等差数列学考复习题

2020年高中数学必修5 等差数列 基础复习一、选择题1.在数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=a n ＋1，则a 2 017等于( )A ．2 009B ．2 010C ．2 018D ．2 0172.已知数列3,9,15，…，3(2n-1)，…，那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．153.在等差数列{a n }中，a 2=-5，a 6=a 4＋6，则a 1等于( )A ．-9B ．-8C ．-7D ．-44.若等差数列{a n }中，已知a 1=13，a 2＋a 5=4，a n =35，则n=( )A ．50B ．51C ．52D ．535.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=( )A ．100B ．99C ．98D ．976.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8=10，则3a 5＋a 7=( )A ．10B ．18C ．20D ．287.设{a n }是公差不为0的等差数列，且a 24＋a 25=a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10=( )A ．－10B ．－5C ．0D ．58.设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2=35,2a 4－a 6=7，则d=( )A ．4B ．3C ．2D ．1 9.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是( )A.64B.31C.30D.1510.首项为－20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A.d ＞920 B.d ≤25 C.920＜d ≤25 D.920≤d ＜25 11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5=3，则S 5=( )A ．5B ．7C ．9D ．1112.设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }的前8项和为( )A ．128B ．80C ．64D ．5613.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 4=20，则S 6=( )A ．16B ．24C ．36D ． 4814.等差数列{a n }中，d=2，a n =11，S n =35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或-1D ．3或-115.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．216.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．2317.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．22018.在等差数列{a n }中，S 10=120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．4819.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6=13，则S 6S 12为( )A.310B.13C.18D.1920.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3=59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．-1C ．2 D.12二、填空题21.已知48，a ，b ，c ，-12是等差数列的连续5项，则a ，b ，c 的值依次是________．22.数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n =b n ，则n 的值为________．23.已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y=ax 2＋2bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴的交点有______个．24.设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2＋a 5=36，则{a n }的通项公式为________． 25.等差数列{a n }中，若a 10=10，a 19=100，前n 项和S n =0，则n=________.26.等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=________.27.有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n =2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．28.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4=1，S 5=10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．三、解答题29.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n }，a 1和a 3是方程x 2-8x ＋7=0的两个根，求它的通项公式．30.在等差数列{a n }中，(1)已知a 5=－1，a 8=2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6=12，a 4=7，求a 9.31.在等差数列{a n }中，a 10=18，前5项的和S 5=-15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．32.已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=-3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}的前k项和S k=-35，求k的值．33.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=－7，S3=－15．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．34.记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=－6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并判断S n＋1，S n，S n＋2是否成等差数列．参考答案1.2.答案为：D ；解析：由于a n ＋1-a n =1，则数列{a n }是等差数列，且公差d=1， 则a n =a 1＋(n-1)d=n ，故a 2 017=2 017.3.答案为：C ；解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项，6为公差的等差数列， ∴a n =3＋(n-1)×6=3(2n -1)=6n-3，由6n-3=81，得n=14.4.答案为：B ；解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1=-8.法二：由a n =a m ＋(n-m)d(m ，n ∈N *)，得d=a n －a m n －m ，∴d=a 6－a 46－4=66－4=3.∴a 1=a 2-d=-8.5.答案为：D ；解析：依题意，a 2＋a 5=a 1＋d ＋a 1＋4d=4，将a 1=13代入，得d=23.所以a n =a 1＋(n-1)d=13＋(n-1)×23=23n-13，令a n =35，解得n=53.6.答案为：C ；解析：由已知，⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以a 1=－1，d=1，a 100=a 1＋99d=－1＋99=98，故选C.7.答案为：C ；解析：由题意可知a 3＋a 8=a 5＋a 6=10，所以3a 5＋a 7=2a 5＋a 5＋a 7=2a 5＋2a 6=20，故选C ．8.答案为：C ；解析：由a 24＋a 25=a 26＋a 27得a 24－a 26=a 27－a 25，即(a 4－a 6)(a 4＋a 6)=(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，也即－2d×2a 5=2d×2a 6，由d≠0，得a 6＋a 5=a 1＋a 10=0，所以S 10=5(a 1＋a 10)=0．故选C ．9.答案为：C ；10.D.11.答案为：C ；解析：由题意知a 10>0,a 9≤0,即-20+9d>0,-20+8d ≤0即920＜d ≤25.12.答案为：A ；解析：a 1＋a 3＋a 5=3a 3=3⇒a 3=1，S 5=5a 1＋a 52=5a 3=5.13.答案为：C ；解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8=8a 1＋a 82=8a 2＋a 72=8×3＋132=64.14.答案为：D ；解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n =n 2＋n n －12d ，∴S 4=2＋6d=20，∴d=3，∴S 6=3＋15d=48.15.答案为：D ；解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2n －1＝11，na 1＋n n －12×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.16.答案为：C ；解析：由S 2=4，S 4=20，得2a 1＋d=4,4a 1＋6d=20，解得d=3.17.答案为：C ；解析：由a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，可知d=3，a 1=-4.∴S 10=-40＋10×92×3=95.18.答案为：B ；解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20=a 2＋a 19=a 3＋a 18. 又a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78， ∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18=54. ∴3(a 1＋a 20)=54.∴a 1＋a 20=18.∴S 20=20a 1＋a 202=180.19.答案为：B ；解析：由S 10=10（a 1＋a 10）2，得a 1＋a 10=S 105=1205=24.20.答案为：A ；解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，因为S 3=1，S 6－S 3=3－1=2，所以S 9－S 6=3，S 12－S 9=4.所以S 12=S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)=1＋2＋3＋4=10.所以S 6S 12=310.21.答案为：A ；解析：S 9S 5=92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）=9×2a 55×2a 3=9a 55a 3=95×59=1.一、填空题22.答案为：33,18,3；解析：∵2b=48＋(-12)，∴b=18，又2a=48＋b=48＋18，∴a=33，同理可得c=3.23.答案为：5；解析：a n =2＋(n －1)×3=3n－1，b n =－2＋(n －1)×4=4n－6， 令a n =b n ，得3n －1=4n －6，所以n=5.24.答案为：1或2；解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b=a ＋c ，又因为Δ=4b 2－4ac=(a ＋c)2－4ac=(a －c)2≥0所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．25.答案为：a n =6n －3；解析：法一：设数列{a n }的公差为d.∵a 2＋a 5=36，∴(a 1＋d)＋(a 1＋4d)=36， ∴2a 1＋5d=36.∵a 1=3，∴d=6，∴a n =6n －3.法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5=a 1＋a 6=36，a 1=3，∴a 6=33，∴d=a 6－a 15=6.∵a 1=3，∴a n =6n －3.26.答案为：17；解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d=10，a 1=-80.∴S n =-80n ＋n n －12×10=0，∴-80n ＋5n(n-1)=0，n=17.27.答案为：104；解析：因为a 1＋a 13=a 2＋a 12=2a 7，又a 2＋a 7＋a 12=24，所以a 7=8.所以S 13=13a 1＋a 132=13×8=104.28.答案为：3115；解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n =2n ＋1n ＋2，不妨设S n =kn(2n ＋1)，T n =kn(n ＋2)(k≠0)，则a n =3k ＋4k(n-1)=4kn-k ，b n =3k ＋2k(n-1)=2kn ＋k.所以a 8b 7=32k －k 14k ＋k =3115.29.答案为：4或5；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42 d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1.所以a 5=a 1＋4d=0， 所以S 4=S 5同时最大．所以n=4或5.二、解答题30.解：由题意，知a 1＋a 3=8，a 1a 3=7，又{a n }为正项等差数列，∴a 1=1，a 3=7， 设公差为d ，∵a 3=a 1＋2d ，∴7=1＋2d ， 故d=3，a n =3n-2.31.解：(1)因为a 5=－1，a 8=2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d.由已知得， ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n =1＋(n －1)×2=2n－1， 所以a 9=2×9－1=17.32.解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15，解得a 1=-9，d=3，∴a n =3n-12.(2)S n =n a 1＋a n 2=12(3n 2-21n)=32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722-1478，∴当n=3或4时，前n 项的和取得最小值为-18.33.解：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n =a 1＋(n-1)d.由a 1=1，a 3=-3可得1＋2d=-3，解得d=-2. 从而a n =1＋(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知a n =3-2n.所以S n =n[1＋3－2n ]2=2n-n 2.进而由S k =-35可得2k-k 2=-35，即k 2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.又k ∈N *，故k=7为所求结果． 34.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d=－15． 由a 1=－7，得d=2．所以{a n }的通项公式为a n =－7＋(n －1)×2=2n－9．(2)由(1)，得S n =n×(－7)＋n (n －1)2×2=n 2－8n=(n －4)2－16．所以当n=4时，S n 取得最小值，最小值为－16． 35.解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q=－2，a 1=－2． 故{a n }的通项公式为a n =(－2)n．(2)由(1)可得S n =a 1(1－q n )1－q =－23＋(－1)n·2n ＋13．由于S n ＋2＋S n ＋1=－43＋(－1)n ·2n ＋3－2n ＋23=2－23＋(－1)n·2n ＋13=2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．。

考向19 等差数列及其前n 项和1.（2022年乙卷文科第13题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+，则公差d = ．【答案】2【解析】因为32236S S =+，所以212233()6a a a ⨯=++，即213()36a a d -==，所以2d =. 2.（2022年北京卷第6题） 设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3.（2022新课标1卷第17题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式； （2）证明：121112+++<na a a ． 【解析】（1）111==S a ，所以111=S a ， 所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列， 所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ， 所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）； 累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式， 所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ． （2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+n a a a n n111112(1)2231=-+-++-+n n 12(1)21=-<+n ． 4.（2022新课标2卷第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知()1111283a d b b a d +-=-+，故()111243a d b d a d +-=-+；故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证． （2）由（1）知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：()111121k b a m d a -=+⋅-⋅+ 即()11111212k b b m b b -=⋅⋅+-+，即122k m -=， 因为1500m ，故1221000k -，解得210k故集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数为9个．5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. （1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值. 