高中数学综合测试题(二)北师大版必修1

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果空间中有四个点，其中任意三点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面( )A ．可能有三个，也可能有一个B ．可能有三个，也可能有两个C ．可能有四个，也可能有一个D ．可能有四个，也可能有两个解析：选C.当四个点共面时，只有一个；当四个点不共面时，任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．2．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为(以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系)( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 解析：选D.求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边长和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可，直观图的面积是原图形面积的24.如图所示的实际图形和直观图，由图(2)可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.3．下面四个说法中正确的个数是( )①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行；③如果直线a 、b 满足a ∥α，b ∥α，则直线a ∥b ；④如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⃘α，那么b ∥α.A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B.若a 、b 共面，则说法①不正确；如图所示中的a 与b ，则说法②不正确；满足说法③的a 、b 平行、相交、异面三种位置关系都有可能．∴只有④正确．4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23 C ．1 D ．2解析：选C.空间几何体的直观图为平放的直三棱柱，且直三棱柱底面为直角三角形，两直角边边长分别为1和2，侧棱长为2，直接利用公式可知V ＝2×12×1×2＝1.5．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直解析：选C.若β内存在直线n 与m 平行，由m ⊥α知n ⊥α，从而α⊥β，但α与β相交却不一定垂直，所以不一定存在直线与m 平行；又设α∩β＝a ，由m ⊥α知m ⊥a ，即β中有直线与m 垂直．故选C.6．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB 解析：选B.连接A 1D 、B 1C ，由ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体可知， AD 1⊥A 1B 1，AD 1⊥A 1D . 故AD 1⊥平面A 1DCB 1.7．以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中线CD 为棱，将△ABC 折叠，使平面ACD ⊥平面BCD ，则AC 和BC 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．不确定 解析：选B.如图，令CD ＝AD ＝BD ＝1， 则AC ＝BC ＝2，又∵AD ⊥BD ，∴AB ＝2， ∴∠ACB ＝60°.8.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线( )A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条解析：选D.在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，如图所示，故选D.9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3解析：选D.由球的体积公式可得球的半径R ＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a ，高即侧棱长为h ，则h ＝2R ＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有32a ×13＝R ＝2，解得a ＝4 3.所以此三棱柱的体积V ＝12×32×(43)2×4＝48 3.10．已知二面角α-l -β为60°，动点P ，Q 分别在面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4解析：选C.如图所示，分别作QA ⊥α于A ，AC ⊥l 于C ，PB ⊥β于B ，PD ⊥l 于D ，连接CQ ，BD ，则CQ ⊥l ，BD ⊥l ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2. 又PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥2 3.当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时，PQ 取最小值2 3.二、填空题(本大题共5小题．把答案填在题中横线上)11．在数值上若球的体积与其表面积相等，则球的半径是________．解析：设球的半径为R ，由题意4πR 2＝43πR 3，∴R ＝3.答案：312．如图，在△ABC 中，BC ＝39，G 是△ABC 的重心．过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝__________.解析：∵BC ∥平面α，平面α∩平面ABC ＝MN ， ∴BC ∥MN .又∵G 是△ABC 的重心， ∴AG ∶GD ＝2∶1，∴AG ∶AD ＝2∶3， ∴MN ∶BC ＝2∶3.在△ABC 中，BC ＝39.∴MN ＝2339.答案：233913．如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件__________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)解析：由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件．答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)14．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，P 点到三个平面的距离分别为3,4,5，则OP 的长为__________．解析：构造一个长方体，令O 为长方体的一个顶点，P 为长方体内的一个点，OP ＝32＋42＋52＝50＝5 2. 答案：5 215．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是__________．解析：设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ，油桶直立时油面的高度为x ， 则⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ， ∴x h ＝14－12π. 答案：14－12π三、解答题(本大题共5小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD .证明：(1)∵A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上， ∴A 1O ⊥平面BDC .又BC 平面BCD ，∴BC ⊥A 1O .又BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥平面A 1CD . 又A 1D 平面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴A 1D ⊥A 1B .由(1)知A 1D ⊥BC ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥平面A 1BC . 又A 1D 平面A 1BD ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1BD .17．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D . 证明：如图，连接AB 1交A 1B 于点E ， 则E 为AB 1的中点，连接ED 1. 又∵D 1是B 1C 1的中点， ∴ED 1为△B 1AC 1的中位线， ∴ED 1∥AC 1.∵ED 1平面AC 1D ，AC 1平面AC 1D ， ∴ED 1∥平面AC 1D ，又∵A 1B ∥平面AC 1D ，且ED 1∩A 1B ＝E ， ∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D .18．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图，设所求圆柱的底面半径为r ，则它的侧面积为S 圆柱侧＝2πr ·x ， ∵r R ＝H －x H ，∴r ＝R －R Hx . ∴S 圆柱侧＝2πRx －2πR H ·x 2.(2)S 圆柱侧＝2πRx －2πR H x 2＝－2πR H ⎝⎛⎭⎫x －H 22＋πRH2. 则这个二次函数有最大值，这时圆柱的高x ＝H 2>0，且x ＝H2<H ，满足题意，∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．19.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面P AD ； (2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P ABCD 的体积．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CE 平面ABCD ，所以P A ⊥CE . 因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ， 所以CE ⊥AD .又P A ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面P AD . (2)由(1)可知CE ⊥AD . 在Rt △ECD 中， DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形．所以S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △ECD ＝AB ·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52.又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，所以V 四棱锥P -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝13×52×1＝56.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．解：(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)证明：如图，连接PG.∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG平面PGB，BG平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.(3)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)知，PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.。

必修1全册综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2011·重庆文)设U ＝R ，M ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U M ＝( ) A ．[0,2] B ．(0,2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)2．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x )>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)3．若函数y ＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．24．(2011·上海文)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 135．设A ，B ，I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是( )A ．(∁I A )∪B ＝I B ．(∁I A )∪(∁I B )＝IC ．A ∩(∁I B )＝∅D ．(∁I A )∩(∁I B )＝∁I B 6．(2011·天津理)已知a ＝5，b ＝5log 43.6，c ＝(15)，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b 7．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确8. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．49．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( )A.124 B.112 C.18D.3810．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．方程9x －6·3x －7＝0的解是________．12．若函数y ＝f (x )的值域为[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域为________．13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为______．14.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．15．(2011·江苏卷)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x＋2a ＝0}，A ∪B ＝{12，－5,2}，求A ∩B .17．