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第六章时间数列分析第一节时间数列分析概述一、时间数列的概念我们对现象总体的数量方面进行分析研究时，通常需要掌握和积累现象各个时期的统计资料，从时间上反映和研究现象发展变化的过程、趋势及其规律。
所谓时间数列也称动态数列，它是指各个不同时间的社会经济统计指标，按时间先后顺序排列而形成的一列数.表6—1显示的都是我国1995年—2005年若干统计指标的时间数列，从中可以看出时间数列有两个基本要素构成：一是统计指标所属的时间；二是统计指标在特定时间的具体指标值。
表6—1 中国的国内生产总值、人口及第三产业产值注：人均国内生产总值按年平均人口数计算资料来源：《中国统计年鉴》（2006）,北京:中国统计出版社研究时间数列具有重要的作用，通过时间数列的编制和分析:⑴可以描述社会经济现象的发展状况和结果；⑵可以研究社会经济现象的发展速度、发展趋势，探索现象发展变化的规律,并据以进行统计预测；⑶分析长期趋势、季节变动和循环变动等了解和分析社会现象发展变化的规律性。
二、时间数列的种类时间数列按照其指标的性质，可以分为总量指标、相对指标和平均指标时间数列等三大类型。
总量指标时间数列也称绝对数时间数列，是基本的时间数列，相对指标和平均指标时间数列都是在总量指标时间数列的基础上派生出来的。
㈠总量指标时间数列总量指标时间数列是指把一系列同类的总量指标按时间先后顺序排列起来形成的时间数列。
它反映社会经济现象在各个时期达到的绝对水平及其变化发展的状态。
表6—1中的国内生产总值、年末人口和第三产业产值都属于总量指标时间数列。
按照总量指标所反映的内容的不同，可以分为总体单位总量和总体标志总量两种。
年末人口数是总体单位总量指标，而国内生产总值和第三产业产值是总体标志总量指标.根据总量指标反映的社会经济现象所属的时间不同，又可将总量指标时间数列分为时期数列和时点数列。
下面来讨论时期数列和时点数列的特点.⒈时期序列各项指标都是反映某种现象在一段时期内发展过程的总量,该时间数列称为时期序列。
时间数列的种类与编制原则时间数列是指按照一定的规则和周期性顺序编制的一系列时间点。
不同的时间数列可以根据不同的原则进行编制，下面将介绍几种常见的时间数列以及它们的编制原则。
一、简单等差数列：简单等差数列是最常见的时间数列，也是最简单的一种。
它的每个时间点之间的间隔都相等。
例如：1月1日，1月2日，1月3日，……。
编制简单等差数列的原则是确定起始时间点和间隔，然后按照间隔依次递增或递减来确定下一个时间点。
二、周期性数列：周期性数列是在一段固定的时间内，按照某种规律出现的时间点。
例如：每周一，每月最后一天等。
编制周期性数列的原则是确定一个完整的周期，然后根据周期来确定每个时间点。
三、复合数列：复合数列是由多个周期性数列组成的时间数列。
例如：某商场每周一有打折活动，每月第一周有特价促销活动。
编制复合数列的原则是确定各个周期的起始时间点和周期长度，然后根据各个周期依次确定时间点。
四、递增或递减数列：递增或递减数列是指每个时间点之间的间隔逐渐增大或减小。
例如：1秒，2秒，4秒，8秒，……。
编制递增或递减数列的原则是确定起始时间点和递增或递减的规律，然后按照规律来确定下一个时间点。
五、随机数列：随机数列是按照随机性编制的时间数列，没有固定的规律和周期。
例如：每隔一段时间就随机选择一个时间点。
编制随机数列的原则是根据具体需求和目的来确定每个时间点，可以使用随机数生成器来产生随机数。
六、混合数列：混合数列是由多种不同规律的时间数列组合而成的。
例如：某地区每天有固定的时间段可以进入，每周还有额外的特定时间段可以进入。
编制混合数列的原则是确定各个时间数列的规律和起始时间点，然后按照各个规律依次确定时间点。
编制时间数列的原则主要根据具体需求和目的来确定。
一般需要考虑以下几个方面：1.周期性：确定时间数列是否需要按照某种周期性出现，以及周期的长度和起始时间点。
2.间隔规律：确定时间数列之间的间隔是否规律，以及规律的模式和间隔长度。
时间数列时间数列，也称为时间序列或动态序列，是将反映某社会经济现象的指标数值按时间的顺序排列起来所形成的一种统计数列。
它反映社会经济现象发展变化的过程和特点，是研究现象发展变化的趋势和规律以及对未来状态进行科学预测的重要依据。
时间数列的应用始于19世纪80年代西方经济学家和统计学家对资本主义经济周期波动的研究和商情预测。
这种分析的方法技术不断丰富和发展，逐步形成统计学中一个有广泛应用价值的分支系列。
时间数列分析有传统时间数列分析和现代时间数列分析两种。
传统时间数列分析的特点是将经济过程分解为若干基本构成因素、并对这些构成因素分别加以测定。