【答案】（1）略；（2）78- 【解析】（1）由于221nn S n a n+=+，变形为222n n S na n n =+-，记为①式， 又21122(1)1(1)n n S n a n n --=-+---，记为②式， ①-②可得*1(22)(22)22,2,n n n a n a n n n ----=-∈N 即*11,2,n n a a n n --=∈N ，所以{}n a 是等差数列；（2）由题意可知2749a a a =，即2111(6)(3)(8)a a a +=++，解得112a =-，所以12(1)113n a n n =-+-⨯=-，其中1212...0a a a <<<<，130a =则n S 的最小值为121378S S ==-.6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列}{n a 的各项为正数，记n S 为}{n a 的前n 项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．①数列}{n a 为等差数列；②数列}{n S 为等差数列；③123a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】见解析． 【解析】一、选择条件①③已知}{n a 为等差数列，122a a =，设公差为d ，则d a a a +==1123，即12a d = 因为1212)1(a n d n n na S n =-+=，则n a S n ⋅=1)0(1>a 所以数列}{n S 为等差数列 二、选择条件①②已知}{n a 为等差数列，数列}{n S 为等差数列，设公差为d 则dn a a n )1(1-+=，n da d n d n n na S n )2(212)1(121-+=-+= 若数列}{n S 为等差数列，则21da =，所以1123a d a a =+=三、选择条件②③已知数列}{n S 为等差数列，123a a =设公差为d 则d S S =-12，即d a a =-114 则21da =nd d n S S n =-+=)1(1则d n S n 2=，d dn S S a n n n -=-=-21所以}{n a 为等差数列7.（2021年全国一卷第19题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积.已知212n nS b +=. （1）证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.【解析】（1）当1n =时，11b S =，易得132b =. 当2n ≥时，1n n n b S b -=，代入212n n S b +=消去n S 得，1212n n n b b b -+=，化简得112n n b b --=， {}n b ∴是以32为首项，12为公差的等差数列. （2）易得11132a S b ===.由（1）可得22n n b +=，由212n n S b +=可得21n n S n +=+. 当2n ≥时，12111(1)n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++，显然1a 不满足该式； 31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.8.（2021年新高考2卷第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）=26n a n -；（2）min 7n =．【解析】（1）由题意知：35244,a S a a S =⎧⎨=⎩()()1111154+252,43342a d a d a d a d a d ⨯⎧=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+⋅+=+⎪⎩即：121+20,46a d d a d =⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 故14,2a d =-⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为26n a n =-． （2）由（1）知()21(4)25,2n n n S n n n +=⋅-+⋅=-又,26n n n S a a n >=-2526n n n ∴->-即2760n n -+>16n n ∴<>或+n N ∈min 7n ∴=1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的判定与证明方法（1）定义法：如果一个数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{a n }为等差数列；（2）等差中项法：如果一个数列{a n }对任意的正整数n 都满足2a n+1=a n +a n+2，那么可以判断{a n }为等差数列；（3）通项公式法：如果一个数列{a n }的通项公式满足a n =p n +q （p ，q 为常数）的形式，那么可以得出{a n }是首项为p+q ，公差为p 的等差数列;（4）前n 项和公式法:如果一个数列{a n }的前n 项和公式满足S n =An 2+Bn （A ，B 为常数）的形式，那么可以得出数列{a n }是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列.1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( )A ．32B ．39C ．42D ．45 【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.n n 13n A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C【解析】因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12n n 267A ．13 B ．49 C ．35 D ．63n n n －1n ＋126n n A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1 D ．S 4＝S 1 【答案】B【解析】数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6， 所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3. 所以a n ＝－6＋3(n －2)＝3n －12，所以S 1＝a 1＝－9，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－9－6－3＝－18， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－9－6－3＋0＝－18， 所以S 4＜S 1，S 3＝S 4.6.在等差数列{a n }中，a 2，a 14是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 8a 2a 14＝( )A ．－32 B ．－3 C ．－6 D ．2n A ．100 B ．120 C ．390 D ．540 【答案】A【解析】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.8.已知等差数列{a n }的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40n n 56678是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 【答案】ABD【解析】S 6＝S 5＋a 6＞S 5，则a 6＞0，S 7＝S 6＋a 7＝S 6，则a 7＝0，则d ＝a 7－a 6＜0，S 8＝S 7＋a 8＜S 7，a 8＜0.则a 7＋a 8＜0，所以S 9＝S 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 5＋2(a 7＋a 8)＜S 5，由a 7＝0，a 6＞0知S 6，S 7是S n 中的最大值．从而ABD 均正确．10．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0n ＋n 25898值是________． 【答案】16【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21＋4d 2＋5a 1d＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.12．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．n n ＋1n n ＋2324(1)求a 1＋a 3a 2的值； (2)求证：数列{a n }为等差数列．14. 已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.一、单选题 1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为1010．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ） （参考数据：51010 1.58,10 1.26≈≈）A ．0.57B ．0.59C ．0.61D ．0.63【答案】D【解析】依题意，以标准对数视力5.0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力4.8为该数列第3项，标准对数视力5.0对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为10110， 因此，标准对数视力4.8对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为2105111()0.631010⨯=≈. 故选：D数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（ ）A ．184B ．186C ．187D ．188．（上海杨浦二模）数列n 为等差数列，1且公差，若1，3，6也是等差数列，则其公差为（ ） A ．1g d B ．1g2d C ．lg 23D ．1g 324．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“221n F =+（n ∈N ）”是素数，我们称n F 为“费马数”．设()2log 1n n a F =-，22log n n b a =，n *∈N ，数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．n n a b < B ．n n a b > C ．n n S T ≤ D ．n n S T ≥【答案】D【解析】因为221nn F =+（n ∈N ），所以()222log 1log (211)2nn n n a F =-=+-=，n *∈N所以222log 2log 22nn n b a n ===，n *∈N ，当2n =时，22224,224a b ===⨯=，两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ） A ．第23天 B ．第24天 C ．第25天 D ．第26天6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列n a 为等差数列，数列n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数(),()f x ax b g x ax b =+=-，下列条件，能使得（m ，n ）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ） A ．(0)1,()f f f m n -+成等差数列B ．(),()g m g g n 成等比数列C ．(),2()2,()f m n f m b f m n --+成等差数列D ．(),(),()g m n g m g m n -+成等比数列()()()2222amb a m n b a m n b ⎡⎤⎡⎤-=--⋅+-⎣⎦⎣⎦，整理可得()222220an an am b --=，当20an ≠，且0b ≠时，由22220an am b --≠得2212n m b b a a-=，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D 错误. 故选：C.8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为1239,,,,a a a a ⋅⋅⋅，设数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，且218a =，4690a a +=，则8S =（ ）A ．189B ．252C ．324D ．405【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由218a =，4690a a +=，得11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：199a d =⎧⎨=⎩，所以8879893242S ⨯⨯=⨯+=. 故选：C.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设n *∈N ，正项数列{}n x 满足11(0,1),ln 1n n n n x x x x x +∈-=，下列说法正确的有（ ） A ． 1x 为{}n x 中的最小项B ．2x 为{}n x 中的最大项C ．存在1(0,1)x ∈，使得123,,x x x 成等差数列D ．存在1(0,1),x n *∈∈N ，使得12,,n n n x x x ++成等差数列 1,()x f x '>1,()x f x '<(1)1ln1f =+)1x131,(0,1),1,1,n x x f x f +∈∴>==所以A 正确 令()(ln ,1g x f x x x x =- 21()0,x g x x +-='-<()g x ∴)0,x ∴320x x -<x x 是最大的项，所以B 是最大的项，则不可能使得()n g x <，则，所以不存在,x x 10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列n a 满足：当为奇数时，21n a n =+；当n 为偶数时，2n a n =，则下列结论正确的为（ ）A ．2021和2023均为数列{}()21n a n *-∈N 中的项B ．数列{}()21n a n *-∈N 为等差数列C ．仅有有限个整数k 使得23k k a a >成立D ．记数列{}2na 的前n 项和为n S ，则1413n n S +<-恒成立选项，2n 为偶数，则}2n 是以4为首项，以)14414n -=-三、填空题11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知n S 为单调递减的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和3612n nT n =-，则下列结论中正确的有___________．（填写序号） ①30a =；②27n S n n =-；③()2n n S n a n =+-；④4nS S ≤【答案】②④11n d a ⎛++⎝3612n n-，12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列{}n a 满足：①10a <，22a >；②在区间(11,20)中的项恰好比区间[41,50]中的项少2项，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了⨯幻方的每一行上整数之和为______.⨯的幻方，那么5555【答案】65【解析】因为()125251232513253252+⨯++++==⨯=，因为55⨯幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为325655=. 故答案为：65.九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②③【解析】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确③. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.④. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确故答案为：①②③四、解答题15．（2022·上海崇明·二模）已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列． (1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k =是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值【解析】(1)由题意可得满足5m =且11a =的P 数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..(2)假设{}n a 是等差数列，公差为d ，当0d >时，由题意，2d =或3， 此时1121i a a a ≥+>+(2,3,4,,)i m =，所以11a +不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列 当0d <时，由题意，2d =-或3-，此时1121i a a a ≤-<-(2,3,4,,)i m =所以11a -不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列 综上所述，{}n a 不可能是等差数列 (3)由题意，N*d ∈，当6d ≥时，因为51a ≥，所以100519115a a d =+≥，与题意不符； 当3d ≤时，记{}545352515,,,,(1,2,3,,20)k k k k k k M a a a a a k ----==，当{}100(1,2,3,,20)i M i ∈∈时，51004388i a ≥-⨯=，所以55()31k i a a i k d =--≥，所以k M 中的最小项314319≥-⨯=，所以1(1,2,3,20)k M k ∉=，与题意不符，当4d =时，1054a a =+，又由题意，10512342323a a x x x x =++--（*），其中N(1,2,3,4)i x i ∈=， 且12345x x x x +++=，所以13242()3()4x x x x -+-=，所以13242x x x x -=⎧⎨=⎩ ， 所以322225x x ++=，与N(1,2,3,4)i x i ∈=不符；当5d =时，取,541,532,522,511,5n n n k n n k a n n k n n k n n k =-⎧⎪+=-⎪⎪=+=-⎨⎪-=-⎪-=⎪⎩ ，此时的数列{}n a 满足题意，综上所述，5d =.16．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．础工资收入总量()1024000 1.0511********.051S ⨯-=⨯=-元（2）()37003001n a n =+-，14000 1.05n n b -=⨯134003004000 1.05n n c n -=+-⨯，()1340030014000 1.05n n c n +=++-⨯，设11300200 1.050n n n c c -+-=-⨯>，即11.05 1.5n -<，解得18n ≤≤所以当18n ≤≤时，{}n c 递增，当9n ≥时，n c 递减又当0n c <，即134003004000 1.05n n -+<⨯，解得514n ≤≤，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块 【答案】C【思路导引】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S ．【解析】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===，故选C ．2．