运用向量破解圆锥曲线中的夹角与共线问题

圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。

如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。

圆锥曲线中向量乘积过定点问题《圆锥曲线中向量乘积过定点问题》简介：圆锥曲线是数学中非常重要和广泛应用的一类曲线。

其中的一个有趣问题是在圆锥曲线上通过两个给定点的向量乘积是否会经过一个固定点。

本文将介绍圆锥曲线、向量乘积以及相关定点问题的解答。

一、圆锥曲线的定义和特点圆锥曲线是平面上的一条曲线，其形状可以是椭圆、双曲线或抛物线。

圆锥曲线的定义可以由焦点和准线（或直角）进行描述。

其中，焦点是曲线上的一个点，准线是与曲线相切且通过焦点的直线。

椭圆和双曲线有两个焦点，而抛物线只有一个焦点。

圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点，比如在椭圆中任意两点的向量乘积永远过椭圆的焦点，而在双曲线中通过焦点的向量乘积则不会在曲线上，而是在双曲线的准线上。

这些性质使得圆锥曲线在数学中有广泛的应用。

二、向量乘积的概念在二维空间中，向量可以表示为具有两个分量（x，y）的有序对。

向量乘积是指两个向量按照一定规则进行乘法运算后得到的结果。

在圆锥曲线中，我们可以通过向量乘积来研究向量在曲线上的变化情况。

具体而言，对于给定的曲线上的两个点P和Q，其向量分别为→P和→Q。

那么向量乘积的结果为→P × →Q，其结果是一个新的向量。

根据向量乘积的定义，向量乘积的长度表示P和Q之间的距离，而向量乘积的方向则表示了P和Q之间的夹角。

三、乘积过定点的问题在圆锥曲线中，一个有趣的问题是，如果在曲线上选择两个点P和Q，那么它们的向量乘积是否会通过一个固定的点O（定点）？答案是：对于椭圆，通过焦点O的向量乘积一定会经过点O；对于双曲线，通过焦点O的向量乘积则不会经过点O，而是将焦点O延伸到曲线的准线。

这个结论可以通过几何和向量运算来证明。

通过几何推导，我们可以发现在椭圆中，任意两点的向量乘积都会经过焦点O。

而在双曲线中，由于焦点在准线上，所以通过焦点的向量乘积将延伸到双曲线的准线。

结论：通过两个给定点的向量乘积是否经过一个固定点是圆锥曲线中一个有趣的问题。

向量的共线定理
向量的共线定理又称向量和定理，是一个有关向量两个线段及其夹角问题的定理。

这个定理指出当两个向量是垂直的时候，他们之间的夹角就是90度；当两个向量的方向不变时，他们之间的夹角就是相同的；当两个向量方向是相反的时候，他们之间的夹角就是180度。