(本小题满分12分)(2011·巢湖高一检测)已知：函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，(1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间(0，12)上的单调性并证明．18．(本小题满分12分)已知增函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，求满足f (x )＋f (x －3)≤2的x 的范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．20．(本小题满分13分)(2012·潍坊模拟)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时的解析式为f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值．21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝log 12(x 2－mx －m .)(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围．1[答案] A[解析] 该题考查二次不等式求解，集合的补集运算． 由x 2－2x >0得x >2或x <0.∴∁U M ＝[0,2]． 2[答案] D[解析] 解法一：因为f (x )为R 上的减函数，所以1x <1. 当x <0时显然成立；当x >0时，x >1.故选D. 解法二：因为f (x )为R 上的减函数，所以1x <1.作出函数y ＝1x 的图像，观察其和直线y ＝1的位置关系，就可以得到正确的选项为D.3[答案] B[解析] ∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ， ∵f (x )是偶函数，∴x 2＋(1＋a )x ＋a ＝x 2－(1＋a )x ＋a ， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1，故选B. 4[答案] A[解析] 本题考查函数单调性，奇偶性．y ＝x －1是奇函数，y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，y ＝x 13是奇函数．5[答案] B[解析] 利用V enn 图检验可发现B 错误． 6[答案] C[解析] ∵－log 30.3＝log 3103>1且103<3.4， ∴log 3103<log 33.4<log 23.4 ∵log 43.6<1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.7[答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 故选B. 8[答案] B[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝12. 9[答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18×13＝124，选A.10[答案] A[解析] 由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )得 －12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f ⎝⎛⎭⎪⎫－12，∴－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 又12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝0，故选A. 11[答案] x ＝log 37[解析] 原方程可化为(3x )2－6·3x －7＝0， 即(3x －7)(3x ＋1)＝0，又∵3x ＋1>0，∴3x ＝7，则原方程的解是x ＝log 37. 12[答案] [2，103][解析] 令t ＝f (x )，则G (t )＝t ＋1t ，t ∈[12，3]，当t ∈[12，1]时，G (t )为减函数，∴G (1)≤G (t )≤G (12)，即2≤G (t )≤52； 当t ∈(1,3]时，G (t )为增函数， ∴G (1)<G (t )≤G (3)，即2<G (t )≤103.综上可得2≤G (t )≤103，即F (x )的值域为[2，103]． 13[答案] 2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0得x ＝－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋ln x ＝0得x ＝e 2， ∴f (x )的零点个数为2 14[答案] 3:2[解析] 设矩形的长为x ，则宽为1－4x6，饲养场的总面积为y ，则有y ＝3x ·1－4x 6＝－2x 2＋12x .当x ＝18时，y 有最大值，此时宽为112，故每个矩形的长宽之比为3:2时，围出的饲养场的总面积最大．15[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去) 综上，满足条件的a ＝－34.16[解析] 由题意知，A ，B 中都至少有一个元素．若A 中只有一个元素，则a 2－4×2×2＝0，a ＝4或a ＝－4，此时A ＝{1}或A ＝{－1}，不符合题意；若B 中只有一个元素，则9－8a ＝0，a ＝98，此时B ＝{－32}，不符合题意．故A ，B 中均有两个元素．不妨设A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 3，x 4}，则x 1·x 2＝1，且x 1，x 2∈A ∪B ＝{12，－5,2}，所以A ＝{12，2}；又因为x 3＋x 4＝－3，且x 3，x 4∈A ∪B ＝{12，－5,2}，所以B ＝{－5,2}，所以A ∩B ＝{2}．17[解析] (1)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴－ax －b x ＋c ＝－ax －bx －c ， ∴c ＝0. ∴f (x )＝ax ＋bx . 又f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间(0，12)上为减函数． 证明如下： 任取0<x 1<x 2<12， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(2－12x 1x 2)＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，12)上为减函数．18[解析] 由f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )可知， 2＝1＋1＝f (2)＋f (2)＝f (4)， 所以f (x )＋f (x －3)≤2等价于 f (x )＋f (x －3)≤f (4)， 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )， 所以f (x )＋f (x －3)＝f [x (x －3)]， 所以f [x (x －3)]≤f (4)．又因为y ＝f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x (x －3)≤4x －3>0x >0⇒x ∈(3,4)．19[解析] ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0.∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f (12)＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间[0，12]和[12，1]内分别存在一个零点，又二次方程f (x )＝0最多有两个实根，∴方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．20[解析] (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x ， 又∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．(2)∵f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]．∴g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24.当a 2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a 2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4.综上所述，当a ≤2时，f (x )最大值为a －1，当2<a <4时，f (x )最大值为a 24，当a ≥4时，f (x )最大值为2a －4.21[解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12(x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52， ∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)．(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4.(3)由题意可知：⎩⎨⎧ m 2≥1－3(1－3)2－m (1－3)－m >0⇒2－23≤m <2.即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。

第二章 解析几何初步(时刻90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·惠州高一检测)过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，那么m 的值是( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3【解析】 k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，∴m ＝1. 【答案】 C2．假设两直线ax ＋2y ＝0和x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，那么a 的值是( )A ．－1或2B ．－1C ．2D ．23 【解析】 由a (a －1)－1×2＝0得a ＝－1或2，经查验a ＝－1时，两直线重合．【答案】 C3．(2021·合肥高一检测)若是圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．(－3，－1]∪[1,3) 【解析】 数形结合∵(0,0)、(a 、a )所在直线是存在两点的垂直平分线，∴1＜a ＜3或－3＜a ＜－1.【答案】 A4．在空间直角坐标系O—xyz中，点M的坐标是(1,3,5)，那么其关于x轴的对称点的坐标是( ) A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)【解析】M(1,3,5)关于x轴对称的点，在x轴上的坐标不变，其他是其相反数，即为(1，－3，－5)．【答案】C5．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是( )A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2【解析】圆心(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.【答案】D6．(2021·南宁高一检测)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )A. 3 B．2C. 6 D．23【解析】由题意得直线方程为y＝3x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝23＋1＝1，弦长|AB|＝24－1＝2 3.【答案】D7．(2021·潍坊高一检测)假设直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0相互垂直，那么a的值是( )A．－3 B．1 C．－1 D．1或－3【解析】∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或－3.【答案】D8．假设点P(a，b，c)关于原点的对称点是P′，那么|PP′|＝( )A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋3＋c |D ．2|a ＋b ＋c |【解析】 P ′(－a ，－b ，－c )．由两点间距离公式得|PP ′|＝－a －a 2＋－b －b 2＋－c －c 2 ＝2a 2＋b 2＋c 2.【答案】 B9．不论a 为何数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．【答案】 D10．使得方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，那么实数m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤42 B ．－42≤m ≤42 C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤42 【解析】 设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如下图．那么m是直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤42. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与B 的距离相等，那么M 的坐标是________．【解析】 ∵M 在y 轴上，设其坐标为(0，y,0)，由空间两点间的距离公式得 1＋y 2＋4＝1＋y ＋32＋1，得y ＝－1，∴M 的坐标为(0，－1,0)．【答案】 (0，－1,0)12．已知点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离为2，那么P 点坐标为________．【解析】 点P 在直线3x ＋y －5＝0上，设P (x 0，y 0)，即P (x 0,5－3x 0)．由点到直线的距离公式，得|x 0－5－3x 0－1|12＋－12＝2，解得x 0＝2或x 0＝1，因此点P 的坐标为(2，－1) 或(1,2)． 【答案】 (2，－1) 或(1,2)13．两平行直线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：6x ＋ay －5＝0的距离等于__________．【解析】 由3a －24＝0，得a ＝8，∴l 2：3x ＋4y －52＝0. ∴d ＝|－52－－2|32＋42＝110. 【答案】 110 14．(2021·九江高一检测)已知方程x 2＋y 2＋2mx －2my －2＝0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A ，假设点A 又在直线l ：mx ＋ny ＋1＝0上，那么m ＋n ＝________.