（2020浙江7）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差110,a d d≤≠．记12122,,n n n b S b S S n ++*=-=∈N ，下列等式不可能成立的是（ ）A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．2428b b b =【答案】B【解析】A ．由等差数列的性质可知4262a a a =+，成立；B ．4566b S S a =-=-，2323b S S a =-=，()6710891093b S S a a a a =-=-++=-， 若4262b b b =+，则()6399639232a a a a a a a -=-⇔-=-， 即660d d d =-⇔=，这与已知矛盾，故B 不成立；C ．()()()2242811137a a a a d a d a d =⇔+=++ ，整理为：1a d =，故C 成立；D ．()89141011121314125b S S a a a a a a =-=-++++=-，当2428b b b =时，即()263125a a a =⋅-，整理为()()()211155211a d a d a d +=-++，即2211225450a a d d ++=，0∆>，方程有解，故D 成立．综上可知，等式不可能成立的是B ，故选B ．3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则()A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由40S =，55a =，得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n ∴=-，24n S n n =-，故选A ．4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = )A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B 【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+，12a =，∴111132433(3)422a d a a d a d ⨯⨯⨯+=++++，把12a =，代入得3d =-，524(3)10a ∴=+⨯-=-，故选B ．5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】由题知，∴1113424656482a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得12a =-，4d =，故选C ． 6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．2a ，3a ，6a 成等比数列，∴2326a a a =， 2111(2)()(5)a d a d a d ∴+=++，且11a =，0d ≠，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A ． 7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100(a = ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97【答案】C【解析】由题知，195959()92922a a a S a +⨯====27，∴53a =，又108a ==d d a 5355+=+，1d ∴=，10059598a a d ∴=+=，故选C8．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．9．（2020北京8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯，则数列{n T } （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项 【答案】A【解析】设公差为d ，a 5-a 1=4d ，即d=2，a n =2n-11，1≤n ≤5使，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，所以n=4时，T n ＞0，并且取最大值；n=5时，T n ＜0；n ≥6时，T n ＜0，并且当n 越来越大时，T n 越来越小，所以T n 无最小项．故选A ．10．（2020上海7）已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，且满足1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+= ．【答案】278【解析】由条件可知111298a d a d a d+=+⇒=-，()112951010194 (92727)988a d a a a a d a a a d d ++++====+． 故答案为：278． 11．（2019•新课标Ⅲ，理14）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由10a ≠，213a a =可得，12d a =，∴1011051510()5()S a a S a a +=+ 112(29)24a d a d +=+11112(218)428a a a a +==+．12．（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和．若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ．【答案】16【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩，所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=．13．（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，，则5a = ________ ． n S 的最小值为_______． 【答案】0，-10【解析】由题意得，2151351010a a d S a d =+=-⎧⎨=⋅+=-⎩，解得141a d =-⎧⎨=⎩，所以5140a a d =+=．因为{}n a 是一个递增数列，且50a =，所以n S 的最小值为4S 或5S ，()4543441102S S ⨯==-⨯+⨯=-． 14．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___． 【答案】14【解析】解法一 设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，所以7767(4)2142S ⨯=⨯-+⨯=．解法二 32714a d +=，所以2d =．故432a a d =+=，故7477214S a ==⨯=．15．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，251146536a a a d a d d +=+++=+=，∴6d =，∴3(1)663n a n n =+-⋅=-．16．（2019•新课标Ⅰ，文18）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式； （2）若10a >，求使得nn a S ≥的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ， 若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=， 若34a =，则5322a a d -==-， 则3(3)210n a a n d n =+-=-+，（2）若nn a S ≥，则d n a d n n na )1(2)1(11-+≥-+，当1n =时，不等式成立，当2≥n 时，有12a d nd-≥，变形可得12)2(a d n -≥-，又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有112)4)(2(a a n -≥--，又由10a >，则有10≤n ， 则有102≤≤n ，综合可得：102≤≤n ，n N ∈．17．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-， 17a ∴=-，13315a d +=-，解得17a =-，2d =，72(1)29n a n n ∴=-+-=-；（2）17a =-，2d =，29n a n =-，22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n ∴=+=-=-=--，∴当4n =时，前n 项的和n S 取得最小值为16-．18．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===，452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==． 故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

小学数学《等差数列》练习题（含答案）你还记得吗【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？呵呵！快快举手, 多多贏得小印章！分析：以下答案仅供参考！（1）先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、……从第二项起，每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、••••••从第二项起，每一项比前一项小5 ,递减数列（2）首项：一个数列的第一项，通常用型表示；末项：一个数列的最后一项，通常用爲表示，它也可表示数列的第n项.每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d来表示；和：一个数列的某些项的和，常用Sn来表示・（3）三个重要的公式：①通项公式：末项二首项+（项数-DX公差a n =a i+ （n _ 1） Xd回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：aιl-aιlt=（n-m）×cl,②项数公式：项数二（末项-首项）一公差+1 （其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）由通项公式可以得到：n = （a lt-a l）÷d + \（若U ll）；n = （a l-a n）÷d + \（若A a”）.找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、•・••••、40、43、46 ,分析：配组：（4、5、6）、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是 3 ,那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48 有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组.当然，我们还可以有其他的配组方法.③求和公式；和=(首项+末项)X项数÷2s l,=(a l+a n)×n÷2对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：(思路 1) 1+2+3+…+98+99+100=(1 + IOo) + (2 + 99) + (3 + 98) + …+ (50 +51)V ______________________ iz______________________ >50-MoL= 101x50=5050(思路2)这道题目，我们还可以这样理解：和=1 + 2 + 3+ 4+ ....+ 98+ 99+100 + 和二100+99 + 98+ 97+ ....+ 3+2+12 倍和=101 + 101+101+101+ .. + 101 + 101+101100 --------即，和=(IOO+l)xl00∙j∙2=101x50=5050(4)中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数•譬如：(1) 4+8+12+...+32+36= (4+36) ×9÷2=20×9=180 ,题中的等差数列有 9 项, 中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20X9 ；(2) 65+63+61 + ...+5+3+1= (1+65) ×33÷2=33X33= 1089 ,题中的等差数列有 33 项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33X33.如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项.中项定理也可用在速算与巧算中.譬如：计算：124. 68+324. 68+524. 68+724. 68+924. 68分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524. 68,所以可以用5X524. 68=2623.4.等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点. 一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透∙【复习2］某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位•问: 这个剧一共有多少个座位？分析：首项：70-(25-1)X2=22 ,座位总数：(22+70) × 25÷2=1150 .【复习3】小明从1月1日开始写大字。

高考数学备考训练-等差数列一、选择题1．(2010·重庆卷，文)在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析 依题意得a 1＋a 9＝2a 5＝10，a 5＝5，选A.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( )A.32B.12C ．－32D ．－12答案 D解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D.3．(2011·合肥质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项a n ＝( )A ．2n －3B ．2n －1C ．2n ＋1D ．2n ＋3 答案 C解析 由{ a 4＝9S 3＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝93a 1＋3d ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2，所以通项a n ＝2n ＋1.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－2a 2m ＝0，S 2m －1＝39，则m ＝( ) A ．38 B ．39 C ．20 D ．19 答案 C解析 ∵a m －1＋a m ＋1＝2a 2m 又∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ∴a m ＝1或0(舍去) ∵S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m∴(2m －1)a m ＝39，∴2m －1＝39∴m ＝20.5．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75 答案 B解析 设公差为d 且d >0.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15a 1a 2a 3＝80，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝80.解得a 1＝2，d ＝3(∵d >0)．∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝1056．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A ．7 B.23C.278D.214 答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53C ．2D ．3 答案 C解析由⎩⎨⎧3(a 1＋4)2＝6a 1＋2d ＝4，解得d ＝2.二、填空题8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)、Q (4，a 4)的直线的斜率是________．解析 设数列{a n }的公差为d ，则依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ＝15S 5＝5a 1＋10d ＝55⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4，故直线PQ 的斜率为a 4－a 34－3＝d1＝4.9．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n}是等差数列，则a 11＝________.答案 0解析 记b n ＝11＋a n，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝16，∴b n＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112，∴a n ＝11－n n ＋1，故a 11＝0. 10．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2010，S 20092009－S 20072007＝2，则S 2010的值为________．答案 －2010解析 在等差数列{a n }中，设公差为d ，则S n n ＝na 1＋n2(n －1)dn ＝a 1＋d 2(n －1)，∴S 20092009－S 20072007＝a 1＋d 2×2008－a 1－d2×2006＝d ＝2，∴S 2010＝－2010×2010＋2010×20092×2＝－2010×2010＋2010×2009＝－2010.11．方程(x 2－x ＋m )(x 2－x ＋n )＝0有四个不等实根，且组成一个公差为12的等差数列，则mn 的值为________．答案 －15256解析 设四个根组成的等差数列为x 1，x 2，x 3，x 4，根据等差数列的性质，则有x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝1∴2x 1＋3d ＝1，又d ＝12，∴x 1＝－14∴x 2＝14，x 3＝34，x 4＝54∴mn ＝(x 1x 4)(x 2x 3)＝－1525612．(2010·浙江卷，文)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，答案 n 2＋n解析 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .13．(2010·苏北四市调研)已知数列{a n }共有m 项，记{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )，若S (n )是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n <m 时，a n ＝________.答案 －2n －1解析 由题意得S (n )＝a n ＋…＋a m ＝n ×1＋n (n －1)2×2＝n 2，当n <m 时，S (n ＋1)＝a n ＋1＋…＋a m ＝(n ＋1)2.故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1.三、解答题14．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米．