逻辑代数函数常用的四种表示方法

1．1逻辑代数的基本运算一、 基本概念 1.数字信号的特点数字信号在时间上和数值上均是离散的。

数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。

图1.1 典型的数字信号2、正逻辑与负逻辑数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0） 有两种逻辑体制：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

如果采用正逻辑，图1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。

3、在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。

它可以用逻辑表达式、图形和真值表来描述。

二、基本逻辑运算1．与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。

我们把这种因果关系称为与逻辑。

与逻辑举例：图1.2（a）所示, A、Ｂ是两个串联开关，L 是灯，用开关控制灯逻辑0逻辑1逻辑0逻辑1逻辑0V t (V)(ms)51020304050亮和灭的关系如图2（b）所示。

设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表图2（c）所示V(c)图1.2与逻辑运算（a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符若用逻辑表达式来描述，则可写为与运算的规则为： “输入有0，输出为0；输入全1，输出为1”。

数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路，其逻辑符号如图（d）所示。

与运算可以推广到多变量：⋅⋅⋅=C B A L ……2．或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。

我们把这种因果关系称为或逻辑。

或逻辑举例：如图1.3（a）所示，或运算的真值表如图1.3（b ）所示，逻辑真值表如图1.3（c ）所示。

若用逻辑表达式来描述，则可写为L ＝A+B或运算的规则为：“输入有1，输出为1；输入全0，输出为0”。

BA L ⋅=(c)图1.3或逻辑运算（a） 电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路，其逻辑符号如图（d）所示。

一、填空题 : （每空1分，共10分）1． (30.25) 10 = ( 11110.01 ) 2 = ( 1E.4 ) 16 。

2 . 逻辑函数L = + A+ B+ C +D = (1)。

3 . 三态门输出的三种状态分别为：高电平、低电平和高阻态。

4 . 主从型JK 触发器的特性方程 = 。

5 . 用4个触发器可以存储4位二进制数。

6 . 存储容量为4K×8位的RAM 存储器，其地址线为12条、数据线为 8条。

1．八进制数 (34.2 ) 8 的等值二进制数为（11100.01 ） 2 ； 十进制数 98 的 8421BCD 码为（ 10011000 ） 8421BCD 。

2 . TTL 与非门的多余输入端悬空时，相当于输入 高电平。

3 .图15所示电路 中 的最简逻辑表达式为AB 。

图 154. 一个 JK 触发器有 两 个稳态，它可存储 一 位二进制数。

5. 若将一个正弦波电压信号转换成同一频率的矩形波，应采用 多谐振荡器 电路。

6. 常用逻辑门电路的真值表如表1所示，则 F 1 、 F 2 、 F 3 分别属于何种常用逻辑门。

A B F 1 F 2 F 30 0 1 1 00 1 0 1 11 0 0 1 11 1 1 0 1表 1 F 1 ；F 2 ；F 3 分别为：同或 ， 与非门 ， 或门1.(11011)2 =（__27__）102.8421BCD 码的1000相当于十进制的数值 8 。

3．格雷码特点是任意两个相邻的代码中有__一__位二进制数位不同。

4．逻辑函数的反演规则指出，对于任意一个函数F ，如果将式中所有的__与或运算__互换，_原变量___互换，__反变量__互换，就得到F 的反函数 F 。

5．二极管的单向导电性是外加正向电压时 导通 ，外加反向电压时 截止 。

6．晶体三极管作开关应用时一般工作在输出特性曲线的 饱和 区和 截止 区。

7．TTL 三态门的输出有三种状态：高电平、低电平和 高阻 状态。

逻辑函数常用的五种表示方法
一、逻辑函数常用的五种表示方法：
1、式子表示：逻辑表达式采用布尔代数常用的算术运算符号，比如“与”、“或”、“非”、“等于”等符号来表示。

2、表达式表示：利用元变量（也叫变量）、常量和函数表示逻辑表达式。

3、边表表示：把逻辑表达式表示成一个有向图的形式，图中利用边表的方式来把变量和各种逻辑运算符连接在一起，比如矩形、菱形、圆圈等表示变量或函数，箭头表示逻辑运算符的方向，有了边表，就可以清楚地看到一个逻辑表达式中的变量或函数、以及它们之间的逻辑关系。