【解析】 已知方程即x 2＋y 2－2＋2m (x －y )＝0，该曲线系恒通过圆x 2＋y 2－2＝0与直线x －y ＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0x －y ＝0得所过定点为(－1，－1)，(1,1)，∵点A 为第三象限的点，∴A 点的坐标为(－1，－1)，将其代入直线l 的方程得(－1)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即m ＋n ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)15．(本小题12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)、C (6，－5)、BC 边所在直线过点P (8，－1)，求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD 所在直线的方程．【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线相互垂直， ∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56， 而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0. 图116．(本小题12分)如图1所示，⊙O 的方程为x 2＋y 2＝9，点P 的坐标为(4,0)，求：(1)以点P 为圆心且与⊙O 外切的圆的标准方程；(2)以点P 为圆心且与⊙O 内切的圆的标准方程．【解】 (1)知足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆．因此圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.(2)知足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，7为半径的圆，因此圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝49.17．(本小题12分)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)假设此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)假设(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．【解】 (1)x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，D ＝－2，E ＝－4，F ＝m ，D 2＋E 2－4F ＝20－4m ＞0，m ＜5.(2)将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，∵OM ⊥ON ，得出：x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴5y 1y 2－8(y 1＋y 2)＋16＝0，∴m ＝85. 18．(本小题14分)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．(1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线l 上是不是存在点P ，使∠BPA ＝60°？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，说明理由．【解】 (1)如下图，△PAC ≌△PBC ，那么有S PACB ＝2S △PAC .圆心C (1,1)，半径r ＝1.由切线性质得AC ⊥PA ，那么|PA |＝|PC |2－|AC |2，又|AC |＝1，∴S △PAC ＝12|AC |·|PA |＝12|PC |2－1. 又P 在直线l 上，那么|PC |的最小值是C 到直线l 的距离d ＝|3＋4＋8|9＋16＝3. ∴S △PAC 的最小值为1232－1＝ 2.∴四边形PACB 面积的最小值是22. (2)假设直线l 上存在点P 知足题意．∵∠APB ＝60°，∴|AP |＝3|AC |＝3，|PC |＝2.设P (x ，y )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＋y －12＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0.∵Δ＝402－4×25×96<0，∴如此的点P是不存在的．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作模块综合测评(二) 必修1(北师大版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．与函数f (x )＝|x |是相同函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x 2x C ．y ＝e ln xD ．y ＝log 22x解析：∵B 中y ＝x (x ≠0)，C 中y ＝x (x ＞0)，D 中y ＝x ，只有A 中y ＝|x |，故选A.答案：A2．已知函数f (x )＝11－x 的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ＞－1}B ．{x |x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．∅解析：依题意知M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |x ＞－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}． 答案：C3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：对选项A ，因为内外函数在(0，＋∞)上都是增函数，根据复合函数的单调性，此函数在(0，＋∞)上是增函数，故A 选项正确；对选项B ，内函数在(0，＋∞)上是增函数，外函数在(0，＋∞)上是减函数，根据复合函数的单调性，此函数在(0，＋∞)上是减函数，故B 选项不正确；对C 选项，指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数，故C 选项不正确；对选项D ，函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故D 选项不正确，所以选A.答案：A4．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2解析：f (a )＝lg 1－a 1＋a ＝12，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－12. 答案：B5．若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝的解为x 0，则x 0属于以下区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)解析：答案：B6．若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是[2,2b ](b ＞1)，则( ) A ．b ＝2 B ．b ≥2 C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)解析：∵函数y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，其图像的对称轴为直线x ＝2，∴在定义域[2,2b ]上，y 为增函数．当x ＝2时，y ＝2；当x ＝2b 时，y ＝2b .故2b ＝12×(2b )2－2×2b ＋4，即b 2－3b ＋2＝0，得b 1＝2，b 2＝1.又∵b ＞1，∴b ＝2.答案：A7．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞zC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y解析：x ＝log a 2＋log a 3＝log a 6，y ＝12log a 5＝log a 5，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7∵0＜a ＜1，∴y ＝log a x 在定义域上是减函数，∴y ＞x ＞z . 答案：C8．函数y ＝ln 1|x ＋1|的大致图像为( )A. B.C. D.解析：由题意可知函数f (x )的图像关于直线x ＝－1对称，排除A 、C ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln2＞0，故选D.答案：D9．已知函数f (x )＝，则当a ＜0时，f {f [f (a )]}＝( )A. 3 B ．－12 C ．－2D ．2解析：当a ＜0时，f (a )＝2a ∈(0,1)，∴f [f (a )]＝f (2a )＝3，于是f {f [f (a )]}＝f(3)＝3＝－12.故选B.答案：B10．已知函数f(x)＝|x＋1|＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围为()A．(－1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，－1)解析：在同一坐标系画出函数y＝|x＋1|与y＝－a的图像，如图，由图像可知函数f(x)有两个不同零点必有－a＞0，即a＜0.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．解析：答案：212．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为__________．解析：∵A ∪B ＝{0,1,2,4}，∴a ＝4或a 2＝4，若a ＝4，则a 2＝16，但16∉A ∪B ，∴a 2＝4，∴a ＝±2，又－2∉A ∪B ，∴a ＝2.答案：213．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， 即12－1－1＋a ＝－12－1－a ，∴a ＝12. 答案：12解析：答案：[－1,0]三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)讨论函数f (x )＝的单调性，并求其值域．解：∵函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，(4分)(1)当x1＜x2≤1时，x1＋x2＜2，即有x1＋x2－2＜0.又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0，则知＞1.又对于x∈R，f(x)＞0恒成立，∴f(x2)＞f(x1)．∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．(6分)(2)当1≤x1＜x2时，x1＋x2＞2，即有x1＋x2－2＞0.又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＞0，则知0＜＜1，∴f(x2)＜f(x1)．∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数．(8分)∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，0＜13＜1,0＜≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴函数f (x )的值域为(0,3]．(12分)16．(12分)设a 是实数，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R )．(1)证明：不论a 为何实数，f (x )均为增函数； (2)试确定a 的值，使f (－x )＋f (x )＝0成立． 解：(1)设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，(2)由f (－x )＋f (x )＝0，得a －22－x ＋1＋a －22x ＋1＝0. ∴2a ＝22－x ＋1＋22x ＋1＝2·2x 1＋2x ＋22x ＋1＝2.∴a ＝1.(12分)17．(12分)已知f (x )＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ≥0)． (1)将f (x )表示成u (其中u ＝e x ＋e －x2)的函数； (2)求f (x )的最小值．解：(1)将f (x )展开重新配方得，f (x )＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2.(2分)令u ＝e x ＋e －x2，得g (u )＝4u 2－4au ＋2a 2－2(u ≥1)．(6分)(2)∵f (u )的对称轴是u ＝a2，a ≥0，∴当0≤a ≤2时，则当u ＝1时，f (u )有最小值，此时f (u )min ＝f (1)＝2(a －1)2.(8分)当a ＞2时，则当u ＝a2时，f (u )有最小值，此时f (u )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－2.(10分)∴f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(a －1)2(0≤a ≤2)，a 2－2 (a ＞2).(12分)18．(14分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)，(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量．(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱) 解：(1)设利润为y .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧R (x )－0.5－0.25x (0≤x ≤5)，R (5)－0.5－0.25x (x ＞5).∴y ＝⎩⎨⎧－12x 2＋4.75x －0.5 (0≤x ≤5)12－0.25x (x ＞5)(4分)(2)y ＝－12(x －4.75)2＋10.781 25，∴x ＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．(8分)(3)要使企业不亏本，需y ＞0.即⎩⎨⎧0≤x ≤5，－12x 2＋4.75x －0.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧12－0.25x ＞0，x ＞5. ∴0.11＜x ≤5或5＜x ＜48即0.11＜x ＜48.(12分)∴年产量在11台至4 800台时，企业才会不亏本．(14分)。

