2019-2020学年高二数学双测AB卷5.1 复数单元测试(A卷基础篇解析版)

班级 姓名 学号 分数高二上学期数学期末测试卷（A 卷·夯实基础）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．过两点()()5,,3,1A y B -的直线的倾斜角是135°，则y 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】D 【详解】因为斜率tan1351k ︒==-，所以1153y k +==--，得3y =-. 故选：D.2．40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A50y ++= B．40x += C．50x += D．0x +=【答案】C 【详解】40y --=，令0x =，解得4y =-， 设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ， 则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则11102b =--=，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D ，BD k ==直线BD：)15y x -=-，即50x =。

故选：C3．已知异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==，则,a b 夹角的大小是（ ） A ．56πB ．34π C ．3π D ．6π【答案】C 【详解】异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==∴21132371cos ,1424m n m n m n⨯+⨯-+⨯-⋅-====-， 异面直线,a b 所成角为范围为02πθ<≤，,a b ∴夹角的大小是3π故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为（ ） A ．15 B ．16C ．49D ．64【答案】A 【详解】878644915a S S =-=-= 故选：A5．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【详解】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.6．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ． 【答案】C 【详解】由题意可知1CC ⊥平面ABC ，且90BCA ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,0,2N 、()1,1,2M ，()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，30cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅<>===⨯⋅故BM 与NA 30故选：C.7．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，N (2，2)，则MF MN +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A 【详解】因为抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F (1，0)，准线为1x =-， 根据抛物线定义可知MF =1M x +，所以当MN 垂直抛物线准线时，MF MN +最小， 最小值为：13N x +=. 故选：A .8．已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为34，点P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2=π2，且F 1PF 2内切圆的半径为1，则C 的方程为（ ） A ．22167x y +=1B ．223214x y +=1C ．24x +y 2=1D ．22447x y +=1【答案】A 【详解】易知F 1PF 2中，内切圆半径r =1212-2PF PF F F +=a -c =1，又离心率为34c a =，解得a =4，c =3，所以椭圆C 的方程为22167x y +=1. 故选：A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，316a =，512a =，则（ ） A ．2d =- B ．124a =C ．2628a a +=D ．n S 取得最大值时，11n =【答案】AC 【详解】解法一：由题可得11216,412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩故选项A 正确，选项B 错误；易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，则26181028a a +=+=，选项C 正确.因为1020a =>，110a =，1220a =-<，所以当10n =或11时，n S 取得最大值（技巧：由0d <得数列{}n a 递减，进而判断n S 最大时的临界项） 选项D 错误. 故选：AC解法二：对于A ：易知53212164d a a =-=-=-，所以2d =-，选项A 正确；对于B ：()132162220a a d =-=-⨯-=，选项B 错误； 对于C ：263528a a a a +=+=，选项C 正确；对于D ：易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，1020a =>，110a =，1220a =-<（技巧：由0d <得数列递减，进而判断n S 最大时的临界项）所以当10n =或11时，n S 取得最大值，所以选项D 错误. 故选：AC10．已知直线:440l kx y k -+-=与圆22:4440M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切C ．当1k =时，直线l 被圆M 截得的弦最长D ．圆心M 到直线l的距离的最大值为【答案】BCD【详解】22:4440M x y x y +--+=，即()()22224x y -+-=，是以()2,2为圆心，以2为半径的圆，A.因为直线:440l kx y k -+-=，直线l 过()4,4，2244444440+-⨯-⨯+>，则()4,4在圆外，所以直线l 与圆M 不一定相交，故A 错误；B.若0k =，则直线:4l y =，直线l 与圆M 相切，故B 正确；C.当1k =时，直线l 的方程为0x y -=，过圆M 的圆心，即直线l 是直径所在直线，故C 正确；D.由圆的性质可知当直线l 与过点()4,4的直径垂直时，圆心M 到直线l 的距离的最大，此时=故D 正确，故选：BCD.11．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到x 轴的距离为4 B ．12523PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．1260F PF ∠=︒【答案】AC 【详解】由双曲线的方程可得4a =，3b =，则5c =，由12PF F △的面积为20，得112102022P P c y y ⨯⨯=⨯⨯=，解得4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 选项正确； 将4P y =代入双曲线方程可得203P x =，根据双曲线的对称性可设20,43P ⎛⎫⎪⎝⎭，则2133PF =，由双曲线的定义知1228PF PF a -==，则11337833PF =+=， 则12133750333PF PF +=+=，故B 选项错误； 在12PF F △中，12371321033PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则12PF F △为钝角三角形，故C 选项正确；()2222121212121212122100cos 22PF PF PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF -+-+-∠==13376410021891331133713372233-+⨯⨯⨯==-≠⨯⨯⨯， 则1260F PF ∠=︒错误， 故选：AC.12．已知函数()2ln f x x x =，下列说法正确的是（ ）A ．当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <B ．函数()f x的减区间为(，增区间为)+∞C ．函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1f x x ≥-恒成立 【答案】ACD 【详解】对于选项A ，当01x <<时，ln 0x <；当1x >时，ln 0x >，故选项A 正确； 对于选项B ，2ln 2ln 1fxx x x x x ，令()0f x '>可得2ln 10x ，有x >知函数()f x 的减区间为⎛⎝，增区间为⎫+∞⎪⎭，故选项B 错误；对于选项C ，由上可知()min 11e 2e f x f ===-，x →+∞时，()f x →+∞，故选项C 正确；对于选项D ，()22111ln 10ln 0f x x x x x x x x ≥-⇔-+≥⇔-+≥，令()211ln g x x x x=-+，有()()()22333121212x x x x x g x x x x x '-++--===+，令()0g x '>可得1x >，故函数()g x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1，可得()()min 10g x g ==，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．与直线3250x y -+=的斜率相等，且过点()4,3-的直线方程为_________ 【答案】392y x =+【详解】直线3250x y -+=的斜率为32，故所求直线方程为()3342-=+y x ，即392y x =+.故答案为：392y x =+. 14．数列{}n a 中，11a =，()*12,2nn n a a n N a +=∈+，则5a =___________ 【答案】13【详解】 122nn n a a a +=+，11a =， 则1212223a a a ==+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+，4542123a a a ==+. 故答案为：13.15．若函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行，则实数k =___________. 【答案】2 【详解】∵()ln f x x x =+， ∴1()1f x x '=+，1(1)121f '=+=，又函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行， ∴2k =. 故答案为：2.16．设5(4P -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，1(2,0)F -是C 的左焦点，Q 是C右支上的动点，则C 的离心率为______，1PQF △面积的取值范围是_______． 【答案】2)+∞ 【详解】双曲线C 的右焦点为2(2,0)F，则13||2PF =，27||2PF ，因点P 在双曲线C 上，则由双曲线定义得2122a PF PF =-=，即1a =，又2c =， 所以双曲线C 的离心率为2ce a==；因直线PF 1的斜率1PF k =ba=1PF 与双曲线C 在第一、三象限的渐近线平行，则这条渐近线与直线1PF 0y -+的距离d ==上的点Q 到直线PF 1距离h d >=，于是得11113222PQF SPF h =⋅⋅>⨯所以1PQF △面积的取值范围是)+∞.故答案为：2；)+∞ 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．已知圆()22:20C x y mx y m R ++-=∈，其圆心在直线0x y +=上.（1）求m 的值；（2）若过点()1,1的直线l 与C 相切，求l 的方程. 【答案】 （1）2m =（2）20x y +-=或0x y -= 【详解】 （1）圆C 的标准方程为：222(1)124m m x y ⎛⎫++-=+⎪⎝⎭， 所以，圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线0x y +=上，得2m =. 所以，圆C 的方程为：22(1)(1) 2.x y ++-=（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()11y k x -=-， 即10,kx y k --+=由于直线l 和圆C解得：1k =±所以，直线方程为：20x y +-=或0x y -=.18．如图，在三棱锥P -ABC 中，△ABC 是以AC 为底的等腰直角三角形，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC .（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求直线PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析. （2【详解】 （1）证明：连接BO，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =，又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ,（2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+，所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为则平面PAC 的法向量为() 1,0,0m =， 设平面MPA 的法向量(,,),n x y z =则(0,2,PA =--20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM x y λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即=13λ= 或 3λ=( 舍)，设平面MPA的法向量(23,n =，(0,2,PC =-，设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>==+19．已知椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点1F 、2F ，点P 在椭圆上，12PF PF ⊥，____________①椭圆过点()，②椭圆的短轴长为10，③（①②③中选择一个） （1）求椭圆的标准方程； （2）求12PF F △的面积． 【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为2215025x y += （2）1225PF F S=【详解】 （1）解：设椭圆方程()222222210,x y a b c a b a b+=>>=-.