3.1.1两角差的余弦公式(完美版)课件

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第三章 三角恒等变换
(3)由 A＝(A＋B)－B 利用两角差的余弦公式求解． (4)利用两角差的余弦公式解题时，要掌握诸如 α＝α＋2 β＋ α－2 β，2β＝(α＋β)－(α－β)，…角的交换．
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第三章 三角恒等变换
【解】 在△ABC 中，由 cos B＝－23，可得 sin B＝ 35，由
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第三章 三角恒等变换
新知初探思维启动
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝__c_o_s_α_c_o_s_β_＋__s_i_n_α_s_i_n_β____
简记符号 使用条件
C(α－β) α，β为任意角
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第三章 三角恒等变换
想一想 cos(α－β)＝cos α－cos β一定成立吗？ 提示：cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立． 如：cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°. 做一做 化简：cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝________.
如何利用规律实现更好记忆呢？
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第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
ห้องสมุดไป่ตู้
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
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第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
如何利用规律实现更好记忆呢？
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第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律

如果去掉条件 ( , )此题如何做呢？ 2

16:33:36
提高能力：
（1） cos 750 cos 300 sin 750 sin 300
（2） cos( ) cos sin( )sin
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本课小结
通过对本节内容的探究学习、训练， 你获得哪些思考?
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问题的提出
1、联想诱导公式
cos( ) sin 2
2、 我们已经知道cos45
2 ， cos30 3 ， 2 2 那么我们能否得到cos15=？
是不是cos(45 30) cos45 cos30 ?
从而猜想：cos( - )=？
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有人提出：数学不但是研究现实 世界的存在形式和数量关系的科学， 数学还要研究人类的存在形式和人类 思维的模式。我认为学习是对世界的 一种认知过程，通过本节课学习我们 掌握了一些探究方法，探究是今后我 们探索未知世界的一种能力。 我们人 类不断地认识着这个世界，学习数学 能让我们认识和改造世界的思维得到 不断地发展。
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恳请各位批评指正
助我成长！
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简记“余余正正，符号相反”
2.公式中的α ,β 是任意角。
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训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（课本127页练习第1题）
（1） cos( ) sin 2

（2） cos(2 ) cos
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例1 求cos15°的值.
分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊角，
变换是数学的重要工具，也是数学学习 的主要对象之一。代数变换是我们熟悉的， 与代数变换一样，三角变换也是只变其形不 变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质 相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我 们简化三角函数式。在本册第一章，我们接 触了同角三角函数式的变换，在本章，我们 将运用数学中的一些工具或方法推导两角差 的余弦公式，由此导出其他的三角恒等变换 公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等 变换。通过本章学习，将帮助我们进一步提 高推理能力和运算能力。

α
o
B
β
1 x
OA OB
cos cos sin sin
∴
-1
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 思考：此公式对任意角α，β都成立吗？
cos （ ） cos cos sin sin
思考： C( ) cos （ ） cos cos sin sin
练习：课本127页2、3、4
大本P64,例2
2 10
练习：已知 , 均为锐角, 且 ， 3 3 10 cos , cos( ) , 求 cos 的值. 5 10
10 10
3 5 例4、在ABC中， cos A= ， cos B= ， 5 13 则cosC的值等于( )
余弦值表示 cos( ) ？
(1)、结合图形,明确应选 择哪几个向量,它们怎么 表示? (2)、怎样利用向量数量 积的概念和计算公式得 到探索结果?
Y
A α
O
B β
X
OA cosα ,sinα
cos( )
∵
OB cosβ , sinβ
y A
OA OB OA OB cos( )
)
练习：
1 1. cos1750 cos550 sin 1750 sin 550 2
2. cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 )
2 2
解后回顾：角的整体性
3.已知 cos 25 cos 35 cos 65 cos 55的值等于( B ) A 0 B 1 2 C 3 2 D 1 2

sin α，sin β的值，就可以求得cos(α－β)的值．
例 1、利用差角公式求cos15o 的值。
解法 1：cos15o = cos 45o − 30o
= cos45o cos30o +sin45o sin30o
= 2 3 2 1 × + × 2 2 2 2
=
解法 2：cos15o = cos 60o − 45o = cos60o cos45o +sin60o sin45o
返回
例 3、已知sinα = ，α ∈
5
4
π 2
，π ，cosβ = − ，β是第三象限角，
13
5
求cos （α − β）的值。
解 ： 由sinα =
4 5
，α ∈
π 2
，π ，得
？
联 系 公 式 C（α −β ） 和 本题的条件，要计算
cos （α − β），
注：思维
的有序性和表 应作哪些准备？ 3 2 cosα = − 1 − sin α = − ； 5 达的条理性是 5 由cosβ = − ，β是第三象限角，得 13 三角变换的基
解：(1)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0. 1 (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)]＝cos(－60° )＝ . 2 (3)原式＝cos 40° cos 70° ＋sin 70° sin 40° ＝cos(70° －40° )＝cos 30° ＝ 3 . 2
6+ 2 4
=
1 2
×
4
2 2
+
3 2
×
1 2
点评：
=
2+ 6
在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数时， 关键在于把待求的 角转化为已知角或者特殊角(如 30°，45°等)的差，然后求值．

π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式： 两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 已知一个角的正弦 的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝ ，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝ ， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ ＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用 掌握两角差的余弦公式， 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出， 数值可以直接写出，利用诱导公式还可进 一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求 函数值.我们希望再引进一些公式， 更多的非特殊角的三角函数值， 更多的非特殊角的三角函数值，同时也为 三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.