(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？ (2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒？ 答案 (1)7 (2)8解析 1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{a n } (1)a 1＝11，S 9＝351，求得：d ＝7 (2)a 3＝23，S 9＝351，求得：d ＝815．(2010·浙江卷，文)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解析 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.16．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝22－2n(2)a n ＝12－n 和a n ＝13－n解 (1)由S 14＝98得2a 1＋13d ＝14， 又a 11＝a 1＋10d ＝0，故解得d ＝－2，a 1＝20. 因此{a n }的通项公式是a n ＝22－2n ，n ＝1,2,3，…. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧S 14≤77a 11>0a 1≥6，得⎩⎨⎧2a 1＋13d ≤11a 1＋10d >0a 1≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ≤11 ①－2a 1－20d <0， ②－2a 1≤－12 ③由①＋②得－7d <11，即d >－117.由①＋③得13d ≤－1，即d ≤－113.于是－117<d ≤－113.又d ∈Z ，故d ＝－1.④ 将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ，故a 1＝11或a 1＝12. 所以所有可能的数列{a n }的通项公式是a n ＝12－n 和a n ＝13－n ，n ＝1,2,3，….1．在数列{an }中，a 1＝15,3an ＋1＝3an －2(n ∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A ．a 21·a 22B ．a 22·a 23C ．a 23·a 24D ．a 24·a 25 答案 C解析 由3an ＋1＝3an －2 ，得an ＋1＝an －23，即数列{an }是以a 1＝15为首项，－23为公差的等差数列，所以an ＝15－23(n －1)＝47－2n 3，可得a 23>0，a 24<0，即得a 23·a 24<0，故选C.2．(09·安徽)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 答案 B解析 两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋(－34)＝1.3．(2011·《高考调研》原创题)已知A n ＝{x |2n <x <2n＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为( )A ．792B ．890C ．891D ．990 答案 C解析 ∵A 6＝{x |26<x <27且x ＝7m ＋1，m ∈N }， \∴A 6的元素x ＝各数成一首项为71，公差为7的等差数列，∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝8914．(2010·盐城)已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值是________． 答案 25解析 方法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意：20a 1＋20×192×d ＝100，即a 1＝5－9.5d ，又a 7·a 14＝(a 1＋6d )(a 1＋13d )＝(6d ＋5－9.5d )(5－9.5d ＋13d )＝25－12.25d 2 所以a 7·a 14的最大值为25. 方法二 ∵a 7＋a 14＝10，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.5．在等差数列{an }中，Sn 是它的前n 项的和，且S 6<S 7，S 7>S 8.有下列四个命题： ①此数列的公差d <0； ②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是Sn 中的最大值．其中正确命题的序号是________． 答案 ①②④解析 ∵S 6<S 7 ∴a 7>0 ∵S 7>S 8 ∴a 8<0∴d <0，∴S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0n ＝7时，Sn 最大． 6．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33333所在的页和行．解析 a 1＝3，d ＝5，a n ＝33333，∴33333＝3＋(n －1)×5，∴n ＝6667，可得a n 在第25页，第9行．1．(06·重庆)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2003＋a 2004>0，a 2003·a 2004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4005B ．4006C ．4007D ．4008答案 B解析 解法一：S 4006＝4006(a 1＋a 4006)2＝2003(a 2003＋a 2004)>0. ∵a 2003>0，a 2004<0. ∴S 4007＝4007a 2004<0.∴4006是S n >0的最大自然数．解法二：a 1>0，a 2003＋a 2004>0且a 2003·a 2004<0 ∴a 2003>0且a 2004<0. ∴S 2003为S n 中的最大值． ∵S n 是关于n 的二次函数．∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小． ∴40072在对称轴右侧． ∴4006在抛物线与x 轴右交点的左侧，4007、4008都在其右侧．∴S n >0中最大的自然数是4006.2．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和．若S n 取得最大值，则n ＝________.答案 9解析 设公差为d ，由题设，3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，解得d ＝－433a 1<0，解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)(－433a 1)>0，得n <374，则n ≤9.当n ≤9时，a n >0.同理，可得当n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值．3．(2010·江苏卷，理)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n .已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)．解析 由题设知，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(S n－S n －1)(S n ＋S n －1)＝2d a 1－3d 2＋2d 2n .由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2d a 1＋d 2)＝a 1＋2d a 1＋3d 2，解得a 1＝d . 故当n ≥2时，a n ＝2nd 2－d 2.又a 1＝d 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2.4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)数列{a n }是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理由； 解 (1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a 1＝1， 所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a 3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n }不可能为等差数列．证明如下： 由a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n 得a 2＝2－λ，a 3＝(6－λ)(2－λ)，a 4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{a n }为等差数列，则a 3－a 2＝a 2－a 1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a 2－a 1＝1－λ＝－2，a 4－a 3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{a n }为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n }都不可能为等差数列． 5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 3＝45，a 1＋a 4＝14. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过公式b n ＝S nn ＋c 构造一个新的数列{b n }，若{b n }也是等差数列，求非零常数c ；(3)求f (n )＝b n(n ＋25)·b n ＋1(n ∈N *)的最大值．解析 (1){a n }为等差数列， ∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14，又a 2·a 3＝45. ∴a 2，a 3是方程x 2－14x ＋45＝0的两实根． 又公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5a 1＋2d ＝9⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4.∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2. 即2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－nn －12＝2n .易知{b n }是等差数列，故c ＝－12.(3)f (n )＝2n (n ＋25)·2(n ＋1)＝nn 2＋26n ＋25＝1n ＋25n＋26≤1225＋26＝136.当且仅当n ＝25n ，即n ＝5时取等号，∴f (n )max ＝136.。

高考数学一轮复习《等差数列》练习题（含答案）一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（ ） A ．12B ．16C ．8D ．202．在等差数列{}n a 中，49a =，且2410,,a a a 构成等比数列，则公差d 等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．0或33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且125a =，175b =，22120a b +=，则3737a b +的值为（ ） A ．760B ．820C ．780D ．8605．在等差数列{an }中，若a 2+2a 6+a 10＝120，则a 3+a 9等于（ ） A ．30B ．40C ．60D ．806．在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（ ） A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱7．已知数列{an }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为Sn ，满足4325a a =+，则S 9=（ ） A ．35B ．40C ．45D ．50 8．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4B ．8C ．32D ．649．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，则“50a >”是“0d >”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a += ，则9S = （ ） A ．22.5B ．45C ．67.5D ．9012．在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（ ） A ．28 B ．30C ．32D ．36二、填空题13．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若24a =，420S =，则9a =_________.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．15．已知数列{}n a 中，11a =，()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-，则通项公式n a =______. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，636S S =+，则7S =_____． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．18．已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立，求实数λ的最小值．22．这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a =，()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ；②25a =，()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ；③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1．B2．D3．A4．B5．C7．C8．D9．C10．B11．B12．D 13．18 14．6- 15．21nn - 16．717．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由3718a a +=，得112618a d a d +++=，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．（1）因为221nn S n a n +=+，即222n n S n na n+=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-． 20．（1）n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=，依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以8的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . （3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由535S =得151035a d +=， 因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）；因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81N n b n n *=+∈；（2）因为14a <，所以21n a n =+， 所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---，所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立， 所以12λ≥，故λ的最小值为12.22．(1)解：选条件①时，25a =，1123n n n S S S +--+=，整理得()()113n n n n S S S S +----=，故13n n a a +-=（常数），且213a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-；选条件②时，25a =，()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ，整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--，故112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 是等差数列，公差213d a a =-=，故()13131n a a n n =+-=-； 选条件③时，()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ，且121S =， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，32为公差的等差数列，则()33121222n S n n n =+-=+，所以23122n S n n =+，则2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-，所以31n a n =-，*n ∈N . (2)解：由（1）得：31n a n =-，由于n b 是n a 、1n a +的等比中项，所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅，则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。