因为椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点，则225c =.选①：由已知可得a =225b =，椭圆方程为2215025x y +=； 选②：由已知可得5b =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=；选③得c a =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=. （2）解：由椭圆定义知122PF PF a +==， 又12PF PF ⊥，222124100PF PF c ∴+==②，由①可得2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=，解得1250PF PF ⋅=， 因此，12121252PF F SPF PF =⋅=. 20．设函数()322f x x x x =--++．（1）求()f x 在2x =-处的切线方程；（2）求()f x 的极大值点与极小值点；（3）求()f x 在区间[]5,0-上的最大值与最小值．【答案】（1）7100x y ++=；（2）极小值点为1x =-，极大值点为13x =； （3）()min 1f x =，()max 97f x =.【详解】（1）由题意得：()2321f x x x '=--+，则()212417f '-=-++=-，又()284224f -=--+=，()f x ∴在2x =-处的切线方程为()472y x -=-+，即7100x y ++=； （2）令()23210f x x x '=--+=，解得：1x =-或13x =， 则()(),,x f x f x '变化情况如下表：()f x ∴的极小值点为1x =-，极大值点为3x =； （3）由（2）知：()f x 在[)5,1--上单调递减，在(]1,0-上单调递增； 又()5125255297f -=--+=，()02f =，()111121f -=--+=， ()()min 11f x f ∴=-=，()()max 597f x f =-=.21．已知椭圆C 的离心率e =()1A ，)2A （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点()1,0N ．【答案】（1）2212x y +=； （2）证明见解析.【详解】（1）椭圆长轴端点在x 轴上，∴可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：222a b c c e a a ⎧=+⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得：11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=； （2） 由2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222124220k x kbx b +++-=，曲线C 与直线l 只有一个公共点，()228120k b ∴=+-=，即2221b k =+，设(),P P P x y ，则()22422212P kb kb k x b b k =-=-=-+， 222221p P k b k y kx b b b b b-∴=+=-+==，21,k P b b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 由2y kx b x =+⎧⎨=⎩得：22x y k b =⎧⎨=+⎩，即()2,2Q k b +； ()1,0N ，211,k NP bb ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,2NQ k b =+， 2210k k b NP NQ b b+∴⋅=--+=，即NP NQ ⊥， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点()1,0N .22．已知函数()ln xe f x ax a x x=-+． （1）若a e =，求()f x 的极值点；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值点为1，无极大值点（2）(,]e -∞【详解】（1）解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞，222(1)(1)(1)()()x x x x xe e e x e e x x e ex f x e x x x x x -----'=-+=-=， 令(),(0,)x g x e ex x =-∈+∞，则()x g x e e '=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，()f x ∴的极小值点为1，无极大值点；（2）由()0f x ≥得ln (ln )x x e a x x --≥，令ln ,(0,)t x x x =-∈+∞，则t e at ≥，111x t x x-'=-=， 当01x <<时，0t '<，当1x >时，0t '>，所以函数ln ,(0,)t x x x =-∈+∞在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以当1x =时，min 1t =，[1+t ∴∈∞，），te a t∴≤， 令(),[1,)te m t t t =∈+∞，则2(1)()0t e t m t t -'=≥， 所以函数()t e m t t=在[1,)t ∈+∞上递增，所以min ()(1)m t m e ==， 所以a e ≤，所以a 的取值范围为(,]e -∞.。

学2019-2020学年高二数学5月复学考试试题文（含解析）一、选择题（12*5=60分）1.已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式化简复数后，再根据共轭复数的概念可得结果.【详解】,所以复数的共轭复数为，故选：D【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题.2.已知命题：，，那么命题是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定直接判断结果.【详解】把全称量词变为存在量词，再把“”变为“”.所以命题：，，那么命题是，.故选：B【点睛】本题考查全称命题的否定，重点考查命题否定的形式，属于基础题型.3.下列式子错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，，正确；对于B，，错误；对于C，，正确；对于D，，正确；故选：B．【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4.设，则“”关于方程“有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】以为条件，判断有实数根是否成立；以有实数根为条件，判断是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，此时有实数根；当有实数根时，，即.故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若，则是的充分条件；若，则是的必要条件.5.命题“若，则且”的逆否命题是（）A. “若且，则”B. “若或，则”C. “若且，则”D. “若或，则”【解析】【分析】直接根据逆否命题的定义得到答案.【详解】命题“若，则且”的逆否命题是：若或，则.故选：.【点睛】本题考查了逆否命题，意在考查学生对于逆否命题的理解.6.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是A. B.C. D.【答案】A【解析】抛物线焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.7.若曲线在点处的切线与直线平行，则a=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】【分析】对函数求导，由切线与直线平行，得出导数在的导数值为，于此可得出实数的值．【详解】因为，所以，解得，故选C.【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键就是要根据直线与切线的位置关系，得出斜率之间的关系，进而列方程求解，考查计算能力，属于基础题．8.已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则的离心率为（）．A. 3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】双曲线的渐近线为，把代入，求出后，根据关系可求【详解】解：双曲线渐近线过，，，故选：B【点睛】通过找的关系求双曲线离心率；基础题.9.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆焦点在轴上的方程特征，建立的不等量关系，求解即可.【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，，解得.故选：D.【点睛】本题考查椭圆标准方程，熟记椭圆标准方程满足的条件即可，属于基础题.10.已知函数，若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导数，判断函数的单调性，再比较的大小可得选项.【详解】因为，所以为增函数，因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查比较大小，判断函数的单调性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.11.过双曲线：（，）的左焦点作圆：的切线，设切点为，延长交双曲线于，若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取双曲线右焦点,连接，由题意可知，为直角三角形，且由勾股定理可知，，选A.12.已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得值域，利用导数法求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解.【详解】已知函数，令，所以在上递减，在上递增，当时，，当时，，当时，，所以，即的值域为.因为所以又因为，，所以，所以在时递减，所以的值域为.因为对于任意，总存在，使得成立，所以的值域包含的值域即，所以，解得.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的求法以及双变量问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题（4*5=60分）13.是虚数单位，则的值为_______.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.14.已知命题，则对应的集合为___________．【答案】【解析】试题分析：，因此为．考点：命题的否定．15.函数的单调递减区间为________．【答案】【解析】【分析】由出导函数，由确定减区间．但要注意定义域．【详解】函数定义域是，由题意，∴当时，，时，．∴减区间为．故答案为：．【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，解题时一般先求出导函数，由确定增区间，由确定减区间．16.已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．【答案】【解析】【分析】作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，则，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直线斜率为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．三、解答题（共70分）17.已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调区间.【答案】（1）；（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．(1) 若命题为真，求的取值范围；(2) 若命题为真，求的取值范围．【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.【详解】（1）∵有实数解，∴（2）∵椭椭圆焦点在轴上,所以，∴∵为真，，.【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．19.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．【答案】（Ⅰ）：y2＝1；（Ⅱ）m【解析】【分析】（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.【详解】（Ⅰ）由题意知：，，则椭圆的方程为：（Ⅱ）设，联立得：，解得：，又点到直线的距离为：，解得：【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.20.已知函数.（1）当时，求函数在区间上的最值；（2）讨论的单调性.【答案】（1），；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减.【解析】【分析】（1）求导的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得在区间上的最值；（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；【详解】解：（1）当时，，所以，因为的定义域为，所以由，可得.因为，，，所以在上，，.（2）由题可得，，①当，即时，，所以在上单调递减；②当时，，所以在上单调递增；③当时，由可得，即，由可得，即，所以在上单调递减，上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数的单调性，求函数的最值是关键，属于中档题．21.已知点是抛物线的焦点，点，在上，且．（1）求的值；（2）若直线经过点且与交于，（异于）两点，证明：直线与直线的斜率之积为常数．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，即可求出的值；（2）由（1）求出，先考虑斜率不存在时，求出直线与直线的斜率之积，当直线斜率存在时，设直线方程与抛物线方程联立，求出两点的纵坐标关系，再将直线与直线的斜率之积用纵坐标表示，化简即可证明结论.详解】（1）由抛物线定义知．（2）由（1），得，．当直线经过点且垂直于轴时，不妨设，，则直线的斜率，直线的斜率，所以．当直线不垂直于轴时，设，，设直线的斜率为（显然且），则直线的方程为．联立，消去，得，，所以，，则直线的斜率，同理直线的斜率．∴，综上，直线与直线的斜率之积为．