广东省汕头市金山中学2007年高考专题复习(新课标A版) 推理与证明

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．72．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 4．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 5．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π6．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-8．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 9．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．{|10}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|10}x x -≤≤D ．{|101}x x x -≤≤=或10．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．3D ．3311．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+=12．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合M ＝{x ||x ﹣1|＜2}，N ＝{x |y ＝ln （x +1）}，则（ ） A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ∩N ＝∅D ．M ∪N ＝R2．cos （﹣210°）＝（ ） A ．12B ．√32C ．−12D ．−√323．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知y ＝f （x ）为奇函数，y ＝f （x +1）为偶函数，若当x ∈[0，1]时，f(x)=log 2√2(x +a)，则f （2023）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．12D ．−235．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险，现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg 2≈0.301，lg 3≈0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1小时） A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时6．已知函数f （x ）＝sin x +sin2x 在（0，a ）上有4个零点，则实数a 的最大值为（ ） A ．43πB ．2πC ．83πD ．3π7．若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝log b a ，则x ，y ，z 大小关系正确的是（ ） A ．x ＜y ＜zB ．y ＜x ＜zC ．z ＜x ＜yD ．z ＜y ＜x8．已知函数y ＝f （x ）是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)={(12)x ，0≤x ＜2log 16x ，x ≥2.若关于x 的方程[f（x ）]2+a •f （x ）+b ＝0（a ，b ∈R ）有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(14，1)B ．（﹣2，﹣1）C ．(−2，−54)D ．(14，+∞)二、多选题：本题共4小题，共20分。

广东汕头金山中学18-19高二下学期年末-数学（文）广东省汕头市金山中学 2018—2018学年度下学期期末考试高二数学文试题【一】选择题〔以下题目从4项答案中选出一项，每题5分，共50分〕 1、集合{}*|nin N ∈〔其中i 为虚数单位〕中元素的个数是〔〕 A 、1 B 、2C 、4D 、无穷多个2、在正项等比数列{}n a 中，1651=⋅a a ，那么3a 的值为(〕A 、8±B 、8C 、4±D 、43、直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是(〕A 、相离B 、相切C 、直线与圆相交且过圆心D 、直线与圆相交但只是圆心4、某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图是等腰梯形 〔较短的底长为2〕，那么该几何体的体积为〔〕A 、、、、5、平面向量a ()2m =-,，b (1=，且()-⊥a b b ，那么实数m 的值为〔〕A 、-、、、6、如右图的算法流程图,假设()()32,xf xg x x ==,那么()2h 的值为〔〕A 、9B 、8C 、6D 、47、以下结论正确的选项是〔〕A 、“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的充分而不必要条件；B 、函数x x f x 32)(+=的零点在区间)1,0(内；C 、函数sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后，得到函数)32sin(π+=x y 图象；第6题图D 、关于直线,m n 和平面α，假设n ,⊥⊥m m α，那么α//n .8、函数x x f 2log 1)(+=与12)(+-=x x g 在同一直角坐标系下的图象大致是〔〕9、函数：c bx x x f ++=2)(，其中40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，那么事件A 发生的概率为〔〕A 、14B 、58C 、38D 、1210、设函数()fx 的定义域为D ，假设对x D y D ,∀∈∃∈，使得()()2f x f y C +=〔其中C 为常数〕成立，那么称函数()f x 在D 上的均值为C .给出以下四个函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ln y x =；④2s i n 1y x =+,那么满足在其定义域上均值为1的函数的个数是〔〕A 、1B 、2C 、3D 、4【二】填空题〔每题5分，共20分〕〔一〕必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答、 11、、函数3)(x x f =在1=x 处的切线方程为、12、观看以下各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，那么a 10＋b 10＝ 、 13、设二次函数2()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，那么19c a+的最小值为 、〔二〕选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分、 14、〔几何证明选讲〕如下图，AB 是半径等于3的圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上,割线PD 交圆O 于D C ,，假设4,5PA PC ==,那么CBD ∠= 、15、〔坐标系与参数方程〕在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是__、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.〔本小题总分值12分〕某校高三〔1〕班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：〔1〔2〕某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？〔3〕第一组的学生中男、女生均为2人、在〔2〕的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率、 17.〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (1)求证：,,a b c 成等比数列；(2)假设1,2a c ==，求△ABC 的面积S 、 18.(本小题总分值14分)如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点、(1)证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；(2)平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比、19.(本小题总分值14分)如图直角梯形ABCD 中，90DAB ∠=︒,//AD BC ,,E F 是AB 边的四等分点，4=AB,1===AE BF BC ,3=AD P 为在梯形区域内一动点，满足PE PF AB +=，记动点P的轨迹为Γ.(1)建立适当的平面直角坐标系，求轨迹Γ在该坐标系中的方程；(2)判断轨迹Γ与线段DC 是否有交点，假设有交点，求出交点位置；假设没有交点，请说明理由；〔3〕证明,,,D E F C 四点共圆，并求出该圆的方程、 20.(本小题总分值14分) 数列{}n a 、{}n b 满足：1121,1,41n n n n nb a a b b a +=+==-. (1)求123,,b b b 的值； (2)求证：数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设12231n n n S a a a a a a +=+++，假设4n n aS b <恒成立，求实数a 的取值范围、21.(本小题总分值14分)函数()e xf x =〔e 为自然对数的底数〕，x a a x f x f xg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=1)()()(，∈x R ,0>a 、〔1〕判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由； 〔2〕求函数)(x g 的单调递增区间；〔3〕证明：对任意实数1x 和2x ，且21x x ≠，都有不等式2)()()()()2(21212121x f x f x x x f x f x x f +<--<+成立、 参考答案【一】选择题 【二】填空题11、23-=x y 12、12313、314、6π15、1 【三】解答题〔共80分〕 16、解：〔1〕80.240s ==，10.10.30.250.15t s =----=、……………………………4分〔2〕设应抽取x 名第一组的学生，那么20,440x =得2x =、 故应抽取2名第一组的学生、……………………6分 〔3〕在〔II 〕的条件下应抽取2名第一组的学生、 记第一组中2名男生为12,a a ，2名女生为12,b b 、按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b b b 、……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有11122122,,,a b a b a b a b 这4种结果，………………10分 因此既有男生又有女生被抽中的概率为42.63P ==…………………………12分 17、解：(I)由得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，……………………………2分 sin sin()sin sin B A C A C +=，……………………………3分 2sin sin sin B A C =，……………………………4分再由正弦定理可得：2b ac =，……………………………5分题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C DACBBACDC因此,,a b c 成等比数列.……………………………6分(II)假设1,2a c ==，那么22b ac ==，……………………………7分∴2223cos 2a c b B ac +-==，……………………………9分sin C ==10分∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=…………………………12分 18、证明：19、解：〔1〕取AB 中点为O ,以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图的直角坐标系，…1分 那么(2,0),(1,0),(1,0),(2,0)A E F B --由于4PE PF AB +==，且24EF =<……………2分 那么动点P 的轨迹为以,E F 焦点，长轴长为4的上半椭圆，那么椭圆的方程为)30(13422≤≤=+y y x ……………4分 (2)在〔1〕所建立的坐标系中，点(2,3),(2,1)D C - 由两点式得到直线DC 的方程为：240x y +-=，……6分 把42x y =-代入椭圆方程并整理得091242=+-y y ，解得32y =……8分 因为3230<<轨迹Γ与线段DC 有且只有一个交点〔1，23〕，…………………9分 〔3〕记y 轴与DC 交点为G ,由于y 轴是EF 的中垂线，那么GE GF =又OG 为直角梯形中位线，那么GD GC =，且1()22OG AD BC =+=，故G 点坐标为(0,2)10分计算可得GC GF ==,故DEFC 四点共圆，…………………………12分且该圆以(0,2)G 为圆心，半径为5故圆的方程为5)2(22=-+y x …………14分〔3〕另解：要证,,,D E F C 四点共圆，设圆心为G .即证：GD GE GF GC ===. 由EF 的垂直平分线：0x =，DC 的垂直平分线：220x y -+=…………………10分联立方程组0220x x y =⎧⎨-+=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩，即(0,2)G …………………………12分又GE ==GC ==因此，圆G 的方程为22(2)5x y +-=………………………………14分 20、解：〔1)11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋∵1113,44a b ==∴2345,,56b b ==……………3分〔2〕∵11112n n b b +-=--∴12111111n n n n b b b b +-==-+--- ∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列。