北师大高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线综合测试题(原卷版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是()A.C.2.双曲线－y2＝1的焦点坐标是()A.(－，0)，(，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－)，(0，)D.(0，－2)，(0，2)3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.C.(1，2)D.(1，－2)4.设椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率e的最小值为()A.C.5.已知双曲线的方程为＝1，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为()A.1B.C. D.26.已知椭圆＝1的上焦点为F，M是椭圆上一点，点A(2，0)，当点M在椭圆上运动时，|MA|＋|MF|的最大值为()A.4B.6C.8D.107.点P是直线l：x＝－3上一动点，点F(3，0)，点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，＝λ(λ∈R)，过点M作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点为S，则|MS|的最小值是()A.2B.3C.2D.48.已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1(－c，0)，F2(c，0)，若离心率e＝(e≈0.618)，则称椭圆C为“黄金椭圆”.下列有三个命题：①在黄金椭圆C中，a，b，c成等比数列；②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E，B，则∠F1EB＝90°；③在黄金椭圆C中，以A(－a，0)，B(a，0)，D(0，－b)，E(0，b)为顶点的菱形ADBE的内切圆经过焦点F1，F2.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若方程＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是()A.若C为椭圆，则1＜t＜3B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜210.已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，与x轴的两个交点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系可能为()A.相交B.外切C.外离D.内切11.已知双曲线E：＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则下列说法正确的是()A.E的焦点在x轴上B.m＝C.E的实轴长为6D.E的离心率为12.已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A.点F的坐标为B.若直线MN过点F，则x1x2＝－C.若＝λ，则|MN|的最小值为D.若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点F为椭圆Γ：＝1的左焦点，点P为椭圆Γ上任意一点，点O为坐标原点，则的最大值为6.14.F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C的准线上的射影为Q，且|PQ|＝2，则△PQF外接圆的方程为＋(y－1)＝2.15.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为1.已知点A(－6，0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为28.16.求椭圆＋y2＝1关于点M(3，5)对称的曲线方程0y)1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－2交于D，E两点，求线段DE的长.18.(12分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过点M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标.19.(12分)已知点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足：直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，且k1·k2＝－.(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点F(1，0)的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.20.(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，a＝2b，点E在C上，E在x轴上的射影为C的右焦点F，且|EF|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若M，N是C上异于A，B的不同两点，满足BM⊥BN，直线AM，BN交于点P，求证：点P在定直线上.21.(12分)已知点P是椭圆C：＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点?证明你的结论.22.(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PF1F2的周长是6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.北师大高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线综合测试题(解析版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是(B)A.C.解析：由题意可得b＝c，所以a＝c，所以离心率e＝.2.双曲线－y2＝1的焦点坐标是(B)A.(－，0)，(，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－)，(0，)D.(0，－2)，(0，2)解析：∵双曲线方程为－y2＝1，∴焦点坐标可设为(±c，0).∵c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，c＝2，∴焦点坐标为(±2，0).故选B.3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(A)A.C.(1，2)D.(1，－2)解析：已知Q(2，－1)在抛物线y2＝4x的内部，而抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和的最小值为点Q到准线x＝－1的距离，则点P的纵坐标为－1，代入抛物线方程y2＝4x，得x＝，故点P的坐标为.故选A.4.设椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率e的最小值为(C)A.C.解析：当P是椭圆的上下顶点时，∠F1PF2最大，∴120°≤∠F1PF2＜180°，∴60°≤∠F1PO＜90°，∴sin60°≤sin∠F1PO＜sin90°，∵|F1P|＝a，|F1O|＝c，∴＜1，则椭圆的离心率e的最小值为.故选C.5.已知双曲线的方程为＝1，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为(C)A.1B.C. D.2解析：由题意知，双曲线的右焦点为F(，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±x－2y＝0，所以点F(，0)到渐近线的距离d＝，故选C.6.已知椭圆＝1的上焦点为F，M是椭圆上一点，点A(2，0)，当点M在椭圆上运动时，|MA|＋|MF|的最大值为(D)A.4B.6C.8D.10解析：如图所示，设椭圆的下焦点为F'，则|AF|＝|AF'|＝4，|MF|＋|MF'|＝2a＝6，∵|MA|－|MF'|≤|AF'|，当且仅当A，F'，M共线且F'在线段AM上时等号成立，∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋6－|MF'|≤|AF'|＋6＝4＋6＝10，故选D.7.点P是直线l：x＝－3上一动点，点F(3，0)，点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，＝λ(λ∈R)，过点M作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点为S，则|MS|的最小值是(C)A.2B.3C.2D.4解析：设M(x，y)，易得＝(3，0)，由＝λ，得P(－3，y)，由点Q为PF的中点知Q，又∵QM⊥PF，∴直线QM与直线PF斜率的乘积为－1，即＝－1，得y2＝12x，∴M的轨迹是抛物线，∴x≥0.|MS|＝＝＝＝2.当x＝0时，等号成立.故|MS|的最小值为2.8.已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1(－c，0)，F2(c，0)，若离心率e＝(e≈0.618)，则称椭圆C为“黄金椭圆”.下列有三个命题：①在黄金椭圆C中，a，b，c成等比数列；②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E，B，则∠F1EB＝90°；③在黄金椭圆C中，以A(－a，0)，B(a，0)，D(0，－b)，E(0，b)为顶点的菱形ADBE的内切圆经过焦点F1，F2.正确命题的个数是(D)A.0B.1C.2D.3解析：e＝，得到c＝a，结合b2＝a2－c2＝a2，得b2＝ac，所以a，b，c成等比数列，故①正确；|EF1|2＝b2＋c2，|EB|2＝a2＋b2，而|F1B|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝a2＋c2＋2b2＝|EF1|2＋|EB|2，故∠F1EB＝90°，②正确；结合题意可知，该圆的圆心为坐标原点，设圆的半径为r，由圆是菱形ADBE的内切圆，结合b2＝ac可知r＝，代入e＝得r＝a ＝c，所以该圆经过焦点F1，F2，③正确.故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若方程＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(AD)A.若C为椭圆，则1＜t＜3B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2解析：若t＞3，则方程可变形为＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t＜1，则方程可变形为＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2＜t＜3，则0＜3－t＜t－1，故方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1＜t＜2，则0＜t－1＜3－t，故方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，故选AD.10.已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，与x轴的两个交点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系可能为(BD)A.相交B.外切C.外离D.内切解析：设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，双曲线的右焦点为F2.若P在双曲线左支，如图所示，则|O1O2|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为半径之和，两圆外切.若P在双曲线右支，同理求得|O1O2|＝r1－r2，故此时，两圆内切.综上，两圆相切，故选BD.11.已知双曲线E：＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则下列说法正确的是(AD)A.E的焦点在x轴上B.m＝C.E的实轴长为6D.E的离心率为解析：由m＞0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A正确；根据题意得，所以m＝36，故B错误；双曲线E的实轴长为2＝2＝12，故C错误；双曲线E的离心率e＝，故D正确.故选AD.12.已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(BCD)A.点F的坐标为B.若直线MN过点F，则x1x2＝－C.若＝λ，则|MN|的最小值为D.若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为解析：易知点F的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－，选项B正确；若＝λ，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；抛物线x2＝y的焦点为，准线方程为y＝－，过点M，N，P分别做准线的垂线MM'，NN'，PP'，垂足分别为M'，N'，P'，则有.所以，所以线段，所以线段MN的中点P到x轴的距离为，选项D 正确.故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点F为椭圆Γ：＝1的左焦点，点P为椭圆Γ上任意一点，点O为坐标原点，则的最大值为6.解析：设点P的坐标为(x，y)，则－2≤x≤2，由＝1，可得y2＝3－x2，椭圆Γ的左焦点为F(－1，0)，＝(x，y)，＝(x＋1，y)，则＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，二次函数f(x)＝(x＋2)2＋2在区间[－2，2]上单调递增，所以，f(x)max＝f(2)＝×42＋2＝6.14.F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C的准线上的射影为Q，且|PQ|＝2，则△PQF外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝2.解析：如图，由抛物线方程可知焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，∵|PQ|＝2，∴x P＋1＝2，即x P＝1，则y P＝2，∴P(1，2)，Q(－1，2)，∴FP⊥PQ，即△FPQ为直角三角形，∴△PQF外接圆的圆心为FQ中点，即圆心为(0，1)，半径为，∴△PQF外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝2.15.