函数的概念及表示方法

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

函数知识点总结四年级下册在四年级下册数学课程中，学生将会开始接触函数的概念和相关知识。

函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学、科学以及日常生活中都有着重要的应用。

因此，在这一阶段学习函数的知识对学生来说显得尤为重要。

接下来我们将对四年级下册的函数知识点进行总结，希望可以帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

1. 函数的概念首先，我们来介绍一下函数的概念。

在数学中，函数是一个非常重要的概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个或多个变量的关系。

一般来说，一个函数可以由一个或多个自变量和一个因变量组成。

其中，自变量是指可以变化的量，而因变量则是根据自变量的取值而确定的量。

换句话说，函数就是一种对于输入值的转换规则。

2. 函数的表示方法在四年级的数学课程中，学生将会学习到函数的表示方法。

一般来说，函数可以通过表格、图像、公式等方式来表示。

在学习函数的过程中，学生需要掌握如何根据给定的信息，用不同的方式来表示函数，以便更好地理解和应用函数的概念。

3. 定义域和值域在学习函数的过程中，学生还需要了解函数的定义域和值域。

其中，定义域是指函数中自变量的取值范围，而值域则是函数中因变量的取值范围。

理解定义域和值域的概念可以帮助学生更好地理解函数的特性，并且能够更好地解决相关的问题。

4. 函数的性质学生在学习函数的过程中，需要了解一些常见的函数性质。

例如，奇函数和偶函数的性质，以及函数的增减性、奇偶性等。

理解和掌握这些性质可以帮助学生更好地分析和理解函数的特点，从而更好地应用函数解决实际问题。

5. 函数的应用最后，学生还需要了解函数在实际生活中的应用。

函数在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用，学生需要了解如何将函数的知识应用到实际问题中，从而更好地解决实际的数学问题。

总结起来，在四年级下册的数学课程中，学生将会开始接触函数的知识。

通过学习函数的概念、表示方法、性质以及应用，可以帮助学生更好地掌握函数的相关知识，并且能够更好地应用函数解决实际问题。

一、函数的概念及其表示函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。

函数的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。

事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。

为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。

一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作().,A x x f y ∈=其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。