汕头金山中学高三数学试题参考公式：2K2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则=4aA ．5B ．7C ．9D ．11 2．若z 是复数，且1)3(=+i z (i 为虚数单位)，则z 的值为A ．i +-3B ．i +3C ．i --3D ．i -33． 函数xx x x x f --+=||)2ln()(2的定义域为A ．)2,1(-B ．)2,0()0,1( -C ．)0,1(-D ．)2,0(4．从1008名学生中抽取20人参加义务劳动，规定采用下列方法选取：先用简单随机抽样从1008人剔除8人，剩下1000人再按系统抽样的方法抽取20人，那么在1008人中每个人入选的概率A ．都等于501 B ．都等于2525 C ．不全相等 D ．均不相等 5. 已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-= A ．257 B ．2524 C ．257- D ．2524-6.已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数)(x f y =的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．多于2个7．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且α与β、α与γ均相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则 （ ）A ．,b b βγ∀⊂⊥B ．,//b b βγ∀⊂C ．,a a αγ∃⊂⊥D ．,//a a αγ∃⊂ 8．如果关于x 的一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率=P （ ）A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．9．已知=≤≤-=-≤≤--)13(,4.0)13(),,1(~2x P X P N X 则若σ10．右图给出一个程序框图，其运行结果是________.11．双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线2+y x 垂直，则这一双曲线的离心率为____________.12．定义运算⎩⎨⎧<≤=a b b ba ab a ,,&，例如12&1=，则函数xx f 2&1)(=的值域为____________.13．请阅读下列材料：若两个正实数12,a a 满足22121a a +=，那么12a a +证明：构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++，因为对一切实数x ，恒有()0f x ≥，所以0∆≤，从而得2124()80a a +-≤，所以12a a +≤．根据上述证明方法，若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时，你能得到的结论为 .（不必证明）▲ 选做题：在下面两道小题中选做一题，两道小题都选的只计算第13、14小题的得分。

2424A . 25B .252525f （x ） =■xX-log 2 X则函数y =f （X ）的零点个数为7.已知三个平面B . 1'，若'一，且'与C . P2D .多于2个_■'与 均相交但不垂直，a ,b 分别为■','汕头金山中学高三考前矫正性考试2n(ad-b () (a b)(c d)(a c)(b d)一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的.1 .若等差数列｛an ｝的前5项和3 =25，且a 2 =3，则a 4二D . 114.从1008名学生中抽取20人参加义务劳动，规定采用下列方法选取：先用简单随机抽样从 1008人剔除8人， 概率参考公式:数学（理科）试题(2010-5.25 )2.若 z 是复数，且（3' z ）i =1（i 为虚数单位 ），则z 的值为 A . -3 - iC.D . 3_if(x) 3.函数 _ In(2 x -x 2)|x|-x的定义域为A . (-1,2)B .(-1,0) (0,2)(-1,0)D .(0,2)c . 剩下1000人再按系统抽样的方法抽取 20人，那么在1008人中每个人入选的 A.都等于50 B .都等于252C.不全相等 均不相等JIsin( )5.已知 2则 COS （二-2〉）=为 (不必证明)A • 18二、填空题：本大题共 7小题，每小题5分，满分30分•其中14~15题是选做题，考生只能选 做一题，两题全答的，只计算前一题得分•9 已知X ~ N(-1^2),若P(—3 ^X 乞-1) = 0.4,则P(—3 ^X E 1)=则函数f (X )刊&2%的值域为13•请阅读下列材料:若两个正实数耳包满足q •比=1，那么q •还_辽 f (x)=(x —aj 2+(x —a ?)2 =2x 2 —2(a,+a 2)x+1，因为对一切实数 x , 恒有f (X) - 0，所以_ 0，从而得4(a1鬼)？ 一8乞0，所以a1 '比「22 + 2 + + 2_彳根据上述证明方法，若n 个正实数满足a1 鬼 …• K =1时，你能得到的结论内的直线，贝U( )A-b — l,b_ B ~b~ l-,b//C a 二：£,a_D a 二很，a 〃&如果关于x 的一兀2 2一二次方程 x 2(a -3)x-b 9=0 中,a 、b 分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率P =(13D • 1810 •右图给出一个程序框图，其运行结果是11 •双曲线k ^2 ~y2 =1的一条渐近线与直线2x y = 0垂直，则这一双曲线的离心率为a &b = *12•定义运算a,a MbP ，b ca ，例如 1& 2 =1 (第10小题)证明：构造函数▲ 选做题：在下面两道小题中选做一题，▲ 两道小题都选的只计算第 13、14小题的得分。

