【全国通用】高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练2新人教A版

2y高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．若椭圆经过原点,且焦点为 F 1 (1, 0), F 2 (3, 0) ,则其离心率为（）3 2 A ．B ．4321 1 C ．D ．24x 2 y 22．若抛物线 y = 2 px 的焦点与椭圆 + = 1的右焦点重合，则 p 的值为（ ） 6 2A ． -2B ． 2C ． -4D ． 4 3．已知双曲线3x 2 - y 2 = 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于（）A ．B ．3C ． 2D ．44．与 y 轴相切且和半圆 x 2+ y 2= 4(0 ≤ x ≤ 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A ． y 2= -4(x -1)(0 < x ≤ 1) B ． y 2= 4(x -1)(0 < x ≤ 1) C ． y 2 = 4(x +1)(0 < x ≤ 1)D ． y 2= -2(x -1)(0 < x ≤ 1)5．直线 y = 2k 与曲线9k 2 x 2+ y 2= 18k 2x(k ∈ R , 且k ≠ 0) 的公共点的个数为 （） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 46．如果方程 x2 + y 2 =表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）- p q1x 2y 2x 2y 2A ． + = 12q + p qB ． + = -12q + p px 2+ y 2 =x 2y 2C ． 2 p + q q 1D ．+ 2 p + qq = -17．曲线x 210 - m2 + = 1(m < 6) 与曲线 6 - mx 2 5 - m y 2 + = 1(5 < m < 9) 的 （ ）9 - m A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同 8．双曲线 mx 2 + y 2 = 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m = （）A ． - 14B ． -4C ． 4D ． 14 9．设过点 P (x , y )的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点，点Q 与点 P关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP = 2PA ，且OQ ⋅ AB = 1，则 P 点的轨迹方程是2 32（）A ． 3x 2+ 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2C ． 3x 2- 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2B ． 3x 2- 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2D ． 3 x 2+ 3y 2= 1(x > 0, y > 0)210．抛物线 y = -x 2上的点到直线 4x + 3y - 8 = 0 距离的最小值是 （）4 7 8 A ．B ．C ．355D ． 311．已知抛物线 x 2= y + 1上一定点 A (-1, 0) 和两动点 P , Q 当 PA ⊥ PQ 是,点Q 的横坐标的取值范围是 （）A ． (-∞, -3]B ． [1, +∞)C ． [-3,1]D ． (-∞, -3] [1, +∞)12．椭圆 x4y231= 1上有 n 个不同的点: P 1 , P 2 ,....P n , ,椭圆的右焦点为 F ,数列{| P n F |}是公差大于100的等差数列,则 n 的最大值为（ ）A ．199B ．200C ．198D ．201二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)x 2 y 213．椭圆 + 12 3= 1的两个焦点为 F 1 , F 2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF 1 的中点在 y 轴上,那么| PF 1 |是| PF 2 |的倍.214．如图把椭圆 x + y = 1 的长轴 AB 分成 8 等25 16分,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1,P 2,…,P 7 七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=.15．要建造一座跨度为 16 米,拱高为 4 米的抛物线拱桥,建桥时,每隔 4 米用一根柱支撑,两边的柱长应为.16．已知两点 M (-5, 0), N (5, 0) ,给出下列直线方程:① 5x - 3y = 0 ;② 5x - 3y - 52 = 0 ;③x - y - 4 = 0 .则在直线上存在点 P 满足| MP |=| PN | +6 的所有直线方程是.(只填序号)三、解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)2航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为1，变轨（即航天器运行轨迹由 17．（本小题满分 12 分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：x 2 + y 2= 100 25⎛64 ⎫椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M 0, ⎝⎪ 为顶点的抛物线的实7 ⎭ 线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A ( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天 器发出变轨指令？18．（本小题满分 12 分）已知三点 P （5，2）、 F 1 （－6，0）、 F 2 （6，0）。

圆锥曲线（16）【某某省泰和中学2012届高三12月周考】已知抛物线22y px =上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-4【答案】D 【解析】由题意得52p1=+，故8p =,所以准线方程为4x =- 【某某省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】10．设M （0x ，0y ）为抛物线C ：28x y =上一点，F为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值X 围是（） A ．（0，2） B ．[0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【答案】C【解析】由题意只要4FM >即可，而002,2,FM y y =+∴>所以，简单考查抛物线的方程、直线与圆的位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。

