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全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换

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电阻电路的等效变换和化简

电阻电路的等效变换和化简

R1
包含
1
a
R3
1d
R12
R31
R1
R2
R3
2
R23
3
2
3
型网络
Y型网络
R2
b
R4
三端 网络
返回 上页 下页
，Y 网络的变形：
型电路 ( 型)
T 型电路 (Y、星 型)
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效
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2. —Y 变换的等效条件
1 + i1
u12 R12
– R3u1 31
u12 R12
– R3u1 31
– i2 2+
i3 +
R23 u23
–3
接: 用电压表示电流
1 +i1Y –
u12Y – i2Y R2
2+
R1 u31Y R3 i3Y +
u23Y – 3
Y接: 用电流表示电压
i1 =u12 /R12 – u31 /R31
i2 =u23 /R23 – u12 /R12
3.
b
100 10 60 50
80 R
c
R
2.
5
a 20
15 b
7
6
6
a
b
R
R
d
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例 求: Rab
a
b
20
100 10
40
60 50
a
20
120
b
100 60
60
80
a
b
20 100
a
b
100
Rab＝70

【精品】全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC

【精品】全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC

RAB

R 8

R 8

R 2

R 8


R 8

R 2

A
R 8
5
R
R
4
48
B
B
10
正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小
解: 段电阻均为R．试求RAB和RCD．
E
E
D
I
RAB

3 4
r
R 2
H
R 2R
2
2R
B
F HL G C
B
A甲
E
乙
D FH
G
A
I L
C 甲
R
R
2
2
R
BC
2
丙
R 2
RCD
D

3r 8
11
试求框架上A、B两点间的电阻RAB．此框架是用同种细金 属制作的，单位长度的电阻为ρ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，
如图所示．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半．
解:解题方向:由于对称，可将AB中垂线上各电势点拆分，原 电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限
b Ib
RAC
RBC
Ra
Rb
Rc
C Ic 甲
UAB Uab UAC Uac UBC Ubc
乙
c Ic
IA

U AB RAB
U AC RAC
IB

U BA RAB
U BC RBC
IC
UCA RCA
UCB RBC
Y→△变换
Y RRRaaaRURRUUcbccccaabRRRRaRRbcaYaaRRRUUbUbbbcaabcRRRRRRcbabbbRRRcccYU U UIRRRIaaaaaaabRRRbcccccRaRUIcRRRabbRRRIIIaaaRRRRRabccabaabbbRRRRUbIabaacRRRcRRbbbbbRRRRcccc III0ccb

电路原理(电阻电路的等效变换) 高中物理竞赛

电路原理(电阻电路的等效变换) 高中物理竞赛

1 Req
Geq
1 R1
1 R2
1 Rn
即 Req Rk
③并联电阻的分流
ik u / Rk Gk i u / Req Geq
ik
Gk Geq
i
电流分配与 电导成正比
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例 两电阻的分流：
Req
1 R1 1 R2 1 R1 1 R2
R1R2 R1 R2
i
i1
i2
R1
12 R
U4
U2 2
1 4
U1
3V
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I4
3 2R
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从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：
①求出等效电阻或等效电导；
②应用欧姆定律求出总电压或总电流； ③应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电
流和电压
以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例3 c d
6 5 a
求: Rab , Rcd
率的总和。
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2. 电阻并联
①电路特点
i
+
i1 i2
ik
u R1 R2
Rk
_
in Rn
(a)各电阻两端为同一电压（KVL)； (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
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②等效电阻
i
i
+
i1 i2
i i
无
源
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无 源 一 端 口
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2.两端电路等效的概念

