高中数学第一章推理与证明11归纳与类比类比推理北师大版2-2

归纳与类比1. 推理按照一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部份组成,一部份是已知的事实(或假设)叫做前提,一部份是由已知推出的判断,叫结论.2．合情推理（1）归纳推理：由某类事物的部份对象具有的某些特征，推出该类事物的全数对象都具有这些特征的推理，或由个别事实归纳出一般结论的推理.简言之，归纳推理是由部份到整体、由个别到一般的推理.归纳推理是从特殊到一般的推理方式，通常归纳的个体数量越多，越具有代表性，那么推行的一般性命题也会越靠得住，它是一种发觉一般性规律的重要方式.（2）类比推理：也成为类比，是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻觅事物之间的一路或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越靠得住.（3）归纳推理和类比推理都是按照已有的事实，通过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中，取得一个新结论之前，合情推理常常能够帮忙咱们猜想和发觉结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为咱们提供证明的思路和方向.可是，合情推理的结论不必然正确，有待进一步证明.3. 演绎推理（1）演绎推理：从一般性的原理动身，推出某个特殊情形下的结论的推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）三段论是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情形；③结论——按照一般原理，对特殊情形做出的判断.（3）演绎推理在大前提、小前提和推理形式正确的前提下，取得的结论必然是正确的.（4）公理化方式：尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（千米、公设），以此为起点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方式.4. 合情推理与演绎推理之间的关系就数学而言，演绎推理是证明数学结论、成立数学体系的重要思维进程，但数学结论、证明思路的发觉，主要靠合情推理.5.合情推理与演绎推理是解题中常常利用的思想和方式，要好好掌握.1.在进行类比推理时，常常需要寻觅适合的类比对象，而且能够从不同的角度肯定类比对象.但大体原则是按照当前问题的需要，选择适当的类比对象.2.应用三段论解决问题是，第一应该明确什么是大前提和小前提.。