【某某实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】12. 点P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3(C) .4(D) .5【答案】D【解析】解：设|PF 2|,|PF 1|，|F 1F 2|成等差数列，且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m 2=(m+d)2,解得m=4d=8a,5252dce da ∴===故选项为D【某某省微山一中2012届高三10月月考理】8. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值X 围为（） A ．2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．2]D ．2)答案:C解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P 使得OP 斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.【2012某某师大附中高三下学期开学考卷文】设12F F 、分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线与E 相交于A B 、两点，且22,AF AB BF ，成等差数列，则AB 的长为（ ） A ．32B ．1 C ．34D ．35【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系，等差中项的计算. 属于基础知识、基本运算的考查.椭圆222:1(01)y E x b b+=<<，1a =，∵112221,1AF BF a AF BF +==+=，相加得11222AF BF AF BF +++=221122||AF BF AF BF AB +=-+=-22,AF AB BF ，成等差数列，22221AB AF BF a =+==于是22AB AB =-，∴23AB =【2012年某某市高中毕业班教学质检1文】曲线y=x 3在点(1，1)处的切线方程是 A ．x+y-2=0 B ．3x+y-2=0C ．3x-y-2=0 D ．x-y+2=0 【答案 C【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系、导数. 属于基础知识、基本运算的考查. 点(1，1)在曲线y=x 3上，切线的斜率就是曲线的导数，23y x '=，斜率k ＝3由点斜式方程得切线方程为13(1)y x -=-，即3x-y-2=0【2012某某市高三上学期期末统一考试文】已知双曲线的渐近线为y =，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）A ．221824x y -= B ．221124x y -= C ．221248x y -= D ．221412x y -= 【答案】 D【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.双曲线的渐近线为y =，焦点在x 轴上，双曲线方程设为22(0)3y x λλ-=> 即2213x y λλ-=，22,3a b λλ==，∵焦点坐标为（-4，0），（4，0）∴4c = 2224164c a b λλ=+==⇒=∴双曲线方程为221412x y -= 【2012年某某市高中毕业班教学质检1文】双曲线224y x -=1的离心率是 A ．21B ．23C ．25D ．3【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.双曲线224y x -=1中，222224,15a b c a b ==⇒=+=，双曲线224y x -=1的离心率是c e a ==【2012某某十校高三上学期期末联考文】过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 （ ）A B ．5C ．2D 【答案】 C【解析】本题主要考查双曲线的定义、直线与圆的位置关系、中点公式、双曲线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.圆的2224a x y +=半径为2a ，由()12OE OF OP =+知，E 是FP 的中点，如图，设(,0)F c '，由于O 是FF '的中点，所以，1,22OE PF OE PF PF OE a '''=⇒== 由双曲线定义，3FP a =，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP OE ⊥，从而90FPF ︒'∠=，由勾股定理222222942FP F P FF a a c e ''+=⇒+=⇒=【2012年某某市高中毕业班教学质检1文】已知抛物线y 2=2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A 、B 两点，若|AB|=10，P 为抛物线的准线上一点，则△ABP 的面积为 A ．20 B ．25 C ．30 D ．50 【答案】B【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.抛物线y 2=2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A 、B 两点，则|AB|＝2p ，|AB|=10，所以抛物线方程为y 2=10x ，P 为抛物线的准线上一点，P 到直线AB 的距离为p ＝5，则△ABP 的面积为1105252⨯⨯= 【2012某某市普通高中高三上学期联考文】若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为8,则点P 到它的左焦点的距离是 A ．4 B ．12 C ．4或12D ．6【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，属于基础知识、基本方法的考查. 设双曲线的两个焦点分别A,B ，由定义，||||||4PA PB -=，|8|||4PB -=，||4PB =或者||12PB =【2012黄冈市高三上学期期末考试文】设F 为抛物线24y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】B【解析】本题主要考查抛物线的定义和标准方程、向量共线的知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，抛物线焦点坐标F(1，0)，准线方程：x=-1 ∵0FA FB FC ++=∴点F 是△ABC 重心 则x 1+x 2+x 3=3， y 1+y 2+y 3=0而|FA|=x 1－(－1)=x 1＋1 |FB|=x 2－(－1)=x 2＋1 |FC|=x 3－(－1))=x 3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x 1+1+x 2+1+x 3+1=(x 1+x 2+x 3)+3=3+3=6【2012武昌区高三年级元月调研文】已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．5222+ B ．5212+ C ．5222- D ．5212- 【答案】D【解析】本题主要考查抛物线定义以及点到直线的距离公式以及最值问题以及转化的思想. 属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.由抛物线的定义，PF ＝11d +，11d PF =-1221d d d PF +=+-，显然当PF 垂直于直线40x y -+=时，12d d +最小。

