2019届人教A版(文科数学) 复数 单元测试

一、选择题1．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 2．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 3．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 4．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ）A B C ．D ．35．若C z ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C ．55i +D ．55i - 7．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = )A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +8．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 9．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 10．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）A B C D11．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z +＝（ ） A ．32i + B ．132i + C ．332i + D ．12i + 12．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i=--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．若复数z 满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 14．已知复数2i -（i 为虚数单位）是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则b c +=_____.15．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．16．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________.17．化简：202020191z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.18．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.19．复数3(2) i (,)z x y x y =++-∈R ，且||2z =，则点(,)x y 的轨迹是_____________．20．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________；（2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．三、解答题21．化简下列复数（1）()()6532i i -++（2）()()()56234i i i -+---+22．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数121m i z i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 24．（1）求复数2320191i i i i z i++++=+的值. （2）复数()213105z a i a =+-+，()22251z a i a=+--，若12z z +是在复平面内对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围. 25．设复数z ：满足432243z i z i +--=-+-，求z 的最大值和最小值． 26．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.2．B解析：B【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 4．A解析：A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+， ∴z ==故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题. 5．B解析：B【分析】由复数的模的几何意义，可得z 在复平面的轨迹是以()2,2-为圆心，以1为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果.【详解】设i z x y =+(),x y ∈R ，则()22i 22i 1z x y +-=++-=，所以()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()22i 22i z x y --=-+-=，表示点(),x y 和()2,2之间的距离， 故()min 22i 22413z r --=---=-=.故选：B.【点睛】本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 6．A解析：A【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.7．C解析：C【解析】【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题9．B 解析：B【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B. 10．A解析：A【分析】 首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】由题意可得：2211i z i i i i i +=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．B解析：B【分析】由复数1z i =+，得到1z i =-，进而得到121z i z i++=-，根据复数的除法运算法则，即可求解.【详解】由题意，复数1z i =+，可得1z i =-，则()()()()2112131112i i z i i z i i i +++++===--+. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 12．A解析：A【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可.【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+， z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±， 所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题. 14．1【分析】的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根利用一元二次方程的根与系数的关系求【详解】解:因为是实系数一元二次方程的一个根所以是实系数一元二次方程的一个根所以因此故答案为：1【点睛】本题考查了一 解析：1【分析】2i -的共轭复数2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求b 、c .【详解】解:因为2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，所以2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，所以[(2)(2)]4b i i =--++=-，(2)(2)5c i i =-⋅+=，因此451b c +=-+=.故答案为：1.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=， 所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，6.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .16．