我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。

对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。

当A>0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2。

对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。

两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。

函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

3.1 函数的概念及其表示方法1. 函数概念的理解；2. 求函数的定义域；3. 求函数值（值域）；4. 函数的三种表示方法；5. 求函数解析式；6. 分段函数的概念；7.分段函数的求值；8.函数的图象及应用；9. 分段函数与方程、不等式综合问题一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）设()1,01,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<î，则()()0f f 等于（ ）A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】C 【解析】1,0()1,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<îQ\ (0)1f =,((0))(1)112f f f ==+=.故选: C.2．（2021·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数y =有相同定义域的是（ ）A．()f x =B ．1()f x x=C ．()||f x x =D．()f x =【答案】A 【解析】函数y =的定义域为{}0x x >；函数()f x ={}0x x >；函数1()f x x=的定义域为{}0,x x x ¹ÎR ；函数()f x x =的定义域为R ；函数()f x =定义域为{}1x x ….所以与函数y =有相同定义域的是()f x =.故选：A.3．（2021·浙江高一期中）函数1()f x x=的定义域是( )A ．R B ．[1,)-+¥C ．(,0)(0,)-¥+¥U D ．[1,0)(0,)-+¥U 【答案】D 【解析】由题意可得：10x +³，且0x ¹，得到1x ³-，且0x ¹，故选：D4．（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为( )A ．－2B ．6C ．1D ．0【答案】B 【解析】令1x t -=，则1x t =+,()()213f t t \=+-,()()213f x x \=+-()()222136f \=+-=,故选B.5．（2021·全国高一课时练习）如果1f x æöç÷èø＝1x x-，则当x≠0，1时，f(x)等于（ ）A ．1xB ．11x -C ．11x-D ．11x-【答案】B 【解析】令1x＝t ，则x ＝1t ()1t ¹，代入1f x æöç÷èø＝1x x -，则有f(t)＝111t t-＝11t -()1t ¹.即()()111f x x x =¹-.故选：B.6．（2021·全国高一课时练习）已知函数y ＝21,02,0x x x x ì+£í->î，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52-【答案】C 【解析】当0x £时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-.故选：C.7．（2021·全国高一课时练习）设函数若f （a ）＝4，则实数a ＝（ ）A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2【答案】B 【解析】当0a £时，()4f a a =-=，解得4a =-；当0a >时，24()f a a ==，解得2a =±，因为0a >，所以2a =，综上，4a =-或2，故答案选B 8．（2021·全国高一）函数()f x x =+的值域是（ ）A ．1,2éö+¥÷êëøB ．1,2æù-¥çúèûC ．(0,)+¥D ．[1,)+¥【答案】A【解析】t =，且0t ³，则212t x +=，函数转化为2211(1)22t y t t +=+=+由0t ³，则12y ≥，即值域为1,2éö+¥÷êëø故选：A.9．（2021·浙江高一课时练习）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）A ．()f x x =B ．()f x x x=-C ．()1f x x =+D ．()f x x=-【答案】C 【解析】A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=，C 中()()2212f x x f x =+¹，D 中()()222f x x f x =-=10．（2021·浙江高一课时练习）设函数()f x 的定义域是[0,1]，则函数()(2)(01)f x a f x a a +++<<的定义域为（ ）A ．1,22a a -éù-êúëûB ．,12a a éù--êúëûC ．[,1]a a --D ．1,2a a -éù-êúëû【答案】A 【解析】由1011021220101a x ax a a a x a x a a --ì+ìï-ïï+Þ-ííïï<<î<<ïî……………………得122a a x --……故选：A 二、多选题11．（2021·广东禅城 佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【解析】在A ，D 中，对于定义域内每一个x 都有唯一的y 与之相对应，满足函数关系，在B ，C 中，存在一个x 有两个y 与x 对应，不满足函数对应的唯一性，故选AD.12．（2021·历下 山东师范大学附中高一学业考试）已知()221f x x +=，则下列结论正确的是（ ）A ．()34f -=B ．()2214x x f x -+=C ．()2f x x=D ．()39f =【答案】AB 【解析】由()221f x x +=，令21x t +=，可得12t x -=，可得：()222(1)2124t t t f t --+==，即：()2214x x f x -+=，故C 不正确，B 正确；可得：()2(31)344f ---==，故A 正确；()2(31)314f -==故D 不正确；故选：AB.13．（2021·江苏姑苏 苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()||f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >ì=í-<îD ．()f x =()g x =【答案】AC 【解析】对A, ()g x x ==,故A 正确.对B, ()1f x x =+定义域为R ,21()1x g x x -=-定义域为{}|1x x ¹,故B 错误.对C, 1,0()1,0x xf x x x >ì==í-<î,故C 正确.对D, ()f x =210x -³,解得1x £-或1x ³.()g x =定义域为1010x x +³ìí-³î即1x ³.故D 错误.故选：AC14．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +£-ì=í-<<î，关于函数()f x 的结论正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-¥C ．()13f =D ．若()3f x =，则x E.()1f x <的解集为()1,1-【答案】BD 【解析】由题意知函数()f x 的定义域为(),2-¥，故A 错误；当1x £-时，()f x 的取值范围是(],1-¥，当12x -<<时，()f x 的取值范围是[)0,4，因此()f x 的值域为(),4-¥，故B 正确；当1x =时，()2111f ==，故C 错误；当1x £-时，23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，23x =，解得x =或x =，故D 正确；当1x £-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得11x -<<，因此()1f x <的解集为()(),11,1-¥--U ；故E 错误.故选：BD.三、填空题15．（2021·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________.①，ÎÎA R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:®=f x y .