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为＝1.已知点A(－6，0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△P AF的周长的最小值为28.解析：∵双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，∴解得a＝4，b＝4.∴双曲线的标准方程为＝1；设双曲线的上焦点为F'(0，8)，则|PF|＝|PF'|＋8，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF'|＋|PA|＋|AF|＋8.当P点在第二象限，且A，P，F'共线时，|PF'|＋|PA|最小，最小值为|AF'|＝10.而|AF|＝10，故△PAF的周长的最小值为10＋10＋8＝28.16.求椭圆＋y2＝1关于点M(3，5)对称的曲线方程＋(10－y)2＝1.解析：设所求曲线上任一点P(x，y)，关于M(3，5)的对称点为P'.如图，根据中心对称的性质，P，P'关于M(3，5)对称，得P'的坐标是(6－x，10－y)，它应在椭圆＋y2＝1上，于是有＋(10－y)2＝1，即P点坐标需满足的方程是＋(10－y)2＝1.故椭圆＋y2＝1关于点M(3，5)对称的曲线方程为＋(10－y)2＝1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－2交于D，E两点，求线段DE的长.解：设点C(x，y)，则||CA|－|CB||＝2.根据双曲线定义，可知点C的轨迹为双曲线，由2a＝2，2c＝|AB|＝2，得a＝1，c＝，则b2＝2，故点C的轨迹方程为x2－＝1.由得x2＋4x－6＝0，∵Δ＞0，∴直线与双曲线有两个交点，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，故|DE|＝·|x1－x2|＝＝4.18.(12分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过点M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标.解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2).又∵F(1，0)，∴k FA＝.∵MN⊥FA，∴k MN＝－.∴FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2，联立解方程组得∴点N的坐标为.19.(12分)已知点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足：直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，且k1·k2＝－.(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点F(1，0)的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意知，k1＝(x≠－2)，k2＝(x≠2)，由k1·k2＝－，即(x≠±2)，整理得点P(x，y)的轨迹C的方程为＝1(x≠±2).(2)假设在x轴上存在点Q(x0，0)，使得为定值.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，联立方程消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，由＝(x1－x0，y1)，＝(x2－x0，y2)，所以＝(x1－x0)(x2－x0)＋y1y2＝(x1－x0)(x2－x0)＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x0＋k2)(x1＋x2)＋k2＋，将x0看成常数，要使得上式为定值，需满足5＋8x0＝16，即x0＝，此时；当直线l的斜率不存在时，可得A，B，Q，所以，综上所述，存在Q，使得为定值.20.(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，a＝2b，点E在C上，E在x轴上的射影为C的右焦点F，且|EF|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若M，N是C上异于A，B的不同两点，满足BM⊥BN，直线AM，BN交于点P，求证：点P在定直线上.解：(1)因为|EF|＝，所以.又a＝2b，所以a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设直线BM的方程为y＝k(x－2)，代入椭圆C的方程，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，设M(x1，y1)(≠4)，则2x1＝，解得x1＝，y1＝，所以M，用－替换k，可得N，所以直线AM的斜率为，直线BN的斜率为－，所以直线AM的方程为y＝－(x＋2)，①直线BN的方程为y＝－(x－2).②联立①②得直线AM，BN的交点P的横坐标x P＝，所以点P在定直线x＝上.21.(12分)已知点P是椭圆C：＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点?证明你的结论.解：(1)由|PF1|＋|PF2|＝4，得a＝2，又P在椭圆上，代入椭圆方程有＝1，解得b＝，所以椭圆C的标准方程为＝1.(2)直线l过定点.证明：当直线l的斜率不存在时，A(x1，y1)，B(x1，－y1)，k1＋k2＝＝1，解得x1＝－4，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)由整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝48(4k2－m2＋3)＞0.由k1＋k2＝1，整理得(2k－1)x1x2＋(x1＋x2)＋2m－4＝0，即(m－4k)(2m－2k－3)＝0.当m＝k＋时，此时，直线l过P点，不符合题意；当m＝4k时，Δ＝48(4k2－m2＋3)＞0有解，此时直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0).22.(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PF1F2的周长是6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由椭圆的定义知△PF1F2的周长为2a＋2c，所以2a＋2c＝6，又因为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，所以a＝2c，联立解得a＝2，c＝1，所以b＝，所求椭圆方程为＝1.(2)假设存在满足条件的点Q(t，0).当直线l的斜率k存在时，设y＝k(x－1)，联立消y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∵k QM＋k QN＝＝＝＝k·＝k·＝，∴要使对任意实数k，k QM＋k QN为定值，则只有t＝4，此时，k QM＋k QN＝0.当直线l与x轴垂直时，若t＝4，也有k QM＋k QN＝0.故在x轴上存在点Q(4，0)，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0.。

高中数学必修1和必修2综合测试题一．选择题 1.2log 3＋29log 3的值为 （ ）A. 2,B. －2,C. 9 ,D. 213log 32．在圆224x y +=上，与直线43120x y +-=的距离最小的点的坐标为（ ）86.(,)55A - 86.(,)55B - 86(,)55C 86.(,)55D -- 3. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23-D 、324.函数log (2)1a y x =++的图象过定点 （ ） A.（1，2） B.（2，1） C.（-2，1） D.（-1，1）5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 7.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-18.方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{9.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是 （ ）A 5B 5-C 6D 6-10.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（ ） A π B 2π C 4π D 8π11．直线l ：y =k (x +2)被圆C:x 2+y 2=4截得的线段长为2，则k 的值为 （ ）A ．2±B ．22±C ．3±D ．33±12．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为（ ）A. 1∶3B. 1∶3C. 1∶9D. 1∶81 13. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y+c=0上，则m+c 的值为（ ） A ．－1 B ．2 C ．3 D ．014.下列各式：①1{0,1,2}∈；②{0,1,2}∅⊆；③{1}{0,1,2}∈；④{0,1,2}{2,0,1}=，其中错误．．的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 15．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或016,定义集合,A B 的一种运算：{}1212*|,,A B x x x x x A x B ==+∈∈，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则*A B 中的所有元素数字之和为（ ）.A ．9 B. 14 C. 18 D. 2117、设()f x 是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+， 则当(,0)x ∈-∞时()f x 等于（ ）A.(1)x x + B. (1)x x -+ C. (1)x x - D. (1)x x --18.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A ．42 B ．22C ．41D ．2119．已知(,)x y 在映射f 下的象是(,)x y x y +-，则(1,2)在f 下的象是 ( ).A (3,1)- .B (3,1)-- .C (1,3)- .D (2,1)20.右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是 （ ） A 4 B 42 C 22 D 1 二 填空题21.设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 的中点到点C 的距离为 . 22.已知点(,2)A a 到直线:30l x y -+=距离为2，则a = .23.设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩,满足()f x =41的x 的值是 .24.若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .45︒BO A 2225.若函数()11xmf x a =+-是奇函数，则m 为__________。

一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点P (1，－2)，斜率为3的直线方程是( )A ．y －2＝3(x －1)B ．y －1＝3(x ＋2)C ．y ＋2＝3(x －1)D ．y ＋2＝－3(x －1)解析：选C.利用点斜式写出直线方程：y －(－2)＝3(x －1)，即y ＋2＝3(x －1)，故选C.2．下列说法不正确的是( )A ．一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D.A 项是平行四边形的判定定理，正确．B 项中，同一平面的两条垂线平行，所以一定在同一平面内，故B 正确．C 项过直线上一点与这条直线垂直的直线都在这条直线过该点的垂面内，C 正确．D 项中，若直线与已知平面垂直，则有无数个平面过已知直线且与已知平面垂直，故D 不正确．3．一束光线自点P (1,1,1)发出，被xOy 平面反射到达点Q (3，3,6)后被吸收，那么光线所走的路程是( ) A.57 B.47C.37D.33解析：选A.点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P ′的坐标为(1,1，－1), 由两点间的距离公式，得|P ′Q |＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57，由对称性知光线所走路程等于|P ′Q |的长．4．体积为33的正方体内接于球，则球的体积为( )A ．36π B.272π C.92π D ．9π 解析：选C.设正方体的棱长为a ，则a 3＝33，a ＝ 3.又∵2R ＝3a ，∴R ＝32a .故V ＝43πR 3＝92π.所以选C.5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．3 B. 3C ．3 3D ．3＋4 3解析：选D.由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的边长分别为1和3，三棱柱的高为3，故该几何体的表面积为2×12×3×1＋(1＋3＋3＋1)×3＝3＋4 3.6．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为D 1D 和DC 的中点，则BC 1与PQ 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°解析：选B.如图所示，由正方体的性质易知BC 1∥AD 1，因为P ，Q 为D 1D 与DC 的中点，所以PQ ∥D 1C ，所以∠AD 1C 即为BC 1与PQ 的夹角．因为△ACD 1为正三角形，所以∠AD 1C ＝60°，即PQ 与BC 1的夹角为60°.7．过点A (－2,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＝－2或y ＝2C ．x －y ＋22＝0D ．x ＋y ＝0或x －y ＋22＝0解析：选A.代入点A (－2,2)可排除C 、D 两项，又x ＝－2或y ＝2是两条直线，且每一条都仅有一个截距，所以B 项错．8．圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最小值是( )A ．0B ．1＋ 2C ．22－2D ．2－ 2解析：选A.∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0和直线x －y ＝2相交，∴最小距离是0.9．已知一圆与直线3x ＋4y ＋5＝0相切于点(1，－2)，且圆心在直线x ＋y ＋92＝0上，则圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋x －8y ＋10＝0B ．