（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 等差、等比数列 新人教A 版四、错位相减法的运用：错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如{}n n b a 的数列，其中{n a }为等差数列，{}n b 为等比数列；分别列出n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q ，即n qS ；然后错一位，两式相减即可。

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

典型例题：例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg}na 的前n 项和最大？ 【答案】解：（Ⅰ）取n =1，得21112=2a S a λ=，∴11(2)0a a λ-=。

若1a =0，则1S =0, 当n 2≥时，1=0n n n a S S --=。

若1a 0≠，则12a λ=，有当n 2≥时，22n n a S λ=+，1122n n a S λ--=+，两个相减得：12n n a a -=，∴n 2na λ=。

∴数列{}n a 公比是2的等比数列。

综上所述，若1a =0, 则 n 0a =；若1a 0≠，则n 2na λ=。

（Ⅱ）当10a >且100λ=时，令1lgn nb a =，则2lg 2n b n =-。

∴{}n b 是单调递减的等差数列（公差为－lg2）则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100lg 2100lg6=>=； 当n ≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100lg 2100lg7=<=。

∴数列{lgn a 1}的前6项的和最大，即当n =6时，数列1{lg }na 的前n 项和最大。

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。

专题五 高考中的圆锥曲线问题1.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________. 答案 8解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20， 即|AB |＝8.2.设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( )A.p 2B.pC.2pD.无法确定答案 C解析 当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短， 这时x ＝p2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p .3.若双曲线x 2a 2－y 23＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为( )A.1B.2C.3D.6答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3a x ，即3x ±ay ＝0，圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2,0)，半径为r ＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD |＝22－12＝3，另一方面，圆心C (2,0)到双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线3x －ay ＝0的距离为d ＝|3×2－a ×0|3＋a 2＝233＋a 2，所以233＋a 2＝3，解得a 2＝1，即a ＝1，该双曲线的实轴长为2a ＝2.4.在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.(－2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(－1,2)答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， ∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号. ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D ，故选B.5.设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于 ( ) A.34B.－34C.3D.－3答案 B解析 方法一 (特殊值法)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)， ∴OA →·OB →＝⎝⎛⎭⎫12，1·⎝⎛⎭⎫12，－1＝14－1＝－34. 方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由抛物线的过焦点的弦的性质知： x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2012·浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上. (1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m 2，求d 的最大值.思维启迪 (1)依条件，构建关于p ，t 的方程；(2)建立直线AB 的斜率k 与线段AB 中点坐标间的关系，并表示弦AB 的长度，运用函数的性质或基本不等式求d 的最大值. 解 (1)y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－p2，∴1－(－p 2)＝54，p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x . 又点M (t,1)在曲线C 上，∴t ＝1.(2)由(1)知，点M (1,1)，从而n ＝m ，即点Q (m ，m )， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 的斜率为k (k ≠0). 且A (x 1，y 1)，B (x 2.y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，故k ·2m ＝1， 所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x ， 整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2 ＝2(1＋4m 2)(m －m 2) ∴d ＝|AB |1＋4m 2＝2m (1－m )≤m ＋(1－m )＝1，当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时，上式等号成立，又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0.∴d 的最大值为1.思维升华 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.椭圆C ：x 236＋y 220＝1的左顶点、右焦点分别为A ，F ，直线的方程为x ＝9，N 为直线上一点，且在x 轴的上方，AN 与椭圆交于M 点． (1)若M 是AN 的中点，求证：MA ⊥MF .(2)过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，求|PQ |的取值范围． (1)证明 由题意得A (－6,0)，F (4,0)，x N ＝9，∴x M ＝32，又M 点在椭圆上，且在x 轴上方，得y M ＝532，∴MA →＝(－152，－532)，MF →＝(52，－532)，∴MA →·MF →＝－754＋754＝0，∴MA ⊥MF .(2)解 方法一 设N (9，t )，其中t >0，∵圆过A ，F ，N 三点，∴圆心在线段AF 的中垂线上． 设圆心为(－1，b )，半径为r ，有r ＝(－1－4)2＋b 2＝(－1－9)2＋(b －t )2，∴b ＝t 2＋752t ＝12(t ＋75t)，|PQ |＝2r 2－1＝2b 2＋24.∵t >0，∴b ≥ t ·75t＝53，当且仅当t ＝75t ，即t ＝53时取“＝”∴|PQ |≥299＝611.∴|PQ |的取值范围是[611，＋∞)． 方法二 设N (9，t )，其中t >0， ∵圆过A ，F ，N 三点，∴设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，有 ⎩⎪⎨⎪⎧36－6D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，81＋t 2＋9D ＋tE ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝－t －75t ，F ＝－24，∴圆心为(－1，12(t ＋75t ))，半径r ＝ 25＋14(t ＋75t)2，∴|PQ |＝2r 2－1＝2 24＋14(t ＋75t)2，∵t >0，∴t ＋75t ≥2 t ·75t＝103，当且仅当t ＝75t ，即t ＝53时取“＝”∴|PQ |≥299＝611，∴|PQ |的取值范围是[611，＋∞)． 题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在 抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上. (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.思维启迪 既然圆过y 轴上的点，即满足MP →·MQ →＝0，对任意P 、Q 恒成立可待定M (0，y 1)，也可给定特殊的P 点，猜想M 点坐标，再证明. (1)解 依题意，得|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立.由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1). 方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0， 且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)， 以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2， 交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)； 取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1， 以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564， 交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1). 以下证明点M (0,1)就是所要求的点.