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为：解析：0 【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和22化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及82的值，然后得出88112i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()842284881111101122i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．17．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 12i 1i ⎡⎤-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 18．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题解析：2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.19．以为圆心2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件化简即得轨迹【详解】解：∵∴即点的轨迹是以为圆心2为半径的圆故答案为：以为圆心2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含 解析：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，化简即得轨迹.【详解】解：∵||2z =，∴22(3)(2)4x y ++-=，即点(,)x y 的轨迹是以(3,2)-为圆心，2为半径的圆．故答案为：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含义，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <， 所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）93i -；（2）11i -.【分析】利用复数的加减运算法则求解.【详解】（1）()()6532i i -++，()()6325i =++-，93i =-.（2）()()()56234i i i -+---+，()()523614i =--+---，11i =-.【点睛】本题主要考查复数的加减，相等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）122z i =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩122z ∴=-± （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211111211111a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．23．（1）1z =2）13a > 【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.（1）13251122i z i i -+==---，∴12z =； （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．24．（1）1122z i =-+；（2）()1,3 【分析】（1）根据4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=得414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，进而得2311122i i i z i i ++==-++； （2）由题得()()()2121321551a z z a a i a a -+=++-+-，再结合题意，根据复数的几何意义得()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：（1）由于4142434,1,,1n n n n ii i i i i +++==-=-=， 所以414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，而201945043=⨯+， 所以()232019231111111222i i i i i i i i z i i i i --++++++-=====-++++； （2）()()()()22123232102510255151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=+-++-=++-+- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭()()()21321551a a a i a a -=++-+-， 因为12z z +在复平面内对应的点在第三象限，所以()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组得：13a <<. 故实数a 的取值范围是()1,3【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，考查运算能力，是中档题.25．最大值7；最小值3．【分析】先根据绝对值定义得不等式，再根据绝对值三角不等式求最值.【详解】由已知等式得()4320z i --+-≤()|||43|4322||523||7z i z i z z ∴--+≤--+≤∴-≤-≤∴≤≤ 所以z 最大值为7； z 最小值为3．【点睛】本题考查复数模、绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.26．1【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1211k k ⇒==．所以1k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.。

第十六章数系的扩充与复数的引入考点1复数的有关概念1.下列命题中: (1)在复数集中,任意两个复数都不能比较大小; (2)若z=m+n i(m,n∈C),则当且仅当m=0,n≠0时,z为纯虚数; (3)若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3; (4)x+y i=1+i⇔x=y=1; (5)若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.复数z=2,则() -1+iA.z的共轭复数为1+iB.z的实部为1C.|z|=2D.z的虚部为-13.[2018惠州市高三一调]已知a是实数,a-i是纯虚数,则a=()1+iA.1B.-1C.D.-4.[2018石家庄市重点高中摸底考试]已知i是虚数单位,则|2i|=()1+iA.1B.2C.2D.5.[2018成都市高三摸底测试]复数z=-i(1+2i)的共轭复数为()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于() 6.[2018辽宁省五校联考]复数z=2-i1-2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(i是虚数单位),试求实数m取何值时:(1)z是纯虚数;(2)z是实数;(3)z对应的点位于复平面的第二象限.考点2复数的四则运算8.已知实数a ,b 满足(a+i)(1-i)=3+b i(i 为虚数单位),记 z=a+b i,z 的虚部为Im(z ),z −是z 的共轭复数,则 z−Im (z )=( )A.-2-iB.-1+2iC.2+iD.-1-2i9.[2018合肥市高三调研检测]已知i 是虚数单位,则2i1-i=( )A.-1+iB.1+iC.1-iD.-1-i10.[2017长春市高三第四次质量监测]i 为虚数单位,则i+i 2+i 3+i 4= ( )A.0B.iC.2iD.-111.设复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z 1=2-i,则z 1·z 2= ( )A .-4+3iB .4+3iC .-3-4iD .-3+4i 12.已知复数z=1+ 3i,则z 2z -2= ( )A.2B.-2C.2iD.-2i13.[2013安徽,1,5分][理]设i 是虚数单位,z −是复数z 的共轭复数.若z ·z −i +2=2z ,则z= ( )A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i答案1.A (1)当两个复数都是实数时,可以比较大小,故(1)错误;(2)若m=0,n=i,则z=0+i 2=-1∈R,故(2)错误;(3)当z 1=1,z 2=0,z 3=i 时满足条件,而结论不成立,故(3)错误;(4)只有当x ,y ∈R 时命题才正确,故(4)错误;(5)若a=0,则0·i =0不是纯虚数,故(5)错误.