电路原理(电阻电路的等效变换) 高中物理竞赛

电路原理(电阻电路的等效变换) 高中物理竞赛

1.理想电压源的串联和并联 注意参考方向
①串联 u us1 us2 usk
uS1 +
_
uS2 +
_
+u
_ 等效电路
+_ u
②并联 u us1 us2
等效电路
i
注相意同电压源才能并联,电
+
源中的电流不确定。
uS1 _
+
uS2 _
+ u _
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③电压源与支路的串、并联等效
uk
Rki
Rk
u Req
Rk Req
uu
表明电压与电阻成正比，因此串联电阻电路可作
分压电路。
i
例 两个电阻的分压：
u1
R1
R1 R2
u
u2
R2 R1 R2
u
+ u+1 R1 u-
+
_
u2 -
R2
º
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④功率 p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2
总功率
p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
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②等效电阻
i
i
+
i1 i2
ik
u R1 R2
Rk
Rn
in 等效
+ u
Req
_
_
由KCL:
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in

电路的简化和等效变换

电路的简化和等效变换

第一部分电路的等效变化在处理较复杂的混联电路问题时，常常因不会画等效电路图，难以求出等效电阻而直接影响解题。

为此，向同学们介绍一种画等效电路图的方法《快速三步法》。

快速三步法画等效电路图的步骤为: ⑴ 标出等势点。

依次找出各个等势点，并从高电势点到低电势点顺次标清各等势点字母。

⑵ 捏合等势点画草图。

即把几个电势相同的等势点拉到一起，合为一点，然后假想提起该点“抖动”一下，以理顺从该点向下一个节点电流方向相同的电阻，这样逐点依次画出草图。

画图时要注意标出在每个等势点处电流“兵分几路”及与下一个节点的联接关系。

⑶ 整理电路图。

要注意等势点、电阻序号与原图一一对应，整理后的等效电路图力求规范，以便计算。

例1、图1所示电路中，R仁R2=R3=3，R4=R5=R6=6，求M N两点间的电阻。

匚R3尺3R4R5RS解：该题是一种典型的混联电路，虽然看上去对称、简单，但直接看是很难认识各个电阻间的联接关系的，因此必须画出等效电路图。

下面用快速三步法来解。

1.在原电路图上标了等势点a、b、c。

2.捏合等势点画草图。

从高电势点M点开始，先把两个a点捏合到一起，理顺电阻，标出电流在a点“兵分三路”，分别经R1、R2 再捏合三个b点，理顺电阻，标出电流在b点“兵分三路”R5 R6流向c点；最后捏合c点，电流流至N点。

（见图R3流向b点；，分别经R4 2)N(3)整理电路如图7所示3.整理电路图如图3所示。

从等效电路图图3可以清楚地看出原电路各电阻的联接方式，很容易计算出 M N 两点间的电阻R=3^oR3图3♦练习：如图 4所示，R1=R3=4^，R2=R5=Q, 良5O' Re间的电阻。

解：(1)在原电路图上标出等势点a 、b 、c 、d(2)捏合等势点画草图，首先捏合等势点 a ,从 a 点开始，电流“兵分三路”，分别经 R2流向b 点、经R3和R1流向d 点；捏合等势点b ,电流I 科 1 R3FM 1rR1R7.R5 I“兵分两路”，分别经R5流向c 点，经R4流向d 点；捏合等势点c ， 电流“兵分两路”，分别经 R6和R7流向d 点。

全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换

全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换

全国中学生物理竞赛——纯电阻电路的简化和等效变换-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换李进山东省邹平县第一中学计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。

实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。

本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

1、等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。

常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。

【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B 两端的等效电阻R AB。

模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。

将图8-4甲图中的A、D缩为一点A 后，成为图8-4乙图。

3R 。

答案：R AB =8【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1 = 1Ω，R2 = 4Ω，R3 = 3Ω，R4 = 12Ω，R5 = 10Ω，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。

因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。

事实上，只要满足21R R =43R R 的关系，该桥式电路平衡。

答案：R AB = 415Ω 。

【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。

【推荐】全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC

【推荐】全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC
解: 中相邻的A、B两点接入电路中时，AB间的电阻RAB．
A B
R R3 I