x 2＋y 2＋x ＋8y ＋10＝0C ．x 2＋y 2－x －8y ＋10＝0D ．x 2＋y 2－x －8y －10＝0解析：选B.过点(1，－2)与直线3x ＋4y ＋5＝0垂直的直线方程为4x －3y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －10＝0，x ＋y ＋92＝0，解得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－4，且r ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋(－2＋4)2＝52，所以圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋8y ＋10＝0.10．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BD 1与A 1D 所成的角为α1，AB 1与BC 1所成的角为α2，AA 1与BD 1所成的角为α3，则有( )A ．α3<α2<α1B ．α2<α3<α1C ．α2<α1<α3D ．α3<α1<α2解析：选A.连接AD 1，因为BA ⊥平面A 1ADD 1，所以AD 1为BD 1在平面A 1ADD 1上的射影，如图所示，因为A 1D ⊥AD 1，所以A 1D ⊥BD 1，即α1＝90°.因为AD 1∥BC 1，所以AD 1与AB 1所成的角即为BC 1与AB 1所成的角．连接B 1D 1.因为△AB 1D 1为等边三角形，所以α2＝60°.因为BB 1∥AA 1，所以BB 1与BD 1所成的角即为AA 1与BD 1所成的角．在Rt △BB 1D 1中，tanα3＝B 1D 1BB 1＝2，所以45°<α3<60°，所以α3<α2<α1. 二、填空题(本大题共5小题．把答案填在题中横线上)11．在空间直角坐标系中，已知M (2,0,0)，N (0,2,10)，若在z 轴上有一点D 满足|MD |＝|ND |，则点D 的坐标为________．解析：设D (0,0，z )，由|MD |＝|ND |，可解得z ＝5，故选A.答案：512.如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，而过EF 的平面ABCD 与平面AB 1C 交于AC ，所以EF ∥AC ，又因为点E 为AD 的中点，所以EF ＝12AC ＝1222＋22＝ 2. 答案： 213．若直线x ＋ay ＋2＝0和2ax ＋3y ＋1＝0互相垂直，则a 等于__________．解析：a 应满足：1×2a ＋a ×3＝0，即5a ＝0，∴a ＝0.答案：014．(2012·高考江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：∵点P在直线x＋y－22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝x20＋(－x0＋22)2＝2，解得x0＝ 2.故点P的坐标是(2，2)．答案：(2，2)15．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接P A，PB，PC.①若P A＝PB＝PC，∠ABC＝90°，则O为AB边的中点；②若P A＝PB＝PC，则O为△ABC的外心；③若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则O为△ABC的垂心；④若P A⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB；⑤若P A＝PC，AB＝BC，则PB⊥AC.以上五种说法中正确的是__________．解析：∵P A＝PB＝PC，PO⊥平面ABC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB ＝OC，∴O为△ABC的外心，故①②均正确；∵P A⊥PB，PB⊥PC，且P A∩PC＝P，∴PB ⊥平面P AC.∴PB⊥AC.又∵PO⊥AC，∴AC⊥平面POB，∴BO⊥AC.同理可证AO⊥BC，因而O为△ABC的垂心；类似于③可以证明④正确；对于⑤，取AC中点为M，可得PM⊥AC，BM⊥AC，且PM∩BM＝M，∴AC⊥平面PMB，∴AC⊥PB.故⑤也正确．答案：①②③④⑤三、解答题(本大题共5小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角．解：(1)证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1.又D1F DC1，所以AD⊥D1F.(2)取AB的中点G，连接A 1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF AD，又A1D1AD，所以GF A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F.设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角．因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE，∠GA1A＝∠GAH，从而∠A1HA＝90°，即直线AE与D1F所成的角为直角．17．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．解：(1)直线l可改写为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，又12＋(1－1)2＝1<5，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m.又k＝tan 120°＝－3，即m＝－ 3.此时，圆心C(0,1)到直线l：3x＋y－3－1＝0的距离d ＝|－3|(3)2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝⎛⎭⎫322＝17. 18．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN .(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)当A 1M ＝AN ＝23a 时，求MN 的长． 解：(1)证明：如图所示，作MP ∥AB 交BB1于P ，NQ ∥AB 交BC 于Q ，所以MP ∥NQ .因为PM A 1B 1＝BM A 1B ，即PM a ＝BM 2a .又因为NC AC ＝NQ AB ，所以NC 2a ＝NQ a，所以PM ＝NQ ，所以四边形MPQN 是平行四边形，所以MN ∥PQ .又因为PQ 平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)由题设AN ＝A 1M ＝23a ，所以BQ ＝a 3＝PB 1， 所以BP ＝23a ，所以MN ＝PQ ＝BP 2＋BQ 2＝53a . 19．一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E 是PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面ACE ；(2)求证：PC ⊥BD ；(3)求三棱锥C -P AB 的体积．解：(1)证明：连接BD ，BD ∩AC ＝O ，连接OE ，易知OE 是△BPD 的中位线， ∴BP ∥OE .OE 平面ACE ，PB ⃘平面ACE ，∴PB ∥平面ACE .(2)证明：俯视图为正方形，即ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD .P A ∩AC ＝A ，BD ⊥平面P AC ，PC 平面P AC ，∴PC ⊥BD .(3)易知正方形ABCD 的边长为1，P A ＝1，V C -P AB ＝V P -ABC ＝13×12×1×1×1＝16. 20．已知坐标平面上点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C ，过点M (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得|M 1M ||M 2M |＝5， (x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0.即(x －1)2＋(y －1)2＝25. ∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8，∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1. 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52.解得k ＝512. ∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.。

高二期末复习（二）一、选择题1.在复平面内，复数i2iz =-对应的点所在的象限是（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 （ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知命题:p x ∀∈R ，03>x ，则 （A )Ａ．:p x ⌝∃∈R ，03≤x Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，03≤x Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，03<xD ．:p x ⌝∀∈R ，03<x4．函数()sin x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为 (B )(A) 0 (B)4π(C) 1 (D)32 5.. 执行右面的程序框图，如果输入的N 是5，那么输出的S 是 （ B ）A.-385B. B. -399C. -45.D. -556．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是 ( B )（ ） A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰C ．12()S y y dy =-⎰D ．1()S y y dy =-⎰7.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ D ） x 6 3 5 2 y4.22.8m2.6A.4B.3.15C.4.5D.38．在A B C ∆中，有如下命题，其中正确的是 （ C ）①AB AC BC -= ；②0=++A C C B B A ；③若()()0A B A C A B A C +⋅-= ，则A B C ∆为等腰三角形；④若0A B B C ⋅>，则A B C ∆为锐角三角形。

一、选择题1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ）A ．7B ．7-C ．37D ．37- 3．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π4．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．325B ．522C ．326] D ．6，22] 5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．无论点F 在上1BC 怎么移动，都有11A FB D ⊥B ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且12A E EF = C ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60°D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30°6．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（ ） A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为5 B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D ．直线1AC 与平面BDM 相交7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．148．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π 10．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥ 11．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥' 12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．34D ．12二、填空题13．3ABCD 中，对角线3AC =ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．14．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.15．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________.16．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．17．一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.18．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．19．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM 是定值 （2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置，使1DE A C ⊥（4）存在某个位置，使//MB 平面1A DE20．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题21．如图，ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2CD =.（1）求证：平面ABC ⊥平面ABD ；（2）求二面角A-BC-D 的余弦值.22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,2AB AA ==，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）求异面直线1BD 与1CC 的距离；（2）求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）求点F 到平面BDE 的距离．23．