故选A .2.D 因为z=2-1+i =2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-1-i,所以复数z 的实部和虚部均为-1,z =-1+i,|z|= 2,故选D . 3.A 设a -i1+i =b i(b 是实数且b ≠0),则a-i =(1+i)b i =-b+b i,所以 a =-b ,b =-1,解得a=1.故选A . 4.D 解法一 |2i1+i|=|2i (1-i )2|=|1+i|= 2,故选D.解法二 |2i1+i |=|(1+i )21+i|=|1+i|= 2 ,故选D.解法三 |2i1+i |=|2i ||1+i |=2= 2,故选D.5.A ∵z=-i(1+2i)=-i-2i 2=2-i,∴z =2+i,故选A .6.A ∵z=2-i1-2i =(2-i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=45+35i,∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(45,35),位于第一象限.故选A .7.(1)由题意可得lg (m 2-2m -2)=0,m 2+3m +2≠0,解得m=3. (2)由题意可得 m 2+3m +2=0,m 2-2m -2>0,解得m=-1或m=-2.(3)由题意可得 lg (m 2-2m -2)<0,m 2+3m +2>0,即 m 2-2m -2>0,m 2-2m -2<1,m 2+3m +2>0,解得-1<m<1- 3或1+ 3<m<3. 8.A 由(a+i)(1-i)=3+b i,得a+1+(1-a )i =3+b i,则 a +1=3,1-a =b , 解得 a =2,b =-1,所以z=2-i,则z Im (z )=2+i -1=-2-i .9.A2i1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-1+i,故选 A. 10.A 由i 2=-1可知,原式=i-1-i+1=0.故选A .11.D 因为复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z 1=2-i,所以z 2=-2-i,z 2=-2+i,z 1·z 2=(2-i)·(-2+i)=-3+4i,故选D . 12.Az 2z -2= 3i 21+3i -2= 3i=2,故选A .13.A 设z=a+b i(a ,b ∈R),则z =a-b i .因为z ·z i +2=2z ,所以(a 2+b 2)i +2=2a+2b i,所以a=1,b=1,所以z=1+i .故选A .。

高一数学（必修二）第五章 复数 单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 3i z z -=+，则复数z 的实部为( )A.1B.3C.-1D.-32.在复平面内，复数11i 5z =，24i 25z =-，12z z z =+，则复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知复数z 满足4i 63i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当12m <<时，复数()()2i 4i m +-+在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知复数z 满足()()()293i z a a a =-++∈R ，若z 为纯虚数，则a =( )A.-3B.3±C.3D.06.若,a b ∈R ，i 是虚数单位，i 20212i a b +=-，则2i a b +等于( )A.20212i +B.20214i +C.22021i +D.42021i -7.已知纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( )A.1B.3C.1或3D.08.已知复数z 满足，则z =( )A.3i --B.3i -+C.D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

）9.若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则( ) A.||5z =B.复数z 的实部是2C.复数z 的虚部是1D.复数在复平面内对应的点位于第一象限10.设m ∈R ，复数，则z 在复平面内对应的点可能在( ) ()()21i 4i 3z m m =+-++(3i)10z -=3i -3i +z 2352(1)i z m m m =-++-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.对于复数(,)z a bi a b R =+∈,下列结论错误的是( )A.若,则a bi +为纯虚数B.若32a bi i -=+,则 3,2a b ==C.若0b =,则a bi +为实数D.纯虚数z 的共轭复数是z - 12.复数z 满足23i 3i 232iz -⋅-=+,则下列说法正确的是( ) A.z 的实部为3 B.z 的虚部为2 C.32i z =-+ D.13z =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=______.14.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________.15.复数1i -的虚部的平方是_________________. 16.已知3i 1ia ++(i 为虚数单位，∈R )为纯虚数，则a =____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知复数(3)(3)i z m m m =-+-，其中i 为虚数单位.若z 满足下列条件，求实数m 的值：（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上.18. （12分）已知复数13i 22z =-+，i 为虚数单位. （1）求3z 的值；（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值. 19. （12分）已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；20. （12分）复数名12334i,0,(26)i z z z c c =+==+-在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若BAC∠是钝角，求实数c 的取值范围.21. （12分）已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-⋂=，求实数a 的值.22. （12分）设实部为正数的复数z ，满足||10z =，且复数(12i)z +在复平面内对应的点在第0a =一、三象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若i ()1im z m -+∈+R 为纯虚数，求实数m 的值.参考答案及解析1.答案：A解析：解法一 设复数i z x y =+，x ，y ∈R ，因为i 3i z z -=+，所以i (i)i 3i x y x y +-+=+，即()i 3i x y y x ++-=+，根据复数相等的充要条件，可得3,1,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=⎩故复数z 的实部为1，选A.解法二 因为i 3i z z -=+，所以3i (3i)(1i)12i 1i (1i)(1i)z +++===+--+，复数z 的实部为1，故选A. 2.答案：B 解析：因为1214i i 22i 55z z z =+=+-=-+，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限，故选：B.3.答案：D解析：依题意得，6i z =-，对应复平面的点是(6,1)-，在第四象限. 故选：D.4.答案：B解析：()()2i 4i (24)(1)i z m m m +--+-=+=，若12m <<，则240m -<，10m ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.解析：因为()()()293i z a a a =-++∈R 为纯虚数，所以290a -=且30a +≠，所以3a =. 故选：C.6.