§1概括与类比在平时生活中 , 人们经常需要进行各种各种的推理 . 如医生诊疗病人的病症 , 警察侦破案件, 数学家论证命题的真假等 , 此中都包括了推理活动 . 在数学中 , 证明的过程更离不开推理 .本节就开始学习有关数学推理的知识.能手支招 1 细品教材一、推理1.推理的观点依据一个或几个已知的事实 ( 或假定 ) 得出一个判断 , 这种思想方式叫推理 . 推理一般由两部分构成 : 前提和结论 .状元笔录合情推理中,目前提为真时, 结论可能为真 , 也可能为假 .2.合情推理(1)目前提为真时 , 结论可能为真的推理 , 叫做合情推理 .合情推理是指“符合情理”的推理 . 数学研究中 , 获得一个新结论以前 , 合情推理经常能帮助我们猜想和发现结论 ; 证明一个数学结论以前 , 合情推理经常能为我们供给证明的思路和方向 , 其推理过程为：(2)两种合情推理 : 概括推理和类比推理 .二、概括推理1.观点依据一类事物的部分事物拥有某种性质 , 推出这种事物中每一个都拥有这种属性的推理方式 , 叫做概括推理 ( 有时简称概括 ). 概括推理是从个别到一般 . 由部分到整体的过程 .状元笔录概括推理的前提与结论不拥有必定性联系, 其结论不必定正确.2.特色(1) 概括推理的前提是几个已知的特别现象, 概括所得的结论是尚属未知的一般现象, 该结论超越了前提所包含的范围.(2) 由概括推理获得的结论拥有猜想的性质, 结论能否真切, 还需要经过逻辑证明和实践查验.所以 , 它不可以作为数学证明的工具.(3)概括推理是一种拥有创建性的推理 . 经过概括推理获得的猜想 , 能够作为进一步研究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题 .3. 概括推理的步骤其一般步骤为:(1)经过察看个别状况发现某些同样性质;(2)从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题.示例 : 已知 : 数列 {a } 的第 1 项 a =1, 且 a =a n(n=1,2,3,,),试概括出这个数列的通项公n1n+11a n式.思路剖析：数列 {a n} 的通项公式是第 n 项 a n与序号 n 之间的对应关系 , 我们能够先依据已知条件算出数列 {a n} 的前几项 , 而后去概括出一般性的公式 .1111, 当 n=4解 ： 当 n=1 时 ,a 1=1, 当n=2 时 ,a 2=, 当 n=3 时 ,a 3=21121 3121 1时,a =3, ,,41 413经过察看可得 : 数列的前四项都等于相应序号的倒数, 由此概括出 :a n = 1.n三、类比推理 1. 观点两类不一样对象拥有某些近似的特色 , 在此基础上 , 依据一类对象的其余特色 , 推测另一类对象也拥有近似的其余特色 , 这种推理叫做类比推理 ( 简称类比 ).类比推理是数学推理的一种重要形式, 它的本质是依据两对象之间的相像 , 把信息从一 个对象转移到此外一个对象 , 类比推理不单是一种从特别到特别的推理方法, 也是一种探究解题思路、猜想问题答案或结论的一种有效的方法 . 这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用 .2. 特色(1) 类比推理是由特别到特别的推理 .(2) 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特色, 推测正在被研究的事物的特色 , 所以 , 类比推理的结果拥有猜想性 , 不必定靠谱 .(3) 类比推理以旧的知识作基础 , 推测新的结果 , 拥有发现的功能 . 类比推理在数学发现中有重要作用 .(4) 因为类比推理的前提是两类对象之间拥有某些能够清楚定义的近似特色，所以进行类比 推理的重点是明确地指出两类对象在某些方面的近似特色.状元笔录类比推理是一种由特别到特别的推理形式, 目的是找寻事物之间的共同或相像性质, 它是一种似真推理 . 类比推理的结论需要进一步证明其正确性, 类比的性质相像性越多, 相像的性质与推测的性质之间就越有关 , 进而类比得出的结论就越靠谱 .比如，据科学史上的记录 , 光波观点的提出者 , 荷兰物理学家、 数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较 , 发现它们拥有一系列同样的性质: 如直线流传、 有反射和干扰等 . 又已知声是由一种周期运动所惹起的、 呈颠簸的状态 , 由此 , 惠更斯作出推理 , 光也可能有呈颠簸状态的属性 , 进而提出了光波这一科学观点. 惠更斯在这里运用的推理就是类比推理.3. 类比推理的步骤其一般步骤为 :(1) 找出两类事物之间的相像性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 , 得出一个明确的命题 ( 猜想 ). 状元笔录类比推理是两类事物特色之间的推理, 利用类比推理得出的结论可能是正确的 , 也可能是错误的 .【示例】类比平面内正三角形的“三边相等 , 三内角相等”的性质, 可推知正四周体的以下哪些性质 , 你以为比较适合的是（）①各棱长相等 , 同一极点上的任两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形, 同一极点上的任两条棱的夹角都相等 .A.①B.①②C.①②③D.③思路剖析：因为正三角形的边和角能够与正四周体的面( 或棱 ) 和相邻的两面成的二面角( 或共极点的两棱夹角) 类比 , 所以①②③都适合.答案： C能手支招 2 基础整理推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思想形式. 任何推理都由前提和结论两部分构成 , 前提与结论的关系是原由与推测 . 原由与结果的关系 . 本节则主要叙述合情推理的两种种类 : 概括推理和类比推理 . 其主要知识构造以下 :。

课时教案科目：数学教师：授课时间：第1周星期年2月15日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

演绎推理一、教学目标 1、知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理； (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。

二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习准备：1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？ ②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则） 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ 3. 导入：（小前提）是二次函数函数12++=x x y（二）、新课探析 1.概念：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.③ 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提） S —M （S 是M ） （小前提） S —P （S 是P ）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2.例题探析：21.1y x x =++例把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。