RAB


I 6

I 6


R
AB
17
半径为R的薄壁导电球由连在A、B两点上的（AO⊥BO， O点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图．通过电源的电流为I0．问在球 面上C点处（OC⊥OA，OC⊥OB）电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作 两个小标志，使它们相距R／1000，其连线垂直电荷运动方向．问总电流中有多
r 3
由3 x r
r

x
2 21
RAB
r 2113
3
专题19-例4 田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电
解: 阻均为R，试求网络中A、B两点间的等效电阻RAB．
I RAB
R
O


I 2

I 24


R


I 8

5I 24


2R
B
I I 5I I 2 24 24 8
R1b
RRAcB RR1AcC
1
RBC
△→ Y变换
RAB

Rc
RBC

Ra
RAC

Rb Ib
Ubc RaRABUba RRcBC RAC Ra Rc Ra Rb Rb Rc
Ra

RAB RAC
Rb
RAB RBC
RcIc
RRACRRUBcaCRRb
Ucb Ra R R
电阻均为R的九个相同的金属丝组成构架
如图所示，求构架上A、B两点间电路的电阻．

电阻电路的等效变换和化简

电阻电路的等效变换和化简

（1） 电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比 （2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
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2. 电阻并联 (Parallel Connection)
(1) 电路特点
i
+
i1 i2
ik
in
u R1 R2
Rk
Rn
_
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)； (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
3.
b
100 10 60 50
80 R
c
R
2.
5
a 20
15 b
7
6
6
a
b
R
R
d
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例 求: Rab
a
b
20
100 10
40
60 50
a
20
120
b
100 60
60
80
a
b
20 100
a
b
100
Rab＝70
20 40
100 60
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例 求: Rab
20
5a15 b2 Nhomakorabea 缩短无电阻支路
R1
包含
1
a
R3
1d
R12
R31
R1
R2
R3
2
R23
3
2
3
型网络
Y型网络
R2
b
R4
三端 网络
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，Y 网络的变形：
型电路 ( 型)
T 型电路 (Y、星 型)
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效

纯电阻电路的简化和等效

纯电阻电路的简化和等效

纯电阻电路的简化和等效1、等势缩点法1、在图所示的电路中，R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

【答案】R AB =83R 。

2、在图所示的电路中，R 1 = 1Ω ，R 2 = 4Ω ，R 3 = 3Ω ，R 4 = 12Ω ，R 5 = 10Ω ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

【答案】R AB = 415Ω〖相关介绍〗英国物理学家惠斯登曾将上图中的R5换成灵敏电流计○G ，将R1 、R2中的某一个电阻换成待测电阻、将R3 、R4换成带触头的电阻丝，通过调节触头P 的位置，观察电流计示数为零来测量带测电阻Rx 的值，这种测量电阻的方案几乎没有系统误差，历史上称之为“惠斯登电桥”。

参照图8-6思考惠斯登电桥测量电阻的原理，并写出Rx 的表达式（触头两端的电阻丝长度LAC 和LCB 是可以通过设置好的标尺读出的）。

【答案】Rx =AC CB LL R0 。

3、在图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。

【答案】R AB = 75R2、电流注入法 4、对图8-9所示无限网络，求A 、B 两点间的电阻R AB 。

【答案】R AB =32R3、无穷网络等效法5、在图所示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB 。

【答案】R AB = 251+R6、（04年第21届全国中学生物理竞赛预赛）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B 、C 两点与其右方由1.0Ω的电阻和2.0Ω的电阻构成的无穷组合电路相接．求图中10μF 的电容器与E 点相接的极板上的电荷量．7、在图所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A 、B 两点间的等效电阻R AB 。

【答案】R AB = 212R4、等效电压源电路定理（戴维南定理）8、在如图所示电路中，电源ε = 1.4V ，内阻不计，R1 = R4 = 2Ω，R2 = R3 = R5 = 1Ω，试求流过电阻R5的电流。

高中物理竞赛——稳恒电流习题

高中物理竞赛——稳恒电流习题

高中物理竞赛——稳恒电流习题一、纯电阻电路的简化和等效1、等势缩点法将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。