答案：D解析：因为i 20212i a b +=-，所以2a =，2021b -=，即2a =，2021b =-，所以2i 42021i a b +=-.故选：D.7.答案：B解析：因为()()21i 4i 3z m m =+-++为纯虚数，故()224i 3m m m z m -++-=，则224300m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得3m =. 故选：B.8.答案：D 解析：1010(3i)3i 3i (3i)(3i)z +===+--+. 故选：D.9.答案：ABD解析：(1i)3i z +=+，3i (3i)(1i)42i 2i 1i (1i)(1i)2z ++--∴====-++-，||5z ∴=A 正确；复数z 的实部是2，故选项B 正确；复数z 的虚部是-1，故选项C 错误；复数2i z =+在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选项D 正确.故选ABD.10.答案：ABD解析：由题意得，复数z 在复平面内对应的点为()2352,1m m m -+-. 当10m ->，即1m <时，二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--的取值有正有负，故z 在复平面内对应的点可以在第一、二象限.当10m -<，即1m >时，二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->，故z 在复平面内对应的点可以在第四象限.故z 在复平面内对应的点一定不在第三象限.故选ABD.解析：解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB.12.答案：BD 解析：由23i 3i 232iz -⋅-=+得,(23i)(32i)13i 13i (23i)i(23i)32i 23i 23i (23i)(23i)z ++⋅+====+=-+---+ 所以z 的实部为-3,虚部为2,,13z =,故选BD.13.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.14.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.15.答案：1解析：复数1i -的虚部为-1，则其平方为1. 故答案为：1.16.答案：-3 解析：()()()()()()3i 1i 33i 33i 3i 1i 1i 1i 222a a a a a a +⋅-++--++===+++⋅- 因为复数为纯虚数，所以302a +=，3a =-. 故答案为：-3.17.答案：（1）（2）0m =（3）1m =或3m = 32i z =--3m =解析：（1）z 为实数，30m ∴-=，解得：3m =；（2）z 为纯虚数，(3)0030m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上， ∴()331m m m m -=-⇒=或3m =.18、（1）答案：31z = 解析：复数13i 22z =-+(i 为虚数单位)， 222113313()2()i (i)i 222222z ∴=-+⨯-⨯+=--， 322131313i)(i)i 12222(44z z z ∴=---+==-=⋅， （2）答案：1解析：202022013673911()111z z z z z z z z++++--⋅==-- 111z z-==- 19.答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得1 2212m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠≠⎩或且， 12m ∴=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数； 20.答案：49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且 解析：在复平面内三点坐标为(3,4),(0,0),(,26)A B C c c -， 由BAC ∠为钝角得cos 0BAC ∠<，且A ，B ，C 不共线.(3,4),(3,210),0AB AC c c AB AC =--=--⋅<，且不共线，得c 的取值范围是49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且. 21.答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=∈R ，所以22313,560,a a a a ⎧--=⎨--=⎩即 所以1a =-.22.答案：（1）（2）5m =-解析：（1）设，a ，b ∈R ，0a >， 由题意知，2210a b +=.①(12i)(12i)(i)2(2)i z a b a b a b +=++=-++， 得22a b a b -=+.②①②联立，解得3a =，1b =-， 得3i z =-.（2）， 所以1302m -+=且， 解得5m =-. 4 1,6 1,a a a a ==-⎧⎨==-⎩或或3i z =-i z a b =+i (i)(1i)113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭1102m +-≠。

1．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅ B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}【答案】C 【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C ．2．（2018新课标全国Ⅰ文 ）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = A ．{}02， B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 【答案】A【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.3．（2018新课标全国Ⅲ文 ）已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2}【答案】C【解析】易得集合{|1}A x x =≥,所以{}1,2A B = ，故选C.4．（2018天津文 ）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C = A ．{1,1}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}- D ．{2,3,4} 【答案】C【解析】由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.故选C.【名师点睛】本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力. 5．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非， ⇒与非⇒非， ⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 6．（2018天津文 ）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．（2018北京文 ）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.8．（2017新课标全国Ⅰ文 ）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=< ，选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．9．（2017新课标全国Ⅱ文 ）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A【解析】由题意{1,2,3,4}A B = ，故选A. 【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 10．（2017北京文 ）已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ðA ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】C【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22U A x x =-≤≤ð，故选C.