第二章电阻电路的等效变换
“等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。
所谓两个电路是互为等效的，是指（1）两个结构参数不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果
2-12）33(R R ∞=23,i i 。
解：（1）
2R 和3R 为并联，其等效电阻842R k ==Ω， 则总电流
mA R R u i s 3504210011=+=+= 分流有mA i i i 333.86502132====
（2）当∞=3R ，有03=i
（3）03=R ，有0,022==u i
2-2电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。
求：
（1）电压2u 和电流2i ；（2）若电阻1R 增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？
解：（1）对于2R 和3R 来说，其余部分的电路可以用电流源s i 等效代换，如33R R i R +32R R i R R s
+（2但1R 显然s i u s i 图（a 压is u 压源s u 4s 路中s u 中的电流。
2-3电路如图所示。
（1）求s o
u u ；（2）当(//212121R R R R R R R L +=>>时，s o u u 可近似为212
R R R +，此时引起的相对误差为
当L R 为)//(21R R 的100倍、10倍时，分别计算此相对误差。
解：（1）
L L R R R R R +⨯=22R R u i s +=1R R R u Ri u s
o +==1
所以s o u u =（2）设当100=K 10=K 时2-4==21G G 解：有
(b)图
中1G 和2G 所在支路的电阻
所以[][]Ω=+=+=322//2//34R R R R ab
(c)图可以改画为图(c1)所示，这是一个电桥电路，由于4321,R R R R ==处于电桥平衡，故开关闭合与打开时的等效电阻相等。
(d)图中节点1,1'同电位（电桥平衡），所以11'-间跨接电阻2R 可以拿去（也可以用短路线替代），故Ω=++=++=5.01//)11//()11(//)//()(12121R R R R R R ab
(e)图是一个对称的电路。
解法一：由于结点1与1'，2与2'等电位，结点3,3,3'''等电位，可以分别把
(e2)则=R ab 所示，故12i i =得
i i 12=所以Ω===323R i u R ab ab
(f)图中(1,1,2)ΩΩΩ和(2,2,1)ΩΩΩ构成两个Y 形连接，分别将两个Y 形转化成等值的△形连接，如图(f1)和(f2)所示。
等值△形的电阻分别为
并接两个∆形，最后得图(f3)所示的等效电路，所以
(g)图是一个对称电路。
解法一：由对称性可知，节点1,1,1'''等电位，节点2,2,2'''等电位，连接等电位点，得图(g1)所示电路。
则
解法二：根据电路的结构特点，得各支路电流的分布如图(g2)所示。
由此得端口电压 所以Ω===667.165R i u R ab ab
（1（2（3
（4支路电流，通过一些网孔回路方程和结点方程确定支路电流分布系数，然后求出断口电压和电流的比值，得出等效电阻。
2-5在图(a)电路中，Ω=Ω=Ω===2,6,12,6,2432121R R R V u V u s s 。
图(b)为经电源变换后的等效电路。
（1）求等效电路的s i 和R ；
（2）根据等效电路求3R 中电流和消耗功率；
精心整理 （3）分别在图(a),(b)中求出2,1R R 及R 消耗的功率；
（4）试问21,s s u u 发出的功率是否等于s i 发出的功率？21,R R 消耗的功率是否等于R 消耗的功率？为什么？
解：（1）利用电源的等效变换，图(a)中电阻与电压源的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。
等效后的电路如题解2-5图所示，其中 对题解2-5图电路进一步简化得图(b)所示电路，故
（2所以3R （3则21,R R (b)图中（4）(b)图中显然s i P ≠由（3的功率之和。
这充分说明，电路的“等效”概念仅仅指对外电路等效，对内部电路（变换的电路）则不等效。
2-6对图示电桥电路，应用∆-Y 等效变换求：（1）对角线电压U ；（2）电压ab U 。
解法一：把(10,10,5)ΩΩΩ构成的∆形等效变换为Y 形，如题解图(a)所示，其中各电阻值为：
由于两条并接支路的电阻相等，因此得电流
应用KVL 得电压V U 55.245.26=⨯-⨯=
又因入端电阻Ω=++++=30242)26//()44(ab R
所以V R U ab ab 1503055=⨯=⨯=
所示，把图(b)由图(c),5)Ω构成的Y 2-7（1）试证明当L R R R ==12时，L ab
R R =，且有5.0=in o u u ； （2）试证明当22121232L L R R R R R -=时，L ab R R =，并求此时电压比in o
u u 。
解：（1）当L R R R ==12时电路为一平衡电桥，可等效为题解图(a)所示电路，所以 即5.0=in o u u
（2）把由1R 构成的Y 形电路等效变换为∆形电路，原电路等效为题解图(b)。
其中
13R R =，因为22121122121122121222296332332//L L L L L L R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R -=+-⨯-=+=='
所以
2-8
Ω=,202R =,174A i s 中电压ab u 。
解。
其中
所以u ab =解其中
等效电流源为
等效电阻为
所以V R i u s ab 55.22-=⨯-=⨯=
注：应用电源等效互换分析电路问题时要注意，等效变换是将理想电压源与电阻的串联模型与理想电流源与电阻的并联模型互换，其互换关系为：在量值上满足s s u Ri =或s
s u i R =，在方向上有s i 的参考方向由s u 的负极指向正
极。
这种等效是对模型输出端子上的电流和电压等效。
需要明确理想电压源与理想电流源之间不能互换。
2-9利用电源的等效变换，求图示电路的电流i 。
解：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a)，(b)和(c)，所以电流
2-10o
u u 把i R u 33=即103=s o u u 即33o
u i =又因24
13o
s u i -= 即2413o
s o u u u -=
所以s o u u 3.0=
注：本
题说明，当受控电压源与电阻串联或受控电流源与电阻并联时，均可仿效
2-11即i R +1122-12解图(a)故得a ，b 端的输入电阻
解(b)：在(b)图的a ，b 端子间加电压源u ，如题解图(b)所示，由KVL 和KCL 可得电压[]12111211)1()(i R R i i R i R u β++=β++=
所以a ，b 端的输入电阻)1(211β++==R R i u R ab
注：不含独立源的一端口电路的输入电阻（或输出电阻）定义为端口电压和端口电流的比值，即in u
R i =。
在求输入电阻时，（1）对仅含电阻的
二端电路，常用简便的电阻串联、并联和Y -∆变换等方法来求；（2）对含有受控源的二端电阻电路，则必须按定义来求，即在端子间加电压源u （如本题的求解），亦可加电流源i ，来求得端口电压和电流的比值。
2-13
解图(a)有因1i =即
R +β+1(1解所示。
根据由KCL 3联立求解以上式子，可得u R u i R u μ+-=)(31
即
i R u R R 1311(=+μ- 故输入电阻133131
1
)1(1R R R R R R R i u R in +μ-=+μ-==
2-14图示电路中全部电阻均为Ω1，求输入电阻in R 。
解：a ，
b
在图(d)的端口加电压源u ，则有 即电路的输入电阻Ω==4.0i u R in。