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.22.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由，可得，，令，利用导数可得的减区间为，增区间为，求得函数的极值与最值，从而可得结果.【详解】（1）因为，所以函数的定义域为，当时，，令，得或（舍去）.当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，，，令，其中，则，令，得，当时，，当时，，的单调递减区间为，单调递增区间为，，又，，且，由于函数在上有两个零点，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.学2019-2020学年高二数学5月复学考试试题文（含解析）一、选择题（12*5=60分）1.已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为( )【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式化简复数后，再根据共轭复数的概念可得结果.【详解】,所以复数的共轭复数为，故选：D【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题.2.已知命题：，，那么命题是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定直接判断结果.【详解】把全称量词变为存在量词，再把“”变为“”.所以命题：，，那么命题是，.故选：B【点睛】本题考查全称命题的否定，重点考查命题否定的形式，属于基础题型.3.下列式子错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，，正确；对于B，，错误；对于C，，正确；对于D，，正确；故选：B．【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4.设，则“”关于方程“有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】以为条件，判断有实数根是否成立；以有实数根为条件，判断是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，此时有实数根；当有实数根时，，即.故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若，则是的充分条件；若，则是的必要条件.5.命题“若，则且”的逆否命题是（）A. “若且，则”B. “若或，则”C. “若且，则”D. “若或，则”【答案】B【解析】直接根据逆否命题的定义得到答案.【详解】命题“若，则且”的逆否命题是：若或，则.故选：.【点睛】本题考查了逆否命题，意在考查学生对于逆否命题的理解.6.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是A. B.C. D.【答案】A【解析】抛物线焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.7.若曲线在点处的切线与直线平行，则a=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】对函数求导，由切线与直线平行，得出导数在的导数值为，于此可得出实数的值．【详解】因为，所以，解得，故选C.【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键就是要根据直线与切线的位置关系，得出斜率之间的关系，进而列方程求解，考查计算能力，属于基础题．8.已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则的离心率为（）．A. 3B.C.D.【答案】B【分析】双曲线的渐近线为，把代入，求出后，根据关系可求【详解】解：双曲线渐近线过，，，故选：B【点睛】通过找的关系求双曲线离心率；基础题.9.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆焦点在轴上的方程特征，建立的不等量关系，求解即可.【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，，解得.故选：D.【点睛】本题考查椭圆标准方程，熟记椭圆标准方程满足的条件即可，属于基础题.10.已知函数，若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】【详解】因为，所以为增函数，因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查比较大小，判断函数的单调性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.11.过双曲线：（，）的左焦点作圆：的切线，设切点为，延长交双曲线于，若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取双曲线右焦点,连接，由题意可知，为直角三角形，且由勾股定理可知，，选A.12.已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得值域，利用导数法求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解.令，所以在上递减，在上递增，当时，，当时，，当时，，所以，即的值域为.因为所以又因为，，所以，所以在时递减，所以的值域为.因为对于任意，总存在，使得成立，所以的值域包含的值域即，所以，解得.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的求法以及双变量问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题（4*5=60分）13.是虚数单位，则的值为_______.【答案】【分析】利用复数的除法运算将复数化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.14.已知命题，则对应的集合为___________．【答案】【解析】试题分析：，因此为．考点：命题的否定．15.函数的单调递减区间为________．【答案】【解析】【分析】由出导函数，由确定减区间．但要注意定义域．【详解】函数定义域是，由题意，∴当时，，时，．∴减区间为．故答案为：．【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，解题时一般先求出导函数，由确定增区间，由确定减区间．16.已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一【答案】【解析】【分析】作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，则，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直线斜率为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．三、解答题（共70分）17.已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调区间.（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．(1) 若命题为真，求的取值范围；(2) 若命题为真，求的取值范围．【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.【详解】（1）∵有实数解，∴（2）∵椭椭圆焦点在轴上,所以，∴∵为真，，.【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．19.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．【答案】（Ⅰ）：y2＝1；（Ⅱ）m【解析】【分析】（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.【详解】（Ⅰ）由题意知：，，则椭圆的方程为：（Ⅱ）设，联立得：，解得：，又点到直线的距离为：，解得：【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.20.已知函数.（1）当时，求函数在区间上的最值；（2）讨论的单调性.【答案】（1），；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减.【解析】【分析】（1）求导的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得在区间上的最值；（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；【详解】解：（1）当时，，所以，因为的定义域为，所以由，可得.因为，，，所以在上，，.（2）由题可得，，①当，即时，，所以在上单调递减；②当时，，所以在上单调递增；③当时，由可得，即，由可得，即，所以在上单调递减，上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数的单调性，求函数的最值是关键，属于中档题．21.已知点是抛物线的焦点，点，在上，且．（1）求的值；（2）若直线经过点且与交于，（异于）两点，证明：直线与直线的斜率之积为常数．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，即可求出的值；（2）由（1）求出，先考虑斜率不存在时，求出直线与直线的斜率之积，当直线斜率存在时，设直线方程与抛物线方程联立，求出两点的纵坐标关系，再将直线与直线的斜率之积用纵坐标表示，化简即可证明结论.详解】（1）由抛物线定义知．（2）由（1），得，．当直线经过点且垂直于轴时，不妨设，，则直线的斜率，直线的斜率，所以．当直线不垂直于轴时，设，，设直线的斜率为（显然且），则直线的方程为．联立，消去，得，，所以，，则直线的斜率，同理直线的斜率．∴，综上，直线与直线的斜率之积为．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.22.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由，可得，，令，利用导数可得的减区间为，增区间为，求得函数的极值与最值，从而可得结果.【详解】（1）因为，所以函数的定义域为，当时，，令，得或（舍去）.当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，，，令，其中，则，令，得，当时，，当时，，的单调递减区间为，单调递增区间为，，又，，且，由于函数在上有两个零点，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

第七章复数全章综合测试卷（基础篇）【人教A版2019】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）9．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）以下四种说法正确的是（ ） A ．i 9=iB ．复数z =3−2i 的虚部为−2C ．若z =(1+i )2，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数10．（5分）（2022秋·河南许昌·高三阶段练习）已知复数z 满足z −2i =z i +4，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数z 的模为√10B ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为−1+3iD ．(z−13)2023=−i11．（5分）（2022春·福建三明·高一期末）设复数z =12+√32i ，其中i 是虚数单位，下列判断中正确的是（ ） A ．z +z̅=1B ．z 2=z̅C ．z 是方程x 2−x +1=0的一个根D ．满足z n ∈R 最小正整数n 为312．（5分）（2022春·江苏常州·高一期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式e i θ=cosθ+i sinθ（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ） A ．e 3i 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B ．e i π+1=0 C ．(12+√32i )3=−1D ．cosθ=e i θ+e −i θ2三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·高三课时练习）复数4+3i 与−2−5i 在复平面上对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 . 14．（5分）（2023·高一课时练习）把复数−1−i （i 为虚数单位）改写成三角形式为 ． 15．（5分）（2022春·河南濮阳·高一阶段练习）设复数z 满足(1+i )z =2i ，则|z |= ． 16．（5分）（2022春·河南信阳·高一阶段练习）下面给出的几个关于复数的命题，①若(x2−4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±2②复数(a2+1)i(a∈R)是纯虚数③复数z=−sin100°+i cos100°在复平面内对应的点Z位于第三象限④如果复数z满足|z+i|+|z−i|=2，则|z−2i−1|的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春·上海浦东新·高一期末）已知复数z满足z+|z|=1−2i，求复数z.18．（12分）（2023·高一课时练习）计算．(1)(1+i)(1−i)+(−1+i)；(2)(1−2i)(2+i)(3−4i)．19．（12分）（2022·高一课时练习）求下列复数的模和辐角主值.(1)z=(1−√3i)5；(2)z=12(cosπ4−i sinπ4).20．（12分）（2022·全国·高一专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1=2(cos1112π+i sin1112π)；(2)z2=12(cos23π−i sin23π)；(3)z3＝－2(cos θ＋isin θ)．21．（12分）（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知复数z=(m2−3m+2)+(m2−4m+3)i，m∈R．(1)若z是实数，求m的值．(2)若z是纯虚数，求m的值．(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；22．（12分）（2023·高一课时练习）设复数z1是方程x2−6x+25=0的一个根．(1)求z1；(2)设z2=a+i（其中i是虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数z2满足|z13⋅z2|=125√5，求z22．