4、真值表表示：真值表表示就是把逻辑表达式分解成多个变量，把每个变量赋值0或1，把每种可能的组合排列出来，然后给出每种可能的组合所对应的表达式计算的结果，也就是计算的结果是0还是1。

5、组合网表示：组合网表示利用组合原理把复杂的逻辑表达式简化成一个由多个基本逻辑门组合而成的网络，比如多把一开关（AND 门和OR门）组合，就可以构成复杂的逻辑表达式。

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逻辑代数逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。

虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。

这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。

若定义一种状态为“1”，则另一种状态就为“0”。

例：灯亮用“1”表示、则灯灭就表示为“0”，不考虑灯损坏等其它可能性。

逻辑代数所表示的是逻辑关系（因果关系），而不是数量关系。

这是它与普通代数的本质区别。

1. 基本运算法则一、逻辑代数运算法则从三种基本的逻辑运算关系，我们可以得到以下的基本运算法则（公式1—9）。

0 • 0=01 • 1=10 • 1=0 1 • 0=0公式10 •A=0公式2 1 •A=A 公式3 A •A=A 公式4A •A=0与运算或运算0+0=01+1=10+1=11+0=1公式50 +A=A 公式61+A=1公式7 A +A=A 公式8A+A=1非运算01=10=公式9AA =交换律：结合律：公式11A+B=B+A 公式10A• B=B • A公式13A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B 公式12 A• (B • C)=(A • B) • C分配律：公式14A(B+C)=A • B+A • C公式15A+B • C=(A+B)(A+C)（少用）证明：右边=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC=A （1+C+B ）+BC=A+BC吸收律：1. 基本运算法则公式16A （A+B ）=A 证明：左边=AA+AB=A+AB=A （1+B ）=A公式17A （A+B ）=AB普通代数不适用！证明：BA B A A A B A A +=++=+)15())((公式DCBC A DC BC A A ++=++被吸收B A B A A +=+公式19（常用）公式18A+AB=A （常用）证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A CDAB )F E (D AB CD AB +=+++1. 基本运算法则例：例：1. 基本运算法则公式20AB+AB=A公式21（A+B ）（A+B ）=A（少用）证明：BC)A A (C A AB BCC A AB +++=++CA AB BC A C AB BC A ABC C A AB +=+++=+++=)1()1(推论：CA AB BCDC A AB +=++1C A AB BC C A AB +=++公式22（常用）摩根定律公式23B A AB +=（常用）公式24BA B A ∙=+（常用）记忆：记忆：可以用列真值表的方法证明：A B 00110011A B 00001111AB A+B 00111111A+B A• B 00000011公式25=⊕B A AB或A B =BA ⊕其中：BA B A B A +=⊕是异或函数BA AB B A+=是同或函数用列真值表的方法证明：A B 00110011ABAB10000100B A 11000000A B 1100B A ⊕0011A B其中，吸收律公式16 A （A+B ）= A 公式18 A+AB = A对偶式BA B A A +=+公式19公式20AB+AB=A 公式21(A+B)(A+B)=A对偶关系：将某逻辑表达式中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（• ），得到一个新的逻辑表达式，即为原逻辑式的对偶式。

网络教材——《数字电子技术》－组合逻辑电路的分析与设计Frequently Asked Question（FAQ）1. 列举逻辑函数的四种表示方法？解：逻辑真值表、逻辑式、逻辑图、卡诺图和波形图。