汕头金山中学自主招生试卷一、试卷整体情况这份汕头金山中学自主招生试卷，满分100分哦。

二、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数y = 3x + 1，当x = 2时，y的值为（）A. 7B. 6C. 8D. 9答案：A。

解析：把x = 2代入函数y = 3x+1，得到y = 3×2+1 = 7。

2. 以下哪个数是质数（）A. 4B. 5C. 6D. 8答案：B。

解析：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，5只能被1和5整除，所以是质数。

3. 三角形内角和为（）A. 180°B. 360°C. 90°D. 270°答案：A。

解析：三角形内角和定理是三角形的内角和等于180°。

4. 化简2(x + 3) - 3(x - 1)的结果是（）A. -x + 9B. -x - 3C. 5x + 3D. 5x - 3答案：A。

解析：先展开式子得到2x+6 - 3x + 3，再合并同类项为-x+9。

5. 历史上第一个称皇帝的君主是（）A. 秦始皇B. 汉武帝C. 唐太宗D. 宋太祖答案：A。

解析：秦始皇嬴政统一六国后，认为自己“德兼三皇、功盖五帝”，创“皇帝”一词作为华夏最高统治者的正式称号。

6. 地球的表面积大约是（）A. 5.1亿平方千米B. 4.1亿平方千米C. 6.1亿平方千米D. 3.1亿平方千米答案：A。

解析：经过科学测量和计算，地球的表面积大约是5.1亿平方千米。

7. 英语单词“book”的复数形式是（）A. bookesB. booksC. bookD. bookies答案：B。

解析：一般情况下，英语单词以“o”结尾的单词变复数加“s”或者“es”，“book”直接加“s”变为复数。

8. 物理学中，速度的单位是（）A. 米/秒B. 千克C. 安培D. 伏特答案：A。

解析：速度是描述物体运动快慢的物理量，其单位是米/秒。

2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

2014-2015学年广东省汕头市金山中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．（2015春•汕头校级期中）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a4等于（）A． 4 B． 2 C． 6 D．12考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的性质可得3a4=12，解之可得的．解答：解：由等差数列的性质可得a3+a5=2a4，∵a3+a4+a5=12，∴3a4=12，∴a4=4故选：A点评：本题考查等差数列的性质，属基础题．2．（2014•海淀区校级模拟）已知复数a+bi=1﹣i（其中a，b∈R，i是虚数单位），则a+b 的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 2考点：复数相等的充要条件．分析：利用两个复数相等的充要条件求出a、b的值，即可求得a+b的值．解答：解：∵已知复数a+bi=1﹣i，∴a=1，b=﹣1，故a+b=0，故选C．点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，属于基础题．3．（2015•河北区模拟）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．解答：解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A点评：本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．4．（2014秋•张家界期末）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数考点：反证法与放缩法．专题：证明题；反证法．分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．5．（2013春•龙子湖区校级期中）若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x轴，焦点在3x﹣4y ﹣12=0上那么抛物线的方程为（）A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=12x D． y2=﹣12x考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，假设抛物线的标准方程，求得焦点坐标，代入3x﹣4y﹣12=0，从而可求抛物线的标准方程．解答：解：∵抛物线顶点为（0，0），对称轴为x轴，∴设抛物线方程为：y2=ax．∴焦点坐标为（，0）∵焦点在3x﹣4y﹣12=0上∴3×﹣12=0∴a=16∴抛物线的方程为y2=16x故选A．点评：本题以抛物线的性质为依托，考查抛物线的标准方程，假设抛物线的标准方程是关键．6．（2015•江门一模）有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：平均气温（℃）﹣2 ﹣3 ﹣5 ﹣6销售额（万元）20 23 27 30根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y=x+a 的系数．则预测平均气温为﹣8℃时该商品销售额为（）A．34.6万元B．35.6万元C．36.6万元D．37.6万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据所给的的值，写出线性回归方程，把样本中心点代入求出a的值，再代入数值进行预测．解答：解：==﹣4，==25∴这组数据的样本中心点是（﹣4，25）∵．，∴y=﹣2.4x+a，把样本中心点代入得a=34.6∴线性回归方程是y=﹣2.4x+15.4当x=﹣8时，y=34.6故选A．点评：本题主要考查线性回归方程，题目的条件告诉了线性回归方程的系数，省去了利用最小二乘法来计算的过程，是一个基础题．7．（2015春•汕头校级期中）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4） D．（2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：利用函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间，求出导函数，解不等式解答：解：∵数f（x）=（x﹣3）e x∴f′（x）=（x﹣2）e x，根据单调性与不等式的关系可得：（x﹣2）e x＜0，即x＜2所以函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）故选：A点评：本题考查了导数在判断单调性中的应用，难度不大，属于常规题．8．（2015春•汕头校级期中）给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：先由p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，确定a、b、c与p、q的关系，再判断一元二次方程bx2﹣2ax+c=0判别式△=4a2﹣4bc的符号，决定根的情况即可得答案．解答：解：∵p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列∴a2=pq，b+c=p+q．解得b=，c=；∴△=（﹣2a）2﹣4bc=4a2﹣4bc=4pq﹣（2p+q）（p+2q）===﹣（p﹣q）2又∵p≠q，∴﹣（p﹣q）2＜0，即△＜0，原方程无实根．故选A．点评：本题考查了等比数列、等差数列的定义和性质，重点考查了一元二次方程根的存在性判断，解题时要有一定的代数变形能力，属中档题．9．（2015•越秀区模拟）若双曲线x2﹣y2=1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为（）A．﹣B．C．±D．±2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2=1，即（a+b）（a﹣b）=1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，上此能够得到a+b的值．解答：解：P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2=1，即（a+b）（a﹣b）=1．d==，∴|a﹣b|=2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b=2．∴（a+b）×2=1，a+b=，故选B．点评：本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．10．（2015春•汕头校级期中）已知x1＜x2且函数f（x）=ax3+bx2﹣x+1的极大值为f（x1）、极小值为f（x2），又x1，x2中至少有一个数在区间（1，2）内，则a﹣b的取值范围为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，2）D．（﹣2，2）考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导数，结合题意，得到函数的单调性，求出x1＜0，1＜x2＜2，根据二次函数的性质得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意f′（x）=ax2+bx﹣1，f′（x）=0的根为x1，x2，且极大值为f（x1）、极小值为f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，即f′（x）＞0，f（x）在（x1，x2）上单调递减，即f′（x）＜0，所以a＞0，而x1x2=﹣，∴x1＜0，1＜x2＜2，∴，由a+b﹣1＜0得：﹣3a﹣3b＞﹣3①，由4a+2b﹣1＞0得：4a+2b＞1②，①+②得：a﹣b＞﹣2，故选：A．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，二次函数的性质，求出x1＜0，1＜x2＜2是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）11．（2013春•濠江区校级期末）函数f（x）=x3在x=1处的切线方程为y=3x﹣2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：首先求出函数f（x）在点x=1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程即可．解答：解：∵f（x）=x3，∴f′（x）=3x2，∴切线的斜率为f′（1）=3，当x=1时，f（1）=1，即切点为（1，1），∴切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即y=3x﹣2．故答案为：y=3x﹣2．点评：本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．12．（2015春•汕头校级期中）设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若，则cos∠F1PF2为﹣．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：解决焦点三角形问题一般要用到两种知识，一是曲线定义，本题中由双曲线定义可得焦半径之差，已知有焦半径之比，故可求出焦半径或其关系；二是余弦定理，利用解三角形知识求角的余弦值．解答：解：由得a2=1，b2=12，c2=13，设|PF1|=3d，|PF2|=2d，则|3d﹣2d|=2，d=2在△F1PF2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2===﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其定义，双曲线的焦点三角形中的计算，余弦定理的运用．