第七章复数全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）9．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）以下四种说法正确的是（）A．i9=iB．复数z=3−2i的虚部为−2C．若z=(1+i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数【解题思路】利用复数的乘方运算计算判断A，C；利用复数的意义判断B；利用复数的几何意义判断D作答.【解答过程】对于A，i9=(i2)4⋅i=i，A正确；对于B，复数z=3−2i的虚部为−2，B正确；对于C，z=(1+i)2=2i，则z=−2i，复平面内z对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：ABD.10．（5分）（2022秋·河南许昌·高三阶段练习）已知复数z满足z−2i=z i+4，则下列说③复数z=−sin100°+i cos100°在复平面内对应的点Z位于第三象限④如果复数z满足|z+i|+|z−i|=2，则|z−2i−1|的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是②③.【解题思路】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【解答过程】对于①，因为(x2−4)+(x2+3x+2)i为纯虚数，所以{x 2−4=0x2+3x+2≠0，解得x=2，故①错误；对于②，因为a∈R，所以a2+1≠0，所以(a2+1)i是纯虚数，故②正确；对于③，因为−sin100°<0，cos100°<0，所以z=−sin100°+i cos100°在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，|z+i|+|z−i|=2表示复数z对应的点Z到点A(0,−1)和到点B(0,1)的距离之和，又因为|AB|=2，所以复数z对应的点Z在线段AB上，而|z−2i−1|表示点Z到点P(1,2)的距离，所以其最小值为|PB|=√(1−0)2+(2−1)2=√2，故④错误．故答案为：②③．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春·上海浦东新·高一期末）已知复数z满足z+|z|=1−2i，求复数z.【解题思路】设z=a+bi(a,b∈R)，根据已知条件列方程，求得a,b，进而求得z.【解答过程】设z=a+bi(a,b∈R)，所以|z|=√a2+b2，代入方程得a+bi+√a2+b2=1−2i，由复数相等的条件得{a+√a2+b2=1b=−2，解得a=−32,b=−2，所以z=−32−2i.18．（12分）（2023·高一课时练习）计算．(1)(1+i)(1−i)+(−1+i)；(2)(1−2i)(2+i)(3−4i)．【解题思路】（1）由复数的乘法与加法法则计算；（2）由复数的乘法法则计算．【解答过程】（1）(1+i)(1−i)+(−1+i)=1+1+(−1+i)=1+i；（2）(1−2i)(2+i)(3−4i)=(2+i−4i−2i2)(3−4i)=(4−3i)(3−4i)=12−16i−9i+12i2=−25i.19．（12分）（2022·高一课时练习）求下列复数的模和辐角主值.(1)z=(1−√3i)5；(2)z=12(cosπ4−i sinπ4).需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限． 所以z 3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．21．（12分）（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知复数z =(m 2−3m +2)+(m 2−4m +3)i ，m ∈R ．(1)若z 是实数，求m 的值．(2)若z 是纯虚数，求m 的值．(3)若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围；【解题思路】（1）由复数的概念可得m 2−4m +3=0，解出即可得到结果；（2）由复数的概念可得{m 2−3m +2=0m 2−4m +3≠0，解出即可得到结果； （3）根据复数的几何意义，可得{m 2−3m +2>0m 2−4m +3<0，解出不等式组即可得到结果. 【解答过程】（1）因为z 为实数，所以m 2−4m +3=0，解得m =1或m =3.（2）因为z 是纯虚数，所以有{m 2−3m +2=0m 2−4m +3≠0，解得m =2. （3）因为z 对应复平面上的点在第四象限，所以有{m 2−3m +2>0m 2−4m +3<0， 解得2<m <3.22．（12分）（2023·高一课时练习）设复数z 1是方程x 2−6x +25=0的一个根．(1)求z 1；(2)设z 2=a +i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 2的共轭复数z 2满足|z 13⋅z 2|=125√5，求z 22． 【解题思路】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得a =±2，进而即得.【解答过程】（1）因为x 2−6x +25=0，所以Δ=(−6)2−4×25=−64，所以x =6±√64i2=3±4i ，所以z 1=3+4i 或z 1=3−4i ；（2）由z 2=a +i ，可得z 2=a −i ，当z 1=3+4i 时，|z 13⋅z 2|=|(3+4i )3⋅(a −i )|=125√5，所以125√a 2+1=125√5，解得a =±2，当a =2时，z 22=(2+i )2=3+4i ，当a =−2时，z 22=(−2+i )2=3−4i.。

新安一高高二年级5月份月考（数学理）数学试卷一、单选题1.已知i 为虚数单位，则12iz i=-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【★答案★】B 【解析】 试题分析：()()()12221121212555i i i i z i i i i ⋅+-+====-+--+，故12i z i=-在复平面内对应的点位于第二象限，选B 考点：复数及其运算2.已知()f x '是函数()f x 的导数，且()02f x '=，则()()0003limt f x t f x t t→+--=（ ）A. 2B. 8C. －4D. 不能确定 【★答案★】B 【解析】 【分析】根据极限的运算法则和导数的概念，即可求解. 【详解】由()()()()()()()()00000000003[][][]limli 23mt t f x t f x t f x t f x f x f x f t x f tt t t x →→--+---+-+-+-= ()()()()()()000000000lim lim li 2mt t t f x f x f x f x f x f t t x t t t t t →→→----+--=++ ()()()()000000lim4lim 42238t t f x f x f x f x t tt t t →→--+==-⨯-=+.故选：B.【点睛】本题主要考查极限的运算，以及函数在某点出的导数的概念及其应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3.262()x x-的展开式中常数项为( )A. -240B. -160C. 240D. 160【★答案★】C【解析】 【分析】求得二项式的通项12316(2)r r rr T C x -+=-，令4r =，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.【详解】由题意，二项式262()x x-展开式的通项为261231662()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 当4r =时，4456(2)240T C =-=，即展开式的常数项为240，故选C.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 4.有一段演绎推理：“对数函数log ay x =是增函数；已知0.5log y x =是对数函数，所以0.5log y x =是增函数”，结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性与底数有关可知演绎推理的大前提错误. 【详解】因为对数函数log ay x =的单调性与底数有关，当01a <<时，对数函数是减函数，当1a >时，对数函数为增函数，所以大前提是错误的，所以这一段演绎推理得出的结论是错误的. 故选：A.【点睛】本题考查了演绎推理，考查了对数函数的单调性，属于基础题. 5.函数y =2x sin2x 的图象可能是A.B.C. D.【★答案★】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 6.下列使用类比推理正确的是（ ）A. “平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B. “若12x x +=，则2212x x+=”类比推出“若，则2212x x-=” C. “实数a ，，满足运算()()ab c a bc =”类比推出“平面向量,,a b c 满足运算()()a b c a b c ⋅=⋅”D. “正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心” 【★答案★】D 【解析】 【分析】根据类比结果进行判断选择.【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A 错；因为“若12x x-=，则22112,2x x x =±-≠”，所以B 错；因为()()a b c a b c ⋅≠⋅，所以C 错； 因为正方体的内切球切于各面的中心，所以D 正确.选D.【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题. 7.11lim()nn k kn n →∞=⋅=∑（ ） A.12B.23C. 1D.32【★答案★】B 【解析】 【分析】根据极限的运算法则和定积分的计算，得到1011lim()nn k kxdx nn →∞=⋅=∑⎰即可求解. 【详解】由题意，根据极限的运算，可得1312010122lim |33nn k k xdx x n n →∞=⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭∑⎰. 故选：B.【点睛】本题主要考查了极限的运算，以及定积分的应用，着重考查了计算能力，属于基础题.8.已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. (]0,1 B. ()1,+∞ C. ()0,1 D. [)1,+∞ 【★答案★】D 【解析】【详解】试题分析：根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数， 所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立，分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -最大值为1，故1a ≥.考点：函数导数与不等式，恒成立问题．9.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A. 271 B. 272C. 273D. 274【★答案★】A 【解析】 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A.【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-10.设函数()()()()f x x a x b x c =---（a ，b ，c 是互不相等的常数），则()()()a b cf a f b f c ++'''等于（ ） A. 0B. 1C. 3D. a b c ++【★答案★】A【解析】 【分析】设()()()()()()()()(),,g x x b x c h x x a x c m x x a x b =--=--=--，根据导数的运算，化简整理，即可求解.【详解】由题意，函数()()()()f x x a x b x c =---设()()()()()()()()(),,g x x b x c h x x a x c m x x a x b =--=--=--， 可得()()()()f x g x x a g x ''=+-，即有()()f a g a '=，同理可得()()()(),f b h b f c m c ''==，则()()()()()()()()()a b c a b cf a f b f c a b a c b a b c c a c b ++=++'''------ ()()()0()()()a b c b c a c a b a b a c b c -+-+-==---.故选：A.【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，以及代数式的化简和求值，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题.11.定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为 （ ） A. c a b << B. b c a <<C. a c b <<D. c b a <<【★答案★】A 【解析】试题分析：当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立知，当(1,)x ∈+∞时, ,所以()()1f xg x x =-在(1,)x ∈+∞上是增函数.因为(2)223,(2)(2)(3),(21)(2),21f g g g c f <<∴<<∴=+=- ()()(2)(3)12,321312f f a f b f c a b ====∴<<--．故选A ． 考点：函数的单调性点评：对于比较复杂的函数，求其单调性常用到导数，在求解过程中要用到的结论是：'()0,(,)(),(,)f x x a b f x x a b >∈⇔∈为增函数；'()0,(,)(),(,)f x x a b f x x a b <∈⇔∈为减函数．12.设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x =-的零点个数为（ ） A. 3B. 2C. 1D. 0【★答案★】D 【解析】 【分析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x =，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x=的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦.当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D.