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）证明：//GH 平面ABCD ；（2）求H 到平面AEC 的距离．24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足112EF CC =.（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．（1）求证：1//AB 平面1BC D ；（2）求三棱锥1D BCC -的体积．26．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =，F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-， 222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2．C解析：C【分析】连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案.【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==， 所以2211111122B D D C B C =+=213110B E =+=222415ED CE DC +=+==，所以222115914D E ED D D ==+=+，由余弦定理得， 从而22211111111137cos 24214B D D E B E B D E B D D E +-∠===⨯⨯. 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．B解析：B【分析】 根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =.【详解】设底面圆半径为r ，由母线长4l ，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ； 如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===，所以222AM AB MB +=, 所以2MAB π∠=, 故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选：B【点睛】 关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2r lπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.4．A解析：A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()22+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.5．C解析：C 【分析】A.通过证明线面垂直，证得线线垂直；B.利用相似三角形，求1A EEF的值；C.首先构造直线1A F 与平面1BDC 所成角，再通过数形结合分析最大角，以及最大角的余弦值，判选项；D.将异面直线所成角转化为相交直线所成角，求解判断. 【详解】A.AC BD ⊥，1AC BB ⊥，AC ∴⊥平面1BB D ，1AC B D ∴⊥，11//AC AC ，111B D AC ∴⊥，同理11B D BC ⊥，1111A C BC C ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A F ⊂平面11A BC ，11B D A F ∴⊥，故A 正确；B.连结1A D ，1B C 交1BC 于点F ，11//A B DC ,且11A B DC =，∴四边形11A DCB 是平行四边形，所以11//A D B C ，∴11A DE FB E，得1112A E A DEFB F==，故B 正确；C.1A O ⊥平面1BDC ，1111A B AC A D ==，∴点O1BDC 是等边三角形的中心，11A BC 是等边三角形，111A BC BDC ≅ 当点F 是1BC 的中点时，11A F BC ⊥，此时1A F 是点1A 和1BC 上的点连线的最短距离，设直线1A F 与平面1BDC 所成角为θ，此时11sin A O A F θ=最大，所以此时θ最大，所以111cos 32OF A F θ==<,最大角大于60，故C 不正确；D.11//A B CD ，CD ∴与1A F 所成的角，转化为11B A F ∠的大小，11B A F ∠的最小角是11B A 与平面11A BC 所成的角，即11B A F ∠，此时1111123tan 23FB B A F A B ∠==>，所以11B A F ∠的最小角大于30，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何的综合应用，包含线线，线面角，垂直关系，首先会作图，关键选项是C 和D ，C 选项的关键是1A O ⊥平面1BDC ，点O1BDC 是等边三角形的中心，D 选项的关键是知道先与平面中线所成角中，其中线面角是其中的最小角.6．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】 设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =，22BD =，5DM =C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC ==直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 55d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 10D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7．C解析：C 【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可. 【详解】解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C 【点睛】 识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； （3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.8．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP x x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.9．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=， 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.10．D解析：D 【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】 对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂， 而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．11．C解析：C 【分析】设AH a =，则BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥， AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==， 所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角， 在ABE △中，2AB =2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅. 因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因解析：556π； 【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积. 【详解】根据题意，画出图形，3的菱形ABCD 中，对角线3AC = 所以ABC 和DBC △都是正三角形， 又因为二面角B AC D --的大小为2π， 所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ， 则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===， 所以球的半径2252R GD OG =+=， 所以其体积为3344555(3326V R ππ==⋅=， 故答案为：556π. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下： （1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置；（3）利用勾股定理求得半径； （4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.14．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的解析：163π【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积. 【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=， 所以，球O 的半径为232x =，则球O 的表面积为22316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.15．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积． 【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥．设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=． 故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．16．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案 6 【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得． 【详解】设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，22OE =，23EF =． 所以6cos OE OEF EF ∠==． 故答案为：6．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 分别计算其棱长可得答案【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内如下图所示所以：BC=所以该三棱锥最长棱的长度为故 解析：3【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，分别计算其棱长，可得答案． 【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如下图所示，所以：2AB =，BC =2,22,23BP AC PC AP ====.所以该三棱锥最长棱的长度为23. 故答案为：23．【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．18．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考 3 【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论． 【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，ME ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==112ME BC ==， 又113323323EO DE ==⨯=由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥，∴3cos 3EO MEO ME ∠==． 故答案为：33．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤．19．（1）（2）（4）【分析】首先取中点连结先判断（4）是否正确再根据平行关系以及等角定理和余弦定理判断（1）再判断（2）假设成立根据直线与平面垂直的性质及判定可得矛盾来判断（3）【详解】取中点连结则平解析：（1）（2）（4） 【分析】首先取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，先判断（4）是否正确，再根据平行关系，以及等角定理和余弦定理判断（1），再判断（2），假设1DE A C ⊥成立,根据直线与平面垂直的性质及判定,可得11DA A E ⊥矛盾来判断（3）. 【详解】取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，则1//MQ DA ，//BQ DE ，∴平面//MBQ 平面1A DE ，又MB ⊂平面MBQ ，//MB ∴平面1A DE ，故（4）正确；由1A DE MQB ∠=∠，112MQ A D ==定值，QB DE ==定值， 由余弦定理可得2222cos MB MQ QB MQ QB MQB =+-⋅⋅∠ 所以MB 是定值，故（1）正确；B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，故（2）正确；145A DE ADE ∠=∠=，45CDE ∠=，且设1AD =，2AB =，则2DE CE ==，若存在某个位置,使1DE A C ⊥,则因为222DE CE CD +=,即CE DE ⊥,因为1AC CE C =,则DE ⊥平面1A CE ,所以1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾， 故（3）不正确.故答案为：（1）（2）（4） 【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面位置关系时，首先判断（4）是否正确，其他选项就迎刃而解，而判断线面平行时，可根据面面平行证明线面平行.20．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：494π【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点O ，连OC ､OD ，即可得到COD ∠是二面角C AB D --的平面角，再由勾股定理逆定理得到222OC OD CD +=，即可得到二面角是直二面角，即可得证； （2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，即可证明BC ⊥平面DOM ，从而得到ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角，再利用锐角三角函数计算可得； 【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连OC ､OD ，因为ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形， 所以OC AB ⊥，⊥OD AB ，所以COD ∠是二面角C AB D --的平面角. 