至于哪些点的电势相等，则需要具体问题具体分析—— 【物理情形1】在图8-4甲所示的电路中，R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。

将图8-4甲图中的A 、D 缩为一点A 后，成为图8-4乙图对于图8-4的乙图，求R AB 就容易了。

【答案】R AB =83R 。

【物理情形2】在图8-5甲所示的电路中，R 1 = 1Ω ，R 2 = 4Ω ，R 3 = 3Ω ，R 4 = 12Ω ，R 5 = 10Ω ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

【模型分析】这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A 、B 两端接入电源，并假设R 5不存在，C 、D 两点的电势有什么关系？☆学员判断…→结论：相等。

因此，将C 、D 缩为一点C 后，电路等效为图8-5乙对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。

事实上，只要满足21R R =43R R 的关系，我们把桥式电路称为“平衡电桥”。

【答案】R AB =415Ω 。

〖相关介绍〗英国物理学家惠斯登曾将图8-5中的R 5换成灵敏电流计○G ，将R 1 、R 2中的某一个电阻换成待测电阻、将R 3 、R 4换成带触头的电阻丝，通过调节触头P 的位置，观察电流计示数为零来测量带测电阻R x 的值，这种测量电阻的方案几乎没有系统误差，历史上称之为“惠斯登电桥”。

请学员们参照图8-6思考惠斯登电桥测量电阻的原理，并写出R x 的表达式（触头两端的电阻丝长度L AC 和L CB 是可以通过设置好的标尺读出的）。

☆学员思考、计算… 【答案】R x =ACCBL L R 0 。

高中物理竞赛全套讲座——电路化简

高中物理竞赛全套讲座——电路化简

电路化简2．4．1、 等效电源定理实际的直流电源可以看作电动势为ε，内阻为零的恒压源与内阻r 的串联，如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源。

不论外电阻R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。

实际电源ε、r 对外电阻R 提供电流I 为r R rr r R I +⋅=+=εε其中r /ε为电源短路电流0I ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图2-4-2所示。

实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。

利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。

等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。

如图2-4-3所示为两端有源网络A 与电阻R 的串联，网络A可视为一电压源，图2-4-1图2-4-2图2-4-3图2-4-4等效电源电动势0ε等于a 、b 两点开路时端电压，等效内阻0r 等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。

等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的0I 等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。

例4、如图2-4-5所示的电路中，Ω=Ω=Ω=Ω=Ω===0.194,5.43,0.101,0.12,5.01,0.12,0.31R R R R r r V V εε （1）试用等效电压源定理计算从电源()22r 、ε正极流出的电流2I ；（2）试用等效电流源定理计算从结点B 流向节点A 的电流1I 。

分析： 根据题意，在求通过2ε电源的电流时，可将ABCDE 部分电路等效为一个电压源，求解通过1R 的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。

解： （1）设ABCDE 等效电压源电动势0ε，内阻0r ，如图2-4-6所示，由等效电压源定理，应有VR R R r R 5.11321110=+++=εε()Ω=+++++=5321132110R R R r R R r R r电源00r 、ε与电源22r 、ε串联，故Ar R r I 02.0240022-=+++=εεA2图2-4-5图2-4-62I ＜0，表明电流从2ε负极流出。

竞赛电路等效电阻计算方法技巧

竞赛电路等效电阻计算方法技巧

解 : R R R/8 R/4
B
2
R AB
1 2
1 4
1 8
3 4
1 2
1 2
.
A
R
47 22
R
25
小图所试示身，由手这题种网13络由元7彼个此阻连值接相形同成的的均无为限r的网电络阻如组图成⑵的所网示络，元试如求
P、Q两点之间的等效电阻．
解 : r Rx r/4 r/2
r r r rr P rr Q
用于有关的物理领域，取得了有意义的进展．
我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的
等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r；经一次分割得到 如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r
的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是
I RAB
R
O
2I 2I4R8I 524I2R
B
I I 5I I 2 24 24 8
A
29 RAB 24 R
O B
R
O
B
2
A
.
14
A
专题19-例5 如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两
个结点的导线的电阻为r0，如果将A和B接入电路，求此导线网的等
解 : 效电阻RAB．
I
RAB
I 4
4I
r0
E
F
A
B
则RAC33RRRR43R
H
G
BD
C
F
A
C
E
G
H
.
D
3
续解
AB间等效电阻:

电路的简化和等效变换

电路的简化和等效变换

第一部分电路的等效变化在处理较复杂的混联电路问题时，常常因不会画等效电路图，难以求出等效电阻而直接影响解题。

为此，向同学们介绍一种画等效电路图的方法《快速三步法》。

快速三步法画等效电路图的步骤为：⑴ 标出等势点。

依次找出各个等势点，并从高电势点到低电势点顺次标清各等势点字母。

⑵ 捏合等势点画草图。

即把几个电势相同的等势点拉到一起，合为一点，然后假想提起该点“抖动”一下，以理顺从该点向下一个节点电流方向相同的电阻，这样逐点依次画出草图。

画图时要注意标出在每个等势点处电流“兵分几路”及与下一个节点的联接关系。

⑶ 整理电路图。

要注意等势点、电阻序号与原图一一对应，整理后的等效电路图力求规范，以便计算。

例1、图1所示电路中，R1=R2=R3=3Ω，R4=R5=R6=6Ω，求M、N两点间的电阻。

解：该题是一种典型的混联电路，虽然看上去对称、简单，但直接看是很难认识各个电阻间的联接关系的，因此必须画出等效电路图。

下面用快速三步法来解。

1.在原电路图上标了等势点a、b、c。

2.捏合等势点画草图。

从高电势点M点开始，先把两个a点捏合到一起，理顺电阻，标出电流在a点“兵分三路”，分别经R1、R2、R3流向b点；再捏合三个b点，理顺电阻，标出电流在b点“兵分三路”，分别经R4、R5、R6流向c点；最后捏合c点，电流流至N点。

（见图2）3.整理电路图如图3所示。

从等效电路图图3可以清楚地看出原电路各电阻的联接方式，很容易计算出M、N两点间的电阻R=3Ω。

◆练习：如图4所示，R1=R3=4Ω，R2=R5=1Ω，R4=R6=R7=2Ω，求a、d两点间的电阻。

解：（1）在原电路图上标出等势点a、b、c、d（2）捏合等势点画草图，首先捏合等势点a，从a点开始，电流“兵分三路”，分别经R2流向b点、经R3和R1流向d点；捏合等势点b，电流“兵分两路”，分别经R5流向c点，经R4流向d点；捏合等势点c，电流“兵分两路”，分别经R6和R7流向d点。

【精品】全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC

【精品】全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC

A
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用于有关的物理领域，取得了有意义的进展．
我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的
3
2 3

1 1

2 15
B
R

11 R 15
2R/3
2

24
如图所示，由电阻丝构成的网络中，每
一段电阻丝的电阻均为R，试求RAB．
解: R R 2
R/8 R/4
B
RAB



1
2


1 4


1 8

3 4


1 2

1 2

A
R
47 22
♠ Y-△变换法
利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，通
过电阻Y型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成单纯
串联或并联的目的．
2
专题19-例1 如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立
方体框架，试求AC间的电阻RAC 、AB间的电阻RAB与AG间的电阻 RAG．
解: AC间等效电阻:
网络，其基本单元如图丙
A
B
A B
RR
An Rx Bn
R
R
A
BA
B An
2R
Bn
甲
乙
丙
当n→∞时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即