【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题13.定义运算a b ad bc c d=-，若复数11ix i-=+，42i xi y x i =+，则y =______．【★答案★】2- 【解析】 【分析】求出x i =-，代入y 中，根据定义计算可得★答案★.【详解】因为21(1)12i i x i i --===-+，所以42ixi y x i =+412i ==40122i ⨯-⨯=-.故★答案★为：2-.【点睛】本题考查了复数的乘除法运算，属于基础题. 14.观察下列各式：2749=，37343=，472401=，，则20167的末两位数为______．【★答案★】01 【解析】 【分析】计算出57、67，可推导出()7nn N *∈的末两位数成周期性变化，且周期为4，进而可求得20167的末两位数.【详解】5716807=，67117649=，所以，()7nn N *∈的末两位数成周期性变化，且周期为4，201645034=⨯+，所以，20167与47的末两位数相同，即20167的末两位数为01.故★答案★为：01.【点睛】本题考查归纳推理，难点在于找出规律，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得152x +=，类似上述过程，则33++=__________．【★答案★】1312+ 【解析】 【分析】先换元令()330m m ++⋅⋅⋅=>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果. 【详解】令()330m m ++⋅⋅⋅=>，则两边平方得，得2333m +++⋅⋅⋅= 即23m m +=，解得：1132m =+或1132m -=（舍去） 本题正确结果：1132+ 【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16.设S 、V 分别表示表面积和体积，如ABC 的面积用ABCS表示，三棱锥O ABC -的体积用O ABC V -表示，对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则0OB OA OA OB ⋅+⋅=．将它类比到平面的情形时，应该有：若O 是ABC 内一点，有0OBC OCA OBA S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△．将它类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥A BCD -内一点，则有______． 【★答案★】0O BCD O ACD O ABD O ABC V OA V OB V OC V OD ----⋅+⋅+⋅+⋅=． 【解析】 【分析】由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线、线到面，或者是二维变三维；由题目中点O 在ABC 内，则有结论0OBC OCA OBA S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△，结论是二维线段长与向量的关系式，类比后结论应该为三维的体积与向量的关系式. 【详解】由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线、线到面，或者是二维变三维，面积变体积. 由题目中点OABC 内，则有结论0OBC OCA OBA S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△，我们可以推断：若O 是三棱锥A BCD -内一点，则有0O BCD O ACD O ABD O ABC V OA V OB V OC V OD ----⋅+⋅+⋅+⋅=.故★答案★：0O BCD O ACD O ABD O ABC V OA V OB V OC V OD ----⋅+⋅+⋅+⋅=.【点睛】本题考查类比推理，考查平面与空间的类比，要找出两种事务之间的相似性，考查推理能力，属于中等题. 三、解答题17.已知230(3)14631z i a a i i =++⋅+--（i 为虚数单位，a R ∈）. （1）若0z =，求a 的值； （2）若z 为纯虚数，求a 的值. 【★答案★】（1）2；（2）1-. 【解析】 【分析】（1）利用复数的混合运算，化简复数z ，令其实部和虚部为零，即可求得参数； （2）令实部为零，虚部不为零，求解即可.【详解】由题可得()()222239314632914z a a i ai a i a a a a i =+--+-=--+-+.（1）因为0z =，所以()22320,9140,a a a a ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩由()2320a a --=，解得1a =-或2a =； 由29140a a -+=，解得2a =或7a =； 若满足题意，故2a =.（2）因为z 为纯虚数，所以()223209140a a a a ⎧--=⎪⎨-+≠⎪⎩，由()2320a a --=，解得1a =-或2a =； 由29140a a -+≠，解得2a ≠且7a ≠； 所以1a =-.【点睛】本题考查复数的四则运算，以及根据复数的类型求参数值，属基础题. 18.已知函数()322316208f x x ax a x a =-+-，其中0a ≠，求()f x 的极值．【★答案★】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】由函数()f x ，求导得到()f x '()()382x a x a =--，然后令()0f x '=，得12ax =，23a x =，再分0a >和0a <两种情况讨论求解.【详解】因为()322316208f x x ax a x a =-+-，其中0a ≠，所以()()222240886485f x x ax a x ax a'-+=-+=()()382x a x a =--，令()0f x '=，得12ax =，23a x =． （1）当0a >时，32a a<，则随着x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3a,32a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ' ＋－＋()f x ↗极大值 ↘ 极小值 ↗所以当3ax =时，函数()f x 取得极大值3327a a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当2a x =时，函数()f x 取得极小值02a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）当0a <时，23a a<，则随着x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表： x,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2a ,23a a ⎛⎫⎪⎝⎭3a ,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ' ＋－＋()f x ↗极大值 ↘ 极小值 ↗所以当2ax =时，函数()f x 取得极大值02a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当3a x =时，函数()f x 取得极小值3327a a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．综上，当0a >时，函数()f x 在3a x =处取得极大值327a ，在2a x =处取得极小值0；当0a <时，函数()f x 在2a x =处取得极大值0，在3a x =处取得极小值327a ．【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.19.正项数列{}n a 满足12a =，22311442n n n n a a a +++-=-(n *∈N )．（1）求2a ，3a ，4a ，5a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给予证明；【★答案★】（1）24a =，38a =，416a =，532a =；（2）2nn a =，证明详见解析．【解析】 【分析】（1）用递推公式22311442n n n n a a a +++-=-，逐个代入求解，即可得到2a ，3a ，4a ，5a 的值； （2）猜想：数列{}n a 的通项公式为2nn a =．用数学归纳法进行证明，首先验证1n =时成立，然后假设n k =时结论成立，证明出1n k =+时也成立即可．【详解】（1）由正项数列{}n a 满足12a =，22311442n n n n a a a +++-=-，可得22442214421620-=-=-=a a a ，解得24a =，由22533244264320-=-=-=a a a ，解得38a =，由22644344225664192-=-=-=a a a ，解得416a =， 由2275544421024128896-=-=-=a a a ，解得532a =，所以24a =，38a =，416a =，532a =；（2）猜想：数列{}n a 的通项公式为2nn a =．下面用数学归纳法证明其成立． ①当1n =时，12a =猜想成立②假设当n k =，（*k N ∈）时，猜想成立，即2kk a =， 那么当1n k =+时，有2232231144222k k k k k k a a a +++++-=-=-， 所以2232231144222k k k k k k a a a +++++-=-=-， 即()()2211222k k a ++-=-，解得112k k a ++=或1142k k a ++=-，因为{}n a 是正项数列，而*k N ∈时，1420k +-≤，所以112k k a ++=．这就是说，当1n k =+时猜想也成立．根据①和②可知，猜想成立，即2nn a =．【点睛】本题主要考查数学归纳法证明数列通项公式，属于中档题．20.（1）已知x ，y R +∈且2x y +>，求证：12y x+与12xy +中至少有一个小于3．（2）当0a b +>时，求证：()2222a b a b +≥+． 【★答案★】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）正繁则反，对于至少型问题，一般利用反证法，即假设123yx+≥且123x y +≥，再利用不等式性质证得矛盾，否定假设；（2）利用分析法和重要不等式，按照分析法的证明步骤证明即可.【详解】证明：⑴（反证法）假设结论不成立，即有123yx+≥且123x y +≥，由已知x ，y R +∈， 所以有123y x +≥且123x y +≥，故222332x y x y x y ++≥+⇒≥+， 与已知2x y +>矛盾，假设不成立．所以有12y x+与12xy +中至少有一个小于3成立．（2）证明：(分析法)要证()2222a b a b +≥+，只需证()()222222a b a b ⎡⎤+≥+⎢⎥⎣⎦， 即证()2222122a b a b ab +≥++， 即证222a b ab +≥．因为222a b ab +≥对一切实数恒成立， 所以()2222a b a b +≥+成立． 【点睛】点睛：本题考查分析法、反证法等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力,属于中档题. 21.已知函数()()32111132f x x ax a x =-+-+，a 为实数. （1）当2a ≥时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间[]1,4上是减函数，求a 的取值范围. 【★答案★】（1）见解析（2）5a ≥ 【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的导函数()f x '，对1a -和1进行比较即可得到()f x 的单调性；（2）根据x 的取值范围，分1x =和14x <≤进行求解，当14x <≤时分离出a ，根据1y x =+的单调性，即可得出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()2111f x x ax a x x a '=-+-=---⎡⎤⎣⎦，当11a -=即2a =时，()()210f x x '=-≥，()f x 在R 上单调递增；当11a ->即2a >时，由()0f x '>得1x <或1x a >-，由()0f x '<得11x a <<-.()f x ∴分别在(),1-∞与()1,a -+∞单调递增，在()1,1-a 单调递减.综上所述，当2a =时，()f x 在R 上单调递增；当2a >时，()f x 分别在(),1-∞与()1,a -+∞单调递增，在()1,1-a 单调递减.（2）由已知得()210f x x ax a '=-+-≤在区间[]1,4上恒成立.()211a x x ∴-≥-在区间[]1,4上恒成立.当1x =时，a R ∈. 当14x <≤时，1a x ≥+.而1y x =+在(]1,4x ∈上单调递增，∴4x =时，max 5y =，则5a ≥. 综上5a ≥.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将a 分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，是基础题. 22.已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）求得()22'a x f x x+=，对a 的范围分类讨论即可求得()f x 的单调性．（2）将()21f x x x ≤+-转化成ln 10x x -+≤，证明()g ln 10x x x =-+≤恒成立，利用导数求得()()10g x g ≤=，问题得证．（3）由（2）可得：ln 1x x ≤-，整理得：11lnx x x ≤-，所以22211lnn n n<-，整理2222222323ln ln lnn n ++⋯+得：22222222223111n 12323ln ln lnn n n ⎛⎫++⋯+<--++⋯+ ⎪⎝⎭利用()2111111n n n n n <=-++即可得：()()()222121111n 12321n n n n -+⎛⎫--++⋯+< ⎪+⎝⎭，问题得解．【详解】（1）函数()f x 的定义域为：()0,∞+，()'f x = 222a a x x x x++=①当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增 ②当0a <时，令()'0f x =，解得x = 2a -． 当02a x <<-时，220a x +<，所以()'0f x <， 所以()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2a x >-时，220a x +>，所以()'0f x >，所以()f x 在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）当a 1=时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即证：ln 10x x -+≤. 设()g ln 1x x x =-+，则()g'x =1xx-，令()0g x '=得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<. 所以1x =为极大值点，且()g x 在1x =处取得最大值． 所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤．故()21f x x x ≤+-.（3）证明：ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），即11lnx x x≤-, 则有2222ln +22222222223111111111n 132323ln lnn n n n ⎛⎫+⋯+<-+-+⋯+-=--++⋯+ ⎪⎝⎭()111n 123341n n ⎛⎫<--++⋯+ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭()()()12111111111n 1n 1233412121n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫=---+-+⋯+-=---=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 故：2222ln +()()()22221213321n n ln lnn n n -++⋯+<+ 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及转化思想，考查放缩法证明不等式，还考查了裂项求和方法，考查计算能力，属于难题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