【答案】②【解析】①，ÎÎA R B R ，221x y +=，存在x 对应两个y 的情况，所以不是A 到B 的函数；②符合函数的定义，是A 到B 的函数；③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ，对于集合A 中的2x =没有对应y ，所以不是A 到B 的函数；④，==A Z B Z ，:®=f x y ，对于集合A 中的{|0,}x x x z £Î没有对应y ，所以不是A 到B的函数.故答案为：②16．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）已知，若()()10f f a =，则a =______________.【答案】32【解析】0x >时，()20f x x =-<，∴由()10f x =知0x £，∴2110x +=，3x =-，而2()11f x x =+³，因此由()3f a =-知0a >，即23a -=-，32a =．故答案为：32．17．（2021·全国高一课时练习）已知()1,00,0x f x x ³ì=í<î则不等式()2xf x x +£的解集是________.【答案】{}|1x x £【解析】当0x ³时，()1f x =，代入()2xf x x +£，解得1x £，∴01x ££；当0x <时，()0f x =，代入()2xf x x +£，解得2x £，∴0x <；综上可知{}|1x x £.故答案为：{}|1x x £.四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）已知f(x)＝11x+ (x≠－1)，g(x)＝x 2＋2，则f （2）＝________，f(g （2）)＝________.【答案】13 17【解析】因为()11f x x =+，故可得()123f =；又()22g x x =+，故可得()22226g =+=；故()()()1267f g f ==.故答案为：13；17.19．（2021·安达市第七中学高一月考）设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知函数[]()f x x x =-，则(0.5)f -=________ ；其值域为_________.【答案】0.5 [)0,1 【解析】作出函数[]()f x x x =-的图像，如图所示，由图可知(0.5)0.5(1)0.5f -=---=，其值域为[)0,1，故答案为(1). 0.5 (2). [)0,120．（2021·浙江高一期中）设函数()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，则((0))f f =____，使得()4f a a ³的实数a 的取值范围是_____．【答案】4 1a £ 【解析】因为()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，所以()01f =，因此((0))(1)4f f f ==；当1a <时，()4f a a ³可化为2(1)4+³a a ，即2(1)0a -³显然恒成立，所以1a <；当1a ³时，()44f a a =³，解得1a =；综上，1a £.故答案为4；1a £21．（2021·首都师范大学附属中学高一期中）已知函数22,(),x x x af x x x a ì-+£=í>î.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】R []0,1【解析】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ì-+£=í>î当1x >时，()1f x x =>当1x £时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+£所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R+¥-¥=U （2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+³，即01x ££时，所以当01a ££时，函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =无公共点，因此实数a 的取值范围是[]0,1故答案为：(1). R (2). []0,1五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y ＝3－12x ；（2）y ＝（3）y（4）y 1x.【答案】（1）R ；（2）10,7éùêúëû；（3）()()2,11,---+¥U ；（4）()3,00,22éö-÷êëøU .【解析】（1）因为函数y ＝3－12x 为一次函数，所以该函数的定义域为全体实数R ；（2）由题意可得0170x x ³ìí-³î，解得107x ££，所以该函数的定义域为10,7éùêúëû；（3）由题意得1020x x +¹ìí+>î，解得2x >-且1x ¹-，所以该函数的定义域为()()2,11,---+¥U ；（4）由题意得230200x x x +³ìï->íï¹î，解得322x -£<且0x ¹，所以该函数的定义域为()3,00,22éö-÷êëøU .23．（2021·全国高一课时练习）已知2,11()1,11,1x x f x x x ì-££ï=>íï<-î（1）画出f(x)的图象；（2）若1()4f x =，求x 的值；（3）若1()4f x ³，求x 的取值范围.【答案】（1）作图见解析；（2）12x =±；（3）11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø【解析】（1）函数2y x =的对称轴0x =，当0x =时，0y =；当1x =-时，1y =；当1x =时，1y =，则f(x)的图象如图所示.（2）1()4f x=等价于21114xx-££ìïí=ïî①或1114x>ìïí=ïî②或1114x<-ìïí=ïî③解①得12x=±，②③的解集都为Æ∴当1()4f x=时，12x=±.（3）由于1124fæö±=ç÷èø，结合此函数图象可知,使1()4f x³的x的取值范围是11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø24．（2021·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）12()(0) f f x x xxæö+=¹ç÷èø.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）2()(0)33xf x xx=-¹【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得22 329 aa b=ìí+=î∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解1 ()2f x f xxæö+=ç÷èøQ，将原式中的x与1x互换，得112()f f xx xæö+=ç÷èø.于是得关于f(x)的方程组()()12112f x f x x f f x x x ìæö+=ç÷ïïèøíæöï+=ç÷ïèøî解得2()(0)33x f x x x =-¹.25．（2021·全国高一课时练习）已知函数22,2()2,2x x f x x x £ì=í+>î（1）若0)(8f x =，求0x 的值；（2）解不等式()8f x >.【答案】（1）0x =；（2）{|>x x .【解析】（1）当02x £时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x =0x =舍去)，故0x =（2）()8f x >等价于228x x £ìí>î ——①或2228x x >ìí+>î——②解①得x f Î，解②得>x ，综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .26．（2021·全国高一）已知(1)f x +的定义域为(2,4)，（1）求()f x 的定义域；（2）求(2)f x 的定义域【答案】（1）（3，5）；（2）35,22æöç÷èø.【解析】（1）)1(f x +Q 的定义域为(2,4)，24x \<<，则315x <+<，即()f x 的定义域为(3,5)；（2）()f x Q 的定义域为(3,5)；\由325x <<得3522x <<，即(2)f x 的定义域为35,22æöç÷èø．27．（2021·全国高一）若函数()f x =的定义域为R ，则m 的取值范围为多少？【答案】112mm ìü>íýîþ∣.【解析】Q 函数()f x =的定义域为R ，230mx x \++¹，若0m =，则3x ¹-，不满足条件．，若0m ¹，则判别式1120m D =-<，解得112m >，即1|12m m ìü>íýîþ。