13．（2015春•汕头校级期中）在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，设h为斜边上的高，则=+，类比此性质，如图，在四面体P﹣ABC 中，若PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为a，b，c，设棱锥底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为．考点：类比推理．专题：探究型；推理和证明．分析：立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．解答：解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴h2=，即．故答案为：．点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．14．（2015春•汕头校级期中）椭圆+=1上有n个不同的点P1、P2、…、P n（n∈N*），F 是右焦点，{|P n F|}组成公差为d=的等差数列，则n的最大值为67 ．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x n，y n），P到右准线的距离为d n，由圆锥曲线的统一定义算出|P n F|=2﹣x n，结合题意数列{|P n F|}组成公差为d=的等差数列，得出关于横坐标x1、x n的等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n的取值范围，从而得出n的最大值．解答：解：求得椭圆+=1的a=2，b=，c=1，右焦点为F（1，0），离心率e=．设P（x n，y n），P到右准线x=4的距离为d n，根据圆锥曲线的统一定义，得|P n F|=d n=（4﹣x n）=2﹣x n，∵数列{|P n F|}组成公差为d=的等差数列，∴|P n F|﹣|P1F|=（n﹣1），可得x1﹣x n=（n﹣1），化简得x1﹣x n=（n﹣1），结合椭圆上点的横坐标的范围，得x1﹣x n＜2a=4∴（n﹣1）＜4，得n＜，得n的最大值为67．故答案为：67．点评：本题给出椭圆上的n个点，在焦半径组成公差为d=的等差数列情况下，求n的最大值．着重考查了椭圆的几何性质、等差数列的通项公式等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（2014春•福安市校级期末）函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1时都取得极值（1）求a，b的值；（2）函数f（x）的单调区间．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣和x=1代入求出a、b即可；（2）求出f′（x），分别令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出x的范围，即可得到函数f （x）的单调区间．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，由题意：即解得（2）由（1）可知f（x）=x3﹣x2﹣2x+c∴f′（x）=3x2﹣x﹣2令f′（x）＜0，解得﹣＜x＜1；令f′（x）＞0，解得x＜﹣或x＞1，∴f（x）的减区间为（﹣，1）；增区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞）．点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的解法．16．（2015春•汕头校级期中）某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示（单位：人）．80及80分以上80分以下合计试验班35 15 50对照班20 m 50合计55 45（1）求m，n；（2）你有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”？参考公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．p（K2≥k）…0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 …k … 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 …考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据2×2列联表的规律对应的横行与竖行的和应该等于合计，故可求出 m，n的值；（2）根据表中所给的数据，利用所给的求观测值的公式，代入公式计算出K2的值，把观测值同临界值进行比较，可得有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”．解答：解：（1）m=45﹣15=30，…（2分）n=50+50=100．…（2）K2=≈9.091…（9分）因为K2＞7.879，所以P=0.005…所以有99.5%的把握认为“教学方式与成绩”有关系．…点评：本题考查独立性检验的应用，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，是一个基础题．17．（2015春•汕头校级期中）某公司在安装宽带网时，购买设备及安装共花费5万元．该公司每年需要向电信部门交纳宽带使用费都是0.5万元，公司用于宽带网的维护费每年各不同，第一年的维护费是0.1万元，以后每年比上一年增加0.1万元．（1）该公司使用宽带网满5年时，累计总费用（含购买设备及安装费用在内）是多少？（2）该公司使用宽带网多少年时，累计总费用的年平均值最小？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）宽带网维护费组成以0.1万元为首项，公差为0.1万元的等差数列，从而求总总费用；（2）设使用x（x∈N*）年时，宽带网累计总费用的年平均值为y万元，可得从而可得y=0.55++0.05x，从而由基本不等式求解即可．解答：解：（1）宽带网维护费组成以0.1万元为首项，公差为0.1万元的等差数列，所以使用5年时累计总费用为5+0.5×5+（0.1×5+×0.1）=9，所以，使用5年时累计总费用为9万元．（2）设使用x（x∈N*）年时，宽带网累计总费用的年平均值为y万元，可得y==0.55++0.05x≥0.55+2=1.55，（当且仅当=0.05x，即x=10时，等号成立），此时y取最小值，所以，使用10年时，宽带网累计总费用的年平均值最少．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用及基本不等式的应用，属于中档题．18．（2015春•汕头校级期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=9，S6=66．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项的和S n；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜；（3）是否存在自然数n，使得s1++…+﹣（n﹣1）2=2009？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．考点：数列的求和．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，从而可得，从而解得；（2）化简…=）]，从而证明；（3）由s n=2n2﹣n得=2n﹣1，从而可得2n﹣1=2009，从而解得．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=9，S6=66可得，解得a1=1，d=4；因此，a n=4n﹣3，；（2）证明：…=…=）]=；（3）由s n=2n2﹣n得=2n﹣1，s1++…+﹣（n﹣1）2=1+3+5+…+（2n﹣1）﹣（n﹣1）2=2n﹣1=2009，解得，n=1005；故存在满足条件的自然数n=1005．点评：本题考查了数列的通项公式及前n项和公式的求法，同时考查了裂项求和法的应用，属于中档题．19．（2015•东莞二模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2=﹣10．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（1）设出椭圆的方程，把抛物线方程整理成标准方程，求得焦点的坐标，进而求得椭圆的一个顶点，即b，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得．（2）先根据椭圆的方程求得右焦点，设出A，B，M的坐标设出直线l的方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而根据，，和利用题设条件求得λ1和λ2的表达式，进而求得λ1+λ2．解答：解：（1）解：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1由，∴a2=5，所以椭圆C的标准方程为（2）证明：易求出椭圆C的右焦点F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入方程并整理，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0∴，又，，，，，而，，即（x1﹣0，y1﹣y0）=λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2﹣0，y2﹣y0）=λ2（2﹣x2，﹣y2）∴，，所以点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力，知识的迁移能力以及运算能力．20．（2013•宁波模拟）设函数．（1）当a=2时，求f（x）的最大值；（2）令（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，方程mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：（1）把a=2代入函数，对f（x）进行求导，求出其极值，根据导数来求最值；（2）对F（x）进行求导，求过点P（x0，y0）的切线，求出k用x0的表达出来，再根据斜率恒成立，从而求出a的范围；（3）当a=0时，方程mf（x）=x2即x2﹣mx﹣mlnx=0，令g（x）=x2﹣mx﹣mlnx，对其进行求导，利用导数来画出函数的草图，从而来求解；解答：解（1）a=2时，f（x）=lnx+x﹣x2，…（1分），解f′（x）=0得x=1或（舍去）…（2分），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调增加，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调减少…（3分），所以f（x）的最大值为f（1）=0…（2）（0＜x≤3），（0＜x0≤3）…（6分）由恒成立得恒成立…（7分）因为，等号当且仅当x0=1时成立…（8分），所以…（9分）（3）a=0时，方程mf（x）=x2即x2﹣mx﹣mlnx=0，设g（x）=x2﹣mx﹣mlnx，解…（10分），得（＜0舍去），，类似（1）的讨论知，g（x）在x∈（0，x2）单调增加，在x∈（x2，+∞）单调减少，最大值为g（x2）…（11分），因为mf（x）=x2有唯一实数解，g（x）有唯一零点，所以g（x2）=0…，由得x2+2lnx2﹣1=0，因为h（x）=x+lnx﹣1单调递增，且h（1）=0，所以x2=1…（13分），从而m=1…．点评：此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，是高考必考的一类题，此题是一道中档题．。