【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.11．（2017北京文 ）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A12．（2016四川文 ）设p :实数x ，y 满足1x >且1y >，q : 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件，选A.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论． 13．已知集合{}|00{},1x x ax +==，则实数a 的值为A ．−1B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意，1+a =0，∴a =−1，本题选择A 选项. 14．已知集合,,则()P Q =R ð A ． B ． C ．D ．【答案】C【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到． 15．设命题p :1,ln x x x ∀>>,则p ⌝为A ．0001,ln x x x ∃>>B ．0001,ln x x x ∃≤≤C ．0001,ln x x x ∃>≤D ．1,ln x x x ∀>≤【答案】C【解析】命题p :1,ln x x x ∀>>，则p ⌝为0001,ln x x x ∃>≤.故选C ． 16．“若12a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是 A ．0x ∃<，有()0f x <成立，则12a <B ．0x ∃<，有()0f x ≥成立，则12a <C ．0x ∀≥，有()0f x <成立，则12a <D ．0x ∃≥，有()0f x <成立，则12a <【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若12a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是“0x ∃≥，有()0f x <成立，则12a <”.本题选择D 选项.17．已知集合(){,|1,01}A x y y x x ==+≤≤，集合(){,|2,010}B x y y x x ==≤≤，则集合A B =A ．{}1,2B ．{}1,2x y ==C ．(){}1,2D ．{}1,2x x ==【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B＝(){}1,2，故选C ． 18．已知集合，，若，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知：，结合集合B 和题意可得实数的取值范围是.本题选择A 选项.19．“1m >”是“函数()3x mf x +=-在区间[)1,+∞无零点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数()3x m f x +=-在区间[)1,+∞无零点，则1313122m m m +>⇒+>⇒>，故选A ． 20．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使A ．=-a bB ．∥a bC ．2=a bD ．∥a b 且【答案】C21．已知命题p :对任意x ∈R ,总有20;:1xq x >>是2x >的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧【答案】A【解析】p :对任意x ∈R ,总有20x>,由指数函数的图象知,这是真命题;:1q x >是2x >的充分不必要条件,这是假命题. q ∴⌝为真命题,p q ∧⌝是真命题.本题选择A 选项.22．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>.23．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是A ．()()p q ⌝∨⌝为真命题B ．()p q ∨⌝为真命题C ．()()p q ⌝∧⌝为真命题D ．p q ∨为真命题【答案】A【解析】 命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题p ⌝是“第一次射击没击中目标”，命题q ⌝是“第二次射击没击中目标”，∴命题 “两次射击中至少有一次没有击中目标”是()()p q ⌝∨⌝，故选A ．24．（2018北京）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一） 【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.25．已知集合{}1,2,21A m =--，集合{}22,B m=，若B A ⊆，则实数m =________．【答案】1【解析】由题意得2211m m m =-⇒=,验证满足.【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.26．若命题“2000,20x x x m ∃∈-+≤R ”是假命题，则m 的取值范围是__________．【答案】()1,+∞【解析】因为命题“2000,20x x x m ∃∈-+≤R ”是假命题，所以2,20x x x m ∀∈-+>R 为真命题，即440,1m m ∆=-<>，故答案为()1,+∞.27．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],0-∞28．下列有关命题的说法一定正确的是________.（填序号）①命题“x ∀∈R ， sin 1x ≥”的否定是“0x ∃∈R ， 0sin 1x ≤” ②若向量∥a b ，则存在唯一的实数λ使得λ=a b③若函数()f x 在R 上可导，则()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件 ④若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题 【答案】③【解析】 命题“x ∀∈R ， sin 1x ≥”的否定是“0x ∃∈R ， 0sin 1x <”.故①错； 若向量∥a b ，则存在唯一的实数λ使得λ=a b ，当=0b 时，λ不唯一；②错； 若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”不一定为真命题，④错. 故填③．29．命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x <∈R 恒成立.若p 的逆命题， q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[)0,1。

第4节 数系的扩充与复数的引入基础巩固题组一、选择题1．(2018·金华十校模拟)已知i 为虚数单位，则|3＋2i|＝( ) A. 5 B.7 C.13D ．3解析 |3＋2i|＝32＋22＝13.答案 C2．(2017·全国Ⅰ卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析 由(1＋i)2＝2i 为纯虚数知选C. 答案 C3．(2017·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数 ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 由题意： ＝－1－2i ，其在复平面内所对应的点位于第三象限． 答案 C4．(2017·山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若 ＝a ＋3i ， ·z －＝4，则a ＝( )A ．1或－1 B.7或－7C ．－ 3D. 3解析 由已知得(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，解得a ＝±1. 答案 A5．(2018·杭州模拟)设 ＝i 1－i(i 为虚数单位)，则1|z |＝( ) A.22B. 2C.12 D ．2解析复数＝i（1＋i）2＝－12＋12i，则||＝22，1|z|＝ 2.答案 B6．已知复数＝1＋2i2－i(i为虚数单位)，则的虚部为()A．－1 B．0 C．1 D．i解析∵＝1＋2i2－i＝（1＋2i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝5i5＝i，故虚部为1.答案 C7．