电路的简化和等效变换

电路的简化和等效变换

第一部分电路的等效变化在处理较复杂的混联电路问题时，常常因不会画等效电路图，难以求出等效电阻而直接影响解题。

为此，向同学们介绍一种画等效电路图的方法《快速三步法》。

快速三步法画等效电路图的步骤为：⑴ 标出等势点。

依次找出各个等势点，并从高电势点到低电势点顺次标清各等势点字母。

⑵ 捏合等势点画草图。

即把几个电势相同的等势点拉到一起，合为一点，然后假想提起该点“抖动”一下，以理顺从该点向下一个节点电流方向相同的电阻，这样逐点依次画出草图。

画图时要注意标出在每个等势点处电流“兵分几路”及与下一个节点的联接关系。

⑶ 整理电路图。

要注意等势点、电阻序号与原图一一对应，整理后的等效电路图力求规范，以便计算。

例1、图1所示电路中，R1=R2=R3=3Ω，R4=R5=R6=6Ω，求M、N两点间的电阻。

解：该题是一种典型的混联电路，虽然看上去对称、简单，但直接看是很难认识各个电阻间的联接关系的，因此必须画出等效电路图。

下面用快速三步法来解。

1.在原电路图上标了等势点a、b、c。

2.捏合等势点画草图。

从高电势点M点开始，先把两个a点捏合到一起，理顺电阻，标出电流在a点“兵分三路”，分别经R1、R2、R3流向b点；再捏合三个b点，理顺电阻，标出电流在b点“兵分三路”，分别经R4、R5、R6流向c点；最后捏合c点，电流流至N点。

（见图2）3.整理电路图如图3所示。

从等效电路图图3可以清楚地看出原电路各电阻的联接方式，很容易计算出M、N两点间的电阻R=3Ω。

◆练习：如图4所示，R1=R3=4Ω，R2=R5=1Ω，R4=R6=R7=2Ω，求a、d 两点间的电阻。

解：（1）在原电路图上标出等势点a、b、c、d（2）捏合等势点画草图，首先捏合等势点a，从a点开始，电流“兵分三路”，分别经R2流向b点、经R3和R1流向d点；捏合等势点b，电流“兵分两路”，分别经R5流向c点，经R4流向d点；捏合等势点c，电流“兵分两路”，分别经R6和R7流向d点。

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例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换李进山东省邹平县第一中学计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。

实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。

本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

1、等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。

常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。

【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R i = R2 = R3 = R4 = R5 = R，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。

将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。

答案：R AB = 3 R o8【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R i = 1 Q，R2 = 4 Q，R3 = 3 Q，R4 = 12 Q，R5 = 10Q，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。

因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙对于图8-5的乙图，求R AB是非常容易的。

事实上，只要满足R =壬的关系，该桥式电路平衡。

答案：R AB = -- Q。

4【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为 间的等效电阻R AB 。

BA2、电流分布法设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电 压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组， 解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算 A 、B 两点间的电压RU ABRABUAB ，再由I即可求出等效电阻。

【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试 求出A 、B 两点之间的等效电阻 R AB 。

【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出 A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。

【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络, 而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻 R AB 。

C BDBR ，试求A 、B 两点之【例题4】用导线连接成如图所示的框架, 求AB 间的总电阻。

ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是 1C 、D 之间是两根电阻丝并联电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别 作用时，在此支路中产生的电流的代数和。

所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。

【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R ，求A 、B 间等效电阻。

以上两套公式的记忆方法:Y :分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。

Y :分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。

当Y 形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的 Y 形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。

3、Y —△变换法在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的 Y 型或△,如图所示，有时把Y 型联接代换成等效 的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y 型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等 效代换要求Y 型联接三个端纽的电压 U i2、U 23、U 31及流过的电流h 、^、4 与△型联接的三个端纽相同。

⑴将Y 型网络变换到△型电路中的变换式：R R 2R 2 R 3 R 3R 1 R R 2R 3R 2 R 3 R 3R 1 R IR 2 R 2R 2 R 3 R 3R 1R 1⑵将△型电路变换到 Y 型电路的变换式:R l2R3IR 2Rl2R 12BR l2尺2 R23R 31 R 23【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻 R AB提示：法一：“―”变换；法二：基尔霍夫定律【例题2】试求如图所示电路中的电流 用两种变换方式计算）x 2 x a 0。

所以11 4ax2这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路， 那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。

⑴一维无限网络【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为 R ,试求A 、B 两点间的电阻 R AB 。