高二文科数学期中考试一、选择题(以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）参考公式：334R V π=球 1. 圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（ -2，3）C ．（-2，-3）D ．（2，-3）2. 若三个点P (1，1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x ＝( )A. －1B. 3 C 92D. 513. 圆25)4()1(:221=+++y x C 与圆9)2()2(:222=-+-y x C 的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含4. 如右图，正三棱柱ABC C B A -111中，2,21==AA AB ，则1BC 与面11A ABB 所成的角大小是（ ）A 、︒30B 、︒45C 、︒60D 、︒905. 设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中， 不正确的是（ ）A ．若直线AB 与CD 没有公共点，则AB ∥CD B ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面C ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC6. 已知点P （3，2）与点Q （1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x7. 圆()3122=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周所得的几何体的体积为（ ）A. π36B. π12C ．π34D. π48. 已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A. 43≥k B. 243≤≤k C. 2≥k 或43≤k D. 2≤k 9. 一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为3的圆锥，如下图是圆锥的轴截面图，则内接1A圆柱侧面积最大值是（ ） A 、π23B 、π3C 、π5D 、π410. 在平面直角坐标系中，点B A ,分别是x 轴、y 轴上两个动点，又有一定点)4,3(M ，则BM AB MA ++的最小值是（ ）A 、10B 、11C 、12D 、13第11题图二、填空题（每小题5分，共20分）11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 _12、已知两直线m y m x l -=++2)1(:1，1642:2-=+y mx l ，当=m 时， 有 1l ∥2l 。

