例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B 两端的等效电阻R AB。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A 后，成为图8-4乙图。
3R 。
答案：R AB =
8
【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1 = 1Ω，R2 = 4Ω，R3 = 3Ω，R4 = 12Ω，R5 = 10Ω，试求A、B两端的等效电阻R AB。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。
因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图，求
R AB 是非常容易的。事实上，只要满足2
1R R =4
3R R 的关
系，该桥式电路平衡。 答案：R AB = 4
15Ω 。
【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的
电阻都是1Ω。求AB 间的总电阻。
2、电流分布法
设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压AB U ，再由
I U R AB
AB =
即可求出等效电阻。
A B
D
C
【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。
【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。
【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，C 、D 之间是两根电阻丝并联而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻
AB R 。
电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。
【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R ，求A 、B 间等效电阻。
3、Y —△变换法
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y 型或△，如图所示，有时把Y 型联
接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y 型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y 型联接三个端纽的电压
312312U U U 、、及流过的电流321I I I 、、与△型联接的三个端纽相同。
⑴将Y 型网络变换到△型电路中的变换式：
31
3322112R R R R R R R R ++=
2
1
3322131R R R R R R R R ++=
1
1
3322123R R R R R R R R ++=
⑵将△型电路变换到Y 型电路的变换式：
31
23
12
31
12
1
R
R R R
R R ++=
31231223
122R R R R R R ++=
31231223
313R R R R R R ++=
以上两套公式的记忆方法：
△→Y ：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。 Y →△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。 当Y 形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的Y 形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。
【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻R AB 。
提示：法一：“Δ→Y ”变换；
法二：基尔霍夫定律
【例题2】试求如图所示电路中的电流I 。（分别应用两种变换方式计算）
【课堂练习】分别求下图中AB 、CD 间
等效电阻。
( 答案：0.5R; R PQ =4Ω)
4、无限网络 若，⋯++++
=a a a a x
（a ＞0）
在求x 值时，注意到x 是由无限多个a 组成，所以去掉左边第一个
+
a 对x 值毫无影响，即剩余部分仍为x ，这样，就可以将原式等效变换为
x a x +=，即02=--a x x 。所以
2411a
x ++=
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。
⑴一维无限网络
【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB 。
V
412
3I
3'2'1'
Ω1Ω1Ω1Ω6Ω
6Ω6