章末双测滚动验收达标（二） 复 数 A 卷——学考合格性考试滚动检测卷(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －2的虚部是( ) A ．i B ．－2 C ．1D ．2解析：选C i －2＝－2＋i ，因此虚部是1.故选C. 2．复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2iD ．5＋2i解析：选A (2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i.故选A.3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋iD.5＋5i解析：选A 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知，复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.4．已知i 为虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选D (1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(2a ＋1)i ，因为它为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，解得a ＝2.故选D.5．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y 的值为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 依据复数相等的条件，得x ＝y ＝1，故x ＋y ＝2.故选D. 6．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B.7．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝20－10i10＝2－i.故选B.8．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2解析：选A 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3.故选A.9．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选A z 1－z 2＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0， ∴x ＝y ＝1，则xy ＝1.故选A. 10．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或1解析：选C z 1＋z 2＝(a 2＋a －2)＋(a 2－3a ＋2)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.故选C.11．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数为x －y i.故选B. 12．若z ＝4＋3i ，则z |z |＝( )A ．1B ．－1C.45＋35i D.45－35i 解析：选D |z |＝42＋32＝5，z ＝4－3i ，则z|z |＝45－35i.故选D. 13．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋2i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝z 1＋z 2＝3－4i ＋(－1＋2i)＝2－2i ，z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．故选D.14．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．iD ．2i解析：选B 依题意得z ·z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.故选B. 15．已知i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 021等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 021＝i 2 021＝i 505×4＋1＝i.故选C.16．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝12－32i.故选D.17．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A ．1－3i B ．－2＋11i C ．－2＋iD ．5＋5i解析：选D ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ，又∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.故选D.18．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D 2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4.故选D.19．已知z 是复数z 的共轭复数，z ＋z ＋z ·z ＝0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 代入z ＋z ＋z ·z ＝0，得x ＋y i ＋x －y i ＋x 2＋y 2＝0， 即x 2＋y 2＋2x ＝0，整理得(x ＋1)2＋y 2＝1.∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选A.20．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ―→，OB ―→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB 为直角三角形．故选B.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上) 21．(2019·北京东城区二模)复数5i1－i 的实部为______ ；虚部为________．解析：5i 1－i ＝5i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－52＋52i.实部为－52，虚部为52.答案：－52 5222．(2019·江苏淮安模拟)已知复数z ＝(m 2－2)＋(m －1)i 对应的点位于第二象限，则实数m 的范围为______．解析：∵复数z ＝(m 2－2)＋(m －1)i 对应的点(m 2－2，m －1)位于第二象限，∴m 2－2＜0，且 m －1＞0，∴1＜m ＜ 2. 答案：(1，2)23．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案：924．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，则|z |＝________.解析：因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i25＝i.则|z |＝1.答案：125．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i1＋2i的值是________．解析：原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝1－i ＋i ＝i(－i )i＋i ＝2i. 答案：2i三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i25＝1－3i ， (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310i. 27．(本小题满分8分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝1－2i －12＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.28．(本小题满分9分)已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，求ω.解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由ω＝z2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0.①又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－7.∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.B 卷——面向全国卷高考滚动检测卷 (时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．3＋3i解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i.故选B.2．(2019·山西晋城二模)若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B. 2 C. 3D ．－3解析：选D ∵z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6＝0，m －2≠0，解得m ＝－3.故选D. 3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．故选C.4．(2019·广东华附、省实、广雅、深中联考)设a ，b 是非零向量，记a 与b 所成的角为θ，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充要条件是( )A ．a ∥bB ．θ＝0C ．θ＝π2D ．θ＝π解析：选Ba |a |＝b|b |等价于非零向量a 与b 同向共线．即θ＝0.故选B. 5．设i 是虚数单位，复数(a ＋i)·(1＋2i)为纯虚数，则实数a 为( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：选B ∵复数(a ＋i)(1＋2i)＝(a －2)＋(2a ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，2a ＋1≠0，解得a ＝2.故选B. 6．(2019·湖南长沙一中一模)已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A (1,2)，B (－1,3)，则z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．－12iC ．iD ．－12解析：选D 由复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A (1，2)，B (－1,3)，得z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ，则z 1z 2＝1＋2i －1＋3i ＝(1＋2i )(－1－3i )(－1＋3i )(－1－3i )＝5－5i 10＝1－i 2＝12－12i.所以z 1z 2的虚部为－12.故选D. 7．(2019·宜宾高三第三次诊断性考试)欧拉公式：e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B 由e i x ＝cos x ＋isin x ，得＝⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π22＝i 2＝－1.故选B. 8．(2019·厦门二模)已知i 为虚数单位，若11－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a b ＝( )A ．1 B. 2 C.22D ．2解析：选C i 为虚数单位，11－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则11－i＝1＋i 2＝a ＋b i ，根据复数相等得到⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，所以a b ＝⎝⎛⎭⎫1212＝22.故选C.9．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,4)，则“k ＝－12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C 由|a ＋b |2＝a 2＋b 2，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2，得a ·b ＝0，得(1，k )·(2,4)＝0，解得k ＝－12，所以“k ＝12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的充要条件．故选C.10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．故选C. