数理方程初始条件与边界条件

00|()()t t u x ux t ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩拉普拉斯算子：四种方法:分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条件:热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件：不含初始条件，只含边界条件条件 波动方程的边界条件: (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(2)自由端：x =a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 弹性支承端：在x =a 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。

定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。

• 解的存在性：定解问题是否有解；• 解的唯一性：是否只有一解；• 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇u u ∇=grad 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇22222y u x u u ∂∂+∂∂=∇0(,)|()t u M t M ϕ==0|0,x u ==(,)0u a t =变动。

分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。

把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。

适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动 二有限长杆上的热传导 三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程 齐次边界条件2''0(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X xλλββπβ+=⎧⎨==⎩====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。

浅话边界条件与初始条件边界条件在说边界条件之前，先谈谈初值问题和边值问题。

初值和边值问题：对一般的微分方程，求其定解，必须引入条件，这个条件大概分两类---初始条件和边界条件，如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0 )=y0，y′(x0)= y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题;而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B 则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。

三类边界条件:边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件;B≠0,A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件;A≠0,B≠0，则称为第三类边界条件或洛平 (Robin)条件。

总体来说，第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值;第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数;第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。

对应于comsol，只有两种边界条件：Dirichlet boundary(第一类边界条件)—在端点，待求变量的值被指定。

Neumann boundary(第二类边界条件)—待求变量边界外法线的方向导数被指定。

再补充点初始条件：初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t=0的值.在有限元中，好多初始条件要预先给定的。

不同的场方程对应不同的初始条件。

总之，为了确定泛定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件.边界条件与初始条件是控制方程有确定解的前提。

边界条件是在求解区域的边界上所求解的变量或其导数随时间和地点的变化规律。

浅谈数理方程中线性边界条件的分类摘要： 数学物理方程中有定解离不开初始条件和边界条件，其反映了具体问题所处的环境和背景。

本文针对线性边界条件的分类进行归纳。

关键词： 数学物理方程 线性边界条件 分类一、 引言物理课程中所研究论述的物理规律是物理量在空间和时间中变化的规律。

物理规律用数学表达是：物理量u 在各个地点和各个时刻所取值之间的联系。

通过这种联系，我们就可以由边界条件和初始条件推算出物理量在任意地点和任意时刻的u(x,y,z,t)。

同时它也是解决问题的依据。

为了解算具体问题，应该考虑到所研究的区域所处的环境。

边界条件和初始条件就是反映具体问题所处的环境和背景。

二、 线性边界条件的分类物理规律反映的是物理量在时间和空间上的联系，与特定的周围环境和历史有关。

物理中的联系总是要通过中介，周围环境的影响是通过边界传给其研究对象，所以，周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。

而不同的物理过程，因其具体的条件不同，结果也不一样。

下面，将对线性边界条件进行简单的归纳。

1、第一类边界条件这类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。

()(),,,U x y z t 00000边界x ,y ,z 0,=f t,x ,y ,z ，又称狄利克雷()Dirichlet 边界条件。

首先以弦振动为例：取一根长为L 的弦，把它的两端0X =和X L =固定起来，然后让它振动。

边界条件0X =和X L =既然是固定的，那位移U 当然始终为零。

()0,0x U x t ==()()()()()000000,,000,,,,,,0,0,,,0x x tx x ax lx y z x a U x t N U x t N f z t u x t uuf t x y z nkUn ρϕ=========∂=∂=边界(),0x t U x t ==对于细杆导热问题，如果杆的某一端点x=a 的温度U 按已知的规律f (t)变化，则该点的边界条件是：()(),x aU x t f t ==特别是如果该端点恒温u 0 ,则边界条件成为()()0,x aU x t f u ==再如，半导体扩散工艺的“恒定表面浓度扩散”中，硅片周围环境是携带着充足杂质的氮气，杂质通过硅片表面向内部扩散，而硅片表面的杂质浓度保持一定。

1、弦在介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F 与速度成正比，比例常数R 称为阻力系数，试推导弦在介质中的纵向微振动方程。

（022222=∂∂+∂∂-∂∂t u x u a t u γ，式中ργρR F a T ==2 T F 为弦自身的张力，ρ为弦的质量密度）2、中子在扩散过程中会发生衰变，衰变率与中子密度成正比，且衰变率为β（常量），设D 为扩散系数，试推导中子的扩散方程。

（u u D tu β-=∇-∂∂2） 3、推导弹性细杆的横向振动方程，设杆的杨氏模量为E （常量），质量密度为ρ（常量），杆还受外力的作用，单位长度所受的外力为F(x,t)，力的方向与杆轴平行。

（()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 其中()()ρρE a t x F t x f ==/,,）4、一长为L 的均匀细杆，左端固定，右端受拉力F 0的作用，写出杆横振动问题的边界条件。

（ES F x u u Lx x 000=∂∂===）5、一长为L 的均匀细杆，截面积为S （常数），左端有恒定的热流流入，其强度为Q ，右端保持恒定的温度，写出热传导问题的边界条件。

（)T u ks Q x uL x x =-=∂∂==0）6、长为L 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。

（⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=∂∂=-=εεερc x c x I t u u t t 02000） 7、一长为L 的均匀细杆，侧面绝热，x=0端有恒定热流流入，强度为1q ，x=L 端有恒定的热流流入，强度为2q ，杆的初始温度分布为()2x L x -，写出该问题的全部定解问题。

（()k q x u k q x u x L x u x u a t u L x x t 210022220=∂∂-=∂∂-=∂∂-∂∂===）。