 23 ( 第三组J 27 1.26 25 24 (可发现规律如下： （1）连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四个数的规 律循环排列；⑵观察第二组，第三组，发现奇数排的数如果用9除有如下规律：第1列用9除余数 为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.（3）10 9=1 …1, 10 在 1+1 组，第 1 列 19 9=2…1, 19在2+1组，第1列因为1992 9=221…3,所以1992应排列在（221+1） =222组中奇数排第3列数的位 置上.7. 7它的循环周期是6,具体地六个数依次是 5, 7, 1, 4, 2, 8 110 6=18 (2)因为余2,第110个数字是上面列出的六个数中的第 2个，就是7. 8. 35因为的循环周期是7,的循环周期为.5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小 数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是 7.9. 853,570,568,8255. 不难看出，这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4 为一个循环，即周期为7,且每个周期中 有3个1,2个9,2个4.因为1991 7=284…3,所以这串数中有284个周期，加上第285 个周期中的前三个数1, 9, 9.其中1的个数是:3 284+1=853（个）,9的个数是 2 284+2=570（个）,4的个数是2 284=568（个）.这些数字的总和为1 853+9 570+4 568=8255. 10. 9先找出积的末位数的变化规律：71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 7 4末位数1; 75=74+1末位数为7,76=74+2末 位数为9 , 77= 74+3末位数为3, 78=74 2末位数为1由此可见，积的末位依次为7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1……，以4为周期循环出现. 因为50 4=12…2,即750=74 12 2，所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是 9.11. 依照题述规则多写几个数字：可见1989后面的数总是不断循环重复出现 286884,每6个一组，即循环周期为6.因为仔细观察题中数表. 1 2 3「4 5（奇数排）偶数排） 奇数排） 偶数排） 奇数排）偶数排）（1989-4）6=330…5,所以所求数字是8.12. 1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11 个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990 10=199,所以1990个1991 相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.13. n是1991个2的连乘积，可记为n=21991,首先从2的较低次幕入手寻找规律，列表如下：观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20.因为1990 20=99…10,所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以,n的末两位数字是48.14.因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.I由图示可知长11厘米的短木棍，每一周期中有两段100第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1. 剩余5厘米中有一段2 .所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为：2 [(100-10) 30]+1=2 3+1=7(段)[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易.天数被7除的余数是(13-7=)6,因此10年后的1月18日是星期五.2. 黑,26根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色”交替循环出现的，也就3 五在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365 10+3,365被7除余1,所以总是这一排列的周期为4.由(102-1) 4=25…1，可知循环25个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有1 25+仁26(颗).3. 黑小木球是依次按5红,4黄,3绿,2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个周期为15.由1993 15=132-13知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.4. B通过观察可以发现，第11次到第20次投进的袋子依次与第1次到第10次投进的袋子相同,即当投的次数被10除余1,2,3,…，8, 9, 0,分别投进A，B，C,……D, C, B 袋中，1992被10除余2,所以第1992粒珠子投在B袋中.5. 24,2这个数列从第2项起，每一项都比前一项多3,(349-1) 3+仁117,所以349是这列数中的第117个数.从排列可以看出，每两排为一个周期，每一周期有10个数.因为117 10=11…7,所以数“ 349”是第11个周期的第7个数，也就是在第24行第2列.6. 699 =0.69230713它的循环周期是6,因为1993=6 332+1,所以化成小数后，其小数点后面第1993位上的数字是6.7. 73=0.214285714它的循环周期是6,因为(1993-1) 6=332,则循环节“ 142857”恰好重复出现332次. 所以小数点后面第1993位上的数字是7.8. 3,7表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面,且数字“5”肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加在“ 5”的上面，这时循环周期是3,( 100-4) 3=32, 第100位数字是7.设前一个小圆点加在“ 4”的上面，这时循环周期是4, (100-3) 4=24…1,第100位数字是4.设前一个小圆点加在“ 3”的上面，这时的循环周期是5,(100-2) 5=19…3,第100位数字正好是5.［注］拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在7的上面,但前一个圆点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办？唯一的办法就是“试”.因为循环节肯定要包含5,就从数字5幵始试.逐步向前移动，直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走,不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索:先试一试这条，再试一试那条.9. 2由特例不难归纳出：(1) 9的连乘积的个位数字按9,1循环出现,周期为2;(2) 8的连乘积的个位数字按8,4,2,6循环出现,周期为4；(3) 7的连乘积的个位数字按7,9,3,1循环出现,周期为4.因为1991=995 2+1,所以1991个9的连乘积的个位数字是9;因为1990=497 4+2, 所以1990个8的连乘积的个位数字是4;因为1989=497 4+1，所以1989个7的连乘积的个位数字是的个位数字是2,即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2.10. 97的连乘积，尾数(个位数字)以7,9,3,1循环出现，周期为4.因为367 4=91…3,所以，367367的尾数为3.2的连乘积，尾数以2,4,8,6循环出现，周期为4.因为762 4=190…2,所以，762762 的尾数为4.3的连乘积,尾数以3,9,7,1循环出现,周期为4 =30…3,所以,123123的尾数为7.所以,(367 367+762762) 123123的尾数为(3+4) 7=49的尾数,所求答案为9.11. 从1开始，将每10个数分为一组，每一组10个数从右到左第一个不等于零的数字是乘积=3628800从右到左第一个不等于零的数字是8,1~1991可分为1~10, 11~20, 21~30,…，1981~1990, 1991; 8 的连乘积末位数字8、4, 2, 6 重复出现，199 4=49…3,所以199个8相乘的末位数字是2, 1991个位数字是1,所以，乘积1 23…从右到左第一个不等于零的数字是2.12. 因为第一个数5=第二个数1,所以第一个数：第二个数=丄：5 =3: 10.又6 4 4 6两数互质,所以第一个数为3,第二个数为10,从而这串数为：3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055 ……被3除所得的余数为：0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2,……按“ 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1” 循环，周期为8.因为1991 8=248…7,所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.［注］解答此题应注意以下两个问题(1)由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数;(2)求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期.一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性.13. 因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20,所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是 20组数.因为340 20=17,所以第340组正好写完第17个周期,第340组是（好,好）.［注］此题从题面上看是一个文字游戏，其实质是一个周期的问题:四个四个地数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10五个五个地数14. 根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白……交替进行；乙 按白、黑，白、黑……交替进行，如下图所示•［注］请注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍,而不是5与6的最小公倍 数.这是同学们容易犯的错误 由上图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是 米为周期循环出现 5与6 .并且 倍,的最小公倍数 乙所以：在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是151（3m b 60）=7m 厘米）5cm 4cm 2cm。