3.1函数的概念及其表示（第三课时）教学设计一、内容及内容解析（一）教学内容1.函数的表示法；2.分段函数。

（二）教学内容解析学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示，本节课直接给出函数的三种表示方法，并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并且通过例题引进分段函数。

学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识需要。

同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因此学习函数的表示也是向学生渗透数形结合的思想，培养学生直观想象素养的重要过程。

（三）教学重点函数的三种表示法及各自的优缺点，分段函数。

二、教学目标1.通过研究实例，能总结出函数三种表示法各自的特点，体会数形结合的思想．2.通过用图象法表示一些函数，能利用函数图象探索解决问题的思路，体会利用图象简化代数运算的过程．3.通过具体实例，能认识分段函数，并能简单应用．三、教学问题诊断分析问题：提炼函数的三种表示法各自的优缺点。

突破：课本3.1.1中四个实例为学习函数的三种表示方法做了铺垫。

在实际教学中，先引导学生比较三种表示方法各自的特点，再师生一起进行评价并总结。

四、教学支持条件为了增加学生对分段函数的理解，可以利用GGB软件，作出图像，让学生观察各段图象函数解析式.五、教学过程设计上一节我们已经学习过了函数的概念，那么函数的具体表示方法有哪些呢，在不同的情境中函数如何表示呢？带着这样的疑问来深入学习一下本节课的内容吧.问题1：我们在初中已经接触过函数的三种表示法，分别是什么？如何表示？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题.根据学生的回答，教师进行必要的补充.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.设计意图：本节课就是学习函数的三种表示方法，通过回顾初中函数表示的三种方法，为后面的学习奠定基础。