2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x+1x−2≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜2}2．化简：√(π−4)2+√(π−3)33=（ ） A ．1B ．﹣1C ．7﹣2πD ．2π﹣73．已知f(x)=ax 3+bx +3，f （4）＝5，则f （﹣4）＝（ ） A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣54．“a ＝﹣4”是“函数y ＝ax 2+4x ﹣1的图象与x 轴只有一个公共点”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a ＝0.40.2，b ＝0.40.6，c ＝2.10.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a6．已知函数f(x)={(4−a)x +7，x ＜2a x ，x ≥2是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，3]C ．（1，4）D ．[3，4）7．已知实数a ＞0，b ＞0，1a+1+1b+1=1，则a +2b 的最小值是（ ）A ．3√2B ．2√2C ．3D ．28．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，（x 1≠x 2），设a ＝3f （13），b =−52f （−25），c ＝f （1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求） 9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（ ） A ．f （x ）＝|x |﹣1 B ．f(x)=x +3xC ．f （x ）＝2x +2﹣xD ．f(x)=1x 210．函数f （x ）=xx 2+a的图象可能是（ ）A．B．C．D．11．已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（）A．f(x)=√4+x2B．f(x)=52x2−4x+3C．f(x)=2x−12x+1D．f(x)=x+√4−x12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足如下条件：①f（xy）＝xf（y）+yf（x），②当x＞1时，f（x）＞0；则下列结论中正确的是（）A．f（1）＝0B．f（xy）＝f（x）f（y）C．f（x）在（1，+∞）上单调递减D．不等式xf(x−32)≥(32−x)f(x)的解集为[2，+∞）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−2n在（0，+∞）上单调递减，则n＝．14．函数f（x）=(13)−x2+2x+3的单调增区间为．15．∀x∈[1，3]，不等式x2﹣ax﹣3≤0恒成立，则实数a的取值范围为．16．设函数f(x)={−ax+4，x＜a(x−2)2，x≥a存在最小值，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）若x +x ﹣1＝3，（0＜x ＜1），求下列各式的值：（1）x 2+x ﹣2；（2）x 32−x −32．18．（12分）（1）已知实数x ，y 满足﹣1≤x ≤2，0≤y ≤1，求x ﹣2y 的取值范围； （2）已知﹣1＜a +b ＜3，2＜a ﹣b ＜4，求2a +3b 的取值范围．19．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+5x ﹣2，已知不等式f （x ）＞0的解集为{x|12＜x ＜2}． （1）求不等式ax 2+5x +a 2﹣1＜0的解集；（2）若定义在区间D 上的函数y ＝f （x ）对于区间D 上任意x 1，x 2都有不等式f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)成立，则称函数y ＝f （x ）在区间D 上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：f （x ）＝ax 2+5x ﹣2在R 上是凸函数．20．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为f （x ）（单位：万元），当年产量不超过14万件时，f(x)=23x 2+4x ；当年产量超过14万件时，f(x)=17x +400x−80．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润g （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？21．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a⋅2x+12x +1是奇函数．（1）求a 的值，判断f （x ）的单调性并用定义证明；（2）若存在t ∈[1，2]，使得f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＞0成立，求实数k 的取值范围．22．（12分）定义：对于函数y ＝g （x ），当x ∈[a ，b ]时，y 的取值集合为[1b ，1a ]，则称区间[a ，b ]为函数g （x ）的一个“倒值映射区间”．已知一个定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），当x ∈（0，3]时，f(x)=1−12|x −1|． （1）求f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[1，3]内的“倒值映射区间”； （3）求函数f （x ）在定义域内的所有“倒值映射区间”．2023-2024学年广东省汕头市金山中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x+1x−2≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜2}解：对于集合A ，由2x ﹣1≥0得x ≥0，所以A ={x|y =√2x −1}={x|x ≥0}， 对于集合B ，因为x+1x−2≤0，所以{(x +1)(x −2)≤0x −2≠0，解得﹣1≤x ＜2，所以B ={x|x+1x−2≤0}={x|−1≤x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ＜2}． 故选：B ．2．化简：√(π−4)2+√(π−3)33=（ ） A ．1B ．﹣1C ．7﹣2πD ．2π﹣7解：√(π−4)2+√(π−3)33=|π−4|+π−3=4−π+π−3=1． 故选：A ．3．已知f(x)=ax 3+bx +3，f （4）＝5，则f （﹣4）＝（ ） A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣5解：设g(x)=f(x)−3=ax 3+bx ，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 则g(−x)=a(−x)3+b−x =−ax 3−bx =−g(x)，故g （x ）为奇函数， 又g （4）＝f （4）﹣3＝5﹣3＝2，则g （﹣4）＝﹣2， 所以f （﹣4）＝g （﹣4）+3＝﹣2+3＝1． 故选：B ．4．“a ＝﹣4”是“函数y ＝ax 2+4x ﹣1的图象与x 轴只有一个公共点”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＝0时，函数y ＝ax 2+4x ﹣1的图象与x 轴只有一个公共点，满足题意，当a ≠0时，函数y ＝ax 2+4x ﹣1的图象与x 轴只有一个公共点，则Δ＝16+4a ＝0，解得a ＝﹣4， 综上所述：a ＝0或a ＝﹣4． 故选：B ．5．已知a ＝0.40.2，b ＝0.40.6，c ＝2.10.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解：因为y ＝0.4x 在R 上单调递减，0＜0.2＜0.6， 所以0.40＞0.40.2＞0.40.6，故1＞a ＞b ． 再根据c ＝2.10.2＞2.10＝1，故c ＞a ＞b ． 故选：C ．6．已知函数f(x)={(4−a)x +7，x ＜2a x ，x ≥2是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，3]C ．（1，4）D ．[3，4）解：因为f(x)={(4−a)x +7，x ＜2a x，x ≥2是R 上的增函数，所以{4−a ＞0a ＞12(4−a)+7≤a 2，解得3≤a ＜4．故选：D ．7．已知实数a ＞0，b ＞0，1a+1+1b+1=1，则a +2b 的最小值是（ ）A ．3√2B ．2√2C ．3D ．