甲乙图 0-11解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R 再串联一个R ”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。

在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添AB 、CD 间等效电阻。

无影响， (a > 0)x 是由无限多个 a 组成，所以去掉左边第一个 即剩余部分仍为x ,这样，就可以将原式等效变换为x■- a 对x 值毫ift RI 。

（分别应【课堂练习】分别求下图中A R &4、无限网络在求x 值时，注意到 (答案：0.5R; R PQ =4 Q )加一级后，仍为无限网络，即R AB // R + R = R AB解这个方程就得出了R AB的值。

答案：R AB = 1-R O2解法二：可以，在A端注入电流I后，设第- 级的并联电阻分流为I i ,则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有(I I i )R + (I解得I i = I2很显然U A - IR - I i R = U B即U AB = IR + 5 i IR = J— IR2 2最后，F AB =如=! 5R OI 2【例题2】如图所示，由已知电阻ri 等效电阻R.(开端形)r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b 间的【例题3】如图所示，由已知电阻等效电阻R ab .（闭端形）ri、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的⑵双边一维无限网络【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。

（中间缺口形）【例题5】如图所示，两头都是无穷长, 唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电阻•（旁边缺口形）【例题6】如图所示，求g 、f 间的等效电阻。

（完整形）小结：一维无限网络利用网络的重复性。

⑶二维无限网络【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与 上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为 R ,由此，按左右、上下一直延伸到无穷远 处.A 和B 为网络中任意两个相邻节点，试求A 、B 间的等效电阻R AB •模型分析：如图，设有一电流I 从A 点流入，从无穷远处流出•由于网络无穷大，故网络对于A 点是对称的，电流I 将在联接A 点的四个电阻上平均分配•这时，电阻 R （指A 、B 两节点间的电阻）上的电流为1/4，方向由A 指向B •【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形 网眼组成，如图所示。

所有六边形每边的电阻为R0，求：（1） 结点a 、b 间的电阻。

（2） 如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那么流过 de 段电阻的电流I de 为多大。

解：（1）设有电流I 自a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有同理，再设一电流 的对称点，因此在电阻 I 从无穷远处流处，从节点 R 上分得的电流也为1/4，B 流出 方向也是由A 指向B •将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节 点A 流入网络，又从节点B 流出网络的稳恒电流I ， 在无穷远处既不流入也不流出•每个支路上的电流 B 也是网络iI也是上述两种情况下各支路电流的叠加.因此， R电阻上的电流为1/2 •所以A 、B 两节点间的电势差 为: 【例题8】对图示无限网络，求A 、B 两点间的电阻R ABI /3电流由a由于网络无穷大,流向C ,有I /6电流由c 流向b 。

再假设有电流I 由四面八方汇集b 点流出，那么必有I /6 电流由a 流向c ,有I / 3电流由c 流向b 。

II I3 6 2 （由a 流向c ） II I3 6 2 （由c 流向b ）因此，a 、b 两点间等效电阻(2)假如有电流I 从a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设I 1 I 4 I 7 I AI 213 I 5 I 6 I 8 I 9 I B应该有3I A 61 B I因为b 、d 两点关于a 点对称，所以I de I beI A2同理，假如有电流I 从四面八方汇集到 g 点流出，应该有I deI B最后，根据电流的叠加原理可知I de I de I deS A I B 21 1 3I A 6I BI66⑷三维无限网络【例题101假设如图有一个无限大NaCl 晶格, 每一个键电阻为 r ,求相邻两个Na 和Cl原子间的电阻。

【例题111在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为 R ，试求A 、B两点间的等效电阻 R AB 。

当A 、B 两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C 、D 、E …各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点， 它们之间的电阻也可以看成不存在。

这里取后一中 思想，将CD 间的导体、DE 间的导体…取走后，电路可以等效为图 8-13乙所示的二维无限 网络。

将以上两种情况综合，即有电流I 由a 点流入，自 b 点流出，由电流叠加原理可知 accbU ABR o乙图8-13【答案】2。