中职教育数学《函数的概念及其表示法》教案一、教学目标1. 理解函数的定义和概念；2. 掌握函数的表示法及其应用；3. 能够用图像和公式表示函数。

二、教学内容函数的概念及其表示法三、教学过程Step 1 引入教师可以通过一个简单的例子引入函数的概念，如身高和体重的关系。

身高是自变量，体重是因变量，通过身高可以确定体重，这就是一个函数关系。

Step 2 函数的定义函数是一种关系，它使一个集合中的每一个元素，都与另一个集合中的唯一一个元素相对应。

函数的定义可以用自然语言描述，也可以用数学符号表示。

Step 3 函数的符号表示函数可以用多种符号表示，包括函数定义域、值域、函数图像、函数公式等。

3.1 函数定义域函数定义域指自变量的取值范围，一般用符号表示。

例如，对于函数y = f(x)，定义域可以表示为x ∈ R。

3.2 函数值域函数值域指因变量的取值范围，一般用符号表示。

例如，对于函数y = f(x)，值域可以表示为y ∈ R。

3.3 函数图像函数图像是用平面直角坐标系表示函数的一种方法，可以直观地观察函数的性质。

通过绘制函数的图像，可以分析函数的单调性、奇偶性等特征。

3.4 函数公式函数公式是用数学符号表示函数的一种方法，通过函数公式可以直接计算函数在特定自变量取值下的因变量值。

例如，y = f(x)可以表示一个函数。

Step 4 函数的应用函数在实际问题中有很多应用，如经济学、物理学、生物学等领域。

教师可以通过一些实际问题引导学生分析和解决问题，培养学生运用函数概念的能力。

Step 5 练习与巩固教师可以设计一些练习题，帮助学生巩固函数的概念和表示法。

例如，给定一个函数的图像或函数公式，让学生确定定义域、值域等。

四、教学资源1. 平面直角坐标系；2. 函数图像绘制工具；3. 练习题。

五、课堂总结在本节课中，我们学习了函数的概念及其表示法。

通过掌握函数的定义、函数的符号表示和函数的应用，我们可以更好地理解和运用函数概念。

第1讲 函数的概念及其表示中的思想方法 【讲】函数的概念及其表示中的主要数学思想：符号思想、整体代换思想、函数与方程思想、转化化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等.函数的概念及其表示中的主要数学方法：定义法、配方法、换元法、代换法、消元（消参）法、待定系数法、判别式法，赋值法（特殊值法）、分离参变量法、图象法、数形结合法、解析法（坐标法）、构造法等.【思想方法1】定义法【解读】理解函数的定义以及定义域、值域等基本概念是解决函数问题的关键，也是函数问题的本质.【典例1】已知函数()()22log 1f x ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为__________.【点拨思路】依题意和对数函数定义，真数函数21u ax x =++的值能够取满()0,¥+，依此分类讨论考虑a 的取值.【详细解析】依题意和对数函数定义，真数函数21u ax x =++的值能够取满()0,¥+，当0a <与0a =时，显然不能满足；当0a >时，则须2140a D =-³，即14a £.于是，所求实数a 的取值范围为10,4æùçúèû.【归纳评析】依据对数函数的定义和题意，本题的要点是真数函数21u ax x =++的值能够取满()0,¥+，而不是真数函数21u ax x =++的值域是()0,¥+.本题错误率较高，主要错误就是认为真数函数21u ax x =++的值域是()0,¥+，则2140a D =-=，得到答案14a =.【举一反三】1．设函数f (x )=ln11xx +-，则函数g (x )= f (2x )+ f (1x)的定义域 .【思想方法2】配凑法，赋值法（特殊值法）【解读】配凑法指的是从整体出发，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化从而达到比较容易解决的方法，配对法是一种常用的配凑法.【典例2】已知()f x 是定义域为(),-¥+¥的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()()12350f f f f +++¼+=（ ）A.50-B.0C.2D.50【点拨思路】这类求若干项和的问题，一般先考查某些部分项的和是否为常数或具有周期性的特性，再求和.【详细解析】因为()f x 是定义域为(),-¥+¥的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()()311f x f x f x +=-+=-，所以()f x 是周期函数，周期4T =，因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++¼+=+++û+ùë++é，因为()()31f f =-，()()42f f =-，所以()()()()12340f f f f +++=，因为()()222()f f f =-=-，所以()20f =，从而()()()()()1235012f f f f f ++¼+==+，故选C .【归纳评析】 本题没有具体的解析式，无法直接计算函数值并求和，运用变量代换法和配凑法寻求函数值之间的联系，将多个函数值之和转化为两个或几个函数值，最后利用赋值法，使得问题迎刃而解.【举一反三】2．设函数:f R R ®满足()01f =，且对任意x ，R y Î都有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()2020f =（ ）A ．0B ．1C ．2019D ．2021【思想方法3】分子常数化法，判别式法【解读】处理分式的值域问题时，利用分子常数化法可以将其转化为反比例函数进行处理，利用判别式法可以将问题转化为二次方程解的个数问题.【典例3】函数()222251x x f x x x ++=++的值域为_________.【点拨思路】思路有二：一是利用分子常数化转化为()2222253211x x f x x x x x ++==+++++，再利用二次函数、反比例函数的性质进行求解；二是将问题转化为()()22250y x y x y -+-+-=有解问题进行求解.