因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1). 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2013·江西)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ 32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值.(1)解 因为e ＝32＝c a， 所以a ＝23c ，b ＝13c . 代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 方法一 因为B (2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0，k ≠±12)，①①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14. 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值).方法二 设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0， 联立⎩⎨⎧y ＝12(x ＋2)y ＝y0x 0－2(x －2)，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4 ＝y 0－12y 0＋x 0－2， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值). 题型三 圆锥曲线中的探索性问题例3 (2012·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程.(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由.思维启迪 圆锥曲线中，这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则 d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6， ∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3， 解得b 2＝1，∴a 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2. ∴|AB |＝212－d ′2＝2 1－1m 2＋n 2. ∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2. ∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1， ∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12， 当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎨⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或⎝⎛⎭⎫－62，－22， 此时△OAB 的面积为12.思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.(2013·长春调研)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上， 易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，① x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝k 2[4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.(时间：80分钟)1.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0).从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]， 所以符合题意的直线l 不存在.方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去).从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一.2 ．已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标．(1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4， 得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A (12，0)．当x 1＝x 2时，线段PQ 的垂直平分线也过定点A (12，0)．综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (12，0)．(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称，故点B (－12，0)．∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]，|PB |2＝(x 1＋12)2＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.3.如图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A 、B两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12). (1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.∵OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4) ＝(－4，－12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝410. 设P (t ，－12t 2)(－2－22<t <－2＋22)，∵|AB |为定值，∴当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大.而d ＝|2t ＋12t 2－2|22＋(－1)2＝|12(t ＋2)2－4|5，又－2－22<t <－2＋22，∴当t ＝－2时，d max ＝455. ∴当P 点坐标为(－2，－2)时，△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.方法二 设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线在点P 处的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大. ∵y ′＝－x ，∴x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，P (－2，－2).此时点P 到直线l 的距离＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y，得x 2＋4x －4＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410， 故△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.4. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1，又∵AF →·FB →＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1. ∴a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且F 恰为△PQM 的垂心， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 22＋y 2＝1 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， x 1＋x 2＝－43m ，① x 1x 2＝2m 2－23.②∵MP →·FQ →＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－43符合条件.故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心， 直线l 的方程为y ＝x －43.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足：|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关). (1)解 设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)， 则|PF |2＝(x －2)2＋y 2，|PB |2＝(x －3)2＋y 2，由|PF |2－|PB |2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4， 化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解 将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝⎛⎭⎫2，53，N ⎝⎛⎭⎫13，－209. 则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3)证明 如图所示，点T 的坐标为(9，m ).直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(80－m 2)80＋m 2，40m 80＋m 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(m 2－20)20＋m 2，－20m 20＋m 2. 直线MN 的方程为y ＋20m 20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3(m 2－20)20＋m 23(80－m 2)80＋m 2－3(m 2－20)20＋m 2.令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0). 6.(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积.(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点.若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ . (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2. 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值.。