已知复数满足(－1)i＝1＋i，则等于()A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i解析由(－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有－1＝1－i，所以＝2－i. 答案 C8．(2018·浙江三市联考)若复数＝a＋3ii＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A．－4 B．－3 C．1 D．2解析因为＝a＋3ii＋a＝(3＋a)－a i在复平面上对应的点在第二象限，所以a<－3，选A.答案 A9．设是复数，则下列命题中的假命题是()A．若2≥0，则是实数B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜0解析举反例说明，若＝i，则2＝－1＜0，故选C.答案 C10．(2017·北京东城综合测试)若复数(m2－m)＋m i为纯虚数，则实数m的值为()A．－1 B．0 C．1 D．2解析 因为复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m ≠0，解得m ＝1，故选C.答案 C11．(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B. 2C. 3D ．2解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B. 答案 B12．设 1， 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若| 1－ 2|＝0，则z －1＝z －2B ．若 1＝z －2，则z －1＝ 2C ．若| 1|＝| 2|，则 1·z －1＝ 2·z －2D ．若| 1|＝| 2|，则 21＝ 22解析 A 中，| 1－ 2|＝0，则 1＝ 2，故z －1＝z －2，成立．B 中， 1＝z －2，则z －1＝ 2成立．C 中，| 1|＝| 2|，则| 1|2＝| 2|2，即 1·z －1＝ 2·z －2，C 正确．D 不一定成立，如1＝1＋3i ， 2＝2，则| 1|＝2＝| 2|，但 21＝－2＋23i ， 22＝4， 21≠ 22.答案 D 二、填空题13．设i 是虚数单位，则复数i －1i ＝________． 解析 i －1i ＝i －ii 2＝2i. 答案 2i14．(2017·江苏卷)已知复数 ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则 的模是________．解析 ＝(1＋i)(1＋2i)＝－1＋3i ，所以| |＝（－1）2＋32＝10.答案 1015．(2017·浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________． 解析 由已知(a ＋b i)2＝3＋4i. 即a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i.从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案 5 216．(2018·宁波质测)若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＝________；b ＝________． 解析3＋b i1－i＝（3＋b i ）（1＋i ）2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i.∴⎩⎨⎧a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.答案 0 3能力提升题组17．设 ＝11＋i＋i ，则| |＝( ) A.12B.22C.32D ．2解析 ∵ ＝11＋i ＋i ＝1－i（1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴| |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，故选B.答案 B18．(一题多解)(2018·金丽衢十二校二联)设 是复数，| －i|≤2(i 是虚数单位)，则| |的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析 法一 | －i|≤2表示复数 在复平面上的对应的点在以(0，1)为圆心，半径为2的圆内(含边界)，而| |表示此圆内(含边界)到原点的距离，其最大值为1＋2＝3.法二 因为2≥| －i|≥| |－|i|＝| |－1，即| |≤3. 答案 C19．(一题多解)z －是 的共轭复数，若 ＋z －＝2，( －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则 等于( ) A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋ID ．1－i解析 法一 设 ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z －＝a －b i. ∵ ＋z －＝2a ＝2，∴a ＝1.又( －z －)i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故 ＝1－i.法二 ∵( －z －)i ＝2，∴ －z －＝2i ＝－2i.又 ＋z －＝2，∴( －z －)＋( ＋z －)＝－2i ＋2， ∴2 ＝－2i ＋2，∴ ＝1－i. 答案 D20．(2018·温州月考)已知复数 ＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“ 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( ) A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析 因为 ＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i ，所以当θ＝3π4时， ＝－2i 为纯虚数，当 为纯虚数时，θ＝ π－π4( ∈ )．故选C. 答案 C21．若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1，故选C. 答案 C22．(2018·杭州月考)i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( ) A ．－2B ．－1C ．0D.12解析 ∵（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0.答案 C23．若复数 满足i· ＝－12(1＋i)，则 的共轭复数的虚部是( )A ．－12i B.12I C ．－12 D.12解析 i· ＝－12(1＋i)⇒ ＝－12（1＋i ）i ＝－12（1＋i ）·ii·i ＝12(－1＋i)，则 的共轭复数z －＝12(－1－i)，其虚部是－12. 答案 C24．下面是关于复数 ＝2－1＋i的四个命题： p 1：| |＝2; p 2： 2＝2i ；p 3： 的共轭复数为1＋i; p 4： 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析 ∵ ＝2－1＋i＝－1－i ，∴| |＝（－1）2＋（－1）2＝2，∴p 1是假命题；∵ 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题；∵z －＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵ 的虚部为－1，∴p 4是真命题．其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 答案 C25．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．解析 ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 26．(2018·绍兴一中适应性考试)设 ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，若(1＋i)2＋|2i|＝z －，则直线bx －ay ＋a ＝0的斜率为__________．解析 由于z －＝(1＋i)2＋|2i|＝2i ＋2，则 ＝2－2i ，可得a ＝2，b ＝－2，即直线的方程为－2x －2y ＋2＝0，亦即y ＝－x ＋1，故斜率 ＝－1. 答案 －127．(2018·宁波月考)已知复数 ＝x ＋y i ，且| －2|＝3，则yx 的最大值为________；最小值为________． 解析 ∵| －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝－ 3. 答案3 － 3解析 因为x ＝1－i1＋i＝（1－i ）22＝－i.答案 －2。