数列考查的九个热点热点题型速览热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题热点一等差数列的基本计算1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516B.440C.258D.2202(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65mB.85mC.100mD.120m3(2020·全国高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点（解析版）4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的条件；若求a m项，可由a m=12(a m-n+a m+n)转化为求a m-n，a m+n或a m-n+a m+n的值．3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二等比数列的基本计算5(2020·全国·统考高考真题)设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8= ()A.12B.24C.30D.326(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.427(2023·全国高考真题)已知a n为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,a n,q,n,S n,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三等差数列与等比数列的综合计算8(2019·北京·高考真题)设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．9(2022·全国·统考高考真题)记S n为数列a n的前n项和．已知2S nn+n=2a n+1．(1)证明：a n是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．10(2023·天津·统考高考真题)已知a n是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．(1)求a n的通项公式和2n-1i=2n-1a i ．(2)已知b n为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；(Ⅱ)求b n 的通项公式及其前n 项和．热点四数列与函数的交汇11(2018·浙江·高考真题)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)．若a 1>1，则A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 412(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y =1.1x ，第n 根弦(n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l ：y =x +1交于点A n x n ,y n 和B n x n,y n，则20n =0y n y n=.(参考数据：取1.122=8.14.)13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <12.14(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x ,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点，点M 在直线x =12上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n，设a n =2Sn，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <12成立，求c 和m 的值；热点五数列与不等式交汇15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13a 2n n ∈N ∗，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.72<100a 100<416(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥20232024，则n 的最小值是()A.9B.10C.11D.1217(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *(1)求a n 的通项公式，(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <12.18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．19(2021·全国·统考高考真题)设a n 是首项为1的等比数列，数列b n 满足b n =na n3．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为a n 和b n 的前n 项和．证明：T n <S n2．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n 与b n 的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n +1-a n =32b n +1-b n 恒成立.(1)若A n =3n 2+3n2，b 1=2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13恒成立，求正整数b 1的最小值.21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1a n a n +2,n 为奇数b n,n 为偶数.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2ni =1c i ≥133.热点六数列与解析几何交汇22(2022·全国·统考高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ,BB ,CC ,DD 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD 1,CC 1,BB 1,AA 1是举，OD 1,DC 1,CB 1,BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1=0.5,CC 1DC 1=k 1,BB 1CB 1=k 2,AA 1BA 1=k 3．已知k 1,k 2,k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.923(重庆·高考真题)设A x 1,y 1 ,B 4,95 ,C x 2,y 2 是右焦点为F 的椭圆x 225+y 29=1上三个不同的点，则“|AF |,|BF |,|CF |成等差数列”是“x 1+x 2=8”的()A.充要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件24(2021·浙江·统考高考真题)已知a ,b ∈R ,ab >0，函数f x =ax 2+b (x ∈R ).若f (s -t ),f (s ),f (s +t )成等比数列，则平面上点s ,t 的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线热点七数列与概率统计交汇25(2023秋·江西·高三校联考阶段练习)甲同学现参加一项答题活动，其每轮答题答对的概率均为13，且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分，答错得0分，记第i 轮答题后甲同学的总得分为X i ，其中i =1,2,⋅⋅⋅,n .(1)求E X 99 ；(2)若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为23，并选择另一种答题方式答题：从第1轮答题开始，若本轮答对，则得20分，并继续答题；若本轮答错，则得0分，并终止答题，记乙同学的总得分为Y .证明：当i >24时，E X i >E Y .26(2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 处有一只小蚂蚁，每次随机等可能地沿各条棱或侧面对角线向另一顶点移动，设小蚂蚁移动n 次后仍在底面ABC 的顶点处的概率为P n .(1)求P1，P2的值.(2)求P n.27(2019·全国·高考真题(理))为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,⋯,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1-p i}(i=0,1,2,⋯,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．热点八等差数列、等比数列的判断与证明28【多选题】(2022·广东茂名·模拟预测)已知数列a n的前n项和为S，a1=1，S n+1=S n+2a n+1，数列2na n⋅a n+1的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为()A.数列a n+1是等比数列 B.数列a n+1是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=2n-1 D.T n>129(2021·全国·统考高考真题)记S n为数列a n的前n项和，b n为数列S n的前n项积，已知2S n+1b n=2．(1)证明：数列b n是等差数列;(2)求a n的通项公式．热点九数列中的“新定义”问题30(2020·全国·统考高考真题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2⋯a n⋯满足a i∈{0,1}(i=1,2,⋯)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,⋯)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,⋯)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2⋯a n⋯，C(k)=1 mmi=1a i a i+k(k=1,2,⋯,m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010⋯B.11011⋯C.10001⋯D.11001⋯31【多选题】(2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，⋯称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，⋯称为正方形数，记三角形数构成数列a n，正方形数构成数列b n，则下列说法正确的是()A.1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n<2；B.1225既是三角形数，又是正方形数；C.10i =11b i +1-a i +1=95；D.∀m ∈N *，m ≥2总存在p ，q ∈N *，使得b m =a p +a q 成立；32(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若项数为n 的数列a n 满足：a i =a n +1-i i =1，2，3，⋯，n 我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列c n 为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2⋯c k +1是公差为2的等差数列，数列c n 的最大项等于8，记数列c n 的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1=32，则k =．数列考查的九个热点热点题型速览热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题热点一等差数列的基本计算1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516 B.440C.258D.220【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出a 4,a 6，再利用前n 项和公式求解作答.【详解】等差数列a n 为递增数列，则a 4<a 6，由a 3+a 7=34，得a 4+a 6=34，而a 4⋅a 6=280，解得a 4=14,a 6=20，所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=220.故选：D2(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65m B.85mC.100mD.120m【答案】B【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成300个半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前n 项和公式求总和即可.【详解】因为空盘时盘芯直径为60mm ，则半径为30mm ，周长为2π×30=60πmm ，又满盘时直径为120mm ，则半径为60mm ，周长为2π×60=120πmm ，又因为卫生纸的厚度为0.1mm ，则60-300.1=300，即每一圈周长成等差数列，项数为300，于是根据等差数列的求和公式，得：S300=300×60π+120π2=27000πmm ，又27000πmm≈84780mm≈85m，即满盘时卫生纸的总长度大约为85m，故选：B.3(2020·全国高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则a n是以9为首项，9为公差的等差数列，a n=9+n-1×9=9n，设S n为a n的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n，S2n-S n，S3n-S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n-S2n=S2n-S n+729，即3n9+27n2-2n9+18n2=2n9+18n2-n9+9n2+729即9n2=729，解得n=9，所以S3n=S27=279+9×272=3402.故选：C4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【答案】2【分析】转化条件为2a1+2d=2a1+d+6，即可得解.【详解】由2S3=3S2+6可得2a1+a2+a3=3a1+a2+6，化简得2a3=a1+a2+6，即2a1+2d=2a1+d+6，解得d=2.故答案为：2.【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的条件；若求a m 项，可由a m =12(a m -n +a m +n)转化为求a m -n ，a m +n 或a m -n +a m +n 的值．3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二等比数列的基本计算5(2020·全国·统考高考真题)设{a n }是等比数列，且a 1+a 2+a 3=1，a 2+a 3+a 4=2，则a 6+a 7+a 8=()A.12B.24C.30D.32【答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a 6+a 7+a 8=q 5a 1+a 2+a 3 可求得结果.【详解】设等比数列a n 的公比为q ，则a 1+a 2+a 3=a 11+q +q 2 =1，a 2+a 3+a 4=a 1q +a 1q 2+a 1q 3=a 1q 1+q +q 2 =q =2，因此，a 6+a 7+a 8=a 1q 5+a 1q 6+a 1q 7=a 1q 51+q +q 2 =q 5=32.故选：D .6(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.42【答案】D【分析】设第n n ∈N ∗ 天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列a n 是公比为12的等比数列，利用等比数列的求和公式求出a 1的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后3天共走的里程数.【详解】设第n n ∈N ∗ 天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列a n 是公比为12的等比数列，所以，a 11-12 6 1-12=6332a 1=378，解得a 1=378×3263=192，所以，此人后三天所走的里程数为a 4+a 5+a 6=192×181-1231-12=42.故选：D .7(2023·全国高考真题)已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【答案】-2【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【解析】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三等差数列与等比数列的综合计算8(2019·北京·高考真题)设{an }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an }的通项公式；(Ⅱ)记{an }的前n 项和为Sn ，求Sn 的最小值．【答案】(Ⅰ)a n =2n -12；(Ⅱ)-30.【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得a n 的通项公式；(Ⅱ)首先求得S n 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】(Ⅰ)设等差数列a n 的公差为d ，因为a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列，所以(a 3+8)2=(a 2+10)(a 4+6)，即(2d -2)2=d (3d -4)，解得d =2，所以a n =-10+2(n -1)=2n -12.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n =2n -12,所以S n =-10+2n -122×n =n 2-11n =n -112 2-1214；当n =5或者n =6时，S n 取到最小值-30.9(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和．已知2S nn+n =2a n +1．(1)证明：a n 是等差数列；(2)若a 4,a 7,a 9成等比数列，求S n 的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)-78．【分析】(1)依题意可得2S n +n 2=2na n +n ，根据a n =S 1,n =1S n-Sn -1,n ≥2，作差即可得到a n -a n -1=1，从而得证；(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出a 1，即可得到a n 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】(1)因为2S nn+n =2a n +1，即2S n +n 2=2na n +n ①，当n ≥2时，2S n -1+n -1 2=2n -1 a n -1+n -1 ②，①-②得，2S n +n 2-2S n -1-n -1 2=2na n +n -2n -1 a n -1-n -1 ，即2a n +2n -1=2na n -2n -1 a n -1+1，即2n -1 a n -2n -1 a n -1=2n -1 ，所以a n -a n -1=1，n ≥2且n ∈N *，所以a n 是以1为公差的等差数列．(2)[方法一]：二次函数的性质由(1)可得a 4=a 1+3，a 7=a 1+6，a 9=a 1+8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 72=a 4⋅a 9，即a 1+6 2=a 1+3 ⋅a 1+8 ，解得a 1=-12，所以a n=n-13，所以S n=-12n+n n-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时，S nmin=-78．[方法二]：【最优解】邻项变号法由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即a1+62=a1+3⋅a1+8，解得a1=-12，所以a n=n-13，即有a1<a2<⋯<a12<0,a13=0.则当n=12或n=13时，S nmin=-78．【整体点评】(2)法一：根据二次函数的性质求出S n的最小值，适用于可以求出S n的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．10(2023·天津·统考高考真题)已知a n是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．(1)求a n的通项公式和2n-1i=2n-1a i ．