名校专题----圆锥曲线培优训练31、点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:2222=-by a x E )0,0(>>b a 上，已知21PF PF ⊥，||2||21PF PF =，O 为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率e ；（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且42721-=⋅OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程；（Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使)(21F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（I ）a PF a PF a PF PF PF PF 2||,4||2|||||,|2||212121==∴=-= 5)2()2()4(22221=∴=+∴⊥e c a a PF PF（II ）14:2222=-a y a x E 渐近线为x y 2±=设),(),2,(),2,(222111y x P x x P x x P - 494273212121=∴-=-=⋅x x x x OP OP ，221=+PP 3)2(2,322121x x y x x x -=+=∴代入E 化简2892221=∴=a a x x 18222=-∴y x （III ）假设在x 轴上存在定点)0,(t G 使)(21F F λ-⊥， 设),(),,(,:4433y x N y x M m ky x l +=联立l 与E 的方程得0848)14(222=-++-m kmy y k 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=+)2(1484)1(1482243243k m y y k km y y )0,102(),,(214343=-+--=-F F y y t x t x λλλλ)(21GN GM F F λ-⊥)3(0)1()1()(04343=-+-+-⇔=+--⇔t m y y k t x t x λλλλλ由λ=043=+∴y y λ)4(43y y λ-=∴∴（3）即为)5(0)1()1(23=-+-+t m ky λλ，将（4）代入（1）（2）有kmm y 22)1(23--=λ代入（5）得m t 2=故在x 轴上存在定点)0,2(mG 使)(21F F λ-⊥。

（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题函数的图像与性质新人教A版x 0例11.. 若x, y 满足约束条件：x 2y 3；则x y 的取值范围为▲2x y 3【答案】[ 3,0] 。

【考点】简单线性规划。

【解析】求x y 的取值范围，则求出x y 的最大值和最小值即可。

作图，可知约束条件对应ABC边际及内的区域：3A(0,3), B(0, ), C (1,1)。

2当x 1, y 1时，x y 取得最大值0；当x 0, y 3 时，x y 取得最小值3。

∴x y的取值范围为[ 3,0] 。

例12. ）已知正数a，b，c满足：5c 3a≤b≤4c a，clnb≥a cln c，则ba的取值范围是▲．【答案】e，7 。

【考点】可行域。

【解析】条件5c 3a≤b ≤4c a，cln b≥a cln c 可化为：a b3 5c ca bc c4。

b cace设a =x y=b，，则题目转化为：c c3x y 5已知x，y 满足x yxy e4，求yx的取值范围。

x > 0，y > 0作出（x，y ）所在平面区域（如图）。

求出y= e x 的切线的斜率 e ，设过切点P x0，y0 的切线为y =ex m m 0 ，1y ex m m则0 0= =ex x x0 0 0，要使它最小，须m=0 。

∴yx的最小值在xP x ，y 处，为 e 。

此时，点P x0，y0 在=y e 上A,B 之间。

0 0当（x，y ）对应点 C 时，y=4 x 5 y=20 5x yy=7 x =7y=5 3x 4 y=20 12x x，∴yx的最大值在 C 处，为7。

∴yx的取值范围为e，7 ，即ba的取值范围是e，7 。

例13. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1) ，B(1,3) ，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y 的取值范围是【】（A）(1 －3，2) （B）(0 ，2) （C）( 3－1，2) （D）(0 ，1+ 3)【答案】A。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章必刷小题16　圆锥曲线一、单项选择题√√故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.3.(2024·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p等于√A.3B.4C.5D.64.(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C 的方程为√解得a2＝16，b2＝9，√所以△PF1F2为等边三角形，6.(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是√x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，√作PM⊥x轴于点M，如图，则∠PF2M＝60°，由题意知F2(c,0)，由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，而|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2F1，8.(2023·连云港模拟)直线l：y＝－x＋1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是A.4B.10√C.4或10D.4或12可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－4，即y1＋y2＝－x1＋1－x2＋1＝－4，则x1＋x2＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)，易知，直线l过抛物线焦点(1,0)，则|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8，且AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝1×(x－3)，即y＝x－5，则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r，所以b＝a－5，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，则16＋2(a－3)2＝r2，①又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r，即(a＋1)2＝r2，②二、多项选择题 A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为mC.若(2,0)是双曲线C 的一个焦点，则m ＝2D.若双曲线C 的两条渐近线相互垂直，则m ＝2√√因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，√√√对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝6，故B 正确；对于选项C，△F1PF2的周长为2a＋2c＝12，故C错误；对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝4，|F1F2|＝2c＝4，此时△F1PF2为等边三角形，故D正确.√√√根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.√√√由题意得a＝2，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，三、填空题13.(2023·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程__________ (答案不唯一)_____________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；y2＝4x设|NF|＝4t(t>0)，①得2a＝3p或6a＝p，由于0<p<2a，故2a＝3p，结合③，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.本课结束。