【详细解析】解法一：()2222253211x x f x x x x x ++==+++++，2102x æö+³ç÷èøQ ，得2314x x ++³，23041x x \<£++.故所求函数值域为(]2,6.解法二：由()222251x x y x x x ++=Î++R ，整理得()()22250y x y x y -+-+-=.①当2y =时，方程①无解；当2y ¹时，()()()224250y y y D =----³，得26y <£.故所求函数值域为(]2,6.【归纳评析】解法一运用的是分子常数化法，这种方法经常在函数式、代数式变换中运用；解法二把原函数式等价变形成关于x 的二次方程，运用的是根的判别式法求解.根的判别式法是解决求范围问题的一种常用方法.【思想方法4】函数解析式的常用求法【解读】函数解析式的常用求法有：（1）配凑法，换元法；（2）待定系数法方程组法；（3）方程思想.【典例4】已知函数)123f x =+，则()f x 的解析式为__________.【点拨思路】函数与定义域、值域、对应法则有关，与表示变量的字母无关，本题把)1看成整体变元是解题关键.【详细解析】解法一：)))212321415fx =+=+-+，用x 1，于是()()2232451f x x x x x =+=-+³.解法二：设1t =，1t ³，则()21x t =-，所以()()()22131f t t t =-+³，用x 替换t 有，()()2232451f x x x x x =+=-+³.【归纳评析】 1看成整体变元进行处理，解法一用的是配方法；解法二用的是换元法.这是两类常用的求解函数解析式的方法.【举一反三1】3．设二次函数()()20f x ax bx c a =++¹，集合(){}{}1,2A x f x x ===，且()02f =，求函数()f x 的解析式.【举一反三2】4．已知()()af x f x bx +-=，其中1a ¹±，则函数()f x 的解析式为 ．【思想方法5】图象法，数形结合思想【解读】解决函数的零点，利用函数与方程思想和数形结合思想，把函数零点转化为函数图象交点问题是解决问题的关键，最后画出函数图象得解.【典例5】已知函数()3,0,,0.x x f x x x ì³=í-<î若函数()()()2—2g x f x kx x k -=ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A. ()1,2æö-¥-Ì+¥ç÷èø B.(1,0,2æö-¥-ç÷èøUC. ()(,00,-¥UD.()(),0-¥+¥U 【点拨思路】本题函数解析式较为复杂，包含了分段函数和绝对值函数，直接通过代数方程求解有困难，可以考虑利用数形结合的方法画出函数图象来突破.【详细解析】由于()00g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()2f x kx x-=恰有3个实根即可，令()()f x h x x =，2y kx =-与()()f x h x x=的图象有3个不同交点.因为()()2,0,1,0,f x x x h x xx ì>==í<î，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当0k <时，如图2，此时2y kx =-与()()f x h x x=恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0D =得28k =，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为()(),0-¥+¥U .故选D .图1 图2 图3【归纳评析】本题利用数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和图象法.在处理含参的函数问题中，要注意参数的不同取值对函数解析式的影响.【举一反三】5．已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ì>=í++£î，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（ ）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【思想方法6】分类讨论思想【解读】【典例5】已知函数()()3,0,3,0,2x x f x x -<=³若()12f a =，则实数a 的值是__________.【点拨思路】【详细解析】因为函数()()3,0,3,0,2x x f x x -<=-³当0x <时，()2log 31f x >>，故()12f a =3122=，解得4a =，故答案为4.【归纳评析】在涉及分段函数的问题中，经常需要使用分类讨论思想，通过对变量进行分类讨论，确定变量所在的区间后再求解问题.【举一反三】6．设函数()22,0,0x x x f x x x ì+<=í-³î，若()()2f f a £，则实数a 的取值范围是.7．已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-(),x y R Î，则()2019f =（ ）.A ．12B ．-12C ．14D ．-148．已知函数()()201941,01log ,1x x x f x x x ì-££=í>î，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c++的取值范围是A ．()1,2020B ．()1,2019C ．()2,2020D ．()2,20199．已知,a b R Î，设函数()2f x x ax b =++，函数()2g x x cx d =++，若函数()()()()y f g x g f x =-没有零点，则（ ）A ．a c =，且b d =B ．a c ¹，且b d =C ．a c =，且b d¹D ．a c ¹，且b d¹10．若3(1993)4(1993)5(1993)f x f x x -+-=-，对所有实数x 都成立，则()f x 的解析式是．参考答案：1．