2019届人教A版（文科数学）算法单元测试1．【2018年文数全国卷II】为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.2. 【2018年文数北京】执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A ）12 （B ）56 （C ）76 （D ）712【命题立意】本题考查循环结构的程序框图,为容易题.【答案】B【举一反三】高考对循环结构的程序框图的考查注意有以下三种方式： ①已知程序框图,求输出的结果,可按程序框图的流程依次执行,最后得出结果．②完善程序框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．③对于辨析程序框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断．3. 【2018年文数天津】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，文解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．2017年高考全景展示1.【2017课标3，文7】执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5 B．4 C．3 D．2【解析】【考点】流程图【名师点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处文框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.a=-，则输出的S=（）2.【2017课标II，文8】执行右面的程序框图，如果输入的1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B试题分析：阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-== 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-== ；【考点】 流程图【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构。

第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ） A ．i B ．1 C ．2 D ．2i【答案】B 【分析】化简复数2i z =+即得解. 【详解】解：由题得()i i 122i z =-=+， 所以复数的虚部为1. 故选：B2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出55z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】 221i 22|2i |2(1)5i i +=+=-=+-=，55(1i)55z +=== 则复数z 在复平面内所对应的点坐标为55⎝⎭，在第一象限.故选：A3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11i z+-是实数，则z =（ ）A ．－iB ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i -- D ．32i +【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C.6．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ） A ．||||||ab a b = B ．10a a+≠ C ．()20a b +≥D ．22a a =【答案】A 【分析】对于选项A ：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B ：计算1a a+，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD ：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等. 【详解】不妨令11i a x y =+，22i b x y =+，选项A ：112212121221(i)(i)()i ab x y x y x x y y x y x y =++=-++，从而222222121212211122||()()||||ab x x y y x y x y x y x y a b =-++++，故A 正确； 选项B ：111111222211111111i ()i i x y a x y x y a x y x y x y +=++=++-+++， 当10x =，11y =时，10a a+=，故B 错误； 因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD 错误. 故选：A7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】21i 12i i i 1i 2+++==-，且i 的乘方运算是以4为周期的运算 所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭，所以复数z 所对应的点()1,1-，在第二象限. 故选：B8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ） A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为2 【答案】CD 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数z ，然后逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 5z -=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+， 所以145z +A 错误； 复数z 的共轭复数为12i z =-，故B 错误；复数z 在复平面表示的点的坐标为()1,2，位于第一象限，故C 正确； 复数z 的虚部为2，故D 正确. 故选：CD.11．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z= D ．2021132z = 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可． 【详解】解：因为132z =-，所以132z =-，对于A ： 2131313i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确； 对于B ：22201131313133i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭ ⎪ ⎪，故B 正确； 对于C ：2131132213213i i44z -===---+，2221313313i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭， 所以21z z=，即选项C 正确；对于D ：132z =-+，2132z -=，2231313131222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，4z z =，所以20212132z z -==，故D 错误．故选：ABC ．12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限 B ．i 2e π为纯虚数C i 3ix +12D ．i 6e π的共轭复数为132-【答案】ABC【分析】利用欧拉公式把选项A ，B ，D 化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C 的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A ，2i cos 2isin 2e =+，因22ππ<<，即cos20,sin20<>，复数2i e 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i2cos isini 22e πππ=+=，i 2e π为纯虚数，B 正确；对于C i (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos 3i 3i(3i)(3i)x x x x x x x+-+-+++-，于是得i 223cos sin 3sin cos 1()()4423ix x x x x +-++，C 正确； 对于D ，6i31cos isini 662e πππ=+=31i 2，D 不正确. 