专题14 圆锥曲线的综合问题一、单选题1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( )A ．2B ．4C ．8D ．162．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A ．48B ．24C ．2D ．4．（2019·湖北省高二期中）若0mn ≠，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线28x y =520x y m ++=相切，则m =（ ）A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．-3或76．（2019·河南省包屯高中高二期末）已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中正确的个数是①当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆； ②当41t t ><或时，曲线C 一定是双曲线； ③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. A ．1B ．2C ．3D ．47．（2020·北京人大附中高二期中）已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( ) A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,32)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,2)8．（2020·湖北省高三其他（文））已知抛物线243y x =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于,A B 两点若双曲线的离心率是23，那么AB =（ ） A ．2B ．43C ．2D ．239．（2019·平遥县第二中学校高二月考）设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公共点,则12cos F PF ∠的值等于A ．13 B ．14 C ．19D ．3510．（2019·福建省高三一模（理））如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、多选题11．（2019·常州市第一中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中错误．．的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 是双曲线，则其离心率有12e <<C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的离心率31e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅< D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅< 13．（2020·海南省高三二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 的长度最小为4 C ．M 的坐标可能为()3,2 D ．3OP OQ ⋅=-恒成立三、填空题14．（2019·湖北省高二期中）设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线216x y =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________．15．（2019·涟水县第一中学高二月考）若直线2y kx =+ 与抛物线2y x = 只有一个交点，则实数k 的值为______16．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆22132x y +=内一点()1,1P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________17．（2020·浙江省高三月考）已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 四、解答题18．（2020·天水市第一中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点且离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.19．（2019·涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)过点3(1,)2P ，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究22OA OB +是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．20．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线2:4C y x =.（1）若P 是抛物线C 上任一点，(2,3)Q ，求点P 到Q 和y 轴距离之和的最小值；（2）若ABC 的三个顶点都在抛物线C 上，其重心恰好为C 的焦点F ，求ABC 三边所在直线的斜率的倒数之和.21.（2019·苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，⎛ ⎝⎭，点A 是椭圆的下项点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.22．（2020·河南省高二月考（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为32，5AB =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程.23.（2019·安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点P 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，且点P 的纵坐标为1，点P 到抛物线焦点F 的距离为2 （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求||||AF BF -的值.专题14 圆锥曲线的综合问题一、单选题1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D .2．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A ．48 B ．24C ．2D ．【答案】B 【解析】结合椭圆性质,可以得到建立方程,得到点P 的坐标为,故,故选B.4．（2019·湖北省高二期中）若0mn ≠，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】0mx y n -+=即为直线y mx n =+，22nx my mn +=即为曲线221x y mn+=，0mn ≠.对于A 选项，由直线方程可知，0m >，0n >，则曲线221x y m n +=，0mn ≠表示圆或椭圆，A 选项错误；对于B 选项，由直线方程可知，0m <，0n <，则曲线221x y m n +=，0mn ≠不存在，B 选项错误；对于C 选项，由直线方程可知，0m >，0n <，则曲线221x y m n+=，0mn ≠表示焦点在x 轴上的双曲线，C 选项正确；对于D 选项，由直线方程可知，0m <，0n >，则曲线221x y m n+=，0mn ≠表示焦点在y 轴上的双曲线，D 选项错误. 故选：C.5．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线28x y =5为半径的圆，与直线20x y m ++=相切，则m =（ ）A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．-3或7【答案】C 【解析】抛物线28x y =的焦点为()0,2,以抛物线28x y =的焦点为圆心,5:圆心为()0,2,半径5r =，由直线20x y m ++=与圆相切,可得:圆心到直线的距离d ==解得3m =或7-. 故选:C .6．（2019·河南省包屯高中高二期末）已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中正确的个数是①当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆； ②当41t t ><或时，曲线C 一定是双曲线； ③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 对于①，当52t =时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确 对于②，当4t >时表示焦点在y 轴上的双曲线，当1t <曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确对于③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，所以③正确 对于④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，所以④正确综上，四个选项都正确 所以选D7．