2解：∵实数a ＞0，b ＞0，1a+1+1b+1=1，则a +2b ＝[（a +1）+2（b +1）](1a+1+1b+1)−3=2(b+1)a+1+a+1b+1≥2√2(b+1)a+1⋅a+1b+1=2√2， 当且仅当a +1=√2（b +1）=√2+1时取等号． ∴a +2b 的最小值是2√2． 故选：B ．8．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，（x 1≠x 2），设a ＝3f （13），b =−52f （−25），c ＝f （1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a解：函数f （x ）是R 上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，（x 1≠x 2），即f(x 1)x 1−f(x 2)x 2x 1−x 2＞0，设g （x ）=f(x)x ，可得g （x ）为偶函数，且g （x ）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减． a ＝g （13）＝3f （13），b ＝g （−25）=−52f （−25）＝g （25），c ＝g （1）＝f （1），可得a ＞b ＞c ， 故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（）A．f（x）＝|x|﹣1B．f(x)=x+3xC．f（x）＝2x+2﹣x D．f(x)=1x2解：f（x）＝|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故A正确；因为f(−x)=−x+3−x=−(x+3x)=−f(x)，所以f（x）为奇函数，故B错误；因为f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），所以f（x）为偶函数，令0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=(2x1+12x1)−(2x2+12x2)=(2x1−2x2)+2x2−2x12x1⋅2x2=(2x1−2x2)(1−12x1⋅2x2)，因为0＜x1＜x2，则2x1−2x2＜0，12x1⋅2x2＜1，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，故C正确；因为f(−x)=1(−x)2=f(x)，所以f（x）为偶函数，由反比例函数的单调性可知f（x）在（0，+∞）上单调递减，故D错误．故选：AC．10．函数f（x）=xx2+a的图象可能是（）A．B．C．D．解：当a＝0时，f（x）=1x，则选项C符合；当a＞0，f（0）＝0，故排除D；当x＞0时，f（x）=1x+ax≤12√a，当且仅当x=√a时取等号，则函数f（x）在（﹣∞，√a）上为减函数，在（√a，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠±√−a}，当x＞0，f（x）=1x+ax，由于y＝x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为增函数，则f（x）=1x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．11．已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（）A．f(x)=√4+x2B．f(x)=52x2−4x+3C．f(x)=2x−12x+1D．f(x)=x+√4−x解：对于A，因为x2≥0，所以4+x2≥4，所以f(x)=√4+x2∈[2，+∞)，不存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，故函数f(x)=√4+x2不是“有界函数”，A错误；对于B，f(x)=52x2−4x+3=52(x−1)2+1，因为2（x﹣1）2+1≥1，所以f(x)=52(x−1)2+1∈(0，5]，存在正数M≥5，使得|f（x）|≤M成立，故函数f(x)=52x2−4x+3是“有界函数”，B正确；对于C，f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，因为2x＞0，所以0＜12x+1＜1，所以−2＜−22x+1＜0，所以−1＜1−22x+1＜1，所以f(x)=2x−12x+1∈(−1，1)，即|f（x）|＜1，存在正数M≥1，使得|f（x）|≤M成立，故函数f（x）=2x−12x+1是“有界函数”，C正确；对于D，f（x）＝x+√4−x在[4，+∞）上单调递增，所以f（x）∈[4，+∞），|f（x）|∈[4，+∞），不存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，f（x）不是“有界函数”，D错误．故选：BC．12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足如下条件：①f（xy）＝xf（y）+yf（x），②当x＞1时，f（x）＞0；则下列结论中正确的是（）A．f（1）＝0B．f（xy）＝f（x）f（y）C ．f （x ）在（1，+∞）上单调递减D ．不等式xf(x −32)≥(32−x)f(x)的解集为[2，+∞）解：A 选项：由f （xy ）＝xf （y ）+yf （x ）， 令x ＝y ＝1，则f （1）＝f （1）+f （1）， 解得f （1）＝0，A 选项正确；B 选项：对于x ∈（0，+∞），f （xy ）＝xf （y ）+yf （x ）， 令y ＝x ，则f （x 2）＝xf （x ）+xf （x ）＝2xf （x ），假设f （xy ）＝f （x ）f （y ）成立，则f （x 2）＝f （x ）f （x ）， 所以f （x ）f （x ）＝2xf （x ），又当x ＞1时，f （x ）＞0，即f （x ）不恒为0， 则f （x ）＝2x ，与f （1）＝0矛盾， 所以假设不成立，B 选项错误；C 选项：设x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，x 2x 1＞1，则f(x 2)=x 1f(x2x 1)+x2x 1f(x 1)，f(x 2)−x2x 1f(x 1)=x 1f(x2x 1)＞0，又f(x 2)−x2x 1f(x 1)＜f(x 2)−f(x 1)，所以f(x 2)−f(x 1)＞f(x 2)−x2x 1f(x 1)＞0，所以函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增，C 选项错误；D 选项：xf(x −32)≥(32−x)f(x)，即xf(x −32)+(x −32)f(x)≥0， 所以f[x(x −32)]=xf(x −32)+(x −32)f(x)≥0=f(1)，由函数的定义域可知x ∈[32，+∞)，又函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增， 所以x(x −32)≥1，解得x ≥2或x ≤−12（舍），D 选项正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．若幂函数f(x)=(n 2−3n +3)⋅x n2−2n在（0，+∞）上单调递减，则n ＝ 1 ．解：因为幂函数f(x)=(n 2−3n +3)⋅x n 2−2n在（0，+∞）上单调递减，所以{n 2−3n +3=1n 2−2n ＜0，解得n ＝1或n ＝2（舍），故答案为：1．14．函数f（x）=(13)−x2+2x+3的单调增区间为[1，+∞）．解：令t＝﹣x2+2x+3，则函数f（x）=(13)t，本题即求二次函数t的减区间．由于t的图象开口向下，对称轴为x＝1，故二次函数t的减区间为[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．15．∀x∈[1，3]，不等式x2﹣ax﹣3≤0恒成立，则实数a的取值范围为[2，+∞）．解：∀x∈[1，3]，不等式x2﹣ax﹣3≤0恒成立，即a≥x−3x在x∈[1，3]上恒成立，所以a≥(x−3x)max，因为y＝x在[1，3]上单调递增，y=−3x在[1，3]上单调递增，所以y=x−3x在[1，3]上单调递增，所以当x＝3时，y=x−3x有最大值3−33=2，所以a≥2．即实数a的取值范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）16．设函数f(x)={−ax+4，x＜a(x−2)2，x≥a存在最小值，则a的取值范围是[0，2]．解：①当a＜0时，﹣a＞0，故函数f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，因此f（x）不存在最小值；②当a＝0时，f(x)={4，x＜0(x−2)2，x≥0，当x≥0时，f（x）min＝f（2）＝0＜4，故函数f（x）存在最小值；③当0＜a≤2时，﹣a＜0，故函数f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，当x＜a时，f（x）＞f（a）＝﹣a2+4；当x≥a时，f（x）＝（x﹣2）2≥f（2）＝0．若﹣a2+4＜0，则f（x）不存在最小值，故﹣a2+4≥0，解得﹣2≤a≤2．