2. 逻辑代数和普通代数有什么区别？解：逻辑代数和普通代数的主要区别有：a) 逻辑变量有原变量和反变量两类，普通代数中没有反变量一说。

b) 逻辑变量的取值只有“0”和“1”两个，而普通代数中变量可取任意值。

c) 逻辑代数中的各种运算都是逻辑运算，而不是普通代数中的数值运算。

同样，逻辑变量的两个取值“0”和“1”，也不代表数值的大小，而只是代表两个相反的状态而已。

d) 逻辑代数中的基本运算只有逻辑乘（“与”）、逻辑加（“或”）和逻辑“非”（求反或否定）三种，不像普通代数中有加、减、乘、除四种。

3. 能否将AB=AC，A+B=A+C，A+AB=A+AC这三个逻辑式化得为B=C？解：不能！上述三个等式只表明等式两边的逻辑运算结果相同，并不能说明等式两边的输入条件有何种关系，在逻辑代数中也没有减法和除法运算，不能将等式左边的变量或“与”项搬到右边去相减和相除。

上述三个等式中B和C只能说具有相同的逻辑效果，但并不是相同的逻辑条件，不能划等号，例如在第三个等式中B和C都是冗余项中的因子，与逻辑结果无关。

4. 二进制加法运算和逻辑加法运算的含义有何不同？解：二进制加法是一种算术运算，只是采用逢2进位法。

逻辑加法是一种“或”运算，不存在进位问题。

5. 将十进制数13，43，121转换为二进制数；将二进制数10101，11111，000011转换十进制数。

解：（13）D=（1101）B， （43）D=（101011）B（121）D=（1111001）B，（10101）B=（21）D（11111）B=（31）D， （000011）B=（3）D 6. 试说明1+1=2，1+1=10，1+1=1各式的含义。

解：1+1=2是十进制加法运算，1+1=10是二进制加法运算，1+1=1是逻辑加法运算。

用逻辑代数的基本公式和常用公式将下列逻辑函数化为最简在逻辑代数中，可以使用基本公式和常用公式来将逻辑函数化为最简形式。

以下是一些常用的基本和常用公式：1.与运算（AND）的基本公式：-吸收律：A∧(A∨B)=A-结合律：A∧(B∧C)=(A∧B)∧C-分配律：A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)-对偶律：A∧A=A2.或运算（OR）的基本公式：-吸收律：A∨(A∧B)=A-结合律：A∨(B∨C)=(A∨B)∨C-分配律：A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)-对偶律：A∨A=A3.非运算（NOT）的基本公式：-双重否定律：A=¬(¬A)-德摩根定律：¬(A∧B)=¬A∨¬B-德摩根定律：¬(A∨B)=¬A∧¬B4.使用基本公式和常用公式将逻辑函数化为最简的步骤：-根据需要的逻辑函数形式（与、或、非），将逻辑函数用相应的运算符表示。

-使用基本公式和常用公式进行代换、化简和重组，直到达到最简形式。

-检查结果是否符合最简形式的定义，如没有多余项或多余运算符。

下面，我们将以一个逻辑函数为例，使用基本公式和常用公式进行化简。

假设我们有一个逻辑函数F=(A∧B)∨(A∧C)∨(A∧¬B∧¬C)∨(B∧¬C)我们可以按照以下步骤进行化简：1.使用分配律展开函数：F=(A∧B)∨(A∧C)∨(A∧¬B∧¬C)∨(B∧¬C)=(A∨A)∧(A∨C)∧(A∨¬B∧¬C)∧(B∨¬C)=A∧(A∨C)∧(A∨¬B∧¬C)∧(B∨¬C)=(A∧(A∨C))∧((A∨¬B)∧(A∨¬C)∧(B∨¬C))=(A∧(A∨C))∧((A∨¬B)∧(A∨¬C))∧((A∨¬B)∧(B∨¬C))2.使用吸收律简化函数：F=A∧((A∨C)∧((A∨¬B)∧(A∨¬C))∧(A∨¬B)∧(B∨¬C))=A∧((A∨C)∧(A∨¬B)∧(A∨¬C))3.使用结合律重组项：F=(A∧(A∨C)∧(A∨¬B)∧(A∨¬C))=(A∧(A∨C)∧(A∨¬C)∧(A∨¬B))4.使用吸收律简化项：F=A∧((A∨C)∧(A∨¬B))所以，最终化简后的逻辑函数为F=A∧((A∨C)∧(A∨¬B))。