（2020·北京人大附中高二期中）已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( )A．1 0,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B．(0,32)C．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D．(0,2)【答案】D【解析】因为抛物线22(0)x py p=>的准线被双曲线22132x y-=截得的弦长为6所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为3,2p⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线中2232132p⎛⎫- ⎪⎝⎭-=得4p=，所以焦点坐标为()0,2故选：D8．（2020·湖北省高三其他（文））已知抛物线23y x=的准线与双曲线22221x ya b-=的两条渐近线分别交于,A B23，那么AB=（）A．2B．43C2D．233【答案】A【解析】抛物线243y x=的准线3x=-22223cc a ba==+，3ba∴=，因此双曲线的渐近线方程为：3y x=，双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：3,33x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，得1,y =根据双曲线的对称性可知：2AB =故选：A9．（2019·平遥县第二中学校高二月考）设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公共点,则12cos F PF ∠的值等于A ．13 B ．14 C ．19D ．35【答案】A 【解析】由题意知F 1（﹣2，0），F 2（2，0），解方程组222216213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得229212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．取P 点坐标为32222⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，1322P 222F ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，，2322P 222F ，⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， cos ∠F 1PF 2=123232122222321321222222⎛⎫⎛⎫---+⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13． 故选A ．10．（2019·福建省高三一模（理））如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．故选：B ． 二、多选题11．（2019·常州市第一中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中错误．．的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 是双曲线，则其离心率有12e <<C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<【答案】AD 【解析】若2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，A 错；对于选项B ，若1t <，则方程可变形为22131x y t t -=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；e ==<，1e <<若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线；e ==<1e <<B 正确； 对于选项C ，若1t <，则方程可变形为22131x y t t -=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线，故C 正确；对于选项D ，若23t <<，则031t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；若12t <<，则013t t <-<-，故22131x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则D 错；故选：AD12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的离心率1e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅<D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅< 【答案】ABD 【解析】如图，设122F F c =，则由正六边形性质可得点3,2cc I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 由点I 在椭圆上可得22223144c c a b+=，结合222a c b -=可得22233b a =-，∴椭圆离心率212142331b e a=-=-=-， ∴()()22222224310a c a ⎡⎤-=--<⎢⎥⎣⎦∴当点A 为椭圆上顶点时，12cos 0F AF ∠<，此时120AF AF ⋅<； 点3,22c c I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在双曲线22221x y N m n -=：的渐近线上可得322n c c m ⋅=即3=n m , ∴双曲线的离心率为2221132n e m=+=+=, 当点B 为双曲线的顶点时，易知120BF BF ⋅<. 故选：ABD.13．（2020·海南省高三二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 的长度最小为4 C ．M 的坐标可能为()3,2 D ．3OP OQ ⋅=-恒成立【答案】BCD 【解析】焦点F 到准线的距离即为2p =，所以抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，A 项错误. 当PQ 垂直于x 轴时长度最小， 此时()1,2P ，()1,2Q -，所以4PQ =，B 项正确.设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程为1x my =+.联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得()224210x m x -++=，消去x 可得2440y my --=，所以21242x x m +=+，124y y m +=，当1m =时，可得()3,2M ，所以C 正确，又121=x x ，124y y =-，所以12123OP OQ x x y y ⋅=+=-，所以D 正确. 故选：BCD 三、填空题14．（2019·湖北省高二期中）设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线216x y =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________．【答案】221412y x -=【解析】抛物线216x y =的焦点为()0,4在y 轴上,故双曲线4c =,又22ca a=⇒=, 故22212b c a =-=.故双曲线的方程为221412y x -=.故答案为：221412y x -=15．（2019·涟水县第一中学高二月考）若直线2y kx =+ 与抛物线2y x = 只有一个交点，则实数k 的值为______ 【答案】0或 18【解析】联立直线方程与抛物线方程可得：22(41)40k x k x +-+=， ①若0k =，则4x =，满足题意；②若0k ≠，则22(41)160k k ∆=--=，解得18k =. 综上所述，k =0或 18. 故答案为：0或1816．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆22132x y +=内一点()1,1P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________ 【答案】2350x y +-= 【解析】由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点，斜率为k ，则22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121223y y y y x x x x --++⋅-=，即221321k ⨯-=⋅⨯，所以23k =-， 所以所求直线方程为()2113y x -=--，即2350x y +-=. 故答案为：2350x y +-=.17．（2020·浙江省高三月考）已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 【答案】86【解析】由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F . 