此时0＜a≤2满足题设；④当a＞2时，﹣a＜0，故函数f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，当x＜a时，f（x）＞f（a）＝﹣a2+4；当x≥a时，f（x）＝（x﹣2）2≥f（a）＝（a﹣2）2．∵（a﹣2）2﹣（﹣a2+4）＝2a2﹣4a＝2a（a﹣2）＞0，∴（a﹣2）2＞﹣a2+4，因此f（x）不存在最小值．综上，a的取值范围是0≤a≤2．故答案为：[0，2]．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）若x+x﹣1＝3，（0＜x＜1），求下列各式的值：（1）x 2+x ﹣2；（2）x 32−x−32．解：（1）因为x +x ﹣1＝3，所以（x +x ﹣1）2＝x 2+2+x ﹣2＝9，解得x 2+x ﹣2＝7； （2）因为(x 12−x −12)2=x 1+x −1−2=1，所以x 12−x −12=±1， 因为0＜x ＜1，所以x 12−x −12=−1．所以(x 32−x−32)=(x 12−x−12)(x 1+1+x −1)=−4．18．（12分）（1）已知实数x ，y 满足﹣1≤x ≤2，0≤y ≤1，求x ﹣2y 的取值范围； （2）已知﹣1＜a +b ＜3，2＜a ﹣b ＜4，求2a +3b 的取值范围． 解：（1）因为﹣1≤x ≤2，﹣2≤﹣2y ≤0，所以﹣3≤x ﹣2y ≤2， 所以x ﹣2y 的取值范围是[﹣3，2]． （2）设2a +3b ＝m （a +b ）+n （a ﹣b ）， 则{m +n =2m −n =3， ∴m =52，n =−12，∴2a +3b =52(a +b)−12(a −b)， ∵﹣1＜a +b ＜3，2＜a ﹣b ＜4，∴−52＜52(a +b)＜152，−2＜−12(a −b)＜−1， ∴−92＜52(a +b)−12(a −b)＜132． 即−92＜2a +3b ＜132． 即（−92，132）．19．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+5x ﹣2，已知不等式f （x ）＞0的解集为{x|12＜x ＜2}． （1）求不等式ax 2+5x +a 2﹣1＜0的解集；（2）若定义在区间D 上的函数y ＝f （x ）对于区间D 上任意x 1，x 2都有不等式f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)成立，则称函数y ＝f （x ）在区间D 上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：f （x ）＝ax 2+5x ﹣2在R 上是凸函数．解：（1）由题意知，12和2是方程ax 2+5x ﹣2＝0的根．由韦达定理知{12+2=−5a 12×2=−2a，解得a ＝﹣2． 所以不等式ax 2+5x +a 2﹣1＜0可化为2x 2﹣5x ﹣3＞0． 解得x ＞3或x ＜−12．所以不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜−12}．（2）由（1）知a ＝﹣2，代入f （x ）＝﹣2x 2+5x ﹣2， 根据凸函数的定义，我们有f(x 1)+f(x 2)2−f(x 1+x 22)=−2x 12+5x 1−2−2x 22+5x 2−22+2(x 1+x 22)2−5⋅x 1+x 22+2=−x 12−x 22+2x 1x 22=−(x 1−x 2)22≤0；∴f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)，∴f （x ）＝﹣2x 2+5x ﹣2在R 上是凸函数．20．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为f （x ）（单位：万元），当年产量不超过14万件时，f(x)=23x 2+4x ；当年产量超过14万件时，f(x)=17x +400x −80．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润g （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 解：（1）根据题意得，当0≤x ≤14时，g(x)=16x −f(x)−30=−23x 2+12x −30， 当14＜x ≤35时，g(x)=16x −f(x)−30=50−x −400x， 故g(x)={−23x 2+12x −30，0≤x ≤14，50−x −400x ，14＜x ≤35. （2）当0≤x ≤14时，g(x)=−23x 2+12x −30，且当0≤x ≤9时，g （x ）单调递增，当9＜x ≤14时，g （x ）单调递减， 此时g(x)max =g(9)=−23×81+12×9−30=24．当14＜x≤35时，g(x)=50−x−400x≤50−2√x⋅400x=10，当且仅当x＝20时，等号成立．因为24＞10，故当x＝9时，g（x）取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片．21．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=a⋅2x+12x+1是奇函数．（1）求a的值，判断f（x）的单调性并用定义证明；（2）若存在t∈[1，2]，使得f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0成立，求实数k的取值范围．解：（1）由题意，得f(0)=a+12=0，所以a＝﹣1，当a＝﹣1时，f(x)=1−2x1+2x=2−(1+2x)1+2x=21+2x−1，则f(−x)=1−2−x1+2−x=(1−2−x)2x(1+2−x)2x=2x−12x+1=−f(x)，则f（x）为奇函数，合乎题意，故a＝﹣1，函数f(x)=1−2x1+2x在定义域R上单调递减，证明如下：任取x1、x2∈R且x1＜x2，则2x2−2x1＞0，所以，f(x1)−f(x2)=(21+2x1−1)−(21+2x2−1)=2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)＞0，所以，f（x1）＞f（x2），故函数f(x)=1−2x1+2x在定义域R上单调递减．（2）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0，得f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k），因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＞f（k﹣2t2），由（1）知f（x）在R上为减函数，所以t2﹣2t＜k﹣2t2，即存在t∈[1，2]，k＞3t2﹣2t成立，令g（t）＝3t2﹣2t，其图象对称轴为t=13，开口向上，所以g（t）在[1，2]上单调递增，故k＞g（t）min＝g（1）＝3﹣2＝1，即k∈（1，+∞）．22．（12分）定义：对于函数y＝g（x），当x∈[a，b]时，y的取值集合为[1b ，1a]，则称区间[a，b]为函数g（x）的一个“倒值映射区间”．已知一个定义在[﹣3，3]上的奇函数f（x），当x∈（0，3]时，f(x)=1−12|x−1|．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[1，3]内的“倒值映射区间”；（3）求函数f（x）在定义域内的所有“倒值映射区间”．解：（1）∵f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，则f（0）＝0，当x ∈[﹣3，0）时，则﹣x ∈（0，3]，f （﹣x ）＝1−12|﹣x ﹣1|＝1−12|x +1|， 又f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣1+12|x +1|． ∴f （x ）={−1+12|x +1|，−3≤x ＜00，x =01−12|x −1|，0＜x ≤3；（2）设1≤a ＜b ≤3，函数f （x ）=32−12x ，f （x ）在[1，3]上单调递减， 且f （x ）在[a ，b ]上的值域为[1b，1a ]，∴{f(b)=32−12b =1b f(a)=32−12a =1a 1≤a ＜b ≤3，解得{a =1b =2，∴函数f （x ）在[1，3]内的“倒值映射区间”为[1，2]；（3）∵x ∈[a ，b ]时，y 的取值集合为[1b，1a]，其中a ≠b ，且a ≠0，b ≠0， ∴{a ＜b1b＜1a，则{a ＜bab ＞0． 只考虑0＜a ＜b ≤3或﹣3≤a ＜b ＜0时，①当0＜a ＜b ≤3时，∵函数f （x ）在（0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减， 故当x ∈（0，3]时，f （x ）max ＝f （1）＝1，则1a ≤1，∴1≤a ＜3，则1≤a ＜b ≤3，由（2）知，f （x ）的“倒值映射区间”为[1，2]；②当﹣3≤a ＜b ＜0时，同理可得f （x ）的“倒值映射区间”为[﹣2，﹣1]． 综上所述，函数f （x ）在定义域内的“倒值映射区间”为[1，2]和[﹣2，﹣1]．。