= cos45°cos30°+sin45°sin30°
2 2
3 2
21 22
6 4
2
解法2: cos15cos6045
c6 o c 0 s4 o 5 s s6 i n s04 i n 5
1 2 3 2 2 6
22 2 2
4
小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差. 2、公式的直接应用.
例 2 .求 :c1 值 o 0 c 7 s 5 o 0 5 s 5 s 1 i0 n s 7 5 i0 5 n 5
3.1.1 两角差的余弦公式
复习回忆
三角函数 sin 30 sin 45 sin 60
1
三角函数值
2
2

2
2
三角函数 cos30cos45cos60
3
2
1
三角函数值
2
2
2
一、 新课引入
问题1:
sin75°＝sin〔 45° +30°〕
cos15°＝？ ＝ssinin7455°°－= ？sin30°？
y
P1
cos(α－β)=OM
P
β α
O
M
x
思考2：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？
cosβ
y
P1
A
P β
O
sinβ
x
思考3：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段 长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
α
OB
x
cosαcosβ
思考4：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？

2020/12/10
6 115
例3.已 知 ,都 是 锐c角 os ，4,
5
cos() 5 ,求cos的 值 。
13
提示：拆 角 思 想 : c o s c o s ( ) .
2020/12/10
12
练习
1.已 知 sina3,是 第 四 象 限 的 角 ， 求
5
cos()的 值 。
4
y
ΟΑ(cosα,sinα) A OB(cosβ,sinβ) B α
β
O
x
O A 2020/ 12/O 10 B c o s c o s s i n s i n 5
思考3：向量的夹角θ,根据数量积定义
OAOB 等于什么? θ与α、β有什么
关系？ 由此可得什么结论？
y
O A O B O A O B c o s
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作 记忆？
2020/12/10
C (， 该 )公式有什么特点？如何
8
探究（三）：公式的应用 例1 利用余弦公式求cos15°的值.
（1）cos15 co（ s 45 -30） =cos45 cos30 sin45 sin30
A
cos
θB
α
α-β= 2kπ＋θ
β
O
x
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2020/12/10
6
思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋ sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记
作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？
2020/12/10
7

_______3_________
练习：
1
2 cos
3 sin ____c_o_s_(_1____-__)__
2
3
cos( 210) cos( 240) sin( 210)sin( 240)
________________ 2
2
例4
已知α，β都是锐角,
cosα=
4， 5
变 cosα+β 153，求cosβ的值
归 差角的余弦公式 纳
Cα-β
注意：1.公式的结构特点； 同名积 符号反
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
学 利用差角余弦公式求cos15 的值
以 分析: cos15 cos 45 30
致
用
cos15 cos60 45
6 2 4
思考：你会求sin15 的值吗?
sinα=
54，α
2
,
cosα=
-
3 5
cosβ= - 153，β是第三象限角
sin
= - 12 13
cos( ) 33
65
练习：P127 4
例3. 逆用
cos1750 cos 550 sin1750 sin 550
1
_____2_______
-
1 2
cos
3 sin
2
cos(2 - )
6 2 4
例1.已知
cosα=
-
1 5
,α
2
,
,
求cos
3
α
的值.
正
cosα=
-
1 5
,α
2
,
sinα=

B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°
C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°
D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3°
【解析】cos 17°＝cos(20°－3°)＝cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°.
【答案】B
2．下列关系中一定成立的是 A．cos(α－β)＝cos α－cos β B．cos(α－β)＜cos α＋cos β C．cos(2π－α)＝sin α D．cos(π2＋α)＝sin α
＝－53×
22＋45×
22＝
2 10 .
规律方法 1．本题求解的关键在于把角 α 分解成两角 α＋π4与 α 之差， 变角是进行三角变换的常用方法技巧，如 α＝(α＋β)－β，α ＝β－(β－α)，α＝(2α＋β)－(α＋β)等． 2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公 式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某 两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可 求的，再代入公式计算．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题， 求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值； ②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
课堂检测
1．cos 17°等于
()
A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°
例 2.已知 sin(α＋4π)＝45，且4π<α<34π，求 cos α 的值． 解:∵sin(α＋π4)＝45，且π4＜α＜34π，∴π2＜α＋π4＜π，
∴cos(α＋π4)＝－ 1－452＝－35.

1
x
sin sin
第十二页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
思考8：上述推理能说明对任意角α，β， 都有 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 成立吗？
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原理 吗？
ks5u精品课件
第十三页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
ks5u精品课件
第七页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β， 角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP
＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
cos(α－β)=OM
y P1 P
O
M
x
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第八页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
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第二十页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
3.在差角的余弦公式中，α，β既可以 是单角，也可以是复角，运用时要注意 角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β)
( 6) 6 等. 同时，公式的应用具有 灵活性，解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择.
作业： P127练习：1，2，3，4.
第十八页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
理论迁移
例1 利用余弦公式求cos15°的值.
例2 已知sin
4 5
,cos
5,
，,
13
2
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.
例3 已知 cos( )cos sin( )sin 1 ,
3
且 3 ,2 , 求 cos( )的值.
2
4