(2,1)(1,2)--È【分析】由对数函数的定义域，需真数大于0，结合分式不等式的解法及复合函数定义域的求法列不等式组运算即可得解.【详解】解：要使函数有意义，则需120122221121111011x x x x x x x x x ì+ï>ïï--<<ìïÞÞ-<<-<<íí><-îï+ï>ï-ïî或或，则所求定义域为：(2,1)(1,2)--È，故答案为(2,1)(1,2)--È.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，主要考查了分式不等式的解法，重点考查了运算能力，属基础题.2．D【解析】取0x y ==可求得()1f ，取1x =得到()1f y +与()f y 的递推关系，通过递推关系可求得结果.【详解】令0x y ==，则()()()()100022f f f f =-+=，取1x =，则()()()()()11121f y f f y f y f y +=--+=+，()()()()20202019120182120192021f f f f \=+=+=×××=+=.故选：D .【点睛】本题考查抽象函数关系式的求值问题，解决此类问题的常用方法是赋值法，通过赋值构造出所需的递推关系.3．()222f x x x =-+【分析】由()02f =求出c 的值，再根据集合的概念可知()f x x =得解为1和2，代入求出,a b 即可.【详解】由()02f =可得2c =，又因为集合(){}{}1,2A x f x x ===，所以()f x x =得解为1和2，代入得214222a b a b ++=ìí++=î，解得12a b =ìí=-î，所以()222f x x x =-+.4．()(1)1bf x x a a =¹±-【解析】以x -替换x ,得()()af x f x bx -+=-,与()()af x f x bx +-=联立消去()f x -,进而求解即可【详解】在原式中以x -替换x ,得()()af x f x bx -+=-,则()()()()af x f x bxaf x f x bx +-=ìí-+=-î,消去()f x -,得(),11bxf x a a =¹±-,故答案为：()(1)1bf x x a a =¹±-【点睛】本题考查方程组法求解析式,考查运算能力5．A【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.【详解】函数()()F x f x b =-的四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，就是函数()y f x =与y b =两个图象四个交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象如下图所示，根据二次函数的性质和图象得出1222+=-x x ，所以124x x +=-，又3343log log x x =，且3334log 0log >0x x <，，所以3334log log x x -=，即()3334334log +log log 0x x x x =×=，所以341x x ×=，所以1234441x x x x +-==-，故选：A.【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，解题时把函数零点转化为函数图象交点问题是解决问题的关键，属于中档题.6．(-¥【分析】利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果.【详解】画出函数()f x 的图象如下图所示：由()()2f f a £可得()2f a ³-，当0a <时，()2211224f a a a a æö=+=+-³-ç÷èø恒成立；当0a ³时， ()22f a a =-³-，解得0a ££.所以实数a 的取值范围为(-¥.故答案为：(-¥7．B【详解】取x=1，y=0，得()102f =；取x=1，y=1，得()()()24120ff f =+，故()124f =-；取x=2，y=1，得()()()()41231f f f f =+，故()132f =-；取x=n ，y=1，有()()()11f n f n f n =++-同理，()()()12f n f n f n +=++.联立得()()21f n f n +=--，故()()6f n f n +=.所以周期为6，故()()()120193366332f f f =´+==-.故答案为B 8．C【分析】画出函数图像，根据对称得到1a b +=，再得到12019c <<，最后得到答案.【详解】()()201941,01log ,1x x x f x x x ì-££=í>î画出函数图像：()()()f a f b f c ==，设a b c <<则1a b +=()411,01x x x -£££2019log 12019x x <Þ<即12019c <<()2,2020a b c ++Î故答案选C【点睛】本题考查了函数交点的取值范围问题，画出图像是解题的关键，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.9．C答案第5页，共5页【分析】将函数()()()()y f g x g f x =-没有零点转化为：()()()()f g x g f x =无解即()()f x g x x ==无解，结合函数()f x 和()g x 的解析式进行化简，得到()a c x d b -=-无解，由此得出正确选项.【详解】若()()()()y f g x g f x =-没有零点，即()()()()f g x g f x =无解，即()()f x g x x ==无解，所以()()2211x a x b x c x d +-+=+-+无解，整理得()a c x d b -=-无解，所以,a c b d =¹.故选：C【点睛】本小题主要考查根据函数没有零点求参数的取值范围，属于中档题.10．7()5f x x =【详解】设1993x t -=.则1993x t =+.于是有()()345f t f t t +-=， ①又有()()345f t f t t -+=-. ②解①、②得 ()75f t t =.即()75f x x =.。