(2)已知b n为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；(Ⅱ)求b n的通项公式及其前n项和．【答案】(1)a n=2n+1，2n-1i=2n-1a i=3⋅4n-1；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)b n=2n，前n项和为2n+1-2.【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得a1=3,d=2，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得2n-1i=2n-1a i=3⋅4n-1.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当2k-1≤n≤2k-1时，b k<a n，取n=2k-1，当2k-2≤n≤2k-1-1时，a n<b k，取n=2k-1-1，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n项和.【详解】(1)由题意可得a2+a5=2a1+5d=16a5-a3=2d=4，解得a1=3d=2，则数列a n的通项公式为a n=a1+n-1d=2n+1，求和得2n-1i=2n-1a i=2n-1i=2n-12i+1=22n-1i=2n-1i+2n-1-2n-1+1=22n-1+2n-1+1+2n-1+2+⋯+2n-1+2n-1=22n-1+2n-1⋅2n-12+2n-1=3⋅4n-1.(2)(Ⅰ)由题意可知，当2k-1≤n≤2k-1时，b k<a n，取n=2k-1，则b k<a2k-1=2×2k-1+1=2k+1，即b k<2k+1，当2k-2≤n≤2k-1-1时，a n<b k，取n=2k-1-1，此时a n=a2k-1-1=22k-1-1+1=2k-1，据此可得2k-1<b k，综上可得：2k-1<b k<2k+1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k-1<bk<2k+1，2k+1-1<b k+1<2k+1+1则数列b n的公比q满足2k+1-12k+1=2-32k+1<q=b k+1b k<2k+1+12k-1=2+32k-1，当k∈N*,k→+∞时，2-3 2k+1→2,2+32k-1→2，所以q=2，所以2k-1<b12k-1<2k+1，即2k-12k-1=2-12k-1<b1<2k+12k-1=2+12k-1，当k∈N*,k→+∞时，2-1 2k-1→2,2+12k-1→2，所以b1=2，所以数列的通项公式为b n=2n，其前n项和为：S n=2×1-2n1-2=2n+1-2.热点四数列与函数的交汇11(2018·浙江·高考真题)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4【答案】B【分析】先证不等式x≥ln x+1，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令f(x)=x-ln x-1,则f (x)=1-1x，令f(x)=0,得x=1，所以当x>1时，f (x)>0，当0<x<1时，f (x)<0，因此f(x)≥f(1)=0,∴x≥ln x+1，若公比q>0，则a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3)，不合题意；若公比q≤-1，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,但ln(a1+a2+a3)=ln[a1(1+q+q2)]>ln a1>0，即a1+a2+a3+a4≤0<ln(a1+a2+a3)，不合题意；因此-1<q<0,q2∈(0,1)，∴a1>a1q2=a3,a2<a2q2=a4<0，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如x≥ln x+1,e x≥x+1,e x≥x2+1(x≥0).12(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y=1.1x，第n根弦(n∈N，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l：y=x+1交于点A n x n,y n和B n x n ,y n，则20n=0y n y n=.(参考数据：取1.122=8.14.)【答案】914【分析】根据题意可得y n =n +1,y n=1.1n ，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：y n =n +1,y n =1.1n ，则20n =0y n y n=20n =0n +1 1.1n =1×1.10+2×1.11+⋯+20×1.119+21×1.120，可得1.1×20n =0y n y n =1×1.11+2×1.12+⋯+20×1.120+21×1.121，两式相减可得：-0.1×20n =0y n y n=1.10+1.11+⋯+1.120-21×1.121=1-1.1211-1.1-21×1.121=1-1.121+0.1×21×1.121-0.1=1+1.122-0.1=1+8.14-0.1=-91.4，所以20n =0y n y n=914.故答案为：914.13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <12.【答案】(1)数列a 2n -1 成等比数列，证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)推导出a 2n +1=2a 2n +2=2log 2a 2n -1+2=4a 2n -1，得到结论；(2)先得到a 2n -1=a 1⋅4n -1，a 2n =2(n -1)+log 2a 1，从而得到S 10=341a 1+5log 2a 1+20，令f (x )=341x +5log 2x +20，得到函数单调递增，且由特殊点函数值得到a 1=1，b n =14n2，求出T 1=14<74，当n ≥2时，利用裂项相消法求和，得到T n <12.【详解】(1)数列a 2n -1 成等比数列，证明如下：根据a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗得，a 2n +1=2a 2n +2=2log 2a 2n -1+2=22a 2n -1=4a 2n -1；∵a 1>0，∴a 2n -1>0，a2n +1a 2n -1=4，即数列a 2n -1 成等比数列.(2)由(1)得，a 2n -1=a 1⋅4n -1，a 2n =log 2a 2n -1=2(n -1)+log 2a 1，故S 10=a 140+41+42+43+44 +5log 2a 1+2×(0+1+2+3+4)=341a 1+5log 2a 1+20，由S 10=361，得341a 1+5log 2a 1+20=361.令f (x )=341x +5log 2x +20，当x >0时，f (x )=341x +5log 2x +20单调递增，且f (1)=361=f a 1 ，故a 1=1，a 2n +1=4n =22n ，a 2n +2=log 2a 1+2n =2n ，∴b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2=14n 2，T 1=b 1=14<12，当n ≥2时，b n =14n2<14(n -1)n =141n -1-1n∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <141+1-12+12-13+⋯+1n -1-1n=142-1n <14×2=12，综上，知T n <1214(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点，点M 在直线x =12上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n，设a n =2Sn，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <12成立，求c 和m 的值；【答案】(1)x 1+x 2=1,y 1+y 2=-2(2)存在，c =1,m =1【分析】(1)根据点M 在直线x =12上，设M 12,y M ，利用AM =MB ，可得x 1+x 2=1，分类讨论：①x 1=12，x 2=12；②x 1≠12时，x 2≠12，利用函数解析式，可求y 1+y 2的值；(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=-2，∴f k n +f n -kn=-2，代入k =0，1，2，⋯，n -1，利用倒序相加法可得S n =1-n ，从而可得数列a n 的通项与前n 项和，利用T m -c T m +1-c <12化简即可求得结论.【详解】(1)根据点M 在直线x =12上，设M 12,y M ，则AM =12-x 1,y M -y 1 ，MB =x 2-12,y 2-y M ，∵AM =MB ，∴x 1+x 2=1．①当x 1=12时，x 2=12，y 1+y 2=f x 1 +f x 2 =-1-1=-2；②当x 1≠12时，x 2≠12，y 1+y 2=2x 11-2x 1+2x 21-2x 2=2x 11-2x 2 +2x 21-2x 1 1-2x 1 1-2x 2 =2(x 1+x 2)-8x 1x 21-2(x 1+x 2)+4x 1x 2=2(1-4x 1x 2)4x 1x 2-1=-2；综合①②得，y 1+y 2=-2．(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=-2．∴f k n +f n -k n=-2，k =0,1,2,⋯,n -1，∴n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n①S n =f n -1n +f n -2n +f n -3n +⋯+f 1n ②①+②得，2S n =-2(n -1)，则S n =1-n ．又n =1时，S 1=0满足上式，∴S n =1-n ．∴a n =2S n=21-n ，∴T n =1+12+⋯+12n -1=1×1-12 n1-12=2-22n．∵T m -c T m +1-c <12，∴2T m -c -T m +1-c 2T m +1-c<0，∴c -2T m -T m +1c -T m +1<0，∵Tm +1=2-12m ，2T m -T m +1=4-42m -2+12m =2-32m ，∴12≤2-32m <c <2-12m <2，c ,m 为正整数，∴c =1，当c =1时，2-32m<12-12m >1，∴1<2m <3，∴m =1．【点评】作为高考热点，数列与函数的交汇问题，等差数列易于同二次函数结合，研究和的最值问题，而等比数列易于同指数函数结合，利用指数函数的单调性解决问题，递推、通项问题往往与函数的单调性、周期性相结合.热点五数列与不等式交汇15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13a 2n n ∈N ∗，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.72<100a 100<4【答案】B【分析】先通过递推关系式确定a n 除去a 1，其他项都在0,1 范围内，再利用递推公式变形得到1a n +1-1a n =13-a n >13，累加可求出1a n >13(n +2)，得出100a 100<3，再利用1a n +1-1a n =13-a n<13-3n +2=131+1n +1 ，累加可求出1a n -1<13n -1 +1312+13+⋯+1n ，再次放缩可得出100a 100>52．【详解】∵a 1=1，易得a 2=23∈0,1 ，依次类推可得a n ∈0,1由题意，a n +1=a n 1-13a n ，即1a n +1=3a n 3-a n=1a n +13-a n ，∴1a n +1-1a n =13-a n >13，即1a 2-1a 1>13，1a 3-1a 2>13，1a 4-1a 3>13，⋯，1a n -1a n -1>13,(n ≥2)，累加可得1a n -1>13n -1 ，即1a n >13(n +2),(n ≥2)，∴a n <3n +2,n ≥2 ，即a 100<134，100a 100<10034<3,又1a n +1-1a n =13-a n <13-3n +2=131+1n +1 ,(n ≥2)，∴1a 2-1a 1=131+12 ，1a 3-1a 2<131+13 ，1a 4-1a 3<131+14 ，⋯，1a n -1a n -1<131+1n,(n≥3)，累加可得1a n -1<13n -1 +1312+13+⋯+1n ,(n ≥3)，∴1a 100-1<33+1312+13+⋯+1100 <33+1312×4+16×96 <39，即1a 100<40，∴a 100>140，即100a 100>52；综上：52<100a 100<3．故选：B ．16(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥20232024，则n 的最小值是()A.9B.10C.11D.12【答案】C【分析】由题意可知操作n 次时有2n 个边长为12n 的小正方形，即S n =2n ×12n2=12n，结合等比数列前n 项和解不等式即可.【详解】由题意可知操作1次时有21=2个边长为121=12的小正方形，即S 1=21×1212=121=12，操作2次时有22=4个边长为122=14的小正方形，即S 2=22×122 2=122=14，操作3次时有23=8个边长为123=18的小正方形，即S 3=23×1232=123=18，以此类推可知操作n 次时有2n 个边长为12n 的小正方形，即S n =2n ×12n2=12n ，由等比数列前n 项和公式有S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n =12+12 2+⋅⋅⋅+12 n =12×1-12 n1-12=1-12 n，从而问题转换成了求1-12 n ≥20232024不等式的最小正整数解，将不等式变形为12 n ≤12024，注意到12 10=11024>12024，1211=12048<12024，且函数y =12x在R 上单调递减，所以n 的最小值是11.故选：C .17(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *(1)求a n 的通项公式，(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <12.【答案】(1)a n =2n -1(2)证明见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式，列方程求解首项和公差，即得答案；(2)由(1)结论可得b n =1a n a n +1的表达式，利用裂项求和可得T n 表达式，即可证明结论.【详解】(1)设a n 的公差为d ，由S 4=4S 2得，4a 1+6d =42a 1+d ，解得d =2a 1，∵a 3n =3a n +2，即a 1+3n -1 d =3a 1+n -1 d +2，∴2d =2a 1+2，结合d =2a 1，∴d =2,a 1=1,∴a n =1+2n -1 =2n -1；(2)证明：由b n =12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 .∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1，即∴T n =121-12n +1 ，又T n 随着n 的增大增大，当n =1时，T n 取最小值为T 1=13，又n →+∞时，12n +1>0，且无限趋近于0，故T n =121-12n +1 <12，故13≤T n <12.18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．【答案】(1)a n =n n +12(2)见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得S n a n =1+13n -1 =n +23，得到S n =n +2 a n 3，利用和与项的关系得到当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,进而得：a n a n -1=n +1n -1，利用累乘法求得a n =n n +1 2，检验对于n =1也成立，得到a n 的通项公式a n =n n +1 2；(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到1a 1+1a 2+⋯+1a n =21-1n +1 ，进而证得.【详解】(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S1a 1=1,又∵S n a n 是公差为13的等差数列，∴S n a n =1+13n -1 =n +23,∴S n =n +2 a n 3,∴当n ≥2时，S n -1=n +1 a n -13，∴a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,整理得：n -1 a n =n +1 a n -1,即a na n-1=n+1n-1,∴a n=a1×a2a1×a3a2×⋯×a n-1a n-2×a na n-1=1×31×42×⋯×nn-2×n+1n-1=n n+12，显然对于n=1也成立，∴a n的通项公式a n=n n+12；(2)1a n =2n n+1=21n-1n+1,∴1 a1+1a2+⋯+1a n=21-12+12-13+⋯1n-1n+1=21-1n+1<219(2021·全国·统考高考真题)设a n是首项为1的等比数列，数列b n满足b n=na n3．已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求a n和b n的通项公式；(2)记S n和T n分别为a n和b n的前n项和．证明：T n<S n 2．【答案】(1)a n=13n-1，b n=n3n；(2)证明见解析.【分析】(1)利用等差数列的性质及a1得到9q2-6q+1=0，解方程即可；(2)利用公式法、错位相减法分别求出S n,T n，再作差比较即可.【详解】(1)因为a n是首项为1的等比数列且a1，3a2，9a3成等差数列，所以6a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q2-6q+1=0，解得q=13，所以a n=13n-1，所以b n=na n3=n3n.(2)[方法一]：作差后利用错位相减法求和T n=13+232+⋯+n-13n-1+n3n，S n 2=12130+131+132+⋯+13n-1 ，T n-S n2=13+232+333+⋯+n3n-12130+131+132+⋯+13n-1 =0-1230+1-1231+2-1232+⋯+n-1-123n-1+n3n．设Γn=0-1230+1-1231+2-1232+⋯+n-1-123n-1， ⑧则13Γn=0-1231+1-1232+2-1233+⋯+n-1-123n． ⑨由⑧-⑨得23Γn=-12+131+132+⋯+13n-1-n-323n=-12+131-13n-11-13-n-323n．所以Γn=-14×3n-2-n-322×3n-1=-n2×3n-1．因此T n-S n2=n3n-n2×3n-1=-n2×3n<0．故T n<S n 2．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由(1)可得S n=1×1-13n1-13=321-13n，T n=13+232+⋯+n-13n-1+n3n，①1 3T n=132+233+⋯+n-13n+n3n+1，②①-②得23T n=13+132+133+⋯+13n-n3n+1=131-13n1-13-n3n+1=121-13n-n3n+1，所以T n=341-13n-n2⋅3n，所以T n-S n2=341-13n-n2⋅3n-341-13n=-n2⋅3n<0，所以T n<S n 2 .