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：选ABD 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 对于A ，z 2≥0，则b ＝0，所以z 是实数，真命题；对于B ，z 2<0，则a ＝0，且b ≠0，所以z 是虚数；所以B 为真命题； 对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2≥0是假命题；对于D ，z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，所以z 2<0是真命题．故选A 、B 、D. 12．已知z 1与z 2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是( )A ．z 21<|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈R D.z 1z 2∈R 解析：选BC z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R )．z 21<|z 2|2；z 21＝a 2－b 2＋2ab i ，复数不能比较大小，因此A 不正确；z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，B正确；z 1＋z 2＝2a ∈R ，C 正确；z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不一定是实数，因此D 不一定正确．故选B 、C.13．设复数z 满足z ＋1z ＝i ，则下列说法错误的是( )A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为－12iC ．在复平面内，z 对应的点位于第二象限D ．|z |＝22解析：选ABC ∵z ＋1＝z i ，设z ＝a ＋b i ，则(a ＋1)＋b i ＝－b ＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－b ，a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－12.∴z ＝－12－12i.∴|z |＝22，复数z 的虚部为－12.故选A 、B 、C. 三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 14．(2019·江苏高考)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．解析：(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ， 因为其实部为0，故a ＝2. 答案：215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．(2019·天津高考)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．解析：法一：∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ， ∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝4＋9＝13. 法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|5－i||1＋i|＝25＋11＋1＝262＝13.答案：1317．设复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是________，|z |＝________.解析：∵1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－i ，2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝i ，∴z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019＝(－i)2 018＋i 2 019＝i 2＋i 3＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ，则z 的虚部为1，|z |＝ 2. 答案：12四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分12分)已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解：∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.∴实数x ，y 的值分别为12，2.19．(本小题满分14分)计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 020；(2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)． 解：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 020＝2＋2i －2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 010＝i(1＋i)＋⎝⎛⎭⎫1i 1 010＝－1＋i ＋(－i)1 010＝－1＋i －1＝－2＋i.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.20．(本小题满分14分)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a ＋b |＝m |a |，若a ＋b 与a －b的夹角为2π3.求m 的值． 解：∵a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝|a －b |，∵|a ＋b |＝m |a |，∴(a ＋b )2＝m 2a 2，∴b 2＝(m 2－1)a 2.又a ＋b 与a －b 的夹角2π3，∴(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝cos 2π3， ∴a 2－b 2m 2a 2＝a 2－(m 2－1)a 2m 2a 2＝2－m 2m 2＝－12. 解得m ＝2或m ＝－2(舍去)．21．(本小题满分14分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解：因为z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ， z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，所以|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝ (4－a )2＋4，又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， 所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1,7)．22．(本小题满分14分)给定两个单位向量OA ―→，OB ―→，且OA ―→·OB ―→＝－32，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R )．求3x －y 的最小值．解：∵OA ―→，OB ―→是两个单位向量，且OA ―→·OB ―→＝－32， ∴∠AOB ＝5π6，建立如图所示的坐标系， 则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫cos 5π6，sin 5π6，即B ⎝⎛⎭⎫－32，12， 设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫0≤α≤5π6， 则OC ―→＝(cos α，sin α)，∵OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，∴(cos α，sin α)＝⎝⎛⎭⎫x －32y ，y 2， 则⎩⎨⎧ x －32y ＝cos α，12y ＝sin α，∴⎩⎨⎧ x ＝cos α＋3sin α，y ＝2sin α，∴x ＝3x ＝3(cos α＋3sin α)－2sin α＝3cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3， ∵0≤α≤5π6， ∴π3≤α＋π3≤7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1，∴3x －y ∈[－1,2]， ∴3x －y 的最小值为－1.23．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.。

第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =−+=−其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=−，且21z z =，则实数a 的值为（） A .1B .1−C .1或1−D .1±或03.复数：满足31i z z +=−（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（ ）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A 2i −B .2C .2−D .2i6.定义运算a b ad bc c d =−，则符合条件1142i i z z −=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（ ） A .11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1,1)C .11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭D .(1,1)−8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21iz +−是实数，则z =（ ） A .2i −B .1i 2− C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（ ）A .1B .1−C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（ ）A .满足i i z z −=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m ∈=−Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ∈R g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+−+++∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =−+−∈R 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i−（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =−（i 为虚数单位），则z z=________. 16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=−，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+−，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ∈R ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =−−+−−是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +−=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1−（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +−=的根，,m n ∈R ，求+m n 的值；（2）已知2i 1−（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++−=的一个根，,m n ∈R ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+−=+−−+，其中a 为实数，i 为虚数单位. （1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z ωθθ∈+=+=−C （θ为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z ω−的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =−+=−Q ，1234i 23i 1i z z ∴+=−++−=−+，12z z ∴+在复平面内对应的点坐标为(1,1)−，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =−，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则33i 1i i x y x y ++=+−，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+−，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=−+Q ，z ∴在复平面内对应的点的坐标为(4,7)−，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==−+，所以z 的虚部为2−，故选C . 6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+， 42i 3i 1iz +∴==−+，对应的点的坐标为(3,1)−，位于第四象限，故选D . 7.【答案】A【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++−−+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22−==+++−，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，∴设i z b =（b ∈R 且0b ≠），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++−+===++−−−+，又21i z +−Q 为实数，1(2)02b ∴+=，即2b =−，2i z ∴=−. 