则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++==.联立直线与椭圆方程得()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k >时，34k k+≥= 当且仅当34k k =，即k =时，等号成立，此时06y ≤=； 当k 0<时，3344k k k k ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当34k k -=-， 即2k =-时，等号成立，此时06y ≥=-.综上所述：0y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF .故答案为: 8;6.四、解答题18．（2020·天水市第一中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点且离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在这样的直线，直线方程为：1432y x =±+.【解析】（1）由已知点代入椭圆方程得22211a b +=由e =得c a =可转化为222a b = 由以上两式解得224,2a b ==所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA =,所以设所求直线方程:3l y kx =+代入椭圆方程化简得： ()221212140k xkx +++=1221212k x x k +=-+① 1221412x x k =+.② ()2227(12)414120,4k k k ∆=-⨯⨯+>>,设所求直线与椭圆相交两点()()1122,,,A x y B x y 由已知条件2PB PA =可得212x x =,③ 综合上述①②③式子可解得27724k =>符合题意,所以所求直线方程为：32y x =±+. 19．（2019·涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)过点3(1,)2P ，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究22OA OB +是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是定值，7【解析】（1）由离心率12c e a ==，得a ∶b ∶c ＝21， 则可设椭圆C 的方程为2222143x y c c+= ，由点3(1,)2P 在椭圆C 上，得2213144c c+=，即c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设直线l 的方程为y＝2x ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以OA 2＋OB 2＝21x ＋3－3421x +22x ＋3－2234x ＝14(21x ＋22x )＋6.由2223412y x n x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y 得3x 2＋＋2n 2－6＝0. 当Δ＞0时，x 1＋x 2，x 1x 2＝2263n -，从而22221221212 24412()33n x x x n x x x -+=+-－＝＝4， 所以OA 2＋OB 2＝7，为定值．20．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线2:4C y x =.（1）若P 是抛物线C 上任一点，(2,3)Q ，求点P 到Q 和y 轴距离之和的最小值；（2）若ABC 的三个顶点都在抛物线C 上，其重心恰好为C 的焦点F ，求ABC 三边所在直线的斜率的倒数之和.【答案】（11（2）0 【解析】（1）由抛物线定义可知：P 到Q 和y轴距离之和||||1||11PQ PF QF =+-≥-=， 当,,Q P F 三点共线时，取最小值.（2）设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，233,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵(1,0)F ∴1230y y y ++=.又22121212144AB y y y y k y y -+==-，同理：2314BC y y k +=，1314AC y y k += ∴1110AB BC ACk k k ++= 21.（2019·苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，⎛ ⎝⎭，点A 是椭圆的下项点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.【答案】（1）2214x y +=（2）1【解析】（1）由题意得222231141314a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知()0,1A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线11:1l y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x =-⎧⎨=⎩，得1111,11E k k ⎛⎫⎪--⎝⎭. 设直线211:1l x k y =--，同理1111,1111F k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭， 因为OE OF =，所以1111111k k =---，①1111111,0111k k k k =+=---无实数解； ②2111111111,2,210111k k k k k k =--=--=---，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为1±22．（2020·河南省高二月考（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为32，5AB =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程.【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）122y x =+【解析】（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为AB 的中点的横坐标为32，所以12322x x +=. 根据抛物线定义知125AB AF BF p x x =+=++=. 所以35p +=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >.则由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=.所以212224k x x k ++=，即22243k k+=，解得2k =. 设与直线l 平行的直线的方程为2y x b =+，由242y x y x b⎧=⎨=+⎩得224(44)0x b x b +-+=. 依题知22(44)160b b ∆=--=，解得12b =.故所求的切线方程为122y x =+. 23.（2019·安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点P 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，且点P 的纵坐标为1，点P 到抛物线焦点F 的距离为2（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求||||AF BF -的值.【答案】（1）24x y =（2）4【解析】（1）设0(,1)P x ，由抛物线定义，点P 到抛物线焦点F 的距离为2 故1222p p +=∴= 故抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，(0,1)H -； 设()11,A x y ()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=， ∴124x x k +=，124x x =-，…①由AB HB ⊥，可得1AB HB k k =-⋅， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…②把①代入②得，221216x x -=， 则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=.。

（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题三视图新人教A版【考纲解读】1．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．3.会画出某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.【要点梳理】1．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；2．空间几何体的直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。