其他一些特殊情况，比如两个向量平行，他们之间的夹角就是0度或360度。

向量的共线定理是数学分支中的一个重要定理，它特别关键地涉及到几何学与数学分析，在应用中有着广泛的应用。

向量的共线定理指出，向量的夹角与其方向有关。

相同方向的向量其夹角为零；相反方向的向量其夹角为180度；垂直方向的向量其夹角为90度。

两个向量的夹角是由向量的起点和方向来决定的，而不是这两个向量的长度。

对于两个平行的向量，一旦两个向量的方向是相同的，则他们之间的夹角就是0度或360度；而如果两个向量的方向是相反的，则他们之间的夹角就是180度。

一般而言，向量的共线定理可以帮助我们确定两个向量之间的夹角，从而帮助我们解决实际问题。

它也帮助我们解决一些比较复杂的数学问题，比如：求解平面几何中的相关定理和球面几何中的相关定理。

此外，向量的共线定理也可以作为矩阵操作的基础，从而帮助我们解决一些复杂的矩阵问题。

总的来说，向量的共线定理是一个重要的数学定理，它有助于我们解决几何学与数学分析中的问题。

向量的共线定理也可以用于矩阵操作，从而帮助我们解决一些复杂的矩阵问题。

向量共线证明向量共线是指两个向量的方向相同或者相反。

在线性代数中，向量的共线性是一个重要的概念，在很多问题和应用中都有广泛的应用。

本文将介绍向量共线的概念以及其证明方法。

首先，我们来定义向量共线的概念。

设有两个向量u和v，如果存在一个实数k，使得u = kv，则称向量u和v是共线的。

其中，k称为共线系数。

接下来，我们来看一些向量共线的证明方法。

方法一：向量夹角证明法设有两个非零向量u和v，要证明它们共线，可以通过判断夹角是否为0度或180度来进行证明。

具体地，通过计算两个向量的点积来判断它们的夹角。

如果两个向量的点积等于它们的模的乘积，则它们夹角为0度，两个向量共线；如果点积等于负的模的乘积，则夹角为180度，两个向量同样共线。

方法二：向量比例证明法设有两个非零向量u和v，它们的分量分别为a、b和c、d。

我们可以通过比较它们的分量比例来证明它们共线。

具体地，如果两个向量的分量比例相等，即a/c = b/d，则可以得到一个等比例方程。

如果这个方程有解，则两个向量共线。

方法三：向量线性组合证明法设有两个非零向量u和v，要证明它们共线，可以通过判断它们是否可以表示成某一个向量的线性组合来进行证明。

具体地，如果存在实数k和l，使得ku + lv = 0，则可以得到一个线性方程组。

如果这个线性方程组有非零解，则两个向量共线。

以上是几种常见的向量共线的证明方法。

需要注意的是，以上方法是针对二维向量的。

对于三维或高维向量，判断共线性的条件会有所不同。

在实际的应用中，向量共线有着广泛的应用。

在几何学中，通过判断向量的共线性可以判断线段是否相交；在物理学中，通过判断物体受力的方向是否共线可以判断物体是否平衡；在计算机图形学中，通过判断多条线段的向量是否共线可以判断它们是否共面等等。

总结起来，向量共线是指两个向量的方向相同或相反。

可以通过向量夹角、向量比例和向量线性组合等方法来进行向量共线的证明。

向量共线在很多领域都有广泛应用。

小专题：圆锥曲线的共线比例知识讲解一、向量形式成比例问题 线段类成比例设1122(,),(,),(0,),(,0)A x y B x y P t Q s 12AP BQ y t y λλ=⇔-=- 12AP BP x x λλ=⇔=- 212()BP AB x x x λλ=⇔-=- 12AQ BQ y y λλ=⇔=- 112()AQ AB y y y λλ=⇔=-线段成比例主要利用相似转化为12,x x 或是12,y y 成比例的关系上，慎用弦长公式求线段长，计算量比较大.由直线y kx m =+与椭圆方程221a b+=联立得12222(1)1b x x k a b =-+22122221(2)1m b x x k a b-=+设P 点为(0,)t ，则1212(3)()(4)x x PA PB y t y t λλλ=⎧=⇔⎨-=-⎩（3）（4）是等价的，我们在椭圆的问题上只选择（3）运用 将（3）代入（1）得222222(1)(5)1km b x k a b λ+=-+将（3）代入（2）得22222221(6)1m b x k a bλ-=+2(5)/(6)得222222222222222222212()(1)()()111()(1)km k km b a b b k m k ma b b a b b λλ++=-⋅=+-+- 故22222222222222222212()12()()111()(1)km k km b a b b k m k m a b b a b b λλ+++=-⋅=+-+- 成比例的问题主要就是消去参数12,x x ，求出,,,,a b k m λ的关系式 三、共线类问题方法：共线问题可以用向量PA PB λ=或斜率相等来解答. 四、向量的线性表示问题解决方法：向量的线性表示问题的形式为OP OA OB λμ=+,通常P 为圆锥曲线上一点，解 题思路是利用P 的坐标满足圆锥曲线方程而建立等式，解决问题经典例题2．（2018•武汉模拟）已知A （2，0），B （0，1）是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的两个顶点，直线y=kx （k ＞0）与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →=6DF →，则斜率k 的值为（ ） A ．23B ．38C ．23或38D ．23或343．（2018•嘉兴模拟）若双曲线C ：x 2﹣y 2=1的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且PA →=2AQ →，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．23C ．2D ．34．（2018•长春二模）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(53，2] B ．(1，53]C ．（1，2]D ．[53，+∞) 5．（2018•河南一模）设双曲线的方程为x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），若双曲线的渐近线被圆M ：x 2+y 2﹣10x=0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于（ ） A ．35B ．√73C ．53D ．√76．（2018•江西二模）设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，M 是C 的右支上的点，射线MN 平分∠F 1MF 2，过原点O 作MN 的平行线交MF 1于点T ，若|F 1F 2|=4|TM |，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．52B ．2C ．√2D ．√37．（2018•贵阳二模）如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 在线段AC上，且AE →=25AC →，双曲线过C ，D ，E 三点，以A ，B 为焦点；则双曲线离心率e的值为（ ）A ．32B ．√7C ．√52D ．28．（2018•绍兴一模）如图，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，A 为虚轴的一端点．若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB →=tBF →（t ∈R ），则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．√5C ．1+√32D ．1+√5211．（2017•徐汇区校级模拟）设直线l 过点P （0，3），和椭圆x 29+y 24=1交于A 、B 两点（A 在B 上方），试求|AP||PB|的取值范围 ．12．（2013•潼南县校级模拟）如图，P 是椭圆x 225+y 29=1上的一点，F 是椭圆的左焦点，且OQ →=12(OP →+OF →)，|OQ →|=4，则点P 到该椭圆左准线的距离为 ．13．（2014•渭南二模）已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为 ．三．解答题（共8小题）15．（2018•深圳一模）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，直线l ：x +2y=4与椭圆有且只有一个交点T ．（I ）求椭圆C 的方程和点T 的坐标；（Ⅱ）O 为坐标原点，与OT 平行的直线l′与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，直线l′与直线l 交于点P ，试判断|PT|2|PA|⋅|PB|是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．16．（2018•海南一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，A ，F 分别为椭圆的上顶点和右焦点，△AOF 的面积为12，直线AF 与椭圆交于另一个点B ，线段AB 的中点为P ．（1）求直线OP 的斜率；（2）设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点C ，D ，且与直线AF 交于点Q ，求证：存在常数λ，使得QC →⋅QD →=λQA →⋅QB →．17．（2018•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a＞0，b ＞0）的离心率为12，且过点（1，32）．F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若AF=FC ，求BF FD的值；（3）设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2=mk 1，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18．（2018•松江区一模）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点(1，√32)，其左焦点为F(−√3，0)，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，若四边形ACBD 的面积为43，求直线l 的方程；（3）设MA →=λ1AF →，MB →=λ2BF →，求证：λ1+λ2为定值．19．（2018•江苏二模）如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M （x 1，0），直线AC 与直线BD 交于点N （x 2，y 2）． （1）求椭圆的标准方程；（2）若CM →=2MD →，求直线l 的方程； （3）求证：x 1•x 2为定值．20．（2018•上海模拟）已知点F 1、F 2为双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°．圆O 的方程是x 2+y 2=b 2． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求PP 1→⋅PP 2→的值；（3）过圆O 上任意一点Q （x 0，y 0）作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：|AB →|=2|OM →|．。

圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。

如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。

（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。

圆锥曲线综合题解题思路“圆锥曲线难学，难于上青天”，“圆锥曲线如鸡肋”等，不仅是学生对圆锥曲线的抱怨，甚至有不少教师对圆锥曲线也颇有微词.圆锥曲线的确有两大令人“生恨”的地方，一是圆锥曲线问题几何关系错综复杂，各种图形交织在一起，“你中有我，我中有你”，大有不把人弄得“眼花缭乱”不罢休的架势；二是运算烦琐，即使参数设好，式子列对，最后的化解过程也让人望而生畏.抱怨归抱怨，鉴于圆锥曲线在高考中的重要地位，我们还是要思考圆锥曲线的解题策略问题.有没有好的方法或者操作程序，能够让圆锥曲线问题变得有章可循，能够让学生对圆锥曲线多一点信心.笔者经过多年的圆锥曲线教学，总结提炼出了“四化”解题策略.下面笔者就结合一道高考题中的圆锥曲线问题，谈谈“四化”策略的操作规则.第一类：向量共线式整体代入法。

例题：已知椭圆E:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，21F F ，为椭圆的左右焦点，A为椭圆的上顶点,且△21F AF 为等边三角形（1）求椭圆的标准方程（2）过）（1,1F 的直线交椭圆于N M ,两点，在N M ,直线上任取一点Q ，满足：）且1||0(,,≠≠=-=λλλλQN MQ FN MF 求证：点Q 在134=+yx 上解析：（1）由题可知;21==a c e 由于△21F AF 为等边三角形23=∴a b 3:2222=+=b c b a 得由3,2==∴c a 13422=+∴y x 椭圆方程为：（2）设：M （11,y x ）N ),(22y x F )1,1(),(y x Q λ-=MF FN ；QNMQ λ=),1();,-1(2211y x FN y x MF -==)1(121--=-x x λ化简得：112-=-λλx x ①)1(-121--=y y λ化简得：112-=-λλy y ②),),(2211y y x x QN y y x x MQ --=--=（；)(21x x x x -=-λ化简得：)1(12+=+λλx x x ③)(21y y y y -=-λ化简得：）1(12+=+λλy y y ④①⨯③41⨯得：)1(414141221222-=-λλx x x ②⨯④31⨯得：)1(313131221222-=-λλy y y 两式相加得：22241x λ+22231y λ-)3141(2121y x +=)1(412-λx +)1(312-λy 因为A,B 点在椭圆上所以原等式化简得：1-2λ=)31411-2y x +）（（λ134=+∴yx Q 的轨迹方程：变试题：（2013年苏州期末考试试题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，A ，B ，C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足5FC BA = ，椭圆的离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB取得最小值时，求点P 的坐标；（3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点N ，若NF FM λ=，求实数λ的取值范围．题型特点与方法归纳：整体代入法法主要针对向量共线式NF FM λ=类型。