9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =−=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”的d 为i −；同理，当i c =−时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d ∴++=−.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z −=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m ∈=−Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+−−=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，∴“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ⋅∈R ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ∈R ，则z z ⋅∈R .∴“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t ⎛⎫+−=+−− ⎪⎝⎭＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ⎧+−=⎪⎨++≠⎪⎩即3t =−或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、13.16【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =−+−∈R 是纯虚数，240,20,a a ⎧−=⎪∴⎨−≠⎪⎩解得2a =−，4i z ∴=−，4i z =，114i z ∴+=−=，=16z z ⋅.14.【答案】1−【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z ∴=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++∴===−−−+，其共轭复数为i −，∴其共轭复数的虚数是1−. 15.【答案】34i 55+ 【解析】依题意得，34i 55z z ==+. 16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=−知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM ==uuu r ，所以1210M M =uuuuu u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==uuu r uuu r uuuuu u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+∈R ，则由13i z z =+−13i i 0a b −−++=，10,30,a b −=∴−=⎪⎩解得4,3,a b =−⎧⎨=⎩ 43i z ∴=−+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++−++++∴====+−+−−+. 18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ⎧−−=⎪⎨−−≠⎪⎩ 即251,53,m k m m m ⎧==−⎪⎨≠≠−⎪⎩或且解得1m =−.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z −===++−，从而1i z =−，所以2i (1i)2i 1i z +=−+=+19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n −+−=，(1)2i 0n m m ∴−−+=，10,20,n m m −−=⎧∴⎨=⎩解得1,0,n m =⎧⎨=⎩1m n ∴+=. （2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n −+−+−=，(4)(24)i 0n m m ∴−−+−=，40,240,n m m −−=⎧∴⎨−=⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=. 解法二：2i 1−Q 是实系数方程21=0x mx n ++−的根，∴12i −−也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n −++−−=−⎧⎨−+−−=−⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=. 20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ⎧⎪−⎨⎪−⎩＜＜解得1,5,2a a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）解：()22310i 5z a a =+−+Q ()22310i 5z a a ∴=−−+ ()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a ⎡⎤∴+=+−+−−=++−−−⎣⎦−++−. 12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a ∴−−−=≠≠且.由()225100a a −−−=得22150a a +−=，解得3a =或5a =−（舍）.12(25)i 1i 1z a a ∴=+−=−+−，1z ∴. 21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos 2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22ππ＜＜，因此cos 2＜0，sin 20＞，∴点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。

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第七章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a，b∈R,i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋错误!为纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由ab＝0，得a＝0,b≠0或a≠0,b＝0或a＝0,b＝0，则a＋错误!＝a－b i不一定为纯虚数；若a＋错误!＝a－b i为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0。

综上,可知选B．2．若复数z＝i（3－2i）（i是虚数单位),则错误!＝（)A．2－3i B．2＋3iC．3＋2i D．3－2i答案A解析因为z＝i(3－2i）＝3i－2i2＝2＋3i,所以错误!＝2－3i。

3．若a为实数,且(2＋a i）·（a－2i）＝－4i,则a＝（)A．－1 B．0C．1 D．2答案B解析∵（2＋a i)(a－2i)＝4a＋(a2－4）i＝－4i，∴错误!解得a＝0。

4．如果复数z＝错误!，则( )A．｜z｜＝2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i答案C解析因为z＝错误!＝错误!＝－1－i，所以|z｜＝错误!，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C．5．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i,则z1z2＝( ）A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i答案A解析由题意知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)（－2＋i）＝i2－4＝－5.6．对于下列四个命题:①任何复数的模都是非负数;②如果复数z1＝错误!i，z2＝错误!－错误!i，z3＝－错误!i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆；③｜cosθ＋isinθ｜的最大值是2,最小值为0;④x轴是复平面的实轴,y轴是虚轴．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案D解析①正确．因为若z∈R,则|z｜≥0，若z＝a＋b i(b≠0,a,b∈R），则｜z|＝错误!〉0；②正确．因为｜z1｜＝5，|z2|＝错误!＝错误!，｜z3｜＝错误!，｜z4|＝错误!,这些复数的对应点均在以原点为圆心，错误!为半径的圆上；③错误．因为｜cosθ＋isinθ|＝错误!＝1为定值,最大、最小值相等，都是1;④正确．故选D．7．复数z＝错误!(i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!－错误!i，则错误!＝－错误!＋错误!i，在复平面内对应的点在第二象限．故选B．8．复数z1＝错误!2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P,Q，则向量P错误!对应的复数是( ) A．错误!B．－3－iC．1＋i D．3＋i答案D解析∵z1＝（－i)2＝－1，z2＝2＋i，∴PQ，→对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1）＝3＋i.故选D．9．若复数z满足2z＋错误!＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i答案B解析设z＝a＋b i(a,b∈R），则错误!＝a－b i.故2z＋错误!＝2(a＋b i)＋a－b i＝3a＋b i ＝3－2i，所以错误!解得错误!所以z＝1－2i.故选B．10．若复数z满足｜z｜2－2｜z|－3＝0,则复数z对应点的轨迹是（）A．一个圆B．线段C．两个点D．两个圆答案A解析由|z｜2－2｜z｜－3＝0,得（｜z｜－3）（|z|＋1)＝0。

不等式单元测试(A 卷基础篇)（浙江专用）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：150分 考试时间：120分钟 题号 一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得 分一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2019·浙江高一期末）不等式的解集为（ ）A. B.C. D.2．（2019·浙江高一月考）若0a b >>，下列不等式一定成立的是（ ）A.22a b <B.2a ab <C.11a b < D.1b a< 3．（2019·浙江高二期末）已知a b >，0abc ≠，a ，b ，c R ∈，则下列不等式成立的是（ ）A.22a b >B.a c b c ->-C.ac bc >D.11a b< 4．（2018·浙江高一期末）已知下列四个条件：①；②；③；④，能推出成立的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．（2018·浙江高一期末）已知1x >，则函数11y x x =+-的最小值是（ ） A.1B.2C.3D.46．（2019·全国高一课时练习）完成一项工程，预算是20000元，需要电工和车工共同完成，已知每个电工的工资为500元，每个车工的工资为400元，如果安排电工、车工分别为x 人，y 人，则列出符合题意的关系式为( )A ．50040020000x y +≤B ．40050020000x y +≤C ．50040020000x y +≥ D ．40050020000x y +≥7．（2019·河南许昌高中高二开学考试（理））已知01x ＜＜，则3(3)x x －取最大值时x 的值为( )A ．12B ．34C ．23D ．258．（2019·浙江高二期末）若实数满足，则的最大值为（ ）A.3B.4C.5D.69．（2019·河北安平中学高三期末（理））若不等式24ax +<的解集为()1,3-，则实数a 等于（ ） A ．8B ．2C ．-4D ．-210．（2019·河北安平中学高三期末（理））函数|1||2|y x x =++-的最小值及取得最小值时x 的值分别是（ ）A ．1，[1,2]x ∈-B ．3，0C ．3，[1,2]x ∈-D ．2，[]1,2x ∈第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得 分二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．（2019·上海格致中学高三开学考试）不等式13x>的解集为________. 12．（2019·上海市北虹高级中学高二期末）不等式215x +≤的解集是_______. 13．（2019·广东高三期中）不等式121x x +<-的解集为_________________. 14．（2019·浙江高一期末）已知突数0,0b a m >><，则mb _____ma ，b m a m --_____ba(用>，<填空). 15．（2019·浙江高一期末）若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集是(1,2)-，则a =________，b =_______. 16．（2019·全国高一练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x 万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x 为 __ __.（6分）17．（2019·浙江高三期末）已知x ，y 满足条件0,40,10,x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2x y +的最大值是_____，原点到点(),P x y 的距离的最小值是_____．评卷人 得 分三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知0a >，0b >，若141a b+=，用综合法证明：9a b +≥； 19．（2019·四川高一期末）关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<. （1）求,a b 的值；（2）求关于x 的不等式220bx ax -->的解集． 20．（2019·北京丰台二中高二期末）已知函数，其中.（1）若，求不等式的解集；（2）求的最小值.21．（2019·黑龙江牡丹江一中高二期末（文））已知0,0x y >>，且2520x y +=. （1）求lg lg u x y =+的最大值；（2）求11x y+的最小值. 22．（2019·浙江高二期末）电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间. （1）设每周安排连续剧甲x 次，连续剧乙y 次，列出x ，y 所应该满足的条件； （2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？。