在OCD 中，因为OC =1OD =，2CD =，所以222OC OD CD +=所以90COD ∠=︒. 所以平面ABC ⊥平面ABD .（2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，由（1）可知DO ⊥面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以BC DO ⊥，由OMDO O =，,OM DO ⊂面DOM所以BC ⊥平面DOM因为DM ⊂面DOM ，所以BC ⊥DM ， 则ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角.在Rt OMD 中，1OD =，2OM =，由勾股定理：DM =，∴二面角A-BC-D 的余弦值为cos OM OMD DM ∠==.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（1）22；（22；（33 【分析】（1）取BD 中点G ，连接GC ，FG ，根据线面垂直的判定定理及性质，先证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线，再由题中数据，计算出EF 的长，即可得出结果；（2）连接1ED ，由（1）得到EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，根据等体积法，由11E DBD D DBE V V --=求出d ，记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，由1sin dBD θ=即可得出结果； （3）由（2）得到1D 到平面BDE 的距离d ，根据题中条件，得到F 到平面BDE 的距离为2d，即可得出结果. 【详解】（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，取BD 中点G ，连接GC ，FG ， ∵F ，G 分别为1,BD BD 的中点，∴1//FG D D 且112FG D D =， 又1//CE D D ，112CE D D =，所以//FG CE 且FG CE =，则四边形EFGC 为平行四边形，又CE ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴CE CG ⊥，。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014，江西文，2)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝()A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)[答案] C[解析] A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}，∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}，故选C. 2．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2][答案] D[解析] 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}， B ＝{x |x ≤2}．所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减少的函数是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |[答案] C[解析] 利用偶函数定义及单调性的判断方法求解． A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 是非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减少的，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增加的．故选C.4．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b[答案] C[解析] ∵－log 30.3＝log 3103>1且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4∵log 43.6<1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∵y ＝5x为增函数，∴5 log 23.4>5log 3103>5log 43.6即5 log 23.4>(15) log 30.3>5 log 43.6，即a >c >b .5．(2013·浙江高考)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案] D[解析] 本题考查指、对运算． 2lg(xy )＝2(lg x＋lg y )＝2lg x ·2lg y .6．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确 [答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.7. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B ．12C ．2D ．4[答案] B[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝12.8．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( ) A.124 B ．112C.18 D ．38[答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫12log 23＝18×13＝124，选A.9．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．10．若f (x )＝x －2x ＋2(x ∈R )，且f (x －2x ＋2)＝－x2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0[答案] A[解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f (x －2x ＋2)＝x －2x ＋2－2x －2x ＋2＋2＝－x －63x ＋2＝－x 2.∴2(x ＋6)＝(3x ＋2)x ， 即x 2＝4，∴x ＝±2. 又x ≠－2，∴x ＝2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(2014·天津文，12)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． [答案] (－∞，0)[解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u ＝x 2，则函数u ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y ＝lg u 是增函数，∴函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间为(－∞，0)．12．方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案] x ＝log 37[解析] 原方程可化为(3x )2－6·3x －7＝0， 即(3x －7)(3x ＋1)＝0，又∵3x ＋1>0，∴3x ＝7，则原方程的解是x ＝log 37.13．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． [答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ， 则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝⎛⎭⎫13x －1.而⎝⎛⎭⎫13x －1>0，∴m ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)．14.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．[答案][解析] 设矩形的长为x ，则宽为1－4x 6，饲养场的总面积为y ，则有y ＝3x ·1－4x6＝－2x 2＋12x . 当x ＝18时，y 有最大值，此时宽为112，故每个矩形的长宽之比为时，围出的饲养场的总面积最大．15．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设A ＝{2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集． [解析] (1)∵A ∩B ＝{2}，∴8＋2a ＋2＝0,4＋6＋2a ＝0.∴a ＝－5. ∴A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝{12，2}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}． (2)U ＝{12，－5,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{－5}∪{12}＝{－5，12}．(3)(∁U A )∪(∁U B )的子集为： ∅，{－5}，{12}，{－5，12}．17．(本小题满分12分)已知：函数f (x )＝ax ＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，(1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间(0，12)上的单调性并证明．[解析] (1)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴－ax －b x ＋c ＝－ax －bx －c ，∴c ＝0. ∴f (x )＝ax ＋bx .又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x.函数f (x )在区间(0，12)上为减函数．证明如下： 任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2) ＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(2－12x 1x 2)＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，12)上为减函数．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有唯一零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．[解析] (1)∵函数f (x )在区间(－1,1)上有唯一零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，f (－1)<0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (－1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a >2，a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a >1.∴1<a <2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∵f (－1)>0，f (1)<0，f (0)＝2817>0，∴零点在(0,1)上．又f (0.5)＝0， ∴f (x )＝0的根为0.5.19．(本小题满分12分)某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比例．又当x ＝0.65元/度时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .[解析] (1)∵y 与x －0.4成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．将x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(x ≠25)(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0. 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75之间， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x ＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.20．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时的解析式为f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值．[解析] (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x ，又∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．(2)∵f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )最大值为a －1， 当2<a <4时，f (x )最大值为a 24，当a ≥4时，f (x )最大值为2a －4.21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝log 12 (x 2－mx －m .)(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． [解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12 (x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52，∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)．(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4. (3)由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3(1－3)2－m (1－3)－m >0⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。