[方法三]：构造裂项法由(Ⅰ)知b n=n13n，令c n=(αn+β)13 n，且b n=c n-c n+1，即n13 n=(αn+β)13 n-[α(n+1)+β]13n+1，通过等式左右两边系数比对易得α=32,β=34，所以c n=32n+34 ⋅13 n．则T n=b1+b2+⋯+b n=c1-c n+1=34-34+n2 13 n，下同方法二．[方法四]：导函数法设f(x)=x+x2+x3+⋯+x n=x1-x n1-x，由于x1-x n1-x'=x1-x n'1-x-x1-x n×1-x'1-x2=1+nx n+1-(n+1)x n(1-x)2，则f (x)=1+2x+3x2+⋯+nx n-1=1+nx n+1-(n+1)x n(1-x)2．又b n=n13n=13n13 n-1，所以T n=b1+b2+b3+⋯+b n=131+2×13+3×132+⋯+n⋅13n-1 =13⋅f 13 =13×1+n13n+1-(n+1)13 n1-132=341+n13n+1-(n+1)13n =34-34+n213 n，下同方法二．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n与b n的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，a n +1-a n =32b n +1-b n 恒成立.(1)若A n =3n 2+3n2，b 1=2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13恒成立，求正整数b 1的最小值.【答案】(1)n (n +1)；(2)3【分析】(1)利用a n ,S n 求通项公式，再求证{b n }是首项、公差均为2的等差数列，进而求B n ；(2)由题设易得b n +1=3b n ，等比数列前n 项和公式求B n ，进而可得b n +1a n a n +1=1B n -1B n +1，裂项相消法化简已知不等式左侧，得b 1>31-23n +1-1恒成立，进而求最小值.【详解】(1)由题设，a n =A n -A n -1=32[n 2+n -(n -1)2-n +1]=3n 且n ≥2，而a 1=A 1=3，显然也满足上式，故a n =3n ，由a n +1-a n =32b n +1-b n ⇒b n +1-b n =2，又b 1=2，所以{b n }是首项、公差均为2的等差数列.综上，B n =2×(1+...+n )=n (n +1).(2)由a n =B n ，a n +1-a n =32b n +1-b n ，则B n +1-B n =b n +1=32(b n +1-b n )，所以b n +1=3b n ，而b 1≥1，故bn +1b n=3，即{b n }是公比为3的等比数列.所以B n =b 1(1-3n )1-3=b 12(3n -1)，则B n +1=b12(3n +1-1)，b n +1a n a n +1=B n +1-B n B n +1B n =1B n -1B n +1，而b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13，所以1B 1-1B 2+1B 2-1B 3+...+1B n -1B n +1=1B 1-1B n +1=1b 1-2b 1(3n +1-1)<13，所以1b 11-23n +1-1 <13⇒b 1>31-23n +1-1对n ∈N *都成立，所以1-23n +1-1<1，故b 1≥3，则正整数b 1的最小值为3.21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1a n a n +2,n 为奇数b n,n 为偶数.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2ni =1c i ≥133.【答案】(1)a n =n ；b n =2n (2)证明见解析【分析】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，根据题意列式求d ,q ，进而可得结果；(2)利用分组求和以及裂项相消法求得T n =-14n +2+4n +13-56，进而根据数列单调性分析证明.【详解】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，由a 1=1，a 5=5a 4-a 3 ，可得1+4d =5d ，解得d =1。

2023考点专题复习——等差数列及其性质考法一、 等差数列的基本运算⑴等差数列的通项公式：⑴等差数列的前和的求和公式：例1、在等差数列{}n a 中，若3930a a +=，411a =，则{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．-3D ．3例2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，8100S =，724a a =，则4a =（ ）． A ．10B ．11C ．12D ．13例3、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知55S =，55a =，则（ ） A ．25n a n =-B ．n a n =C ．229n S n n =-D ．21322n S n n =- 练习1、等差数列1、2a 、24a 、的第五项等于（ ）A ．12B ．1C ．5D ．16练习2、设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 练习3、在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3＝21，a 2a 3＝70，若a n ＝61，则n ＝（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21练习4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111152S S S =-，则611a a =（ ）A ．65B ．56C ．1110D ．1011练习5、设n S 是某个等差数列的前n 项和，若201920202020S S ==，则2021S =（ ） A ．220202019-B ．220202019+C ．120201010-D ．120201010+练习6、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“2n S n n =-”是“数列{}n a 是公差为2的等差数列”的（ ）1(1)n a a n d=+-n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习7、已知数列{}n a 中各项为非负数，21a =，516a =，若数列为等差数列，则13a=（ ）A ．169B ．144C ．12D ．13练习8、已知公差不为0的等差数列{}n a 中，246a a a +=，296a a =，则10a =______．练习9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若171251,0S a ==，则{}n a 的通项公式为_____________ 练习10、已知等差数列{}n a 满足13248,14a a a a +=+=，则它的前8项的和8S =（ ） A ．70B ．82C ．92D ．105练习11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，410a =，则{}n a 的公差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1练习12、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且131,9S S ==，则5S =（ ） A ．17 B ．25C ．5D ．81考法二、 等差数列的性质⑴在等差数列中，对任意，，，；⑴在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.⑴等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.⑴设数列是等差数列，且公差为，（⑴）若项数为偶数，设共有项，则①；② ；⑴若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.⑴若与为等差数列，且前项和分别为与，则.{}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n -S S nd =奇偶1n n S aS a +=奇偶21n -S S -偶奇n a a ==中1S n S n =-奇偶{}n a {}n b n nS 'n S 2121'm m m m a S b S --=例1、在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（ ） A ．360B ．300C ．240D ．200例2、已知数列{a n }为等差数列，n S 为其前n 项和，4252a a a +=+，则5S =（ ） A ．2B ．14C ．50D ．10例3、在等差数列{}n a 中，11826a a =+，则267a a a ++=（ ） A ．18-B ．6-C ．8D ．12例4、已知数列{}n a 是等差数列，若1231a a a ++=，4563a a a ++=，则789a a a ++=（ ） A ．5B ．4C ．9D ．7例5、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中23S =，415S =，则6S =（ ） A ．9B ．18C ．27D ．36例6、已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A ．1929B ．1125C ．1117D ．23练习1、已知数列{}n a 为等差数列，且31a =，则12345a a a a a ++++=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6练习2、n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1233a a a ，7910a a +=，则9S =（ ）A ．9B ．16C ．20D ．27练习3、已知公差不为0的等差数列{}n a 满足22225678a a a a +=+，则（ ） A ．60a =B ．70a =C ．120S =D ．130S =练习4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ．若211n n S n T n -=+，则55a b =（ ） A ．1911B ．1710C ．32D ．75练习5、已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，422n n S n T n +=+，则59a b =（ ） A ．3811B ．109C ．1110D ．2练习6、等差数列{}n a 的前()m m N +∈项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为（ ）A ．130B ．170C ．210D ．260练习7、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（ ）A ．10B ．30-C ．15-D ．25练习8、两等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T 、,已知73n n S n T n =+,则55a b = A ．7 B ．23C ．278D ．214练习9、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1254a a a +=+，则11S =（ ）A ．28B ．34C ．40D ．44练习10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，663S =，则789a a a ++等于（ ）A ．63B ．71C ．99D ．117练习11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122S =，则378a a a ++=（ ）A ．18B ．12C ．9D ．6练习12、已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（ ）A ．3B ．6C ．327D ．8013练习13、已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ）A ．67B ．1211C ．1825D ．1621练习14、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，2030S =，则30S =（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50练习15、已知等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（ ）A ．28B ．29C ．30D ．31练习16、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 7+a 12＝12，则S 13＝_____.练习17、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246820a a a a +++=，则9S =___________.练习18、已知数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别为n S ，n T ，且满足：*n ∀∈N ，321n n S n T n +=+，则161419581215a a a ab b b b +++=+++____________.练习19、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493考法三、 等差数列的最值问题⑴.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.⑴利用等差数列的前n 项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；⑴. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n 项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.10a >0d <n S 10a <0d >n S n a n S n n N +∈10a >0d <100n n a a +≥⎧⎨≤⎩n n S 10a <0d >10n n a a +≤⎧⎨≥⎩n n S 2n S An Bn =+,A B n N ∈*0d >0d <n a 11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩n a 11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩1,2,3,n ={}n S例1、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，73649,3S a a ==，则n S 取最大值时的n 为（ ） A ．7B ．8C ．14D ．15例2、在等差数列{}n a 中，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，则当0n S >时，n 的最小值为 A ．B ．C ．D ．例3、等差数列{}n a 中，3716,8,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大时，n =（ ） A ．10B ．11C ．10或11D ．11或12练习1、若公差为负的等差数列{}n a 中的两项39,a a 是方程21090x x -+=的两个根，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当n S 最大时，n 的值为（ ） A ．5B ．9或10C ．10D ．9练习2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（ ） A ．90a = B ．1514S S >C ．0 d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值练习3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n N *∀∈，7n S S ≤，则数列{}n a 的通项公式可能是（ ）A ．315n a n =-B ．173n a n =-C ．7n a n =-D ．152n a n =-练习4、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，1020S S =，则不成立是（ ）A ．0d <B ．160a <C ．15n S SD ．当且仅当0nS <时32n练习5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足54a ≤，540S ≥，则该数列的公差d 可取的值是（ ）A ．3B ．1C ．-1D ．-3练习6、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7,n n S S *∀∈≤N ，则数列{}n a 的通项公式可能是（ ）A ．163n a n =-B ．152n a n =-C ．214n a n =-D ．215n a n =-练习7、等差数列{}n a 中，3716,8,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大时，n =（ ）A ．20B ．21C ．20或21D ．21或22练习8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则下列结论正确的是（ ） A ．当且仅当6n =时n S 取最小值 B ．当且仅当6n =时n S 取最大值 C ．当且仅当7n =时n S 取最小值 D ．当且仅当7n =时n S 取最大值练习9、已知数列{}n a 的通项公式为3n a n =-，*n ∈N ，n S 为其前n 项和，则当0n n a S ≤时，正整数n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6练习10、若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．9练习11、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈．若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S练习12、已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1.nn na b a +=若对任意的*n ∈N ，都有6n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]6,5--B ．()6,5--C ．[]5,4--D ．()5,4--练习13、已知等差数列{}n a 的前n 项和记为1234,24n S a a a S ++=+，则“11a <”是“{}n S 为单调数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习14、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且675S S S >>,给出下列五个命题:①0d <;②110S >;③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤67a a <. 其中正确命题的是___________.练习15、设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：30a <，且56160S S +=，则11S 的最小值为_________．