现代时间数列分析是本世纪40年代开始发展起来的，它把时间数列堪称各种复杂因素交织影响的随机过程，运用大量数据构造综合模型，借助计算机进行复杂的计算，主要用于趋势分析和预测。
本章第一节概述时间数列的种类和编制方法；第二节概述常用的动态分析指标；第三节阐述时间数列的分解测定方法；第五节扼要介绍时间数列在预测中的应用。
第一节：时间数列的种类和编制方法一、时间数列的种类在社会经济统计中，从计算动态指标和预测方法选择来研究，对时间数列可作如下两种分类：1、按指标的形式不同，时间数列可分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列。
其中，绝对数时间数列，即总量指标时间数列，又可分为时期总量指标数列（简称时期数列）和时点总量指标数列（简称时点数列）。
各种指标形式的时间数列，举例见表11-1。
其中⑴为时期数列，⑵为时点数列，⑶为相对数时间数列，⑷为平均数时间数列。
这四种形式的时间数列、除时期数列前后各期数值可以相加，表明更长时期的累积总量之外，其它三种数列前后期数值相加都是无意义的。
将时间数列按指标形式区分，是因为不同形式的指标在计算某些动态分析指标时，要采用不同的方法。
2、按指标变量的性质和数列形态不同，时间数列可分为随机性时间数列和非随机型时间数列。
非随机性时间数列又有：平稳性时间数列、区实行时间数列和季节性时间数列三种。
时间数列概述
一、时间数列的定义
时间数列是指按照时间顺序排列的数值序列。
它可以用来描述一系列事件、数据、变化等
随时间推移的变化情况。
时间数列可以是离散的，也可以是连续的。
离散时间数列是指在
一系列离散的时间点上取得的数值，连续时间数列是指在一个时间区间上取得的连续的数值。
时间数列通常用数学符号表示，例如用{an}表示一个离散时间数列，其中an表示时间点n 上的数值；用f(t)表示一个连续时间数列，其中t表示时间点，f(t)表示时间点t上的数值。
二、时间数列的分类
时间数列可以按照不同的属性进行分类。
常见的分类方式有以下几种：
1. 等差数列：等差数列是指数列中的每个数与它前一个数之间的差是一个固定的常数。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差是2。
2. 等比数列：等比数列是指数列中的每个数与它前一个数之间的比是一个固定的常数。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比是2。
3. Fibonacci数列：Fibonacci数列是指数列中的每个数都等于它前两个数之和，即an =
an-1 + an-2。
例如，1，1，2，3，5，8就是一个Fibonacci数列。
4. 幂函数数列：幂函数数列是指数列中的每个数都是一个幂函数的值。
例如，2，4，8，16，32就是一个幂函数数列，其中每个数都是2的幂次方。
5. 几何数列：几何数列是指数列中的每个数与它前一个数之间的比是一个固定的常数。
例如，1，2，4，8，16就是一个几何数列，公比是2。
三、时间数列的性质
时间数列具有一些重要的性质，这些性质对于数列的研究和应用都非常有意义。
1. 有界性：一个时间数列可能是有界的，也可能是无界的。
有界数列是指数列中的所有数
都在某个范围内，无界数列是指数列中的数没有上下限。
例如，1，2，3，...是一个无界
数列，而1，2，3，...，100是一个有界数列。
2. 收敛性：一个时间数列可能是收敛的，也可能是发散的。
收敛数列是指当数列中的数趋
向于一个有限的极限值时，该数列是收敛的；发散数列是指当数列中的数不存在有限的极
限值时，该数列是发散的。
3. 递增性和递减性：一个时间数列可能是递增的，也可能是递减的。
递增数列是指数列中
的每个数都比前一个数大；递减数列是指数列中的每个数都比前一个数小。
四、时间数列的应用
时间数列在许多领域中都有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景。
1. 物理学：时间数列被广泛应用于物理学中的运动学研究。
例如，用时间数列可以描述某
个物体在一段时间内的位置、速度和加速度的变化情况。
2. 经济学：时间数列被广泛应用于经济数据的分析和预测。
例如，用时间数列可以描述某
个经济指标在一段时间内的变化趋势，从而帮助经济学家分析经济的发展趋势和预测未来
的走势。
3. 统计学：时间数列被广泛应用于统计学中的时间序列分析。
时间序列分析是利用时间数
列的统计特性来对一系列时间序列数据进行建模、预测和控制的方法。
4. 工程学：时间数列被广泛应用于各种工程问题的建模和解决。
例如，在控制系统中，时
间数列被用于描述系统的动态响应和稳定性。
总结起来，时间数列是数学中一个重要的概念，它用来描述一系列按照时间顺序排列的数值。