故选：ABC三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答. 【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-，由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =，所以m 的值是52.故答案为：5214．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号） 【答案】（2）（3） 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案. 【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误.设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()()()2212i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⋅=-++=-++22222222a c b d a d b c =+++22222222222212z z a b c d a c b d a d b c ⋅+++++2）正确.222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可) 【答案】(23,33)-(答案不唯一) 【分析】首先设出C 的坐标，然后分别写出AB →，AC →，利用向量的旋转公式即可求解. 【详解】不妨设C 的坐标为00(,)x y ，且AC →是AB →逆时针旋转60得到， 因为A (1，2)，B (3，4)，所以(2,2)AB →=，00(1,2)AC x y →=--， 从而AB →对应的复数为22i z =+，AC →对应的复数为'(22i)(cos 60isin 60)13(13)i z =++=-，所以00(1,2)(13,13)AC x y →=--=+，解得023x =033y = 故C 的坐标是(23,33). 故答案为：(23,33).16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________． 【答案】4 【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆， 又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离， 所以62i z --的最小值为()()22163221514PC -=-++=-=．故答案为：4．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】 （1）3i z =-（2）(0,9)【分析】 （1）先将i z b =代入31iz +-化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ， （2）先对2()8m z m --化简，再由题意可得2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩从而可求得结果 （1） 因为i z b =，所以33i (3i)(1i)3(3)i 1i 1i 22z b b b b ++++-++===--， 因为31iz +-是实数，所以30b +=，解得3b =-. 故3i z =-.（2）因为3i z =-，所以()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+.因为复数2()8m z m --所表示的点在第二象限，所以2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩解得09m <<，即实数m 的取值范围是(0,9).18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．【答案】π4，5π4，0，3π2 【分析】计算12r =11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩结合102πθ≤<，得到辐角主值，同理可得其他答案． 【详解】设这4个复数的模分别为1r ，2r ，3r ，4r ，辐角主值分别为1θ，2θ，3θ，4θ．因为221112r =+11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又102πθ≤<，故1π4θ=． 同理，可以求得：5π5π1i 2cos isin 44⎫--=+⎪⎭， )22cos0isin 0+，3π3π2i 2cos isin 22⎫-=+⎪⎭， 故4个复数的辐角主值分别为π4，5π4，0，3π2． 19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-.（1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .【答案】（1）12i -（2）5【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a ，再根据复数模的计算公式即可求出．（1）213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-． （2）因为2(3)3i z z a +=++为纯虚数，∴30a +=，∴3a =-.即34i z =-+，22||(3)45z =-+=．20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.【答案】（1）28(22i)(22i)x x x +=+-（2）223(12i)(12i)x x x x -+=--- （3）212123213((x x x x -+-+=） 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. （1）2228=8i (2i)(2i)x x x x +-=+- （2）()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-- （3）∵ 22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--( ∴ 212123213[()33x x x x -+=-- ∴ 212123213((x x x x -+-+=） 21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模． 【答案】（1）2,5p q =-=（258【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得25i z =-+，故37i 1i 2z +=+，再求模即可. （1）解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根， 所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=（2）解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +9495844+= 22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．【答案】（1）17arg 4z π=，122z = （2）221【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解． （2）z 设为三角形式，和复数1z 的代数形式，共同代入1z z -，化简后可求最大值． （1）解：()31i 1i 22i z =-=-，将1z 化为三角形式，得1772cos isin 44z ππ⎫⎪=⎭+， ∴17arg 4z π=，122z = （2） 解：由于复数z 满足1z =，设cos isin z αα=+，则()()1cos 2sin 2i z z αα-=-++， ()()2221cos 2sin 2924z z πααα⎛⎫-=-++=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，21z z -取得最大值942+ 所以1z z -的最大值为221．。