函数的概念及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法3．函数值域的求法1．对函数概念的理解．(1)(教材习题改编)如图：以x为自变量的函数的图象为②④.(√)(2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．(×)2．函数的定义域、值域的求法(3)(2013·江西卷改编)函数y＝x ln(1－x)的定义域为(0,1)．(×)(4)(2014·杭州月考改编)函数f(x)＝11＋x2的值域为(0,1]．(√)3．分段函数求值(5)(2013·济南模拟改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x≤1，2x，x＞1，则f(f(3))＝139.(√)(6)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x＋34，x≥0，2x＋1，x＜0若f(a)＝12，则实数a的值为12或－2.(√)4．函数解析式的求法(7)已知f(x)＝2x2＋x－1，则f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.(√)(8)已知f(x－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2.(×)考点一 求函数的定义域与值域【例1】 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．【训练1】 (1)函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．考点二 分段函数及其应用【例2】 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (3)的值为( )．A ．－1B ．－2C ．1D ．2(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【训练2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx 3，x ≤2 000，2x －2 008，x ＞2 000，则f [f (2 013)]＝( )．A. 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1考点三 求函数的解析式【例3】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式． (3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．【训练3】 (1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【训练4】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0，则f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1基础巩固题组一、选择题1．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －12．函数f (x )＝ln xx －1＋x21的定义域为( )．A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＜1，f (x －1)，x ≥1，则f (log 27)＝( )．A.716 B.78 C.74 D.725．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( )． A ．3 B ．－3 C ．3或－3 D ．5或－3二、填空题6．函数f (x )＝ln x －2x ＋1的定义域是________．7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x2，则f (x )的解析式为________． 三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．能力提升题组一、选择题 1．设f (x )＝lg2＋x 2－x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )．A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4) 2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x ，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝－1xB ．f (x )＝－1x －2C ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝－1x ＋2二、填空题3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x 值为________．三、解答题4．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．【例1】 (1)A (2){y |y ≠1}【训练1】 (1)(0,1] (2)(－∞，2)【例2】1)B (2)－34 【训练2】 D【例3】解 (1) f (x )＝lg2x －1(x ＞1)．(2) f (x )＝x 2－x ＋3.(3)f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)． 【训练3】1)2x 2－4x ＋3 (2)－x (x ＋1)2 【训练4】D基础巩固题组CBBCB 6．{x |x ＞2，或x ＜－1} 7．2 8．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)9．解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称．于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－16a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.能力提升题组1． B 2． D 3． 3 4．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，② 又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.函数的单调性与最值知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．(√) (2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√)2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(6)(教材改编)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(7)(2013·汕头模拟)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×)(8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×)考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋kx(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)求函数y＝log13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．考点二利用单调性求参数【例2】已知函数f(x)＝ax－1x＋1.(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3} B．(－∞，3) C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)(2)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；【训练3】对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)＝⎩⎨⎧x1，x1≥x2，x2，x1＜x2，若f(x)＝x2－2，g(x)＝－x，则max(f(x)，g(x))的最小值为________．易错辨析1——分段函数单调性的判定【典例】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)【训练4】已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1基础巩固题组一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )． A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________．7．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．能力提升题组一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )． A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数2．已知函数f (x )＝|e x＋ae x |(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．[0,1] B ．[－1,0] C ．[－1,1] D ．(－∞，－e 2]∪[e 2，＋∞)二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．【例1】 解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x 2＝(x 1－x 2)＋k (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k x 1x 2.当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－k x 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)在(0，k ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＞0，有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－k x 2，令f ′(x )＞0，则1－kx 2＞0， 解得x ＞k 或x ＜－k (舍)．令f ′(x )＜0，则1－kx 2＜0， 解得－k ＜x ＜k .∵x ＞0，∴0＜x ＜k .∴f (x )在(0，k )上为减函数；在(k ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 【训练1】解 法一 (定义法)任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1，∴x 1x 2＋1＞0，∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数在(－1,1)为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数在(－1,1)为增函数． 法二 (导数法)f ′(x )＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2当a ＞0时，f ′(x )＜0；当a ＜0时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为减函数；当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为增函数． 【例2】(1)证明 任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)解 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0，∴a ＋1<0，即a <－1. 故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1， 而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 【训练2】 (1)C (2)D【例3】解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0.又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax ＞0恒成立，则⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎨⎧a ＞－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．【训练3】－1 【典例】B 【训练4】C基础巩固题组A D CBC 6． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 7． 4 8． [3，＋∞)9．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝ax 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．10．解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，即1a －2＝12，1a －12＝2.解得a ＝25. 能力提升题组1． D 2． C 3．(0,4]4．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).。