时间数列可以是离散的或连续的，并且可以按照不同的属性进行分类。
时间数列具有
一些重要的性质，如有界性、收敛性、递增性和递减性。
时间数列在物理学、经济学、统
计学和工程学等领域都有广泛的应用。
通过对时间数列的研究和分析，我们可以更好地理
解和预测一系列随时间变化的数据和现象。
五、常见的时间数列
1. 等差数列：等差数列是指数列中的每个数与它前一个数之间的差是一个固定的常数。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差是2。
等差数列有很多重要的性质和应用。
其中，最常见的性质是等差数列的通项公式和求和公式。
设等差数列的首项为a1，公差
为d，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中n表示数列中的第n个数。
等差数
列的前n项和求和公式是Sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
这些公式在实际问
题中非常有用，可以帮助我们快速计算等差数列的任意项和前n项的和。
2. 等比数列：等比数列是指数列中的每个数与它前一个数之间的比是一个固定的常数。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比是2。
等比数列也有很多重要的性质和应用。
类似于等差数列，等比数列也有一个通项公式和求和公式。
设等比数列的首项为a1，公比为r，则等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示数列中的第n个数。
等比数列的前n项和求和公式是Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中r不等于1。
等比数列在实
际问题中也非常常见，例如在复利计算、人口增长、生物学、化学等领域。
3. Fibonacci数列：Fibonacci数列是指数列中的每个数都等于它前两个数之和，即an =
an-1 + an-2。
Fibonacci数列的前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...。
Fibonacci数列在数学中具有重要的意义，它们在自然界中也非常常见，例如植
物的分枝、螺旋状物体的形态、蜜蜂的筛盖等。
Fibonacci数列还有许多有趣的性质和应用，例如黄金分割、斐波那契数列的广义定义等。
4. 幂函数数列：幂函数数列是指数列中的每个数都是一个幂函数的值。
例如，2，4，8，16，32就是一个幂函数数列，其中每个数都是2的幂次方。
幂函数数列在数学中也有重要的意义，它们在计算机科学、信息工程、电子工程等领域也有广泛的应用。
5. 几何数列：几何数列是指数列中的每个数与它前一个数之间的比是一个固定的常数。
例如，1，2，4，8，16就是一个几何数列，公比是2。
几何数列也有各种有趣的性质和应用，例如在利息计算、指数函数、指数衰减等方面。
六、时间数列的分析和应用
时间数列作为一种重要的数学工具，可以帮助我们分析和理解各种与时间有关的数据和现象。
通过对时间数列的研究和分析，我们可以获得许多有用的信息和结论。
一些常见的时间数列分析方法和应用包括以下几个方面：
1. 趋势分析：时间数列可以帮助我们分析数据的变化趋势，并预测未来的走势。
例如，利用时间数列可以确定某个经济指标的增长率、周期性变化等。
2. 季节性分析：时间数列可以帮助我们分析和理解数据的季节性变化。
例如，在销售数据中，我们可以通过时间数列检测和分析某个产品的季节性销售变化，以便根据季节性需求进行生产和销售计划。
3. 平稳性分析：时间数列的平稳性分析是指对时间数列的统计特性进行分析，以确定该数列是否平稳。
平稳性时间数列具有一些重要的数学性质，如平均值、方差、自相关和偏相关等，利用这些特性可以进行更精确的数学建模和预测。
4. 预测和控制：时间数列分析可用于预测和控制未来的数据和现象。
例如，在金融领域，时间数列分析被广泛应用于股票价格、汇率、商品价格等的短期和长期预测。
5. 优化问题：时间数列分析可用于解决各种优化问题。
例如，在生产和运输计划中，时间数列分析可以帮助我们确定最佳的生产和运输方案，以确保生产和交付的效率和质量。
总结起来，时间数列作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
通过对时间数列的分析和研究，我们可以更好地理解和预测随时间变化的数据和现象。
时间数列的分析方法和应用包括趋势分析、季节性分析、平稳性分析、预测和控制、优化问题等。
对时间数列的研究不仅有助于我们提高数学建模和预测的准确性，还有助于我们更好地理解和应对各种与时间相关的问题和挑战。