练习16、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且235S =，23439a a a ++=，则当n S 取最大值时，n 的值为___________.考法四、 等差数列的证明与判断例1、已知数列{}n a 满足12a =，121n n n a a a +-=，证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；例2、已知数列{}12,13n a a a ==，，且满足11212n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈），证明新数列{}1n n a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式.例3、已知数列{}n b 首项13b =，且满足()*1212123n n n b b n n n +-=+-∈-N ，令23n n b c n =-. （1）求证：数列{}n c 为等差数列； （2）求数列{}n b 中的最小项.练习1、已知在数列{}n a 中，112a =，12n n a a n ++=，求证：{}n a 为等差数列；练习2、在正项数列{}n a 中，11a =，0=，*N n ∈，求证：数列为等差数列；练习3、已知数列{}n a 满足12a =，1210n n n a a a +-+=，N n *∈，证明：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；练习4、已知数列{}n a 满足112a =，()()11110n n n n n n a a n a na --+++-=，2n ≥，n N ∈，求证：数列()11n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为等差数列；练习5、已知数列{}n a 满足()*143n n n a a n N a +-=∈-，且14a =，证明：数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；练习6、已知数列{}n a 中，13a =，且满足()2*122,n n n n a a n b a n n N +=++=-∈，证明：数列{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式；练习7、记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}na 是等差数列.练习8、在数列{}n a 中，12a =，n a 是1与1n n a a +的等差中项，求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；练习9、已知正项数列{}n a 满足121,2a a ==，且对任意的正整数n ，211n a ++是2n a 和22n a +的等差中项，证明：{}221n n aa +-是等差数列，并求{}n a 的通项公式；练习10、已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.考法五、实际生活中的等差数列例1、在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（ ） A ．9B ．18C ．20D ．24例2、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（ ） A ．14钱 B ．12钱 C ．23钱 D ．35钱练习1、《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（）（1丈＝10 尺＝100寸）A．四尺五寸B．三尺五寸C．二尺五寸D．一尺五寸练习2、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A．18B．17C．16D．15练习3、《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（）A．47尺B．1631尺C．1629尺D．815尺练习4、我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯练习5、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花（）A．65斤B．82斤C．99斤D．106斤练习6、《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．练习7、我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A．184斤B．176斤C．65斤D．60斤练习8、明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊已庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊已庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（）A．122钱B．115钱C．108钱D．107钱练习9、中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤练习10、2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（）A．4.5寸B．3.5寸C．2.5寸D．1.5寸。

高考数学一轮复习等差数列多选题专项训练知识点及练习题及答案(1)一、等差数列多选题1．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d > D ．数列{}na 也是等差数列解析：AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确.对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.2．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ；D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）. 解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数）B ．数列{}n a -是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项解析：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a da a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.4．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值解析：ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 解析：AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 6．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 7．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥解析：BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC8．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d Sd -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.9．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0 B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =解析：ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题. 10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022 解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 11．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a =D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误.故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.13．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．3解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．14．题目文件丢失！15．题目文件丢失！ 16．题目文件丢失！17．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列 C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列 解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 18．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a =B ．911a a =C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S = 解析：ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确； ∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确，故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.20．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 有最大值C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值解析：ABD【分析】 由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确； 由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.。

2022届高考数学总复习：等差数列及其前n 项和1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( ) A ．55 B.11 C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 020的值为( )A ．2 026 B.4 036 C ．5 044D ．3 020解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a m＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 020＝2×2 020－6＝4 036.故选B.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( ) A ．a 7＝0 B.|a 7|＝|a 8| C ．|a 7|>|a 8|D ．|a 7|<|a 8|解析：选D ∵公差d >0，∴S 9>S 8，又∵(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，∴S 8<S 5<S 9，∴a 6＋a 7＋a 8<0，a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7<0，a 7＋a 8>0，|a 7|<|a 8|，故选D.5．(多选)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( ) A ．a 1＋a 3＝0 B.a 3＋a 5＝0 C ．S 3＝S 4D ．S 4＝S 5解析：选BC 由S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选B 、C.6．(多选)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17 B.a 10＝18 C ．S 9＝81D ．S 10＝91解析：选BD ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B 、D. 7．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．(一题两空)若数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则a 3＝________，通项公式a n ＝________.解析：数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝a n ＋1－a n ＝3的等差数列， 所以a 3＝a 1＋2d ＝3＋6＝9， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n . 答案：9 3n9．(一题两空)等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则a n ＝________，S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11，S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0.答案：2n －11 010．等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝________.解析：因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.答案：4n ＋211．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：(1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ， S n ＝n (n －9)d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．12．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1， 即(a n －1)2＝a 2n －1， 因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3， 所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.13．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12>0；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|，其中正确命题的个数为( )A ．2 B.3 C ．4D ．5解析：选C 因为S 7－S 6<0，S 6－S 5>0，所以d ＝a 7－a 6<0，①正确；S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，②正确；S 7－S 5＝a 6＋a 7>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，③正确；因为a 6>0，a 7<0，所以数列{S n }的最大项为S 6，④不正确；因为a 6＋a 7>0⇒a 6>－a 7，即|a 6|>|a 7|，⑤正确．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为________，S 21的值为________．解析：将n ＝1代入a n ＋a n ＋1＝2n ＋1中得a 2＝3－1＝2. 由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1 ①，得a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3 ②.②－①，得a n ＋2－a n ＝2，所以数列{a n }的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列， 则a 21＝1＋10×2＝21，a 20＝2＋9×2＝20，所以S 21＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 21)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝(1＋21)×112＋(2＋20)×102＝231.答案：20 23115．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2. (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4， 所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d ＜0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝n (a 1＋11－n )2＝－12n 2＋212n ，当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－a 13－…－a n ＝－S n ＋2S 11＝－n (a 1＋11－n )2＋2×11(a 1＋a 11)2＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.16．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a n n ，若{d n }是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{d n }是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．解：由题意得2＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a nn ，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1 ＝2n －2(n ≥2，n ∈N ＋)，两式相减得a n ＝22n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．当n ＝1时，a 1＝2，符合上式， 所以a n ＝22n －1(n ∈N ＋)．又由题意得3＝b 1＋3b 2＋…＋3n －1b nn ，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n ＝3n ，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －2b n －1＝3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)， 两式相减得b n ＝32－n (n ≥2，n ∈N ＋)． 当n ＝1时，b 1＝3，符合上式， 所以b n ＝32－n (n ∈N ＋)． 所以c n ＝(2－k )n ＋2k －1.因为对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 6≥0，c 7≤0，解得135≤k ≤114.。